Einführung in die Optionspreisbewertung

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1 Einführung in die Optionspreisbewertung Bonn, Juni 2011 MAF BN SS 2011 Huong Nguyen

2 Gliederung Einführung Definition der Parameter Zwei Komponente zur Ermittlung der Optionsprämie Callwert-Kurve Wirkungen der Einflussgrößen auf den Optionswert Optionspreis-Modell von Black & Scholes Call-Put-Parität Aufgaben 2

3 Einführung Die Höhe der Optionsprämie ist entscheidend für den Erfolg einer risikobehafteten Options-Strategie Was ist ein angemessener Preis (fair value) für eine Option? Existenz eines fairen Optionspreises ist durch Selbstregulierung des Preises über Angebot und Nachfrage auf dem Optionsmarkt gegeben! Quelle: Tietze, J., 2011, S.366 3

4 Definition der Parameter Zur Berechnung des Optionspreises sind folgende Elemente relevant: Pc / Pp: Optionsprämie für den Call bzw. Put, Callpreis bzw. Putpreis, fällig bei Kontraktabschluss X: Basispreis, Ausübungspreis (exercise price) am Tag der Fälligkeit S: Kurs (Preis) der zugrundeliegenden Aktie (stock price) T: Restlaufzeit der Option (vom Kontraktabschluss bis zur Ausübung) r: risikoloser Marktzinssatz für (kurzfristiges) Kapital, r > 0 a: Volatilität, Schwankungsbreite, "Flatterhaftigkeit" der zugrundeliegenden Aktie Betrachtung der europäischen Optionen: Ausübung nur am Fälligkeitstag möglich ¹) Vernachlässigung externer Effekte: keine Dividendenzahlung während der Laufzeit ²) keine Transaktionskosten 1) Im Gegensatz zu europäischen Optionen können amerikanische Optionen jederzeit ausgeübt werden. 2) Dividendenzahlungen während der Laufzeit führt zur Senkung des Aktienkurses. 4

5 Zwei Komponente zur Ermittlung der Optionsprämie Innerer Wert des Call bzw. des Put Um wie viel liegt der aktuelle Aktienkurs im betrachteten Zeitpunkt über dem abgezinsten Basispreis? Innerer Wert des Call = S - X * e r T Verkäufer: (theoretische) Aufnahme der Aktien in Depot zum aktuellen Kassakurs S, um in T die Aktien evtl. verkaufen zu können Käufer: erspart sich S in t 0 und muss dafür eine Prämie zahlen Innerer Wert des Put = X * e r T - S Käufer: entscheidet sich für den Verkauf seiner Aktien in T wenn Xe r T > S Prämie stetige Verzinsung ¹) Verkäufer: Gegenleistung in T abgezinst zum t 0 (=abgezinster Basispreis X), wenn S > Xe r T dann ist eine Prämie als Kompensation notwendig Käufer: Barwert des Basispreises X anlegen, um in T die Auszahlung evtl. leisten zu können Verkäufer: muss den abgezinsten Basispreis bereithalten, um in T die Aktien ankaufen zu können Erhalt der Prämie als Kompensation 1) Stetige und diskrete Abzinsungsformeln führen zum gleichen Barwert, wenn die Zinssätze zuvor äquivalent umgeformt wurden (r=ln(1+i)).// Quelle: Tietze, J., 2011, S

6 Zwei Komponente zur Ermittlung der Optionsprämie Zeitwert des Call Gegenleistung für die Gewinn-Chance, die ein Kaufoption-Käufer eingeht Wert des Call am Tag der Ausübung (T = 0): Pc = max {0; S-X} entspricht innerem Wert des Call Vor dem Verfalltag (T > 0) hat der Call neben dem inneren Wert noch zusätzlich einen (nicht-negativen) Zeitwert, welcher die Chance auf Gewinn und die Versicherungsprämie für eine gegenläufige Kursentwicklung entspricht Zeitwert des Put Gegenleistung für die Risiken, die ein Verkäufer einer Kaufoption eingeht Wert des Put am Tag der Ausübung (T = 0): Pp = max {0; X -S} entspricht innerem Wert des Put 6

7 Callwert-Kurve Preise des Call müssen oberhalb der Kurve für den inneren Wert liegen innerer Wert = 0 Pc = ausschließlich Zeitwert Aktienkurs S so niedrig, dass in der Restlaufzeit T kaum noch mit ausreichender Kurserholung gerechnet werden kann Eine (für den Call-Inhaber gewinnbringende) Ausübung durfte somit kaum stattfinden innerer Wert = ca. 0 Zeitwert hoch geringe Kursänderung in verbleibender Restlaufzeit genügen, um den Call ins Geld zu bringen & mit Gewinn ausüben zu können Pc = nur noch innerer Wert Zeitwert sozusagen überflüssig Aktienkurs S so hoch, dass schon vorher so gut wie sicher ist, dass die Option bei Fälligkeit ausgeübt wird Quelle: Tietze, J., 2011, S

8 Wirkungen der Einflussgrößen auf den Optionswert Insgesamt gibt es für den dividendengeschützten europäischen Call/ Put fünf wesentliche Einflussgrößen, die sich auf die entsprechende Optionsprämie Pc/ Pp auswirken: Der wichtigste - und am schwierigsten einschätzbare - Einflussfaktor für den Zeitwert (und damit für den Preis) einer Option ist die Volatilität der zugrunde liegenden Aktie. Quelle: Tietze, J., 2011, S

9 Optionspreis-Modell von Black & Scholes Annahme: Aktienkurs-Entwicklung entspricht einem kontinuierlichen Zufallsprozess Black & Scholes gelang es zu zeigen, dass der theoretisch faire Call-Preis unter den gegebenen Voraussetzungen im wesentlichen aus dem Term (S X * e -rt )(=innerer Wert des Call) herzuleiten ist, wobei "nur" noch jeder der beiden Teilterme (S) und (X * e -rt ) mit einem Gewichtungsfaktor N(d 1 ) bzw. N(d 2 ) zu multiplizieren ist: N(d 1 ), N(d 2 ) : Werte der (kumulierten) Standard- Normal-Verteilungsfunktion Wertetabelle Je kleiner a, desto kleiner d desto präziser die Aussage über den Preis Die Normal- oder Gauß-Verteilung ist ein wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen Quelle: Tietze, J., 2011, S

10 Verteilungsfunktionstabelle der Standard-Normalverteilung (Auszug) 10

11 Call-Put-Parität Wenn der Preis Pc des dividendengeschützten europäischen Call bekannt ist, lässt sich der Optionspreis Pp eines entsprechenden Put leicht berechnen Beweis der Put-Call-Parität: Pp + S = Pc + X * e -rt Annahme heute (t 0 ): Anfangvermögen Verkaufsoption = Anfangvermögen Kaufoption Pp + S = Pc + X * e rt Ausübungstag (T): S T > X (höhere Preise am Markt): Put verfällt Ausübung Call Endvermögen Verkaufsoption = S (> X) T Endvermögen = S Kaufsoption T (> X) S T X (niedrigere Preise am Markt): Ausübung Put Call verfällt Endvermögen Verkaufsoption = X ( S T ) Endvermögen Kaufsoption = X ( S T ) Endvermögen Verkaufsoption = Endvermögen Kaufsoption Äquivalenzprinzip Anfangvermögen Verkaufsoption = Anfangvermögen Kaufoption 11

12 Aufgaben Aufgabe 1 Eine Aktie notiere heute zu 200 ( = S). Ein Call auf diese Aktie wird abgeschlossen mit einer Laufzeit von 9 Monaten (T= 0,75 Jahre), Basispreis 190 (=X). Der risikolose Geldmarktzins betrage 6% p.a. Wie groß ist der innere Wert des Call? Aufgabe 2 Huber hat am Aktienmarkt Pech gehabt - die von ihm zu 33 gekaufte Aktie der Gimmicks AG notiert heute nur noch zu 15. Daraufhin beschließt er, eine Verkaufsoption (Put) zu erwerben, die ihm gestattet, in einem Jahr seine Aktie zum Einkaufspreis (33 ) zu verkaufen (damit hätte er offenbar seine Verluste kompensiert). Nach langem Suchen findet er in Moser einen passenden und zum Handel bereiten Optionsverkäufer. Daten: (risikoloser) Marktzinssatz: 5% p.a.; Volatilität der Gimmicks-Aktie: 20% p.a. i) Ermitteln Sie die Put-Prämie, die Huber für diese Option bezahlen muss und geben Sie daraufhin eine (kritische) Würdigung von Hubers Verlust-Kompensations-Strategie. ii) Angenommen, die Gimmicks-Aktie werde als extrem flatterhaft" eingestuft - erwartete Volatilität 85% p.a. Wie ändert sich die Put-Prämie und damit Hubers Situation? 12

13 Quelle Tietze, J. (2011) : Einführung in die Finanzmathematik - Klassische Verfahren und neuere Entwicklungen: Effektivzins- und Renditeberechnung, Investitionsrechnung, Derivative Finanzinstrumente, Wiesbaden, S

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15 Lösungen 15

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