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1 Tchnisch Univrsiä Drsdn - Fakulä Wirschafswissnschafn - CAPM-basir Opionsbwrung Dr Erklärungsghal dr Risikoprämi für di Pris dr DAX-Calls an dr Eurx Dissraionsschrif Zur Erlangung ds akadmischn Grads ins Dr. rr. pol. dr Wirschafswissnschafn vorglg von Diplom-aufmann Mik Pla bru durch Profssor Dr. Alxandr armann Drsdn im April 999

2 Inhalsvrzichnis Inhalsvrzichnis EINLEITUNG.... Moivaion.... Aufbau dr Arbi... BEGRIFFLÄRUNG Grundbgriff dr Opionn Ursprüng dr Opionn Ursprüng dr Opionsbwrung Risiko Brücksichigung ds Risikos in dn Wirschafswissnschafn Risikomssung Erwarungsnuzn ichrhisäquivaln und Risikoprämi Risikoavrsion, Risikonuraliä und Risikofrud Mssung dr Risikoavrsion DA CAPITAL AET PRICING MODEL (CAPM) Modllannahmn Einduigki ds µ--prinzips Vrilungsyp dr urs Opimirungsproblm ds apialanlgrs Ermilung ds Porfoliowrs, ds Erwarungswrs und dr Varianz Ermilung dr opimaln Anlagnschidung Implikaionn Hrliung dr Grundglichung ds CAPM Bwrung von Wrpapirn mi dm CAPM Glichgwichig Lag im µ--diagramm Empirisch Übrprüfung Modllkriik Wirnwicklung ds CAPM DA BLAC-CHOLE-OPTIONBEWERTUNGMODELL Einliung Hrliung dr originaln Black-chols-Forml Rchnbispil Wirnwicklungn - Di lass dr ARCH-Modll RITI AM BLAC-CHOLE-MODELL riik dr Modllannahmn Logarihmisch Normalvrilung dr Akinkurs Zikoninuirlichki dr Logarihmischn Normalvrilung igki dr Vrilung onsanz dr Vrilungsparamr onsanz ds Zinssazs Ausschluß von urn Ausschluß von Transakionskosn I -

3 CAPM-basir Opionsbwrung 5. riisch Würdigung dr Modllimplikaionn Markräumung Problm nidrigr Ausübungspris Rückwirkung ds Modlls auf dn Erwarungswr dr Rndi Auswirkung dr Risikonuraliä dr Markilnhmr Rückwirkung ds Modlls auf di Varianz dr Rndi Pu-Paradoxon riik am Arbirag-onzp Effkiviä ds Arbiragprozsss Gringr Wbwrb dr Arbiragur Lrvrkaufsbschränkungn osndckung ds Arbiraggwinns Opporuniäskosn dr Arbiragur Volailiy mil Das onzp dr implizin Volailiä Arbiragmöglichkin unr Volailiy mil riik an dr Hrliung Rsüm dr Modlkriik CAPM-BAIERTE OPTIONBEWERTUNG Einliung Das Grundmodll Bispil zur Opionsbwrung mi dm Grundmodll Di Modllvrsionn Ers Modllvrsion (B) Zwi Modllvrsion (CAPM) Ers Varian (CAPM) Zwi Varian (CAPM) Dri Varian (CAPM3) Empirisch Übrprüfung Auswrung dr Modllkriik Vorbmrkung Linar Rgrssion Milwrvrglich Auswrung nach Laufzin onrollvariabln Umsaz Opn Inrs Brücksichigung ds Innrn Wrs Fazi Rsüm dr mpirischn Unrsuchung Abgrnzung zum Jarrow-Madan-Modll riik an dr CAPM-basirn Opionsbwrung Logarihmisch Normalvrilung onsanz und nnnis dr Vrilungsparamr Einduigki ds Nuzns Markporfolio Möglichki ngaivr Pris Empirisch Übrprüfbarki Möglichki dr Nich-Arbiragfrihi Akzpanz ds Modlls REÜMEE II -

4 Inhalsvrzichnis 8 ANHANG Vrilungsparamr dr logarihmischn Normalvrilung Erwarungswr dr ln-normalvrilung Varianz dr ln-normalvrilung Abliungn dr Black-chols-Forml Ers Abliung nach Zwi Abliung nach Ers Abliung nach DAX-Rndin Arbiraggwinn bi (5-5) für ausgwähl Paramr Abliung dr Opionsbwrungsforml (5-5) Ers Abliung nach Zwi Abliung nach Ers Abliung nach Vrilungsparamr dr Opionsauszahlungn Erwarungswr dr Auszahlung inr Opion Varianz dr Auszahlung inr Opion orrlaion dr Auszahlung inr Opion mi dm Undrlying Hrliung dr Vrilungsparamr dr Pu-Auszahlungn Erwarungswr dr Pu-Opionn Varianz dr Pu-Opionn orrlaion dr Pu-Opionn Arbiragmöglichki durch di Pu-Call-Pariä Ergbniss dr mpirischn Unrsuchung Rgrssionsanalys olmogorov-mirnov-anpassungss Wilcoxon-Ts Auswrung dr Prognosfhlr nach Laufzin Auswrung dr sonsign Einflußgrößn Vrglich dr Prognosqualiä am konkrn Bispil LITERATURVERZEICHNI III -

5 CAPM-basir Opionsbwrung Abbildungsvrzichnis -: ichrhisäquivaln und Risikoprämi im diskrn und sign Fall : Risikoavrsion vrschidnr Nuznfunkionn (unrschidlich rümmung)... -3: Risikoavrsion vrschidnr Nuznfunkionn (unrschidlich igung)... 3-: Brnoulli-Nuzn unrschidlich vrilr Zahlungssröm : Vrilung dr Zahlungssröm ds Bispils : Vrglich: Normalvrilung und logarihmisch Normalvrilung : Opimal Porfolios bi unrschidlichr Risikoavrsion : Lag ins Wrpapirs im µ--diagramm : chnipunk dr Prisgradn mi dr Grundglichung ds CAPM : Modllhorischr und mpirisch vorgfundnr Risiko-Errag-Zusammnhang : Risikordukion bi naivr Divrsifikaion (BRD Mai - Juni 989) : onvrgnz ds GARCH(,)-Prozsss ds DAX ggn di log-normalvrilung : riik am Black-chols-Modll : Dichfunkion ds DAX-urss in 5 Jahrn bi logarihmischr Normalvrilung : Abhängigki ds Hdgporfoliowrs vom Ausübungspris : Opionn mi unrschidlichm µ bi sons idnischn Paramrn : daurhaf Arbiragmöglichki am apialmark am Bispil dr implx-opionn 8 5-6: Prisbildung am Opionsmark : Implizi Volailiän dr Eurx-DAX-Calls am mi Fälligki März : Volailiy mil nsprchnd (4-4) bi : Errag aus dr Umszung dr Volailiy mil-arbiragsragi : Übrsich übr di Modllvrsionn und variann... 6-: Darsllung ds Bispils zum Grundmodll im E(r)-d(r)-Diagramm : Darsllung ds Bispils zur rsn Modllvrsion im E(r)-d(r)-Diagramm : Darsllung ds Bispils zur zwin Modllvrsion im E(r)-d(r)-Diagramm : DAX-Prognosn für End 998 bi inm DAX-and von rund : Eignschafn dr rlaivn Prognosfhlr : Eignschafn dr Absoluwr dr rlaivn Prognosfhlr : Einfluß ds Ausschlusss inigr Ausübungspris auf di Prognosgü : Rlaivr Prognosfhlr in Abhängigki vom Ausübungspris : nnzahln dr Rgrssionsanalys : Hisogramm dr Prognosfhlr dr inzlnn Modll... 6-: Ergbniss ds Wilcoxon-Tss für dn Prognosfhlr : Ergbniss ds Wilcoxon-Tss für dn Brag ds Prognosfhlrs : Auswrung dr rlaivn Prognosfhlr nach Laufzin : Rlaivr Prognosfhlr bi lassifizirung in Emission, Rückkauf und Nullmission4 6-6: rlaivr Prognosfhlr ds Ziwrs, all Opionn : rlaivr Prognosfhlr ds Ziwrs, nur Im-Gld-Opionn : Empirisch vorgfundns Volailiy mil, idalisir dargsll : Prakisch Anwndung ds Jarrow-Madan-Modll : Iso-Priskurv im Jarrow-Madan-Modll : Arbiraggwinn aus dr Umszung dr Pu-Call-Arbirag für vrschidn µ : Arbiraggwinn aus dr Umszung dr Pu-Call-Arbirag für vrschidn : Arbiraggwinn aus dr Umszung dr Pu-Call-Arbirag für vrschidn : Ausübungspris-Markpris-Zusammnhang ds Black-chols-Modlls : Ausübungspris-Markpris-Zusammnhang ds CAPM-basirn Modlls IV -

6 ymbolvrzichnis ymbolvrzichnis α Risikoavrsionsmaß µ Vrilungsparamr Erwarungswr Vrilungsparamr andardabwichung ρ orrlaion A Auszahlung a ngaiv Grnzra dr ubsiuion von Varianz und Erwarungswr b sichr invsirr Brag C Pris inr Call-Opion E(..) Erwarungswr Eulrsch Zahl EN(..) Erwarungsnuzn f(..) Dichfunkion i sichrr Zinssaz, Banknschribwis urs ds Undrlyings zum Zipunk urs zum Zipunk λ Pris dr Arrow-Dbru-Wrpapir m Erwarungswr dr sign Rndi (nur in apil 4.) µ Erwarungswr N(d) andardnormalvrilung von d P Wr ins Wrpapirs odr Porfolios p(..) Einriswahrschinlichki p M Markpris ds Risikos p Prisvkor RP Risikoprämi r n Rndi Ausübungspris A ichrhisäquivaln d(..) andardabwichung andardabwichung dr Rndi Rslaufzi inr Opion u(), U() Nuznfunkion V Wrpapirmarix Var(..) Varianz v andardabwichung dr sign Rndi (nur in apil 4.) w Opionspris (nur in apil 4.) w Vrmögn zum Zipunk x Ralisaion dr Zufallsvariabl X, in 4. urs ds Undrlyings x n in di Anlag n invsirr Brag X Zufallsvariabl - V -

7 CAPM-basir Opionsbwrung - VI -

8 Einliung. Moivaion Einliung Di von Black und chols aufgsll Thori dr Opionsbwrung sll in dr rfolgrichsn Anwndungsgbi dr Mikroökonomi dar. Di von ihnn hrgli Opionsbwrungsforml wurd unmilbar nach ihrr Publikaion von Opionshändlrn ingsz und wird sidm wlwi angwnd. Für di Hrliung disr für di apialmarkhori bahnbrchndn Forml wurdn ihr Erfindr 997 mi dm Noblpris für Wirschafswissnschafn ausgzichn. Dn Grundgdankn ds Opionsbwrungsmodlls sll di chaffung ins Hdgporfolios aus inr Aki und inr illhalrposiion in Call-Opionn auf dis Aki dar. Di Anzahl dr Opionn wird dabi so gwähl, daß dr Wr ds Porfolios unabhängig von ursändrungn dr Aki is. Dadurch is das Hdgporfolio risikolos und muß mi dm sichrn Zinssaz vrzins wrdn, da andrnfalls Arbirag möglich wär. Aus dr Wrändrung ds Hdgporfolios könnn bi Güligki dr Annahmn ds Black-chols-Modlls dijnign Abliungn dr Opionsbwrungsforml rmil wrdn, di di Arbiragfrihi ds Hdgporfolios garanirn. Mi Hilf dr Arbiragfrihisbdingungn für di Abliungn dr Opionsprisforml is s möglich, di ignlich Opionsbwrungsforml zu rmiln. Wnn dr Opionspris am Mark von dm horisch rmiln Wr abwich, is Arbirag möglich, indm das Hdgporfolios ghaln bzw. lrvrkauf wird. Disr Arbirag-Prozß sorg in dr Modllwl von Black-chols dafür, daß di Arbiragglgnhi vollsändig abgbau wird, so daß sich nach inr gwissn Zi widr dr horisch Opionspris insll. Dadurch wird in Opionsbwrung rmöglich, di unabhängig von dn Risikoinsllungn dr Markilnhmr is. Di modllhorisch Übrlgnhi ds Black-chols-Modlls ggnübr andrn onzpn zur Opionsbwrung, di spzill Fordrungn an di Nuznfunkion dr Markilnhmr (z.b. Risikonuraliä odr bsimm Arn risikoavrsr Nuznfunkionn) slln, bruh darin, daß das Black- chols-modll für all Nuznfunkionn mi posiivr Abliung nach dm Endvrmögn gil. Dis Eignschaf dr Nuznfunkion, dr srng posiiv Grnznuzn von Gld, is in dn Wirschafswissnschafn unumsrin, so daß das Black-chols-Modll bzüglich dr Annahmn zur Nuznfunkion das allgmingülig Modll darsll. Andr Anfordrungn ds Black-chols-Modlls sind hinggn dulich unralisischr. Einig Modllannahmn (z.b. di sig ursnwicklung, di uningschränkn Lrvr- Bühlr (996) - -

9 CAPM-basir Opionsbwrung kaufsmöglichkin odr di Transakionskosnfrihi) sind an kinr Börs dr Wl rfüll. Di Vrlzung disr Modllannahmn bsiz abr, wi spär noch gzig wrdn wird, rhblich Auswirkungn auf di Güligki ds Modlls. Dswgn könnn bi dr Anwndung ds Black-chols-Modlls zur Opionsbwrung an raln Börsn ilwis rhblich Fhlr aufrn. Dis kann rklärn, warum di Erfindr ds Modlls nich in dr Lag warn, ihr Wissn um dn wahrn Opionspris zur Erzilung übrdurchschnilichr Rndin durch di Ausnuzung fhlbprisr Opionn inzuszn. Trozdm wird das Modll mangls bssrr Alrnaivn von alln führndn Markilnhmrn zuminds zur Ermilung ins Richpriss für dn fairn Opionspris angwnd. Ein Größ ds Black-chols- Modlls, di implizi Volailiä ds Undrlyings, ha bi dr urssllung im Inrbanknhandl milrwil sogar di Prisfunkion übrnommn, und si 998 is s mils ds VOLAX sogar möglich, Trminkonrak auf di implizi Volailiä ds DAX abzuschlißn. 3 Di Vrlzung dr Modllannahmn an raln Börsn bsiz so gravirnd Auswirkungn auf di Funkionswis ds Arbiragprozsss, daß dr Arbiragprozß slbs nich garanirn kann, daß sich in Opionspris in dr Näh ds vom Black-chols-Modll vorhrgsagn Priss insll. Dswgn wird in disr Arbi - ausghnd von allgminrn Annahmn - in auf dm CAPM basirnds Opionsbwrungsmodll hrgli, wlchs das Black-chols-Modll immr noch als pzialfall nhäl, abr gnaur Prognosn für dn fairn Opionspris rmöglich.. Aufbau dr Arbi Im zwin apil wrdn di in disr Arbi vrwndn Grundbgriff dr Opionn dargsll. Anschlißnd wrdn di Gschich und Enwicklung dr Opionn und dr Opionsprishori bschribn. Dr lz Til ds apils is dm Risikobgriff gwidm. Darin wird di hisorisch Enwicklung dr Brücksichigung ds Risikos in dn Wirschafswissnschafn umrissn. Danach solln onzp zur Mssung ds Risikos vorgsll und wichig Bgriff wi ichrhisäquivaln und Risikoprämi rklär wrdn. Abschlißnd wrdn das onzp ds Erwarungsnuzns rläur sowi dr Einfluß ds Risikos auf di Nuznfunkionn dr Markilnhmr unrsuch. 3 zum VOLAX vgl. auch Roh (998) Di Einführung ds VOLAX muß allrdings aus huigr ich wgn dr spärlichn Umsäz als Mißrfolg gwr wrdn. - -

10 Einliung Im drin apil rfolg di Hrliung ds CAPM als Nuznopimirungsproblm ds apialanlgrs. Anschlißnd wird das onzp dr Wrpapirbwrung mi Hilf ds CAPM dargsll und auf di horisch und prakisch Übrprüfbarki ds CAPM mils mpirischr Unrsuchungn inggangn. Danach wrdn in dm apil di riikpunk ds CAPM analysir und Wirnwicklungn ds ursprünglichn Modlls vorgsll. Im virn apil wird - ausghnd von inm Hdgporfolio, das aus inr Aki und illhalrposiionn in dr Opion bsh - das Opionsbwrungsmodll von Black und chols hrgli. Es wird gzig, daß di rsn Abliungn dr Opionsbwrungsforml nach dr Zi und dm Akinkurs sowi di zwi Abliung nach dm Akinkurs asächlich dr Arbiragfrihisbdingung nsprchn. Abschlißnd wird auf di ARCH-Modll als Wirnwicklungn ds Black-chols-Modlls inggangn. Im fünfn apil wrdn di riikpunk am Black-chols-Modll analysir, wobi di Argumn für das Nichfunkionirn ds Arbiragprozsss in dr raln Wl inn chwrpunk darslln. Im Anschluß daran wrdn das onzp dr implizin Volailiä sowi das Phänomn ds Volailiy mil vorgsll. Im schsn apil wird in auf dm CAPM bruhnds Opionsbwrungsmodll nwikkl. Diss Grundmodll nhäl dabi immr noch das Black-chols-Modll als pzialfall. Für di Anwndbarki ds Modlls is abr di nnnis dr gnaun Paramr ds Zufallsprozsss, dr di ursnwicklung bschrib, rfordrlich. Da di Minung dr Markilnhmr übr dis Paramr am Mark nich dirk gmssn wrdn kann, is in dirk mpirisch Übrprüfung ds Modlls nich möglich. Dswgn wird das Modll modifizir, indm zusäzlich di Modllannahm ingführ wird, daß dr Erwarungswr ds Wachsums aus am Mark öffnlich vrfügbarn Dan (hisorisch urs und Umfragn) rmil wrdn kann. Mi Hilf disr Modllvariann könnn aus dm urs dr Am-Gld-Opion di Vrilungsparamr µ und dr ursnwicklung ds Undrlyings rmil wrdn, wodurch di mpirisch Übrprüfung gwährlis wird. Als Bnchmark für dn mpirischn Vrglich din dann das Black-chols-Modll. Das Ergbnis dr mpirischn Unrsuchung blg, daß das im Rahmn disr Arbi nwickl CAPM-basir Opionsbwrungsmodll mi signifikan gringrn Fhlrn als das Black-chols-Modll bhaf is. Im sibnn apil rfolg in Rsüm dr Ergbniss disr Arbi

11 CAPM-basir Opionsbwrung Bgriffsklärung. Grundbgriff dr Opionn Unr inr Opion wird im finanzwirschaflichn inn...das zilich bfris Rch auf Abwicklung inr Transakion zu inm bsimmn Pris... 4 vrsandn. Dr Ggnsand, dr dm Opionsgschäf zugrund lig, is di Basis odr das Undrlying dr Opion. Dr Inhabr ds Opionsrchs wird als Opionsnhmr odr äufr dr Opion und dr Vrkäufr ds Opionsrchs wird als illhalr dr Opion bzichn. Is di Ausübung ds Opionsrchs nur am End dr vrinbarn Fris, dm Fälligkisag dr Opion, möglich, dann handl s sich um in uropäisch Opion. Bi amrikanischn Opionn daggn is di Ausübung ds Opionsrchs durch dn Opionsinhabr währnd dr gsamn Laufzi möglich. In disr Arbi wrdn ausschlißlich Opionn uropäischn Typs brücksichig, da das Black-chols-Modll nur für si nwickl wurd und an dr Eurx (vormals Dusch Trminbörs DTB) auch nur dis ghandl wrdn 5 und di mpirisch Übrprüfung dr Opionsbwrungsmodll auf Basis dr an dr Eurx rmiln urs dr Opionn auf dn Duschn Akinindx (DAX) rfolg. 6 Dr bi Abschluß ds Opionskonraks vrinbar Pris, zu dm di Transakion safind, wird Ausübungs- odr auch rikpris () gnann. In dr übrwigndn Mhrzahl dr Opionsvrräg und bi alln an dr Eurx ghandln Opionn is disr in konsan Größ. Ldiglich in pzialfälln is dr Ausübungspris in von xognn Fakorn abhängig Funkion. 7 Di Unrsuchungn in disr Arbi bschränkn sich jdoch auf konsan Ausübungspris. Bsiz dr Opionsnhmr das Rch, das Undrlying zum Ausübungspris zu kaufn odr abr in Zahlung in Höh dr Diffrnz zwischn dm urs ds Undrlyings am Ausübungsag und dm Ausübungspris zu rhaln, dann handl s sich um in aufopion, di auch als Call bzichn wird. Im Ggnsaz dazu bsiz dr äufr inr Vrkaufsopion odr ins Pus das Rch, das Undrlying zum Ausübungspris zu vrkaufn odr abr in Zahlung in Höh dr Diffrnz zwischn dm Ausübungspris und dm urs ds Undrlyings Woll (99,. 59) Loisl (99,. 3) Wnn währnd dr Laufzi inr aufopion kin Dividnd gzahl wird, so nsprich dr Wr inr amrikanischn aufopion dm Wr inr glich ausgsan uropäischn aufopion. Zum Bwis vrglich Mron (973,. 56 ff.). Bi Vrkaufsopionn hinggn bsiz das Rch auf vorziig Ausübung auch bi Ausschluß von Dividndnzahlungn inn Wr, wswgn di Pris amrikanischr Vrkaufsopionn übr dnn uropäischr lign. Zur Bwrung ds Rchs auf vorziig Ausübung bi Vrkaufsopionn vrglich auch Pruß (993, )

12 Bgriffsklärung am Ausübungsag zu rhaln. 8 Di Unrsuchung in disr Arbi bschränk sich ldiglich auf di Bwrung von Call-Opionn, da di Pris von Pu-Opionn wgn dr Pu-Call- Pariä aus dn Prisn dr glichlaufndn Call-Opionn auf das glich Undrlying bsimm wrdn könnn. 9 Nach Ar ds Opionsvrrags wrdn Opionn unrschidn in Opionn mi physischr Lifrung ds Undrlyings und in Opionn mi Barausglich, bi dnn ldiglich di Diffrnz aus Ausübungspris und Markpris ds Undrlyings ausbzahl wird, ohn daß in Lifrung rfolg. Für di Opionsbwrung spil dis Unrschidung kin Roll, da di Prisrmilung ss rin wrmäßig rfolg und di Wr bi Vrnachlässigung von Transakionskosn idnisch sind. Di Opionskonrak mi asächlichr Lifrung wrdn in dr Rgl dann bvorzug, wnn dr asächlich Erwrb odr Vrkauf ds Undrlyings Zil ds Opionskonraks is. Opionsvrräg wrdn daggn mi Zahlung als Barausglich ausgsa, wnn di physisch Lifrung wi z.b. bi Indxopionn nich rfolgn kann, da das Undrlying nich vorlig, odr abr wnn di physisch Lifrung ds Opionsggnsands nich rwünsch is. Dis is insbsondr bi ragin zur Risikoabsichrung und bi rinn pkulaionsgschäfn dr Fall.. Ursprüng dr Opionn Vrräg mi Opionscharakr slln si Jahrausndn inn Bsandil dr Gschäfsbzihungn dr Mnschn unrinandr dar. chon in dr Bibl sind Opionsgschäf rwähn. o rhil Jakob di (uropäisch) Opion gschnk, für 7 Jahr Fldarbi di schön Rahl hiran zu dürfn. 3 Lidr is dis abr auch dr rs vrbürg Fall, in dm dr illhalr sin Vrpflichungn aus dm Opionskonrak nich inghaln ha. 4 7 Zu Anwndungsbispiln und zur Bwrung von Opionn mi vrändrlichn Ausübungsprisn vrglich auch Fischr (978), Margrab (978), ulz (98) und Johnson (987). 8 Loisl (99,. 98) 9 zur Pu-Call-Pariä vrglich auch oll (969,. 8-84), Copland/Wson (99,. 5 ff.) und Loisl (99,. 33 ff.) o kann zum Bispil in Duschland ins dr Moiv für dn illhalr inr aufopion dr Vrkauf ds Undrlyings nach Ablauf dr pkulaionsfris sin. Dr illhalr rzil bi Wahl ins shr nidrign Ausübungspriss quasi inn Trminvrkauf. Di Bibl, Als Tsamn,. Buch Moss, 9. apil: Jakob din um La und Rahl Thologn und Gschichswissnschaflr mögn inwndn, daß Jakob moralisch nich das Rch ha, di Hochzi auszuschlagn, wnn ihm sin Brau bi Fälligki dr Opion nich mhr gfil. In dism Fall würd s sich nich um in Opionsgschäf, sondrn um inn Trminkonrak handln. 3 Ein Bsondrhi diss Opionskonraks is, daß dr Ausübungspris nich bi Fälligki, sondrn koninuirlich in Form dr glisn Fldarbi gzahl wird. Wird Jakob im Fall dr Nichausübung für sin Arbi nich nlohn, so bsiz di Opion zum Zipunk dr Fälligki dn Ausübungspris von Null. 4 Jakob wurd brogn, indm r ansll dr vrsprochnn Rahl ihr wnigr anmuig chwsr La rhil

13 CAPM-basir Opionsbwrung Di Opionsvrräg in dr Gschich slln größnils Gwinnbiligungn an krigrischn Projkn, Erobrungs- odr Endckungsfahrn dar. o wis dr aprbrif ds ir Francis Drak bnso wi das Chrisoph olumbus für di Endckung ds wslichn wgs nach Indin vrsprochn Rch auf di Vizkönigswürd in dn nu robrn Ländrn inn induign Opionscharakr auf. Abr auch im fridlichn Handl wurdn Gschäf mi Opionscharakr gäig. o slln zum Bispil di Gwinnbiligungn an Handlsfahrn dr Hans Opionn dar. Di übrwignd Mhrhi dr Opionsgschäf in dr Gschich warn in dr Rgl nich übrragbar, wswgn in Handl mi disn Opionsrchn nich rfolgn konn. Aus dism Grund spil di Bsimmung ds fairn Wrs dr Opionn bis zum Bginn unsrs Jahrhundrs ldiglich in unrgordn Roll. Di Opionn in ihrm huign inn als handlbar Opionsrch auf Wrpapir, Währungn, Rohsoff odr Indizs nwickln sich aus dn Wandl- und Opionsanlihn, drn Ursprüng sich bis in di 6r Jahr ds 9. Jahrhundrs zurückvrfolgn lassn. 5 Ursach dr zunhmndn Vrbriung dr Opionsanlihn war di asymmrisch Biligung dr Frmdkapialgbr am Unrnhmnsrfolg. Währnd di Frmdkapialgbr an inr gun Gschäfsnwicklung nur in Höh ihrr Frmdkapialzinsn profiirn, warn si bi inr schlchn Gschäfsnwicklung durch dn möglichn Vrlus ihrs ingszn apials voll bilig. Durch di Bgbung von Opionsanlihn konnn di Frmdkapialgbr durch das Opionsrch auch an dr gun Gschäfsnwicklung parizipirn, währnd glichziig di osn dr Frmdfinanzirung für das Unrnhmn sankn, da Opionsanlihn wgn ds zusäzlichn Opionsrchs in nidrigr Vrzinsung als Anlihn ohn Opionsrch aufwisn. Durch di Möglichki, das Opionsrch von dr Anlih physisch zu rnnn, konnn sich aus dn kundärmärkn für di Opionsrch di huign Opionsmärk nwickln. Dis Märk vrzichnn in sark Eigndynamik, di durch di Erlichrung ds Opionshandls aufgrund dr Forschri in dr Compurchnologi noch zusäzlich vrsärk wurd. Wi sark das Wachsum is, wird daran dulich, daß sich dr Handl mi Akinindxopionn in dn UA allin in dn 3 Jahrn von 983 bis 985 vrnunfach. 6 5 Zimr (99,. 5) 6 Blank (99,. 5) - 6 -

14 Bgriffsklärung.3 Ursprüng dr Opionsbwrung Mi dr zunhmndn Vrbriung von Opionn war di Frag nach dm fairn Opionspris vrbundn. Bvor di hu xisirndn Opionsprismodll nwickl wurdn, konnn di gäign Gschäf mi Opionscharakr nur mi Hilf ds Erwarungswrs dr Auszahlung dr Opion, dr anschlißnd noch mi inm Risikozuschlag diskonir wurd, bwr wrdn. Doch schon allin di Bsimmung ds Erwarungswrs dr Opionsauszahlung war mi großn Problmn bhaf. Als rsr Milnsin auf dm Gbi dr Opionsbwrung gil zwifllos das Opionsbwrungsmodll von Luis Bachlir 7 im Jahr 9. In sinr Dissraion Thori dr pkulaion lg r mi dm aus dr Thrmodynamik übrnommnn Random-Walk-onzp dn Grundsin für di noch hu akzpirn Vrilungsannahmn für Wrpapir in dr apialmarkhori. Glichziig formulir r in für di damalig Zi rvoluionär Glichgwichsbdingung für Wrpapir, indm r posulir, daß di pkulaion auf dm Mark dafür sorg, daß dr Erwarungswr inr pkulaion Null sin muß. Ausghnd von disn Modllannahmn nwickl Bachlir dann sin Opionsbwrungsforml. Di Arbin von Bachlir fandn abr wdr an dn Finanzmärkn Anwndung, noch wurdn si in dr Wissnschaf bach. Dr Gdank, daß sich Wissnschaflr noch dazu Mahmaikr mi so was Absurdm wi Finanzmärkn bschäfign, wurd zur damalign Zi als shr abwgig mpfundn. Di Finanzmärk galn nach damaligr ökonomischr Thori ldiglich als monärr Übrbau dr raln Wirschaf, so daß ihnn aus wirschafswissnschaflichr ich kin Bduung zugmssn wrdn konn. Das Modll von Bachlir gri in Vrgssnhi und wurd rs 5 Jahr spär pr Zufall widrndck. 8 Ers in dn 5r Jahrn fandn Opionn widr das Inrss dr Wissnschaf. Vrsuch, di Opionsprisforml mils inr Rgrssionsanalys rmiln zu könnn (ruiznga, Bonss), warn aufgrund dr damalign rchnchnischn Möglichkin nur von gringm Erfolg gkrön. Insbsondr dr Umsand, daß damals nur di Rchnr ds Miliärs in dr Lag warn, di rfordrlichn Brchnungn durchzuführn, mach inn prakischn Einsaz zur Opionsbwrung an dn Börsn unmöglich. 7 Bachlir (9, [964]) 8 Brnsin (99,..) - 7 -

15 CAPM-basir Opionsbwrung Ein nus horischs onzp zur Opionsbwrung kam in dn 6r Jahrn mi dm igszug ds CAPM auf. prnkl nwickl 96 in Opionsbwrungsmodll auf Basis ds CAPM, das auf Risiko-Errags-Übrlgungn bruh. Ausghnd von inm Random- Walk-Prozß dr ursnwicklung dr Wrpapir unrsll prnkl, daß di rlaivn ursändrungn normalvril sin. Dis rmöglich ihm di xak Bsimmung ds Erwarungswrs dr Opionsauszahlungn. Als Risikomaß zur Bsimmung ds Diskonfakors, dr aus dm Erwarungswr dn fairn Opionspris rmil, vrwnd prnkl - dm damalign and dr Informaionschnologi gschuld - abr nich di andardabwichung dr Opionsauszahlungn, sondrn dn rlaiv infach zu rmilndn Hbl dr Opion, obwohl ihm di Arbin von Markowiz durchaus bkann warn. Troz sinr bachlichn Ergbniss konn sich prnkls Opionsbwrungsmodll in dr Praxis nich durchszn, da sin prakisch Umszung für di Erfordrniss dr Markilnhmr vil zu aufwndig war. Das im Rahmn disr Arbi nwickl Modll vrsh sich als in dirk Wirnwicklung ds prnkl-modlls unr Vrwndung dr andardabwichung als korrkm Risikomaß. Ausghnd von dr mi dm CAPM kompaibln Übrlgung zur Nuznfunkion dr Wirschafssubjk, daß di rwar Rndi aus dm Haln inr Opion größrglich sin muß, als di rwar Rndi ds Undrlyings, nwickl amulson sin Modll zur Brchnung ins Mindspriss inr Opion. Dr Erwarungswr dr Rndi aus dm Haln dr Opion wurd dabi von amulson für jd inzln Opion als xogn ggbn angnommn. Dr nschidnd Unrschid ds im Rahmn disr Arbi nwickln Opionsbwrungsmodlls zum amulson-modll bsh darin, daß ansll ds xogn vorggbnn Wrs dr Erwarungswr dr Rndi aus dm Haln dr Opion ndogn aus dn übrign Modllparamrn rmil wird. Paralll zu dn auf CAPM-Übrlgungn bruhndn apialmarkmodlln wurd zu disr Zi das Modll zusandsbdingr Wrpapir hrgli, aus dm dann spär das Arbirag-Pricing-Thori-Modll (APT-Modll) nwickl wurd. Obwohl diss Modll zunächs ignlich kin dirk Vrbindung mi dr Opionsprisbwrung bsiz, rmöglich s, dn Opionspris unabhängig von dn Einriswahrschinlichkin und dami unabhängig vom Erwarungswr dr Opionsauszahlung und somi auch unabhängig von dr Vrilungs- 9 amulson (965) Vrilungsparamr ds Undrlyings, sichrr Zinssaz und Aussaungsmrkmal dr Opion zum Modll zusandsbdingr Wrpapir vrglich Truxius (98, 44-9), rong/walkr (987,. 8-49) sowi Eichbrgr/Harpr (997,. 95-4) zum APT vgl. Chn (983), Hubrman (98) und Ingrsoll (984) - 8 -

16 Bgriffsklärung funkion dr Opionsauszahlung zu rmiln, da andrnfalls in dm Modll Arbirag möglich wär. Wichn di Pris dr Opion von dm arbiragfrin, fairn Pris ab, führ di Umszung dr Arbiragsragi zu inm Übrschußangbo bzw. zu inr Übrschußnachfrag nach inm odr mhrrn Wrpapirn. Diss Markunglichgwich wird dann allin durch in Anpassung dr Wrpapirpris ausgglichn, so daß di Arbiragglgnhi nach inr gwissn Zi vollsändig abgbau wird. Dr rsmals im Modll zusandsbdingr Wrpapir formulir Gdank, daß dr Pris von Opionn induig aus dn Prisn dr übrign Wrpapir hrgli wrdn kann, indm mi Hilf dr andrn Wrpapir di Auszahlungssrukur dr Opion nachgbild wrdn kann, wird im Rahmn disr Arbi als Arbiragkonzp bzichn. Das Arbiragkonzp zur Opionsbwrung dominir sidm di Opionsprishori, währnd di ignlich grundlgndn Größn bi dr Bwrung dr Akiva - dr Erwarungswr und di Varianz dr Auszahlung - kaum noch in Roll spiln. Das onzp dr Opionsbwrung auf Basis dr Bdingung dr Arbiragfrihi wurd von Black und chols 973 auf di dr Raliä särkr nsprchnd dynamisch Modllwl logarihmisch normalvrilr Akinkurs übrragn. Di Hrliung dr Opionsbwrungsforml im Black-chols-Modll rfolg dabi übr in Hdgporfolio aus inr Aki und illhalrposiionn in dr Opionn. Da diss Porfolio bi Güligki dr Modllannahmn risikolos is, muß s mi dm sichrn Zinssaz vrzins wrdn, um di Arbiragfrihi zu gwährlisn. Dadurch is di induig Bsimmung ds Opionspriss als Lösung inr Diffrnialglichung möglich. Dr Arbiragprozß bi abwichndn Opionsprisn garanir in dism Modll in Opionsbwrung, di unabhängig von dr individulln Risikonigung dr Markilnhmr is. 3 Das Grundkonzp ds Hdgporfolios im Black-chols-Modll war Basis zahlrichr Wirnwicklungn, di haupsächlich von dr logarihmischn Normalvrilung abwichnd Vrilungn dr ursnwicklung brücksichign, um di Bsondrhin dr ursbildung an dn Börsn im Opionsbwrungsmodll bssr abbildn zu könnn. Di Grundid dr arbiragfrin Opionsbwrung blib dabi abr wisghnd rhaln, so daß in dn huign Modlln wdr Erwarungswr und Varianz dr Opionsauszahlungn noch di Nuznfunkion dr Markilnhmr in rklärnd Variabl ds Opionspriss darslln. 3 ruschwiz (995,. 33) - 9 -

17 CAPM-basir Opionsbwrung.4 Risiko Währnd das Risiko inr Opion im Black-chols-Modll kinn Einfluß auf dn Opionspris bsiz - s gh nur di Volailiä ds Undrlyings in di Opionsbwrungsforml in - slln das Risiko inr Opion und di Bwrung diss Risikos in dr Nuznfunkion dr Markilnhmr in dm in disr Arbi nwickln Opionsbwrungsmodll wsnlich Drminann ds Opionspriss dar. Aus dism Grund solln si an disr ll ausführlich rläur wrdn. Wnn di zukünfign Ergbniss dr Akionn ins Enschidungsrägrs nich mi ichrhi inrn, so wird von unsichrn Enschidungn gsprochn. Zurückghnd auf nigh 4 könnn nach Bambrg/Connbrg 5 di Enschidungssiuaionn unr Unsichrhi unrschidn wrdn in Ungwißhissiuaionn, bi dnn di Vrilungsfunkion dr zukünfign Ralisaionn unbkann is, und in Risikosiuaionn, bi dnn di objkivn odr subjkivn Wahrschinlichkin ds Einrns dr vrschidnn Umwlzusänd bkann sind. Anlagnschidungn dr Wirschafssubjk findn nahzu immr unr Unsichrhi bzüglich dr Rndi dr Anlag - also unr Risiko - sa. Das Risiko inr apialanlag bsiz nbn dm Erwarungswr inn wsnlichn Einfluß auf di Enschidung ds Anlgrs, in dis Anlag zu invsirn odr nich, bzw. wnn r si bris bsiz, si wir zu haln odr zu vrkaufn. Di dusch Rchsprchung brücksichig dis Tasach zum chuz dr apialanlgr dami, daß in Duschland rdiinsiu nach 3 () WpHG9 dazu vrpflich sind, ihr undn übr das mi inr Gldanlag vrbundn Risiko aufzuklärn. Unrblib dis Aufklärung, hafn di rdiinsiu nach 83 BGB in vollm Umfang für dn dm undn aus dm Gschäf nsandnn Vrlus. Zahlrich bsondrs risikobhaf Gschäf wi z.b. Opions- und Trmingschäf sind nach 53 BörsG in Duschland sinwidrig und nach 89 BörsG unr Umsändn sogar srafbar 6, wnn di onrakparnr bsimm Mindsanfordrungn nich rfülln. Dis is insbsondr dann dr Fall, wnn si nich rmingschäfsfähig im inn ds BörsG sind. Di Trmingschäfsfähigki sz dabi insbsondr di nnnis ds mi disr Gschäfsar vrbundnn Risikos voraus. 7 4 nigh (9,. 9-) 5 Bambrg/Connbrg (994,. 6 ff.) 6 Frihissraf bis zu 3 Jahrn 7 Vrglich dazu auch das Grundsaz-Uril ds BGH (Aknzichn XI ZR 88/95) ziir im Handlsbla vom.6.996: Das BGH sll fs, daß undn schriflich, unmißvrsändlich und in auffälligr Form übr di Risikn von Trmingschäfn informir wrdn müssn. - -

18 Bgriffsklärung Is in apialanlag börsnnoir, rgib sich ihr Börsnkurs und dami auch ihr Pris aus dm Angbo und dr Nachfrag ds Wrpapirs an dr Börs. Da Angbo und Nachfrag ins Wrpapirs nbn dm Erwarungswr dr zukünfign Rückflüss vor allm von dr Einschäzung ds mi dr Anlag vrbundnn Risikos durch di Markilnhmr abhängn, bsiz das Risiko slbs inn dirkn Einfluß auf dn Markwr inr apialanlag. Nachfolgnd wird nun dr Risikobgriff im inn dr apialmarkhori nähr unrsuch..4. Brücksichigung ds Risikos in dn Wirschafswissnschafn Di Unsichrhi fand schon früh Eingang in di Wissnschaf. Di Ursprüng dr Thori zur Risikomssung richn mi dn Arbin von Brnoulli 8 bis ins 8. Jahrhundr zurück. Obwohl fas all Enschidungn dr Wirschafssubjk - insbsondr Enschidungn übr di Gldanlag - fas immr unr Unsichrhi übr di Zukunf und übr di mi disr Enschidung vrbundnn zukünfign Erräg - also unr Risiko - safindn, fandn di Arbin von Brnoulli rs vil spär Eingang in dn Brich dr Wirschafswissnschafn. arl Marx und Fridrich Engls 9 warn di rsn, di dn Einfluß ds Risikos auf wirschafswissnschaflich Thorin in ihrn Modllübrlgungn zur sozialisischn risnhori 3 brücksichign. Nach Marx/Engls unrlign Unrnhmr in inm markwirschaflichn ysm dm Risiko, daß di rs gplan und dann spär ralisir Produkion von dr asächlichn Nachfrag abwich, da di Unrnhmr übr ihrn Eignbdarf hinaus für Frmd und dami für unsichr Nachfragmngn produzirn. Übrsig di gplan Produkion di Marknachfrag, rsulirn daraus ökonomisch risn. Da in inm planwirschaflichn ysm zurs dr Bdarf rmil wird und danach di Gürprodukion nsprchnd ds Bdarfs rfolg, hrrsch nach Marx/Engls ichrhi übr di nachgfrag Gürmng. Nach dr Thori von Marx/Engls kann s aus dism Grund in inm planwirschaflichn ysm kin wirschaflichn risn gbn, wswgn s dm markwirschaflichn ysm lzndlich übrlgn si. Wi bi Marx/Engls wurd das Risiko lang Zi als Übrschrin ins kriischn Wrs odr abr als Abwichung ds rwarn Wrs von dr spär asächlich ingrnn Ralisaion vrsandn. o rklär Fishr dn Risikobgriff: 8 Brnoulli (738, [954]. 3-36) 9 vgl. z.b. Marx, arl (894,[97]) Gsz ds ndnzilln Falls dr Profira, 5. apil Enfalung dr innrn Widrsprüch,. 54) 3 zur sozialisischn risnhori vgl. auch osk/ling (98,. 8) - -

19 CAPM-basir Opionsbwrung Risk mans ha lar hr may b a wid discrpancy bwn h acual ralizaion and h original xpcaion. 3 Di Bschribung ds Risikos konn in dr damalign Zi nur qualiaiv rfolgn, wil saisisch Modll odr andr quaniaivn Mhodn bis dahin noch kinn Eingang in disn Til dr Wirschafswissnschafn gfundn han. o bschrib yns 3 für unsichr Invsmns das Phänomn dr Risikoprämi als: For if a vnur is a risky... {i} will lad h lndr o rquir a widr margin bwn wha h chargs and h pur ra of inrs in ordr o induc him o lnd. Währnd Hicks di Wirkung ds Risikos auf di Enschidung dr Wirschafssubjk als inn Abschlag vom Erwarungswr bschrib:...whn a risk is prsn, popl will gnrally ac, no upon h pric which hy xpc as mos probabl, bu as if ha pric had bn shif a lil in a dircion unfavourabl o hm. 33 Da di risikoavrsn Unrnhmr unr Prisrisiko von inm gringrn Vrkaufspris als dn Erwarungswr ausghn, bin si in gringr Gürmng als bi sichrn Erwarungn an, wswgn Hicks das Risiko als possibl sourc of was 34 bzichn. Di quaniaiv Brücksichigung ds Risikos in Modlln dr Finanzmarkhori bgann rs 95 mi dm Aufsaz von Markowiz 35, in dm r zig, daß s möglich is, durch Porfoliodivrsifikaion das Gsamrisiko ins Porfolios zu vrringrn, ohn dn rwarn Errag ds Porfolios zu mindrn. Ausghnd von dn horischn Grundlagn ds Markowiz-Modlls wurdn in dr nachfolgndn Zi vil Modll konsruir, drn Haupanlign in dr Ermilung ins Glichgwichs am apialmark bsand. Als bsondrs hrausragnd is hirbi das CAPM zu nnnn, das spär noch ausführlich vorgsll wrdn wird. Wir Unrsuchungn disr Zi bfaßn sich mi dr mahmaischn Ermilung dr in dn Nuznfunkionn dr Wirschafssubjk unrslln Risikoavrsionn. 3 Fishr (93,. 6) 3 yns (936,. 45) 33 Hicks (939,. 34) 34 Hicks (939,. 34) 35 Markowiz (95) - -

20 Bgriffsklärung i dm igszug ds CAPM in dr apialmarkhori is in großr Einfluß ds Trad- Off-Gdankns zwischn dn Paramrn Risiko und Errag in dn gsamn Wirschafswissnschafn fszuslln, da sich lzndlich jd ökonomisch Enschidung als Wahl dr opimaln Risiko-Errags-ombinaion inrprirn läß..4. Risikomssung Für di Dfiniion ds Risikos xisirn zwi alrnaiv onzp. Das rs is das in dr Wissnschaf - insbsondr in dr apialmarkhori - vrwnd onzp dr Mssung ds Risikos als Varianz bzw. andardabwichung ds Zufallsprozsss. Di Varianz Var(X) dr Zufallsvariabl X is dabi als umm (diskr Vrilung) bzw. unbsimms Ingral (sig Vrilung) allr mi ihrn Wahrschinlichkin gwichn, quadrirn Abwichungn dr Ralisaionn vom Erwarungswr: 36 N Var ( X) ( xn E( X) ) p( xn ) Var( X) ( x E( X) ) f ( x) dx n + (-) Für di Anwndungn auf dm Gbi dr apialmarkhori wrdn mi Ausnahm dr Thori dr zusandsbdingn Wrpapir di Ralisaionn dr urs in dr Rgl aus Vrinfachungsgründn als sig Ausprägungn brach, obwohl di Börsnkurs ignlich in diskr Zahlnmng darslln. 37 Bi dr Ermilung ds Risikos auf Basis von hisorischn ursn rfolg di Ermilung dr Varianz dr Rndin aufgrund dr diskrn Bobachungn dr ursändrungn mi dr Forml (-). Dis wissnschaflich onzpion ds Risikobgriffs als Abwichung vom Erwarungswr söß bi dr prakischn Anwndung of auf Problm, da posiiv Abwichungn vom Erwarungswr aufgrund dr Quadrabildung mi dm glichn Gwich wi ngaiv Abwichungn in das Risikomaß inghn. Di Glichbhandlung posiivr und ngaivr Abwichungn bi dr Risikomssung mils dr andardabwichung sll in allgmin an r- kanns Problm dar, da posiiv Abwichungn vom Erwarungswr für dn Bsizr inr Anlag kin Risiko im ignlichn inn darslln, sondrn vilmhr in angnhm Übrraschung bdun. In dn apialmarkmodlln wird diss Problm größnils jdoch - insbsondr mangls übrzugndr Alrnaivn - vrnachlässig. Modll, di zwischn gur und schlchr Abwichung vom Erwarungswr unrschidn, sind zwar in dr Lag, 36 Bronsin/mandjajw (99, ) 37 An duschn Börsn rfolg di ursnoirung in chrin zu, bi Akin mi inm Nnnwr von 5,- und in chrin zu, bi Akin mi inm Nnnwr von DM 5,- und bi Akin ohn Nnnwr. Bi amrikanischn Akin bräg di klins chriwi / 64 $

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