Nicht-rekombinierbare Binomialbäume und ihre Anwendung in der Finanzmathematik Betreuer: Lars Grüne

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1 Nicht-rekombinierbare Binomialbäume und ihre Anwendung in der Finanzmathematik Betreuer: Lars Grüne Michaela Baumann Universität Bayreuth Dornbirn, 12. März 2015

2 Motivation Ein Kunde möchte bei einer Bank eine (europäische) Calloption auf eine bestimmte Aktie kaufen, wobei er Fälligkeit und Ausübungspreis selbst bestimmt. Fall 1: Solch eine Option wird bereits gehandelt: Fall 2: Der Bankangestellte muss selbst einen Preis für diese Option bestimmen: Höhe des Preises? Voraussetzung: Call- oder Putoptionen auf dieselbe Aktie mit derselben Fälligkeit werden bereits gehandelt.

3 Agenda Rekombinierbares Binomialmodell Volatilität im Binomialmodell Nicht-rekombinierbares Binomialmodell λ-modell Anwendungsbeispiel

4 Rekombinierbares Binomialmodell (RBM) 1 Veranschaulichung S 0 (1 + u) 2 S 0 (1 + u) S 0 S 0 (1 + d) S 0 (1 + u)(1 + d) S 0 (1 + d) 2 t Parameter S 0 : Startwert der Aktie (hier: S 0 = 1) S t : Aktienwert zum Zeitpunkt t = {0, 1,..., T } (hier: T = 2) r: Zinssatz mit 1 < d < r < u (hier: u = 0, 3; d = 0, 3) (Arbitragefreiheit)

5 Rekombinierbares Binomialmodell Berechenbare Werte Arbitragefreier Optionspreis C 0 (z. B. für europäische Callund Putoptionen) Hedgingstrategie bzw. -portfolio

6 Volatilität im Binomialmodell Allgemein σ t = σ t (u t, d t ) t gleiche Volatilität: u t u = 0, 3 d t d = 0, 3 σ t = konst. t wachsende Volatilität: u 0 = 0, 3; d 0 = 0, 3 u 1 = 0, 5; d 1 = 0, 5 σ 0 < σ 1 t sinkende Volatilität: u 0 = 0, 3; d 0 = 0, 3 u 1 = 0, 2; d 1 = 0, 2 σ 0 > σ 1

7 Nicht-rekombinierbares Binomialmodell (NRBM) Veranschaulichung S S 4,15 3,7 S4,14 S 2,3 S S 4,13 3,6 S4,12 S 1,1 S S 4,11 3,5 S4,10 S 0,0 Zeit Position S 2,2 S S 4,9 3,4 S4,8 S S 4,7 3,3 S4,6 S 2,1 S S 4,5 3,2 S4,4 S 1,0 S S 4,3 3,1 S4,2 S 2,0 S S 4,1 3,0 S4,0 t Beispiele schwankende Volatilität, Dividenden, Transaktionskosten 2

8 Nicht-rekombinierbares Binomialmodell Parameter Parameter S t,j : Aktienwert zum Zeitpunkt t auf Position j (1 + u t,j ) : Faktor für Anstieg von S t,j (1 + d t,j ) : Faktor für Abfall von S t,j r t : Zinssatz mit 1 < d t,j < r t < u t,j für alle t, j (Arbitragefreiheit) Anzahl benötigter Parameter (ohne r und ohne T ) bis zum Zeitpunkt T 1 NRBM: 2 T +1 1 RBM: 3

9 λ-modell 3 Spezielle Form des NRBM Annahme 1 + u t,j = e σ(t) 1 + d t,j = e σ(t) σ(t) = σ(0) e λt Parameter σ(0) : geschätzte Volatilität zum Zeitpunkt t = 0 λ:? Anzahl benötigter Parameter (ohne r und ohne T ) zum Zeitpunkt T 1 λ-modell (NRBM): 3

10 λ-modell Schematische Entwicklung S t,j e σ(0)eλ t S t,j S t,j e σ(0)eλ t t t + 1

11 Optionspreisbestimmung im λ-modell Vorgehen Aufgabe Zunächst: Schätzen von λ Verwenden von bereits bekannten Optionspreisen um das λ-modell so anzupassen, dass die Optionspreise im Modell möglichst nahe an den wahren Optionspreisen liegen (Kalibrierung) Lösen eines Optimierungsproblems

12 Anpassen des λ-modells Umwandeln des Optimierungsproblems in ein Minimierungsproblem Fehler Lambda Aufgabe Minimiere die kummulierten quadrierten Abstände von k echten Optionspreisen (C Mkt ) und den modellierten Optionspreisen (C Mod ) abhängig von λ: λ := argmin λ 1 T ln ( r σ(0) ) 1 N N (C Mod (λ, k) C Mkt (k)) 2 k=1

13 Numerische Lösung des Minimierungsproblems Zwei Möglichkeiten generischer Suchalgorithmus eher langsam funktioniert immer Methode des goldenen Schnitts 4 (Bisektionsverfahren) relativ schnell setzt Existenz eines globalen Minimums voraus

14 Anwendungsbeispiel Siemens-Aktie Ausgangswerte Größe Wert Aktienkurs 5 S S 0,0 = 93, 74 Euro Volatilität 6 σ ˆσ(0) = 27, 65% Zinssatz 7 r r = 19, 6% (r t r) Typ Strike Fälligkeit C Mkt Call ,10 Call ,20 Call ,20 Call ,30 Call ,30 Call ,60 Call ,00 Call ,70 Call ,89 Call ,39 Call ,13 Call ,04 Call ,80 12 Calloptionen (Trainingsdaten) zur Modellkalibrierung λ Kontrollwert 5 Quelle: Historische Volatilität, 14 Tage; EONIA Monthly Average, Jan. 2014; Quelle:

15 Anwendungsbeispiel Siemens-Aktie Schätzung des Optionspreises Vorgehen Trainingsdaten ( ) λ Modellwerte ( ) C_Mkt (Kringel), C_Mod (Kreuze), Referenzgröße (Dreieck) Kontrollwert ( ) Strike C Mkt C Mod 80 14,10 14, ,20 12, ,20 10, ,30 8, ,30 6, ,60 4, ,00 2, ,70 1, ,89 0, ,39 0, ,13 0, ,04 0, ,80 3, λ = 24, 03 K

16 Zusammenfassung Vorgehen Mit Hilfe von realen Optionspreisen wird ein nicht-rekombinierbares Binomialmodell gesucht, welches dann verwendet wird, um arbitragefreie Preise von noch nicht gehandelten Optionen zu bestimmen. Eigenschaften der λ-methode eingeschränkt durch Modellannahmen flexibler als rekombinierbares Binomialmodell einfach umsetzbar, wenig Rechenaufwand und -leistung notwendig

17 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Michaela Baumann 1 J. C. Cox, S. Ross, M. Rubinstein Option Pricing: A Simplified Approach 2 M. Rutkowski Optimality of replication in the crr-model with transactioncosts, Siehe auch: C. Charalambous et al. Implied non-recombining trees and calibration for the volatility smile, /Grundlagen der funktionsorientierten Programmierung mit SCHEME /Extremwertsuche nach dem Verfahren des Goldenen Schnitts;

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