Informationen zu den gemeinsamen Fächern im Zentralabitur 2010 in Berlin und Brandenburg. Nr. 1 Mathematik

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1 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Informtionen zu den gemeinsmen Fächern im Zentrlbitur 00 in Berlin und Brndenburg Nr Beispielufgben mit Erwrtungshorizonten Inhlt: Vorbemerkungen Beispielufgben für den Leistungskurs (jeweils nur eine Whlufgbe zu den Themengebieten) Beispielufgben für den Grundkurs (jeweils nur eine Whlufgbe zu den Themengebieten) Beispielufgben für den Leistungskurs (CAS) (nur eine Whlufgbe zu einem Themengebiet) Beispielufgben für den Grundkurs (CAS) (nur eine Whlufgbe zu einem Themengebiet) Verntwortlich: Brndenburg Ulrich Ernst Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Berlin Elke Drgendorf Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Für Rückfrgen zum Mteril verwenden Sie bitte ds Kontktformulr uf dem Bildungsserver Berlin-Brndenburg (bbb). Seite von

2 Brndenburg Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Berlin Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Die hier vorliegenden Informtionen beinhlten Aufgben, die die gemeinsmen Vorgben für ds Zentrlbitur 00 der im Fch illustrieren. Die Aufgbenbeispiele, Erwrtungshorizonte, Korrektur- und Bewertungshinweise dienen ls Mteril zur Vorbereitung uf die schriftliche Abiturprüfung 00. Die Beispiele beziehen sich uf Inhlte und Kompetenzen, die im Kerncurriculum der Qulifiktionsphse des geltenden Rhmenlehrplns für die gymnsile Oberstufe von 006 (RLP-Nr.: ) festgeschrieben wurden. Weiterhin wurden die in den Einheitlichen Prüfungsnforderungen in der Abiturprüfung (EPA) i. d. F getroffenen Festlegungen sowie die vom Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Lndes Brndenburg und der Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung des Lndes Berlin herusgegebenen Prüfungsschwerpunkte berücksichtigt. Mit den vorliegenden Aufgbenbeispielen wird die Struktur und ds Anspruchsniveu der zentrlen Abiturufgben verdeutlicht und so uch eine Orientierung für die unterrichtliche Arbeit in der Qulifiktionsphse gegeben. Die Korrektur- und Bewertungshinweise enthlten detillierte Hinweise für die Beurteilung von Teilleistungen und die Ermittlung der Gesmtnote. Die nchfolgenden Beispiele sollen die im RLP für die gymnsile Oberstufe drgestellten bschlussorientierten Stndrds illustrieren und dmit Hilfestellung für den Unterricht und die Vorbereitung uf die Abiturprüfung geben. Es wird jeweils ein Beispiel für ein Grundkurs- und ein Leistungskursbitur drgestellt, ds nch dem Konstruktionsprinzip für die Abiturprüfung entwickelt wurde. Bei diesen Beispielufgben wurde die Whlmöglichkeit durch die Schüler, die es in der Abiturprüfung 00 geben wird, nicht berücksichtigt. Ds heißt, es fehlt bei diesen Beispielufgben die zu jedem Teilgebiet (Anlysis, Anlytische Geometrie, Stochstik) gehörende gleichwertige lterntive Whlufgbe. Die Grundkurs- und Leistungskurs-Prüfungsufgben unterscheiden sich im Grd der Strukturierung, dem Schwierigkeitsgrd, der Komplexität, den Anforderungen n die Selbstständigkeit bei der Berbeitung der Aufgben sowie im Umfng und in der Art der bereitgestellten Informtionen. Die Aufgbenbeispiele bsieren uf den EPA hinsichtlich der Gestltung der Prüfungsufgben. Dbei ist zu bechten, dss weder die Anforderungsbereiche schrf gegeneinnder bzugrenzen sind noch die zur Lösung der Prüfungsufgbe erforderlichen Teilleistungen sich in jedem Fll eindeutig immer nur einem bestimmten Anforderungsbereich zuordnen lssen. Dennoch wird eine mögliche Zuordnung der Anforderungsbereiche zu den Teilufgben jeweils in der Tbelle zum Bewertungsvorschlg drgestellt. Die Beispielufgben wurden so konzipiert, dss ds Gewicht der zu erbringenden Prüfungsleistungen überwiegend im Anforderungsbereich II liegt und ußerdem die Anforderungsbereiche I und III, von denen der Anforderungsbereich I überwiegt, berücksichtigt sind. Hinsichtlich der fchspezifischen Beschreibung der drei Anforderungsbereiche wird uf die EPA, Kpitel in der jeweils geltenden Fssung verwiesen. Wir hoffen, dss die Informtionen Ihnen bei der Vorbereitung Ihrer Schülerinnen und Schüler uf ds Zentrlbitur 00 im Fch hilfreich sind. Seite von

3 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Beispielufgben für die Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Aufgbenstellung Grundkurs Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 0 Minuten inkl. Lese- und Auswhlzeit Aufgbe Them/Inhlt: Hinweis: Anlysis Wählen Sie eine der beiden Aufgben. oder.* zur Berbeitung us. Aufgbe Them/Inhlt: Hinweis: Anlytische Geometrie Wählen Sie eine der beiden Aufgben. oder.* zur Berbeitung us. Aufgbe Them/Inhlt: Hinweis: Stochstik Wählen Sie eine der beiden Aufgben. oder.* zur Berbeitung us. * Beispielufgbe nicht vorhnden Grundkurs Seite von

4 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Nme:... Aufgbe.: Deicherneuerung x Die Funktion f ist gegeben durch f ( x) x e ; x R. Der Grph dieser Funktion sei G. ) Untersuchen Sie die Funktion f uf Nullstellen und ermitteln Sie Koordinten und Art lokler Extrempunkte von G. Bestimmen Sie die zwei existierenden Wendestellen von f. b) Geben Sie ds Verhlten der Funktionswerte für x ± n und zeichnen Sie G für 0,5 x 6 in ein krtesisches Koordintensystem ( LE cm ). c) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tngente t n G im Punkt P ( ( ) ) f. Berechnen Sie die Größe des Winkels α, den t mit der positiven x Achse bildet. Begründen Sie uf Grund Ihrer bisher ermittelten Ergebnisse nschulich, dss es eine weitere Tngente n den Grphen G geben muss, die einen Steigungswinkel mit der gleichen Größe wie α ht. x Achse im Intervll [ ] d) Die Fläche, die vom Grphen G und der 0 ; 7 eingeschlossen wird, knn ls Querschnittsfläche eines Deiches ufgefsst werden ( LE m ). Im Bereich bis zur Deichkrone (höchster Punkt des Deiches) knn mn ls Näherung für 6 G die Prbel p mit der Gleichung p( x) ( x ) + verwenden. e e 0 soll erneuert werden. Dzu ist es erforderlich, die Menge des hierfür benötigten Füllmterils zu ermitteln. Berechnen Sie unter Verwendung der Näherungsprbel p, wie viel Kubikmeter Füllmteril pro km Deichlänge bereitzustellen sind. Der dem Wsser bgewndte Teil des Deiches im Intervll [ ; ] x e) Zeigen Sie, dss die Funktion F mit F( x) e ( x + x + ) ; x R eine Stmmfunktion von f ist. Der Flächeninhlt der Fläche, die vom Grphen G, der x Achse und der Gerden x begrenzt wird, sei A. Berechnen Sie A und ermitteln Sie die prozentule Abweichung des in d) genutzten Flächeninhlts zu A. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) uf die Teilufgben Teilufgbe ) b) c) d) e) Summe BE Grundkurs Seite von

5 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Nme:... Aufgbe.: Turm m Steilhng An einem Steilhng wird ein Beobchtungsturm errichtet. Dieser Turm knn ls ein von einer Ebene geschnittener Quder mit ufgesetzter gerder Pyrmide ufgefsst werden. Die Höhe der ufgesetzten Pyrmide beträgt m. Aus der Buzeichnung sind die Koordinten der folgenden Punkte beknnt: A ( 0 0), B( 0), D( 0 0 ), F( 0) und H ( 0 0 0) (Koordinteneinheit m). ) Bestimmen Sie die Koordinten der Punkte C, E, G und S. Der Steilhng liegt in der Ebene, die durch die Punkte A, B, C und D geht. Stellen Sie eine Gleichung dieser Ebene in Prmeterform uf. b) Ermitteln Sie eine Ebenengleichung für den Steilhng in Normlenform. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den der Steilhng mit der Horizontlebene bildet. [Zur Kontrolle: ein möglicher Normlenvektor ist n 0.] c) An den Punkten F und H wird ein 6 m lnges Seil befestigt. Genu in die Mitte T des durchhängenden Seiles wird eine schwere Lmpe gehängt. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinten des tiefsten Punktes des Seiles. d) Ein Sonnenstrhl, dessen Richtung durch den Vektor beschrieben werden knn, erzeugt uf dem Hng im Punkt S einen Schtten der Turmspitze S. Geben Sie eine Gleichung für die Gerde n, uf der der Sonnenstrhl verläuft, bestimmen Sie die Koordinten des Schttenpunktes S und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Sonnenstrhl uf den Hng trifft. e) Zur besseren Stbilisierung soll der Turm m Eckpunkt H durch ein möglichst kurzes Sthlseil mit dem Berghng verbunden werden. Bestimmen Sie die minimle Länge des Sthlseils. Verteilung der Bewertungseinheiten uf die Teilufgben Teilufgbe ) b) c) d) e) Summe BE Grundkurs Seite 5 von

6 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Nme:... Aufgbe.: Urnenexperimente In einem Gefäß befinden sich weiße und 6 schwrze Kugeln sowie eine rote Kugel. ) Es werden Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und folgende Ereignisse betrchtet: A: Beide Kugeln sind schwrz. B: Beide Kugeln sind verschiedenfrbig. Stellen Sie hierzu ein vollständiges Bumdigrmm uf und berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten von A und von B. b) In einem neuen Experiment werden lle 0 Kugeln ncheinnder ohne Zurücklegen gezogen. Berechnen Sie, mit welcher Whrscheinlichkeit mn lle jeweils gleichfrbigen Kugeln direkt ncheinnder zieht. c) Nun werden 0 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten der Ereignisse: C: Mn zieht genu weiße Kugeln. D: Mn zieht mindestens 8 schwrze Kugeln. Ermitteln Sie, mit welcher Whrscheinlichkeit ds Ereignis D bei fünfmliger Durchführung der 0 Ziehungen genu zweiml uftritt. d) Berechnen Sie, wie oft mn mit Zurücklegen mindestens eine Kugel ziehen muss, um mit mindestens 99 % Whrscheinlichkeit mindestens einml die rote Kugel zu ziehen. e) Bei dem folgenden Glücksspiel verlngt der Vernstlter einen Einstz von. Aus dem Gefäß wird eine Kugel gezogen. Ist diese Kugel weiß, erhält der Spieler usbezhlt, ist die Kugel rot, erhält der Spieler 0 usgezhlt. Berechnen Sie, welchen Gewinn pro Spiel der Vernstlter uf lnge Sicht erzielt. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) uf die Teilufgben Teilufgbe ) b) c) d) e) Summe BE 8 0 Grundkurs Seite 6 von

7 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Beispielufgben für die Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Grundkurs Erwrtungshorizonte.,.,. für Lehrkräfte Themen / Inhlte: Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Anlysis / Anlytische Geometrie / Stochstik Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 80 Minuten Erwrtungshorizont Die Beschreibungen der erwrteten Leistungen enthlten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angben. Hier nicht gennnte, ber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die ufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Vrinte uf. Für ndere Lösungswege oder Lösungsnsätze, die logisch drgestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der drgestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der ngegebenen Weise ufzuteilen. Dmit die Möglichkeit besteht, den eigenen didktischen Aspekten bei der Bewertung genug Rum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro Teilufgbe z. B.. ) ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich uf diesen Zwischenergebnissen ufbuenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern versehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht nzuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfcher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Opertoren in den Aufgbenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläuterungen, uf deren Drstellung im Erwrtungshorizont weitgehend verzichtet wird, knn die Lehrkrft ihren pädgogischen Spielrum nutzen und sich n ihrer bisherigen Unterrichtsprxis orientieren. Im Erwrtungshorizont wird teilweise uf formle mthemtische Vollständigkeit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwrten ist. Grundkurs Seite 7 von

8 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Erwrtungshorizont zu Aufgbe.: Deicherneuerung Teilufgbe Beschreibung der erwrteten Schülerleistung BE/AB I II III ) Nullstelle: x x e 0 ; x N 0 x x Lokle Extrem: f ( x) x e ( x) ; f ( x) e ( x x + ) ( ) 0 Aus f x folgt x 0; x. 5 Mit f ( 0 ) 8 > 0 oder nderer inhltlicher Begründung ergibt sich der lokle Tiefpunkt: 0 0. T ( ) Mit 8 ( ) < 6 f 0 ergibt sich der lokle Hochpunkt: H. e e 5 Wendestellen: Aus f ( x) 0 folgt x w ±. ; b) Verhlten im Unendlichen: x + f ( x) 0 ; x f ( x) + Grphische Drstellung von G : c) Tngentengleichung: m t f () ; P t t : y x e e e Schnittwinkel: tnα ; α 55, 8 e Begründung für die Existenz der geforderten weiteren Tngente z.b. mithilfe der Anstiege in T, W und P. d) Flächenberechnung: 6 A p p( x) dx x x dx e e A p 0 8 e 0 e 6 e x x 0,887 FE 6 Volumenberechnung: V 000m 887m. e F x f ) Flächenberechnung: e) Nchweis: ( ) (x A 0 f x 0 ( x) dx [ e ( x + x + ) ] 8,587 FE 0 A p A 0, FE ; prozentule Abweichung: c. % von A. e Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE 0 Grundkurs Seite 8 von

9 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Erwrtungshorizont zu Aufgbe.: Turm m Steilhng Teilufgbe Beschreibung der erwrteten Schülerleistung ) C( 0 ), E( 0 0 ), G( 0 0 ), S( ) 0 Angbe einer Ebenengleichung, z. B. x 0 + λ + μ b) Bestimmung eines Normlenvektors der gesuchten Ebene K: x 0 x y 0 und y 0 0 liefert z. B. n K 0 0 z z c) Normlenform der Ebenengleichung K: x Z. B. Whl eines Normlenvektors n xy für die Horizontlebene (x-y-ebene) und Berechnung des Schnittwinkels mithilfe der Formel nk nxy cos α : cos α 0, 8, α 6, 9 n n K xy Mit Mittelpunkt M ( 0) der Strecke HF gilt z.b.: MH + MT TH ; MT, lso ( 9) BE/AB I II III mit HF MH und TH folgt T. d) Gleichung der Gerden g : x + u. Bestimmung des Schnittpunktes von g mit K: z. B. Einsetzen des Gerdenterms von g in die Normlengleichung von E ergibt u 5 und den Schnittpunkt S '( 8 7 9). 5 Berechnung des Schnittwinkels zwischen g und K z. B. mithilfe der ne rg Formel sin α ; sin α, dmit α 5, 7. ne rg 6 e) Erkennen, dss die minimle Länge des Sthlseils gleich dem Abstnd von Punkt H zur Ebene K ist und Berechnung des nk ( OH OA) Abstnds z. B mit der Formel: d( H ; K ) n 0 d ( H; K) ,6 ; Länge des Sthlseils: 5,6 m Summen der BE in den Anforderungsbereichen 5 K Summe der BE 0 Grundkurs

10 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Erwrtungshorizont zu Aufgbe.: Urnenexperimente Teilufgbe ) Bumdigrmm: Beschreibung der erwrteten Schülerleistung /9 W BE/AB I II III W 6/9 S /0 /9 R 6/0 S /9 5/9 W S /0 R /9 /9 R W /9 S Die Pfdregel liefert P(A) und P(B) b) Mn knn zuerst lle schwrzen, dnn lle weißen Kugeln und zuletzt die rote Kugel ziehen oder die Frben in einer nderen Reihenfolge (6 Möglichkeiten): P(E) ! 0 ( 0,007). c) D zurückgelegt wird, entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge n 0 mit der Trefferwhrscheinlichkeit p 0,. Die binomilverteilte Zufllsgröße X zählt die Anzhl der gezogenen weißen Kugeln. 0 6 P(C) B(0; 0,; ) 0, 0,7 0,00. Die Trefferwhrscheinlichkeit für eine schwrze Kugel ist p 0,6. Die Zufllsgröße Y zählt die Anzhl der gezogenen schwrzen Kugeln. Y ist binomil verteilt mit n 0 und p 0,6. P(D) P(Y 8) P(Y8)+ P(Y9) + P(Y0) 0,67 Es liegt eine Bernoullikette der Länge n 5 mit der Trefferwhrscheinlichkeit p P(D) 0,67 vor. Die Zufllsgröße Z beschreibt die Trefferzhl. Die Whrscheinlichkeit, dss ds Ereignis D bei fünfmliger Durchführung der 0 Ziehungen genu zweiml eintritt ist lso 5 P(Z ) 0,67 ( 0,67) 0,66 d) P(keine rote Kugel bei n Ziehungen) 0,9 n führt uf die Bedingung 0,9 n 0,99 n 0,9 0,0 n,7 5 5 Grundkurs Seite 0 von

11 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Teil- BE/AB uf- gbe I II III Beschreibung der erwrteten Schülerleistung Mindestens Kugeln müssen gezogen werden. e) Aus dem Bumdigrmm knn bgelesen werden, dss bei 0 Ziehungen im Durchschnitt dreiml eine weiße Kugel gezogen wird (6 Auszhlung) und einml die rote Kugel (0 Auszhlung). Diesen 6 Auszhlung stehen Einnhmen von 0 entgegen, ws einen durchschnittlichen Gewinn von 0,0 pro Spiel für den Vernstlter bedeutet. Summen der BE in den Anforderungsbereichen 5 Summe der BE 0 Grundkurs Seite von

12 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Beispielufgben für die Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Aufgbenstellung Grundkurs (CAS) Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 0 Minuten inkl. Lese- und Auswhlzeit Aufgbe Them/Inhlt: Hinweis: Anlysis Wählen Sie eine der beiden Aufgben. oder.* zur Berbeitung us. Aufgbe * Them/Inhlt: Hinweis: Anlytische Geometrie Wählen Sie eine der beiden Aufgben. oder. zur Berbeitung us. Aufgbe * Them/Inhlt: Hinweis: Stochstik Wählen Sie eine der beiden Aufgben. oder. zur Berbeitung us. * Keine Beispielufgben vorhnden Grundkurs (CAS) Seite von

13 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Nme:... Notieren Sie Ihre Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse in der in der üblichen Form und nicht in der CAS-Eingbeform. Aufgbe. CAS (Anlysis): Deicherneuerung x Die Funktion f ist gegeben durch f ( x) x e ; x IR. Der Grph dieser Funktion sei G. ) Untersuchen Sie die Funktion f uf Nullstellen und ermitteln Sie Koordinten und Art lokler Extrempunkte von G. Bestimmen Sie die zwei existierenden Wendestellen von f. Geben Sie ds Verhlten der Funktion für x ± n. Zeichnen Sie G für 0,5 x 6 in ein krtesisches Koordintensystem ( LE cm ). b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tngente t n G im Punkt P ( ( ) ) f. Berechnen Sie die Größe des Winkels α, den t mit der positiven x-achse bildet. Begründen Sie nschulich uf Grund Ihrer bisher ermittelten Ergebnisse, dss es eine weitere Tngente n den Grphen G geben muss, die einen Steigungswinkel mit der gleichen Größe wie α ht. Bestimmen Sie nun rechnerisch den Punkt B, in dem diese zweite Tngente den Grphen G berührt. c) Berechnen Sie den Flächeninhlt der Fläche, die von dem Grphen G, der x-achse und der Gerden zu x eingeschlossen wird. d) Die Fläche, die vom Grphen G und der x-achse im Intervll [ 0 ; 7] eingeschlossen wird, knn ls Querschnittsfläche eines Deiches ufgefsst werden ( LE m ). Der dem Wsser bgewndte Teil des Deiches über dem Intervll [ 0 ; ] soll erneuert werden. Hierfür ist es erforderlich, die Menge des benötigten Füllmterils zu ermitteln. Berechnen Sie, wie viel Füllmteril (gerundet uf gnze Kubikmeter) pro km Deichlänge bereitzustellen ist. g Ds Füllmteril mit einer Dichte von ρ,9 wird mit einem LKW mit einer zulässigen Zuldung von t ngefhren. Berechnen Sie, wie viele Fhrten erforderlich sind, cm wenn km Deich lndseitig erneuert werden. e) Der Wsserspiegel schwnkt zwischen den zwei Höhen, die 0, m bzw.,5 m niedriger ls die Deichöhe sind. In diesem Bereich soll der Deich uf der Wsserseite mit zusätzlichen Steinpltten befestigt werden. Berechnen Sie die Fläche in m, für die bei km Deichlänge Pltten erforderlich sind. Sie dürfen verwenden, dss die Länge L einer Kurve zwischen zwei Grphenpunkten P f Q b f b mit folgender Formel berechnet werden knn: ( ( )) und ( ( )) b L + ( f '( x) ) dx. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) uf die Aufgbenteile Aufgbenteil ) b) c) d) e) Summe BE Grundkurs (CAS) Seite von

14 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Beispielufgben für die Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Erwrtungshorizont. Grundkurs (CAS) für Lehrkräfte Themen / Inhlte: Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Anlysis (/ Anlytische Geometrie* / Stochstik*) Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 60 Minuten Erwrtungshorizont Die Beschreibungen der erwrteten Leistungen enthlten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angben. Hier nicht gennnte, ber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die ufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Vrinte uf. Für ndere Lösungswege oder Lösungsnsätze, die logisch drgestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der drgestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der ngegebenen Weise ufzuteilen. Dmit die Möglichkeit besteht, den eigenen didktischen Aspekten bei der Bewertung genug Rum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro Teilufgbe z. B.. ) ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich uf diesen Zwischenergebnissen ufbuenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern versehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht nzuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfcher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Opertoren in den Aufgbenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläuterungen, uf deren Drstellung im Erwrtungshorizont weitgehend verzichtet wird, knn die Lehrkrft ihren pädgogischen Spielrum nutzen und sich n ihrer bisherigen Unterrichtsprxis orientieren. Im Erwrtungshorizont wird teilweise uf formle mthemtische Vollständigkeit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwrten ist. * keine Beispielufgben vorhnden Grundkurs mit CAS Seite von

15 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Erwrtungshorizont zu Aufgbe. CAS (Anlysis): Deicherneuerung Teilufgbe Beschreibung der erwrteten Schülerleistung ) Nullstellenbestimmung mit f(x)0: x x e 0 x 0. Lokle Extrem: Angbe von f x ( x) x e ( x) us f ( x) 0 folgt: 0 ( x) x 0 x Angbe von x f ( x) e ( x x + ) ( 0 ) 8 > 0 T ( 0 0) ; x e x. f oder ndere inhltliche Begründung; 0 ist lokle Minimlstelle; ; ; BE/AB I II III 8 ( ) 0 < 6 f ; ist lokle Mximlstelle; H e e Wendestellen: ( ) 0 x e x. f liefert: 0 ( x x + ) x ± Angbe des Verhltens im Unendlichen: ( x) x f ( x) + x + f 0 ;. Zeichnung des Grphen G von f: b) Tngentengleichung: m t f () und P t : y x. e e e Schnittwinkel: tnα, α 55, 8 e Begründung für die Existenz der geforderten weiteren Tngente z.b. mithilfe der Anstiege in T, W und P. Der Anstz x e ( x) x e Berührpunkt ( 0,9 0,) liefert x und x 0,9; B. Grundkurs mit CAS Seite 5 von

16 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Teilufgbe c) Flächenberechnung: 0 x A x e dx 8 0e Beschreibung der erwrteten Schülerleistung ; A, 6 FE BE/AB I II III d) Sinnvolle Rundung der Querschnittsfläche des Deiches über dem Intervll [ 0; ].für die Berechnung des Volumens mit einer Genuigkeit von m, z.b.: A,587 m ; V 000 m,587 m 587 m Volumen bei km Deichlänge z. B: V 66 m ; g Gewicht (Msse): m 66 m, t ; cm Anzhl der Fuhren: 55 e) Bestimmung von höchstem und niedrigstem Wsserstnd durch Lösen x 6 x 6 von x e 0, und x e, 5. e e Entscheidung für die beiden Lösungen x für die Stelle des höchsten und x 5 für die Stelle des niedrigsten Wsserstnds. Berechnung des Deichbogens x L + ((8x x ) e ) dx, 5 der Flächengröße A, m km 9900 m. 6 und Summen der BE in den Anforderungsbereichen 6 0 Summe der BE 0 Grundkurs mit CAS Seite 6 von

17 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Beispielufgben für die Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Aufgbenstellung Leistungskurs Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 70 Minuten inkl. Lese- und Auswhlzeit Aufgbe Them/Inhlt: Hinweis: Anlysis Wählen Sie eine der beiden Aufgben. oder.* zur Berbeitung us. Aufgbe Them/Inhlt: Hinweis: Anlytische Geometrie / Linere Algebr Wählen Sie eine der beiden Aufgben. oder.* zur Berbeitung us. Aufgbe Them/Inhlt: Hinweis: Stochstik Wählen Sie eine der beiden Aufgben. oder.* zur Berbeitung us. * Beispielufgbe nicht vorhnden Grundkurs Seite 7 von

18 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Nme:... Aufgbe.: Volumen einer Birne x Zunächst wird die Funktion f mit ( ) f x x e ; x IR, x 0, untersucht. ) Berechnen Sie die Nullstelle von f und untersuchen Sie den Grphen von f uf reltive Extrempunkte und deren Art. Der Grph von f besitzt genu einen Wendepunkt: Bestimmen Sie die Koordinten nur mit dem notwendigen Kriterium uf eine Nchkommstelle gerundet. Ohne Nchweis dürfen Sie verwenden: '( ) x f x x e, x > 0. x b) Untersuchen Sie f (x) für x + und begründen Sie Ihr Ergebnis. Zeichnen Sie uf der Grundlge Ihrer bisherigen Ergebnisse den Grphen von f mindestens für 0 x 8 (Koordintenchsen: LE cm). c) Der Grph von f rotiert über dem Intervll [0;] um die x-achse. Berechnen Sie ds Volumen des entstehenden Rottionskörpers. d) Nebenstehende Abbildung zeigt ds Profil einer längs durchgeschnittenen Birne. Der oberhlb der x-achse gelegene Teil des Rndes wird durch Funktionsgrphen modelliert. Für 0 x wird der Grph von f verwendet. Für x soll der Grph von g mit g ( x) x + b verwendet werden. Nennen Sie Eigenschften, die für eine geeignete Modellierung der Profillinie der Birne erfüllt werden müssen. Geben Sie zwei Bedingungsgleichungen n und bestimmen Sie mit deren Hilfe die Werte für und b. e) Berechnen Sie ds Volumen der Birne. Die Längeneinheit ist cm. Wenn Sie Teil d) nicht lösen konnten, dürfen Sie ohne Nchweis verwenden: g( x) 6 x. e Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) uf die Teilufgben Teilufgbe ) b) c) d) e) Summe BE Leistungskurs Seite 8 von

19 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Nme:... Aufgbe.: Ebenen und Prism Gegeben sind für jedes IR eine Ebene E mit der Gleichung x y + z sowie die, B 0 C 5 0. Punkte A ( ) ( ) und ( ) ) Ermitteln Sie eine Prmetergleichung und eine Koordintengleichung der Ebene F, in der die Punkte A, B und C liegen. Zeigen Sie, dss F eine der Ebenen ist. E b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Gerden, die in llen Ebenen liegt. 0 [Kontrollergebnis: g s : x 0,5 + t 0 t IR ] ; 0 Berechnen Sie die Größe des Winkels α, unter dem die Gerde g s die y-z-ebene durchstößt. c) Berechnen Sie den Abstnd d des Punktes ( ) Q zur Ebene E. Es existiert genu eine weitere Ebene E, zu der Q ebenflls diesen Abstnd d ht. Ermitteln Sie für diese Ebene den Wert für den Prmeter. d) In den Ebenen E und E liegen zwei Seitenflächen eines gerden dreiseitigen Prisms, ds ein gleichschenkliges Dreieck ls Grundfläche ht. Ein Eckpunkt der Grundfläche sei der in E liegende Punkt R( 5 7 5). Die nderen beiden Eckpunkte der Grundfläche seien ein Punkt S in der Ebene E sowie ein uf der Schnittgerden g s liegender Punkt T. Berechnen Sie die Koordinten des Punktes T. Beschreiben Sie, wie mn die Koordinten eines möglichen Punktes S ermitteln knn. g s E Verteilung der Bewertungseinheiten uf die Teilufgben Teilufgbe ) b) c) d) Summe BE Leistungskurs Seite 9 von

20 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Nme:... Aufgbe.: Bevölkerungsentwicklung Frnkreich und Deutschlnd sind die bevölkerungsreichsten Stten der Europäischen Union. Die Prognosen bis 050 weisen für diese beiden EU-Stten eine unterschiedliche Entwicklung us. Bevölkerungsnteil der beiden Länder n der EU-Gesmtbevölkerung: Deutschlnd Frnkreich 005 8,0 %, % 050 6,6 %,6 % Der Anteil der Jugendlichen im Alter von 5 bis Jhren n der Gesmtbevölkerung des jeweiligen Lndes betrug 005 in Deutschlnd,7% und in Frnkreich,0%. ) Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten der beiden folgenden Ereignisse: A: Unter elf im Jhr 005 zufällig usgewählten EU-Bürgern befnden sich mindestens zwei Deutsche. B: Unter im Jhr 050 insgesmt 000 zufällig uszuwählenden EU-Bürgern werden sich mindestens 5 und höchstens 55 Frnzosen befinden. Begründen Sie, dss hier die Näherung mittels Normlverteilung möglich ist. b) Bestimmen Sie, wie viele EU-Bürger mn im Jhr 005 mindestens uslosen müsste, um unter diesen mit mindestens 98 % Whrscheinlichkeit wenigstens einen Deutschen zu ermitteln. c) Ermitteln Sie für ds Jhr 005 den jeweiligen Anteil der Bevölkerung von Deutschlnd und Frnkreich n der Gesmtbevölkerung beider Länder. Berechnen Sie mit Hilfe dieser Anteile die Whrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: C: Ein us den beiden Ländern usgeloster Bürger ist ein Jugendlicher. D: Ein us den beiden Ländern usgeloster Jugendlicher kommt us Deutschlnd. Interpretieren Sie ds Ergebnis für die Whrscheinlichkeit von Ereignis D im Vergleich zum oben bestimmten Anteil der Deutschen n der Gesmtbevölkerung beider Länder. d) Für ds Jhr 007 sollte durch eine repräsenttive Stichprobe ermittelt werden, ob sich der Anteil der Jugendlichen unter der deutschen Bevölkerung in der o. g. Altersgruppe verringert ht. Es wurden 0000 Deutsche repräsenttiv usgelost und ermittelt, wie viele drunter Jugendliche im Alter von 5 bis Jhren sind. Im Ergebnis dieser Untersuchung nimmt mn n, dss der Anteil der o. g. Altersgruppe nur noch bei,5 % liegt. Ermitteln Sie unter dieser Vorussetzung, in welches kleinstmögliche symmetrische Intervll um den Erwrtungswert die Anzhl der betreffenden Jugendlichen mit mindestens 95% Whrscheinlichkeit fällt. Verteilung der Bewertungseinheiten uf die Teilufgben Teilufgbe ) b) c) d) Summe BE 0 0 Leistungskurs Seite 0 von

21 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Beispielufgben für die Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Leistungskurs Erwrtungshorizonte.,.,. für Lehrkräfte Themen / Inhlte: Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Anlysis / Anlytische Geometrie / Stochstik Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 0 Minuten Erwrtungshorizont Die Beschreibungen der erwrteten Leistungen enthlten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angben. Hier nicht gennnte, ber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die ufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Vrinte uf. Für ndere Lösungswege oder Lösungsnsätze, die logisch drgestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der drgestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der ngegebenen Weise ufzuteilen. Dmit die Möglichkeit besteht, den eigenen didktischen Aspekten bei der Bewertung genug Rum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro Teilufgbe z. B.. ) ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich uf diesen Zwischenergebnissen ufbuenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern versehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht nzuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfcher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Opertoren in den Aufgbenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläuterungen, uf deren Drstellung im Erwrtungshorizont weitgehend verzichtet wird, knn die Lehrkrft ihren pädgogischen Spielrum nutzen und sich n ihrer bisherigen Unterrichtsprxis orientieren. Im Erwrtungshorizont wird teilweise uf formle mthemtische Vollständigkeit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwrten ist. Leistungskurs Seite von

22 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Erwrtungshorizont zu Aufgbe. (Anlysis): Volumen einer Birne Teilufgbe ) BE/AB Beschreibung der erwrteten Schülerleistung I II III x Nullstellenbestimmung: x e 0 x 0. Untersuchung uf reltive Extrempunkte: x f ( x) 0 ; x e 0 x. x Berechnung von ( x) x f x e. x x x < Berechnung von f ( ) e 0 mit Schlussfolgerung, dss eine reltive Mximlstelle ist und Angbe von H. e Untersuchung uf Wendepunkte mit f ( x) 0 unter Bechtung von x x > 0 : x e 0 x +, x, ; x x x W (,,9). b) Angbe von lim f ( x) 0 und verble Begründung oder Testeinsetzungen. x + Zeichnung des Grphen von f: c) Anstz für ds Rottionsvolumen: V π b f ( x) dx 6π Berechnung durch prtielle Integrtion: V 0 x e x dx ; x [( x e ] 6π ) ; 5 Angbe der Mßzhl des Volumens: V 6π 5, 7. e Leistungskurs Seite von

23 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Teilufgbe Beschreibung der erwrteten Schülerleistung d) Mögliche Modellierung: An der Stelle x müssen die Funktionswerte und die Anstiege von f g f g und f übereinstimmen: g ( ) ( ) und ( ) ( ) Prmeterbhängige Berechnung der ersten Ableitung: g ( x) ; x + b Aufstellen und Lösen des nicht lineren Gleichungssystems: + b 8 e e + b + b 8 e e 8e BE/AB I II III 8e b 56e. 5 e) Anstz für ds Volumen der Birne: V Birne Vc) + VStielende. Berechnung der Nullstelle von g ls obere Integrtionsgrenze und Bestimmung von V Stielende 6 6π 8π (6 ),5 x dx. e e Angbe des Volumens: V. Birne 5, 7cm +,5cm 8,cm 5 Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe 0 Leistungskurs Seite von

24 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Leistungskurs Erwrtungshorizont zu Aufgbe.: Ebenen und Prism BE/AB Teilufgbe Beschreibung der erwrteten Schülerleistung I II III ) Prmetergleichung von F: R s r s r x + +, ; 6 Koordintengleichung von F: 0 : ; + z y x F n F Nchweis: E F b) Ermitteln der geforderten Schnittgerden: R t t x g s + ; 0 0 0,5 0 : 5 Schnittwin elbestimmung: k 6, 5 sin ; ; α α z y s z y s E g E g n n c) Abstndsberechnung: ( ) ( ) LE z y x E Q d Q Q Q ; Bestimmung einer weiteren Ebene mit dem gleichen Abstnd: E ( ) ( ) ; z y x E Q d Q Q Q ( ) ; E Q d Der gesuchte Prmeterwert ist 9 5 d) Bestimmen der Koordinten von T: ) 0,5 ( ; ) 0,5 ( + T t t t g TR t t T g T s s Seite von

25 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Teilufgbe Beschreibung der erwrteten Schülerleistung BE/AB I II III Beschreibung zum Ermitteln für S: Flls RS ls Bsis gewählt wird, liegen die möglichen dritten Eckpunkte uf einer Gerden h mit h gs und h ne Dmit erhält mn zwei mögliche dritte Eckpunkte S, z.b. mithilfe der Linerkombintion OS; OT ± RT h. h Summen der BE in den Anforderungsbereichen 5 Summe der BE 0 Leistungskurs Seite 5 von

26 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Erwrtungshorizont zu Aufgbe.: Bevölkerungsentwicklung Teilufgbe Beschreibung der erwrteten Schülerleistung ) X: Anzhl Deutscher unter usgewählten P ( A) P ( X ) P( X ) F0,8 ( ) 0,89 0, 65 Y: Anzhl Frnzosen unter 000 usgewählten ( B) P P( 5 Y 55) F 0 ( 55) F ( ),6 0,6 BE/AB I II III Wegen μ 6, σ,7 > ist Y näherungsweise normlverteilt: P ( B) Φ ( 0,85) + Φ (,9) 0,80 + 0,97 0, b) Z: Anzhl Deutscher unter n usgewählten n ln 0,0 P ( Z ) F0, 8 ( 0) 0, 98 n 0. ln 0,8 c) J: Ausgeloster ist Jugendlicher, d) G, F: Ausgeloster ist Deutscher / Frnzose, 0,8 0,8 0, wobei P ( G) 0, 577, ( F ) P( G) 0, 0,8+ 0, 0, P. 0, P G ( J ) 0, 7 und P F ( J) 0, P( C) P( J ) P ( J) P( G) + PF ( J) P( F ) 0, ,055 0, 5 P ( ) ( ) ( J ) P( G) P D P G G J 0,55 P( J ) ( D) P( G) G. P <, d.h., der Anteil der deutschen Jugendlichen unter der Gesmtnzhl der Jugendlichen der beiden Länder ist geringer ls der Anteil der deutschen Bevölkerung n der Gesmtbevölkerung der beiden Länder. (0000) T: Anzhl Jugendlicher, T ist bei Annhme von p hn nch B 0,5 - verteilt σ ,5 0,885 07,75 > 9 und μ , Dmit ist T näherungsweise normlverteilt. + 0,5 P( 50 T 50 + ) Φ 0, 95 σ ( 0,975) 0,5 0, ,5,96,90 0,5 6, 0 ( 087 T ) 0, 95 [087; Φ Dmit gilt P, d.h., ] ist ds gesuchte Intervll. Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE 0 Leistungskurs Seite 6 von

27 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Beispielufgben für die Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Aufgbenstellung Leistungskurs (CAS) Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 70 Minuten inkl. Lese- und Auswhlzeit Aufgbe Them/Inhlt: (Hinweis: Anlysis Wählen Sie eine der beiden Aufgben. oder.* zur Berbeitung us.) Aufgbe * Them/Inhlt: (Hinweis: Anlytische Geometrie / Linere Algebr Wählen Sie eine der beiden Aufgben. oder. zur Berbeitung us.) Aufgbe * Them/Inhlt: (Hinweis: Stochstik Wählen Sie eine der beiden Aufgben. oder. zur Berbeitung us.) * keine Beispielufgben vorhnden. Leistungskurs (CAS) Seite 7 von

28 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Nme:... Notieren Sie Ihre Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse in der in der üblichen Form und nicht in der CAS-Eingbeform. Aufgbe. CAS (Anlysis): Volumen einer Birne x Gegeben ist eine Funktion f mit ( ) f x x e, x 0 ) Berechnen Sie die Nullstelle von f und untersuchen Sie den Grphen von f uf reltive Extrempunkte und deren Art. f x und ds Verhlten von f ' x für + x 0 n und zeichnen Sie den Geben Sie lim ( ) ( ) x + Grphen von f für mindestens 0 x 8, LE cm. b) Der Grph von f rotiert über dem Intervll [0;] um die x-achse. Berechnen Sie ds Volumen des entstehenden Rottionskörpers. c) Nebenstehende Skizze zeigt ds Profil einer längs durchgeschnittenen Birne. Der oberhlb der x-achse gelegene Teil des Rndes wird durch Funktionsgrphen modelliert Für 0 x wird der Grph von f verwendet. Für x wird der Grph von g mit ( x) x b g + verwendet. Die Funktion g soll für x die beiden Bedingungen () g ( ) f () und () g '( ) f '() erfüllen. Begründen Sie, wrum dies zwei sinnvolle Bedingungen für die Modellierung sind. Berechnen Sie die Werte für und b und ds Volumen der Birne für die Einheit cm. Hinweis: Je nch verfügbrem Rechner knn ein Qudrieren der Gleichungen des zu lösenden Gleichungssystems hilfreich sein. [Zur Kontrolle: g( x) 6 x.] e d) Auch für dickere und für dünnere Birnen soll ds Volumen bestimmt werden. Dzu werden die Funktionen k fk x k x e, x 0 und k > 0, für den linken Teil der Profillinien für 0 x verwendet und für x weiterhin eine Funktion der Form g ( x) x + b mit entsprechenden Bedingungen () und () us Teil c). Bestimmen Sie ds Volumen der Birne in Abhängigkeit von k. Zeigen Sie, dss unbhängig von k die Birne nur bei x ihre dickste Stelle hben knn und ermitteln Sie den Wert von k, für den die Birne genu so dick wie lng ist. 6 f ( x) für x e) Für 0 x wird die Funktion h mit h( x) nochmls genuer n der g( x) für x Stelle betrchtet. Zeigen Sie, dss W ( h( ) ) ein Wendepunkt ist, obwohl die Funktion h die Bedingung h ( ) 0 nicht erfüllen knn. Erläutern Sie dies. f mit ( ). x Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) uf die Teilufgben Teilufgbe ) b) c) d) e) Summe BE Leistungskurs (CAS) Seite 8 von

29 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Beispielufgben für die Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Leistungskurs (CAS) Erwrtungshorizont. für Lehrkräfte Prüflinge. Themen / Inhlte: Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Anlysis (/ Anlytische Geometrie* / Stochstik*) Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 80 Minuten Erwrtungshorizont Die Beschreibungen der erwrteten Leistungen enthlten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angben. Hier nicht gennnte, ber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die ufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Vrinte uf. Für ndere Lösungswege oder Lösungsnsätze, die logisch drgestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der drgestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der ngegebenen Weise ufzuteilen. Dmit die Möglichkeit besteht, den eigenen didktischen Aspekten bei der Bewertung genug Rum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro Teilufgbe z. B.. ) ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich uf diesen Zwischenergebnissen ufbuenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern versehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht nzuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfcher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Opertoren in den Aufgbenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläuterungen, uf deren Drstellung im Erwrtungshorizont weitgehend verzichtet wird, knn die Lehrkrft ihren pädgogischen Spielrum nutzen und sich n ihrer bisherigen Unterrichtsprxis orientieren. Im Erwrtungshorizont wird teilweise uf formle mthemtische Vollständigkeit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwrten ist. * keine Beispielufgben vorhnden Leistungskurs CAS Seite 9 von

30 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Erwrtungshorizont zu Aufgbe. CAS (Anlysis): Volumen einer Birne Teilufgbe Beschreibung der erwrteten Schülerleistung BE/AB I II III ) Nullstellenbestimmung mit ( x) 0 x f : x e 0 x 0. Untersuchung uf reltive Extrempunkte: f ' x Angbe von ( ) x x x e xe und Angbe der Lösung zu x f '( x) 0 : x xe xe 0 x. x Angbe von ( x) x f x e <, f ( ) e 0, x x x Schlussfolgerung, dss eine reltive Mximlstelle ist und Angbe von H. e x Angbe von lim x e 0 und x x von lim x e +. x 0 + x Zeichnung des Grphen von f: b) b x Anstz für ds Rottionsvolumen: V π f ( x) dx 6π x e dx, 0 ( ) 7 Angbe von V 6 π e e 5 5, Leistungskurs mit CAS Seite 0 von

31 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Teilufgbe Beschreibung der erwrteten Schülerleistung BE/AB I II III c) Begründung: g ( ) f () bedeutet, dss die Profillinie der Birne für x ohne Sprung verläuft und g '() f '() bedeutet, dss kein Knick uftritt. Angbe von g '( x), Aufstellen des nicht lineren Gleichungssystems + b 8 e e und x + b + b Angbe der Lösung 8e b 56e. V Birne Vc) + VStielende. Berechnung der Nullstelle von g ls obere Integrtionsgrenze und Bestimmung von 6 6π 8π V Stielende (6 ),5 x dx. Angbe des Volumens e e V Birne 5,7 cm +,5 cm 8, cm. d) g ( ) fk () und g '() fk '() liefert + b k e und k e, k e b 6k e. + b Volumen des Rottionskörpers für 0 x : V k x x e dx V k π e e 5 0 π ( ) Volumen für ds Stielende: V k St π (6 x )dx 8k π e e Volumen für die Birne: VBirne V + VSt π k 7. e 5 Lösung der Gleichung ( x ) 0 : 6 k k e x x, x fk x 0 lso knn sich ds reltive Mximum nur n der Stelle befinden. Länge der Birne: l 6 x einen Durchmesser von. Die Birne besitzt n ihrer dicksten Stelle k d fk () ; e Berechnung von 8 k e. Leistungskurs mit CAS Seite von

32 Zentrle schriftliche Abiturprüfung 00 Teilufgbe e) Betrchtung von g ''( Beschreibung der erwrteten Schülerleistung x x x e und von f ''( x) x 9e 7 x) ergibt: ''() e 8 (6 x) ( ) 0 f und 9e g ''(). 8 ist Wendestelle, d f > (Linkskrümmung) und g ( ) < 0 (Rechtskrümmung), obwohl h ( ) 0 nicht möglich ist. Feststellung, dss h n der Stelle nicht zweiml differenzierbr ist und die Bedingung h ( x) 0 nur für mindestens zweiml differenzierbre Funktionen notwendig für Wendestellen ist. BE/AB I II III 5 Summen in den Anforderungsbereichen Summe 0 Leistungskurs mit CAS Seite von