Puls-Code-Modulation. Thema: PCM. Ziele

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1 Puls-Code-Modulation Ziele Mit diesen rechnerischen und experimentellen Übungen wird die Vorgehensweise zur Abtastung und linearen Quantisierung eines analogen Signals erarbeitet. Bei der Abtastung werden insbesondere die spektralen Eigenschaften des abgetasteten Signals vorgestellt. Bei der Quantisierung werden die dabei auftretenden Fehler sowie die quantitative Beschreibung durch ein Signal-/Rauschleistungsverhältnis erläutert. Übungsaufgabe 1 Ein Cosinussignal x( t) = cos(2 π f t) wird zur digitalen Verarbeitung des Signals mit einer Abtastfrequenz von f a = 8 khz abgetastet. a) Bei welchen Zeitpunkten erfolgt die Abtastung des Signals im Zeitbereich 0 t 1 ms, wenn die Abtastung bei t = 0 ms einsetzt. b) Berechnen Sie die Abtastwerte eines Cosinussignals x 1 (t), das eine Frequenz von 1 khz besitzt, und eines Cosinussignals x 2 (t), das eine Frequenz von 2 khz besitzt, im Zeitbereich 0 t 1 ms. Wie viele Abtastwerte beschreiben jeweils eine Periode des Signals? Skizzieren Sie die Abtastwerte in den nachstehenden Diagrammen. x 1 (nt) ,5 1 Zeit/ms x 2 (nt) ,5 1 Zeit/ms -1 H. Günter Hirsch Version: pa1 Seite 1 (8)

2 Skizzieren Sie in den nachstehenden Diagrammen die Betragsspektren der abgetasteten Cosinussignale in einer zweiseitigen spektralen Darstellung. X 1ab (f) X 2ab (f) c) Bis zu welcher Frequenz können Sie bei einer Abtastung mit f a = 8 khz Cosinussignale fehlerfrei erfassen? d) Bestimmen Sie die Abtastwerte eines Cosinussignals x 3 (t), das eine Frequenz von 4 khz besitzt, und eines Sinussignals x 4 (t), das ebenfalls eine Frequenz von 4 khz besitzt. Kann ein Signal, das eine Frequenzkomponente bei der halben Abtastfrequenz beinhaltet, fehlerfrei erfasst werden? e) Bestimmen Sie die Abtastwerte eines Cosinussignals x 5 (t), das eine Frequenz von 7 khz besitzt? Vergleichen Sie die Werte mit den unter b) berechneten Werten. Skizzieren Sie das Betragsspektrum des abgetasteten Signals im nachstehenden Diagramm. X 5ab (f) Experimentelle Aufgabe 1 Kontrollieren Sie Ihre Berechnungen in Aufgabe 1-b, in dem Sie die Abtastwerte in der graphischen Oberfläche des Signal-Generators bestimmen. Generieren Sie einen 1 s langen Sinuston mit der Frequenz 1 khz bei einer Abtastfrequenz von 16 khz. Hören Sie sich den Ton an. Überlegen Sie, bei welcher höheren Frequenz (oberhalb der halben Abtastfrequenz) eines Sinussignals sich ein digitales Signal ergibt, das auf Grund der spektralen H. Günter Hirsch Version: pa1 Seite 2 (8)

3 Rückfaltung bei Verletzung des Abtasttheorems nach der Rekonstruktion ebenfalls als 1 khz Ton hörbar wird: khz Kontrollieren Sie Ihre Überlegung durch Generierung und Anhören des entsprechenden Sinustons. Übungsaufgabe 2 Es wird ein analoges Signal x(t) betrachtet, dessen Betragsspektrum im nachfolgenden Bild dargestellt ist. X(f) Das analoge Signal wird zu diskreten Zeitpunkten mit einer Frequenz von 8 khz abgetastet. Skizzieren Sie das Spektrum des abgetasteten Signals im Bereich von 16 khz bis +16 khz in der nachstehenden, zweiseitigen spektralen Darstellung. X ab8 (f) Skizzieren Sie im nachstehenden Diagramm das Spektrum des abgetasteten Signals im Bereich von 16 khz bis +16 khz, wenn das analoge Signal mit einer Frequenz von 12 khz abgetastet wird. X ab12 (f) Experimentelle Aufgabe In einem Experiment soll das wiederholte Auftreten des TP-Spektrums eines analogen Signals bei Vielfachen der Abtastfrequenz im Spektrum des abgetasteten Signals aufgezeigt werden. Generieren Sie dazu für eine Abtastfrequenz von 2560 Hz ein 100 ms langes Signal, das aus mehreren Schwingungen eines Cosinussignals mit einer Frequenz von 100 Hz besteht. Bestimmen Sie mit der graphischen Oberfläche zur FFT-Analyse (Anwendung der Diskreten Fourier Transformation in einer schnellen = fast Variante) das Spektrum des Signals. Durch Anklicken H. Günter Hirsch Version: pa1 Seite 3 (8)

4 mit der Maus können Sie Frequenz und Amplitude (in db) einer einzelnen Komponente bestimmen. Bei welcher Frequenz tritt eine Spektrallinie auf:.. Hz Um das Auftreten der spektralen Wiederholungen bei Vielfachen der Abtastfrequenz f a = 1 zu T veranschaulichen, wird das analoge Abtastsignal x ab ( t) betrachtet, dessen Amplitude nur zu den Abtastzeitpunkten n T ungleich Null ist. Ein Abschnitt eines solchen Signals ist im nachstehenden Bild dargestellt. ( ) t x ab 0 T 2T t 3T 4T 5T Bei der Anwendung einer Diskreten Fourier Transformation (DFT) auf ein mit f a abgetastetes Signal kann das Spektrum nur bis zur halben Abtastfrequenz bestimmt werden. Damit nach einer DFT die spektralen Wiederholungen sichtbar werden, muss das Signal folglich mit einer höheren Frequenz als f a abgetastet werden. Skizzieren Sie im nachstehenden Diagramm die aus einer Abtastung des analogen Signals resultierenden Abtastwerte, wenn die Abtastung mit dem Vierfachen der ursprünglichen Abtastfrequenz vorgenommen wird (Überabtastung mit 4 f soll zeitlich synchronisiert zur a ursprünglichen Abtastung mit f a = 1 erfolgen). T 0 T 2T t 3T 4T 5T Die Überabtastung um einen ganzzahligen Faktor führt somit zu einer Einfügung von Nullwerten zwischen 2 Abtastwerten. Wie viele Nullwerte müssen bei einer Überabtastung um den Faktor 4 eingefügt werden: Die Überabtastung kann in der graphischen Oberfläche des Signal-Generators durch Auswahl des Menüpunkts Abtastrate und überabtasten erfolgen. Betrachten Sie nochmals die 100 ms lange H. Günter Hirsch Version: pa1 Seite 4 (8)

5 Cosinusschwingung mit einer Frequenz von 100 Hz bei einer Abtastfrequenz von 2560 Hz. Nehmen Sie eine Überabtastung mit dem Faktor 4 vor. Wie groß ist die Abtastfrequenz des überabgetasteten Signals: Hz Bestimmen Sie mit der graphischen Oberfläche zur FFT-Analyse das Spektrum des Signals mit einer FFT-Länge der Bei welchen Frequenzen treten nun Spektrallinien auf: 1) Hz 2) Hz 3) Hz 4) Hz Übungsaufgabe 3 Die Abtastwerte eines zeitdiskreten Signals werden quantisiert. Dazu wird der Amplitudenbereich -1 x(n) 1 linear in 8 Intervalle unterteilt. Alle in einem Intervall auftretenden Amplitudenwerte werden zur späteren Rekonstruktion des wiederum analogen Signals auf den Wert in der Intervallmitte abgebildet. a) Welche Breite besitzt ein Quantisierungsintervall? Skizzieren Sie im nachstehenden Diagramm den Verlauf der Quantisierungskennlinie x(n) x(n) Im folgenden Bild sind 4 Amplitudenwerte eines abgetasteten Signals dargestellt. H. Günter Hirsch Version: pa1 Seite 5 (8)

6 x(n) Index n c) Bestimmen Sie die sich ergebenden Amplitudenwerte xˆ ( n) bei einer Quantisierung mit der zuvor bestimmten Quantisierungskennlinie. Bestimmen Sie die dabei auftretenden Quantisierungsfehler e(n). In welchem Amplitudenbereich treten die Quantisierungsfehler auf? Berechnen Sie die Leistung N des Quantisierungsrauschens. d) Wie viele Bits werden zur Darstellung der 8 Quantisierungsniveaus in einem Digitalrechner benötigt? Welches SNR stellt sich unter der Annahme ein, dass die Signalwerte im Bereich -1 x(n) 1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten? e) Wie groß ist die Signalleistung S, wenn das Signal nur Amplitudenwerte im Bereich -0,5 x(n) 0,5 annimmt, wobei alle Werte in dem Bereich mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten? Welches SNR stellt sich bei einer Quantisierung dieses Signals ein? Experimentelle Aufgabe 3 Mit welchen Signalformen, die in der graphischen Oberfläche des Signalgenerators zur Verfügung gestellt werden, kann ein Signal erzeugt werden, dessen Amplituden eine Gleichverteilung aufweisen: Generieren Sie sich mit dem Signalgenerator ein 2s langes Signal bei einer Abtastfrequenz von 8 khz, das eine Gleichverteilung im Bereich von 1 bis +1 aufweist. Übernehmen Sie das zuvor generierte Signal in der graphischen Oberfläche zur Quantisierung. In dieser Oberfläche können verschiedene Modi der Quantisierung gewählt sowie die Bitanzahl vorgegeben werden. Das sich dabei einstellende SNR wird angezeigt. Quantisieren Sie das Signal H. Günter Hirsch Version: pa1 Seite 6 (8)

7 linear und codieren Sie es mit k=2, 4, 6, 8, 10 Bits. Tragen Sie die sich dabei einstellenden SNRs in die nachstehende Tabelle ein: k/bit SNR/dB Welcher Zusammenhang gilt näherungsweise zwischen dem SNR und der Bitanzahl k: SNR = Generieren Sie mit dem Signalgenerator ein 2s langes Sinussignal mit einer Frequenz von 10 Hz bei einer Abtastfrequenz von 8 khz. Quantisieren Sie dieses Signal linear und codieren Sie es mit k=2, 4, 6, 8, 10 Bits. Tragen Sie die sich dabei einstellenden SNRs in die nachstehende Tabelle ein: k/bit SNR/dB Wie erklären Sie sich die im Vergleich zu einem gleichverteilten Signal unterschiedlichen SNR- Werte? Überlegen Sie sich dazu, wie die Verteilungsdichtefunktion eines Sinussignal näherungsweise aussieht. p(x) x Generieren Sie mit dem Signalgenerator ein 2s langes Gaußverteiltes Rauschsignal bei einer Abtastfrequenz von 8 khz. Skizzieren Sie in dem nachstehenden Diagramm das prinzipielle Aussehen der Verteilungsdichtefunktion dieses Signals. p(x) x Quantisieren Sie dieses Signal linear und codieren Sie es mit k=2, 4, 6, 8, 10 Bits. Tragen Sie die sich dabei einstellenden SNRs in die nachstehende Tabelle ein: H. Günter Hirsch Version: pa1 Seite 7 (8)

8 k/bit SNR/dB Wie erklären Sie sich die im Vergleich zu einem gleichverteilten Signal unterschiedlichen SNR- Werte: Laden Sie in der graphischen Oberfläche zur Quantisierung das Sprachsignal artos_ofenrohr_16k.wav. Bestimmen Sie das sich einstellende SNR bei einer linearen Quantisierung und Codierung mit k = 10, 8, 6, 4, 2, 1 Bit. Tragen Sie die Werte in die nachstehende Tabelle ein. Hören Sie sich das quantisierte Signal und den Quantisierungsfehler jeweils an. k/bit SNR/dB H. Günter Hirsch Version: pa1 Seite 8 (8)