Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -"

Transkript

1 Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen.. Wünsch euch llen viel Erfolg eim Lernen und einen Topf voll Glück für die nächste Woche! TSCHAKA, ihr schfft ds!! ;)

2 Mthe GK, Henß Linere Gleichungssysteme Eine Und-Verknüpfung von zwei oder mehreren lineren Gleichungen heißt lineres Gleichungssystem. Ds System ( I) ( II) ( III) heißt lineres Gleichungssystem us drei Gleichungen und drei Vrilen. Die reellen Zhlen vor den Vrilen,..., heißen Koeffizienten. Die Lösungsmenge wird wie folgt ngegeen: L {( / / )} Verschiedene Lösungsverfhren Einsetzungsverfhren (für zwei Gleichungen) eine Gleichung nch einer elieigen Vrinte uflösen ermittelter Wert in ndere Gleichung einsetzen Gleichsetzungsverfhren (für zwei Gleichungen) eide Gleichungen nch derselen Vrile (oder einem Vielfchen dvon) uflösen gleichsetzen. Vrile Additionsverfhren (für zwei Gleichungen) eide Gleichungen so multiplizieren, dss eine Vrile is uf ds entgegen gesetzte Vorzeichen den gleichen Koeffizient ht ddieren Ergenisse gleichsetzen Gußscher Algorithmus Ds Gleichungssystem wird durch Umformungen (Additionsverfhren) uf eine Stufenform gercht. ( I) ( III) ( II) Dnn wird schrittweise nch den Vrilen, und ufgelöst. Proe durch Einsetzen der Lösungen in lle Gleichungen (Ausgngsform). Seite

3 Mthe GK, Henß Lösungen Gleichungssysteme dieser Art esitzen entweder keine, genu eine oder unendlich viele Lösungen. - genu eine Lösung wenn Anzhl der Gleichungen Anzhl der gelösten Vrilen L {( / / )} - keine Lösung (leere Menge) ei Ungleichungen (z.b. ) L {} - unendlich viele Lösungen wenn weniger Gleichungen ls Uneknnte ( ) weiter rechnen -. Gleichung nch. Vrile uflösen - ermittelten Wert in erste Gleichung einsetzen - nch letzter Vrile uflösen Beispiel ( I) ( II) ( III) ( I) ( II) ( III), ( I), ( I),7,,,,7, ( I) ( II' ) ( III' ) ( II' ),7,,7 Die Stufenform ist erreicht. Jetzt,6, 6 erechnen und einsetzen. Jetzt erechnen, einsetzen und erechnen.,,6,,6,,,6 Ds Zhlentripel L (, /, /,6) (, /, /,6) ist die Lösung des Gleichungssystems. Seite

4 Mthe GK, Henß Vektorrechnung Unter einem Vektor versteht mn die Menge ller gleichen (prllelen) Strecken (Pfeile) mit gleicher Länge und Richtung. Der Gegenvektor v eines Vektors v ht ls Repräsentnten Pfeile, die sich von denen des Vektors nur in der Richtung unterscheiden. Ortsvektor Punkt im Koordintensystem Kntenvektor "Pfeil" im Koordintensystem Nullvektor Vektoren mit der Länge Krtesisches Koordintensystem - Drei sttt zwei Achsen - Achse kommt us der Tfel herus hle Längeneinheit einteilen. - Mn eginnt immer eim Ursprung. Punkt verschieen von A A Spltenvektor und Komponenten des Vektors: - nch vorne v AA' - nch rechts - nch oen Ortsvektoren Kntenvektor P( Q( / y / y / z / z v PQ OQ OP y z ) ) y z Seite

5 Mthe GK, Henß Seite Vektorddition (und -sutrktion) rechnerisch Zwei Vektoren werden ddiert, indem mn die einzelnen Koordinten ddiert., Die Sutrktion eines Vektors ist die Addition des Gegenvektors. ( ) Vektorddition (und -sutrktion) zeichnerisch Zwei mögliche Verfhren:. Prllelogrmm Anfngspunkt der Vektoren mit Punkt verinden.. Zweiten n ersten Vektor nhängen (Krfteck) Rechengesetze - Vertuschungsgesetz (Kommuttivgesetz) - Verindungsgesetz (Assotitivgesetz) ) ( ) ( c c - Nullvektoren - inverse Vektoren (Gegenvektor) * * Mittelpunkt zweier Ortsvektoren (Punkte) erechnen Welchen Mittelpunkt hen die Punkte ) / ( A und? 6) B( / : M Lösung: ) M ( /

6 Mthe GK, Henß Betrg eines Vektors Der Betrg eines Vektors ist gleich der Länge der Strecke AB. Vektor einer Eene Vektor eines Rumes Vektor estimmen gegeen: Ortsvektoren ("Punkte") Ergenis: Kntenvektor ("Pfeil") Mn geht vom ersten Punkt A entlng der eingezeichneten Vektoren nch Punkt B. Vektoren sind gleich, wenn sie prllel liegen, gleich lng sind und die gleiche Richtung hen. Für die Berechnung des Vektors gilt: AB Spitze Fuß Betrg / Länge eines Vektors erechnen gegeen: Vektor Ergenis: Wert (Länge / Betrg des Pfeils) ² ² ² Betrg eines Vektors erechnen gegeen: Ortsvektoren Ergenis: Wert (Betrg) AB y z y z ( )² ( y y)² ( z z)² Seite 6

7 Mthe GK, Henß Vektoren vergleichen Berechne und Vergleiche die Beträge der Vektoren.. Beträge der Vektoren unhängig voneinnder erechnen.. Vergleichen: - Vorzeichenwechsel (lle entgegengesetzt) Richtungswechsel - Vielfche Bsp.: Der Vektor ist ml so lng und ht diesele Richtung. Achtung : Unterscheiden zwischen Ortsvektoren und Kntenvektoren!! Löse die Gleichung.. Klmmern uflösen. Gleichung nch zw. umstellen. Zusmmenzählen S-Multipliktion (rechnerisch & zeichnerisch) Multipliktion eines Vektors mit einer reellen Zhl Der Vektor r v ist r -ml so lng wie der Vektor v. Für r > sind r v und v gleichgerichtet. Für r < sind sie entgegengesetzt gerichtet. Rechengesetze (All diese Gesetze sind nicht zu eweisen.) - Vertuschungsgesetz (Kommuttivgesetz) o r r o - Eingeschränkt gilt uch ds Verindungsgesetz (Assotitivgesetz) ( r s) o r o ( s o ) - Nullvektor o - inverse Vektoren (Gegenvektor) o - Verteilungsgesetz (. Distriutivgesetz) ( r s) o r o s o - Verteilungsgesetz (. Distriutivgesetz) r o ( ) r o r o Üungen S. 7 No. 7-9 Seite 7

8 Mthe GK, Henß Linere Ahängigkeit und linere Unhängigkeit Mn nennt eine Summe von Vielfchen von Vektoren eine Linerkomintion dieser Vektoren. Die Vektoren,, c und sind gegeen. r s t c - Vektoren heißen voneinnder liner hängig, wenn ds Gleichungssystem lösr ist. r s t c - wenn keine Lösung Antwort: ist keine Linerkomintion der Vektoren,, c. - wenn Gleichungssystem lösr Antwort:,,, c sind liner hängig. - Sind zwei Richtungsvektoren liner hängig, so liegen sie uf einer Gerden. - Sind zwei Richtungsvektoren liner unhängig, so erzeugen sie eine Eene. Die Gerden sind nicht prllel. - Wenn ich drei Vektoren he und einer der Vektoren liegt nicht in der Eene, dnn sind sie liner unhängig. - Sind drei Vektoren liner hängig, so liegen lle drei in einer Eene. - Sind drei Vektoren liner unhängig, so erzeugen sie einen dreidimensionlen Rum. Beispiel Sind m und n liner hängig? m, n 9 6 Um zu üerprüfen, o m und n liner hängig sind, muss ich sie ls Linerkomintion drstellen. m s n 9 6 s s s s Antwort: m und n sind liner hängig. ( n ist ein Vielfches von m liegen uf einer Gerden.) Üung: S. 7 No. 8 Seite 8

9 Mthe GK, Henß Sklrprodukt von Vektoren Multipliktion zweier Vektoren. Ds Ergenis ist eine reelle Zhl. Sind und zwei Vektoren, so nennt mn cosα ds Sklrprodukt der Vektoren. α ezeichnet den von und eingeschlossenen Winkel. o cosα o Beispiel AB Rechnung und CD 6 α ist ei uns immer, lso reicht *g* Berechnung des Sklrprodukts us den Koordinten der Vektoren Es sind und. Beispiel 8 Orthogonlität von Vektoren Ds Sklrprodukt zweier Vektoren ist genu dnn, wenn die eiden Vektoren senkrecht ufeinnder stehen. Es sind und. Es gilt, wenn. orthogonl senkrecht Seite 9

10 Mthe GK, Henß Gerden und Eenen Gerdengleichung in Prmeterdrstellung Um eine Gerde zeichnen zu können, rucht mn mindestens Punkte (Ortsvektoren), durch die die Gerde geht. Zur Bestimmung ller nderen Punkte uf der Gerden: Gerdengleichung in Prmeterdrstellung: g : λ r Hierei ist ein Stützvektor, λ ein Prmeter und r ein Richtungsvektor von g. Gerdengleichung ufstellen Gi eine Gerdengleichung für die Gerde g durch A ( / /) und B ( / / ) n. Lösung: (unverändert) und r AB 7 Mn erhält: g : λ 6 (Es könnte z.b. uch ls Stützvektor und 7 ( ) 6 7 BA ls Richtungsvektor gewählt werden.) 6 Andere Gerdengleichungen ngeen. Möglichkeit, ndere Gerdengleichungen zu finden: r vervielfchen. Möglichkeit: Für λ eine elieige Zhl einsetzen, usrechnen und den Wert für einsetzen. Punkte uf der Gerden estimmen Gee drei Punkte uf der Gerden g : n. Lösung: Setzt mn in die gegeene Gleichung für ncheinnder z.b. die Werte, und - ein, so erhält mn die Vektoren, und X (/ / ) und X (/ /) liegen uf der Gerden g. Punktproe Prüfe, o der Punkt A( 7 / / 8) uf der Gerden. Ds heißt, die Punkte X ( // ), g : liegt. Formelsmmlung: S. Lösung: A für einsetzen. Wenn A uf g liegt, dnn muss es eine reelle Zhl geen, die die Gleichung 7 erfüllt. Aus 8 7 folgt und es gilt sowohl ( ) ( ) ls uch ( ) ( ) 8. A liegt somit uf g. Seite

11 Mthe GK, Henß Feststellung der gegenseitigen Lge zweier Gerden prllel? j nein identisch? Schnittpunkt? j nein j nein g h g II h g und h hen einen Schnittpunkt g und h sind windschief gegeen: Gerden g und h g : λ r h : r Prllel? Bedingung: Der Richtungsvektor muss ein Vielfches des nderen Richtungsvektors sein. r r Identisch? Bedingung: Der Stützvektor der einen Gerden muss ein Punkt der nderen Gerden sein. zw. für in die ndere Gerdengleichung einsetzen Schnittpunkt? Die eiden Gerdengleichungen gleichsetzen g h Gleichungssystem mit Gleichungen: Mit zwei Gleichungen λ und erechnen. Werte zur Kontrolle in die dritte Gleichung einsetzen. Bedingung: Gleichungssystem muss lösr sein. 7 g : λ h : 6 Prllel? Die Gerden sind nicht prllel. Identisch? 7 6 g und h sind uch nicht identisch. - Klr, wenn sie nicht prllel sind.. Schnittpunkt? 7 λ 6 Gleichungssystem: 7 λ λ λ 6 LGS ht die Lösung λ und. Also schneiden sich g und h. LGS lineres Gleichungssystem Seite

12 Mthe GK, Henß Schnittpunkt ngeen λ zw. in eine der eiden Gerdengleichungen einsetzen. ist der Schnittpunkt. 7 g und h schneiden sich somit im Punkt S ( / /). Windschief? Bedingung: Die eiden Gerden sind nicht prllel und hen uch keinen Schnittpunkt. Windschief? In diesem Fll nicht. Seite

13 Mthe GK, Henß Eenengleichung / Prmeterdrstellung einer Eene Eine Eene im Rum knn mn durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren eschreien. Der Normlenvektor steht senkrecht uf der Eene, ist lso orthogonl zu den zwei gegeenen Richtungsvektoren. E : λ t u Um eine Eenengleichung ufstellen zu können, ruche ich entweder zwei Richtungsvektoren t und u und einen Stützvektor oder Punkte (sofern sie nicht uf einer Gerden liegen). Ds edeutet: Setzt mn in λ t u für λ und irgendwelche Zhlen ein, ekommt mn stets den Ortsvektor eines Punktes der Eene. Umgekehrt lssen sich zu jedem Punkt X der Eene Zhlen λ und so finden, dss λ t u der Ortsvektor von X ist. Eenengleichung us Gerdengleichungen ufstellen - für : einen der eiden Stützvektoren oder den Schnittpunkt - für t : Richtungsvektor der. Gleichung - für u : Richtungsvektor der. Gleichung Eenengleichung us einer Gerdengleichung und einem Punkt ufstellen gegeen: λ und P(/ /) Lösung: Der Anfng leit. Als zweiter Richtungsvektor für die Eenengleichung wird der Vektor AP gewählt. 7 E : λ Eenengleichung us Punkten ufstellen gegeen: A ( / /), B (/ / ), C ( / / ) Lösung: λ AB AC 6 E : λ Formelsmmlung: S. Punktproe Liegen die Punkte A und B in der Eene? Lösung: A zw. B für einsetzen Seite

14 Mthe GK, Henß Seite Normlenvektor einer Eene Normlenvektor us einer Prmeterdrstellung estimmen (Kreuzprodukt / Vektorprodukt) : λ E - Richtungsvektoren zeilenweise ufschreien - Determinnte erechnen e e e -. Zeile und erste Splte zuhlten: (links oen ml rechts unten) - (rechts oen ml links unten) - Jede zweite Zeile wechselt ds Vorzeichen. -. Zeile und. Splte zuhlten: (links oen ml rechts unten) - (rechts oen ml links unten) -. Zeile und. Splte zuhlten: (links oen ml rechts unten) - (rechts oen ml links unten) Es ergit sich.. ) ( ) ( )) ( ( n

15 Mthe GK, Henß Drstellungsformen einer Eene Prmeterform E : OA λ AB AC Dei sind AB und AC Richtungsvektoren und OA ein Stützvektor der Eene. Normlenform ( p) o n Dei ist p ein Stützvektor und n ein Normlenvektor der Eene. Sonderfll: Ist n n, ein Einheitsvektor, so spricht mn von der Hesse'schen Normlform. Beispiel n ist der Normlenvektor der Eene. Koordintengleichung E : y z d Der Vektor ist ein Normlenvektor der Eene. Ürigens: Unterscheiden sich die Koordintengleichungen zweier Eenen nur in der Konstnten d, so sind die Eenen zueinnder prllel. Umwndlung: Normlenform in Koordintendrstellung Ich setze die Koordinten des Normlenvektors ein.. E : y z d.. und erechne d mit d n p p ist ein elieiger Punkt der Eene (zum Beispiel der Stützvektor). 8 7 d o E : y z 7 Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit der Länge. Seite

16 Mthe GK, Henß Seite 6 Umwndlung: Koordintendrstellung in Prmeterform Ich stelle die Gleichung nch der einfchsten Vrile (, y oder z) um.. z y 7.. und stelle dnn ein Lineres Gleichungssystem uf: z z y y z y 7 Drus ergit sich die Eenengleichung: : 7 λ z y E Umwndlung: Prmeterform in Koordintenform 8 : λ E. Normlenvektor estimmen 8 8 n. Einsetzen in Koordintengleichung o d z y Umwndlung: Koordintenform in Normlenform Um eine Eene in der Normlform ufzustellen, ruche ich den Normlenvektor. Diesen lese ich us der Koordintengleichung. Für den Vektor p wähle ich elieige Zhlen, die die Gleichung erfüllen. 8 Umwndlung: Prmeterform in Normlenform Normlenvektor estimmen (Kreuzprodukt) und Stützvektor üernehmen 8 Umwndlung: Normlenform in Prmeterform zuerst in Koordintendrstellung, dnn in die Prmeterform ringen

17 Mthe GK, Henß Feststellung der gegenseitigen Lge zweier Eenen prllel? j nein identisch? E und E hen eine Schnittgerde j nein E und E sind identisch E E E und E sind echt prllel E II E gegeen: Eenen E und E λ t E : λ η t E : η υ E : u E : υ u Prllel? Bedingung: Jeder Richtungsvektor der einen Eene muss sich ls Linerkomintion der eiden Richtungsvektoren der nderen Eene drstellen lssen. oder: Ein Normlenvektor muss ein Vielfches des nderen sein. Prllel? E υ : η η υ Identisch? Bedingung: Der Stützvektor der einen Eene muss ein Punkt der nderen Eene sein. zw. für einsetzen Identisch? E : η υ Geht j uch nicht, wenn sie nicht prllel sind *g*. Schnittgerde erechnen Die eiden Eenengleichungen gleichsetzen E E Gleichungssystem mit Gleichungen, er Uneknnten :( Schnittgerde λ η υ Gleichungssystem ufstellen λ η λ η η υ υ υ Üung S. 7 No. 7 Seite 7

18 Mthe GK, Henß Seite 8 Die ersten eiden Gleichungen nch η und υ uflösen.. λ η υ λ,..und in die dritte Gleichung einsetzen. ) ( ), ( λ λ Dnn nch λ und umstellen. λ λ Ds LGS ht lso unendlich viele Lösungen, d.h. die Eenen schneiden sich. Schnittgerde ngeen In eine der eiden Gleichungen λ oder einsetzen. ist die Schnittgerde. : E Die Gleichung lässt sich vereinfchen. 6 : g

19 Mthe GK, Henß Seite 9 Feststellung der gegenseitigen Lge einer Gerde und einer Eenen prllel? Liegt g in E? g und E hen einen Schnittpunkt j nein g liegt in E g und E sind echt prllel g II E j nein g E gegeen: Gerde g und Eene E r g λ : u t E υ η : : λ g : ν E Prllel? Richtungsvektor der Gerdengleichung mit der Eenengleichung ohne Stützvektor gleichsetzen Gleichungssystem ufstellen und lösen u t r υ η Bedingung: Gleichungssystem lösr Prllel? ν ν ν ) ( ν ν ν ν 6 8 ν

20 Mthe GK, Henß Liegt Gerde in der Eene? Ein Punkt der Gerde in die Eene einsetzen: Liegt Gerde in der Eene? In diesem Fll nicht. Stützvektor us Gerdengleichung für in die Eenengleichung einsetzen. Gleichungssystem ufstellen und lösen. r η t υ u lösr Die Gerde liegt in der Eene. nicht lösr Gerde und Eene sind echt prllel. Schnittpunkt? Gerden- und Eenengleichung gleichsetzen. g E Gleichungssystem ufstellen und nch λ, und υ uflösen. Zur Proe in eine Gleichung des Gleichungssystems einsetzen. Schnittpunkt (wenn vorhnden) ngeen Jetzt nur noch λ in die Gerdengleichung oder und υ in die Eenengleichung einsetzen. ist der Schnittpunkt. Schnittpunkt? λ ν ν λ Ds Gleichungssystem ergit: λ ν Proe: ( ) ( ) Gerde und Eene hen einen Schnittpunkt. Schnittpunkt Gerde und Eene schneiden sich im Punkt S ( / / ). Seite

21 Mthe GK, Henß Seite Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren o α cos Schnittwinkel zweier Gerden mit den Richtungsvektoren v und v gegeen: Gerden g und h Wenn die Gerden einen Schnittpunkt hen, lässt sich ihr Schnittwinkel erechnen. Bedingung: Gerden dürfen nicht prllel sein : t g : r h Schnittpunkt erechnen Zunächst muss ich lso üerprüfen, o die Gerden einen Schnittpunkt hen. t r t t r r r t r einsetzen: 6 : h (6 //) S v und v sind die eiden Richtungsvektoren der Gerden. cos v v v v o α, cos o α 7, α Antwort: Der Schnittwinkel der Gerden eträgt 7,. Mn ekommt immer den kleineren Winkel herus.

22 Mthe GK, Henß Seite Schnittwinkel zweier Eenen mit den Normlenvektoren n und n gegeen: Eenen E und F Wenn Eenen nicht prllel oder identisch sind, lässt sich ihr Schnittwinkel erechnen. : λ E : ν η F Normlenvektoren erechnen Um die Formel enutzen zu können, ruchen wir die Normlenvektoren eider Eenen. n n cos n n n n o α, cos o α 9 8, α Antwort: Der Schnittwinkel der Gerden eträgt 8,9. Mn ekommt immer den kleineren Winkel herus. Weitere Üungsufgen: B.S. No. Siehe S. 6 Normlenvektor einer Eene

23 Mthe GK, Henß Schnittwinkel einer Gerden und einer Eene mit Richtungsvektor r und Normlenvektor n gegeen: Gerde g und Eene E Bedingung: Gerde und Eene hen einen Schnittpunkt. Wenn mn sich vorstellt, dss senkrecht Licht uf die Eene fällt, so entsteht ein Schtten der Gerden. Der Winkel zwischen Schtten und Eene ist der Winkel zwischen Eene und Gerde. g : t E : r s Normlenvektor der Eene erechnen (Kreuzprodukt) n 7 r ist der Richtungsvektor der Gerden. n ist der Normlenvektor der Eenen. r o n cos β r n cos β β 8, 8 7 o 6,89 Wenn wir hier den Kosinus enutzen, erhlten wir den Winkel nicht direkt. α ist der gesuchte Winkel. Es gilt: α 9 β α 9 8,8, Antwort: Gerde und Eene schneiden sich in einem Winkel von,. Vrinte Wenn mn lieer direkt den richtigen Winkel herusekommen möchte, knn mn uch den Sinus verwenden: sinα o 7 6,89 sin α r o n r n α, Seite

24 Mthe GK, Henß Kreis in der Eene Einen Kreis in der Eene knn mn vektoriell einfch eschreien, denn er ist ddurch festgelegt, dss seine Punkte zum Mittelpunkt M denselen Astnd r hen. Sttt Kreis müsste genuer Kreisrnd gesgt werden. Kreisrnd Punktmenge, deren Punkte lle einen gleichen Astnd vom Mittelpunkt M hen Kreisgleichung ( r m ) ( y m ) (Koordintengleichung) oder ( m) r (Vektorgleichung) Für eine Kreisgleichung ruche lso ich Mittelpunkt M und Rdius r. Beispiel Geen Sie für den Kreis mit dem Mittelpunkt M ( / ) und dem Rdius r eine Vektor- und Koordintengleichung n. Lösung Koordintengleichung: ( ) ( y ) Vektorgleichung: Beispiel Ist Punkt P( /) ein Punkt des Kreises ( ) ( y )? Lösung In Kreisgleichung für und y einsetzen: ( ) ( ) 6 6 P liegt nicht uf dem Kreisrnd. Binomis ( ) ( ) Achtung!! ( ) ( ) Seite

25 Mthe GK, Henß Bestimmung von Mittelpunkt und Rdius Beispiel Bestimme den Mittelpunkt und den Rdius des Kreises mit der Gleichung y 6y 6. Lösung Die Gleichung des Kreises ist in die Form ( m r ) ( y m ) zu ringen. y 6y 6 / sortieren nch, y uf der einen und Zhlen uf der nderen Seite y 6y 6 / qudrtische Ergänzung (Zhlen uf eiden Seiten dzu ddieren) ( ) ( y ) / Binomis zusmmenfssen M ( / ), r Formel smmlung: S. 9 Seite

26 Mthe GK, Henß Lge von Punkten zu Kreisen Beispiel Welche Lge hen der Kreis C(/ ) zueinnder? ( ) ( y ) und die Punkte A (/), B( / ) und Lösung Es wird der Astnd des Punktes vom Mittelpunkt des Kreises mit dem Rdius verglichen. A (/) : AM ( ) ( ) Punkt A liegt uf dem Kreisrnd. B ( / ) : BM ( ) ( ) 8 < Punkt B liegt innerhl des Kreises. C (/ ) : CM ( ) ( ) > Punkt C liegt ußerhl des Kreises. usführliche Rechnung zu Punkt A: M ( / ), r AM AM / Mittelpunkt und Rdius us Kreisgleichung lesen / Vektor erechnen: Spitze - Fuß / Betrg erechnen / Ergenis mit r vergleichen Punkt A liegt uf dem Kreisrnd Seite 6

27 Mthe GK, Henß Kreis und Gerde in der Eene Ein Kreis und eine Gerde hen keinen gemeinsmen Punkt oder genu einen gemeinsmen Punkt oder genu zwei gemeinsme Punkte. Pssnte keine Lösung: kein Schnittpunkt Tngente Lösung: Berührungspunkt Seknte Lösungen: Schnittpunkte Welche der drei Möglichkeiten vorliegt, knn mn untersuchen, indem mn die zughörigen Gleichungen von Kreis und Gerde ls ein Gleichungssystem mit zwei Uneknnten uffsst und dieses löst. Keine Angst, klingt viel schlimmer, ls es ist - Schut euch einfch ml ds Beispiel n ;) Beispiel Üerprüfe, o die Gerde g Seknte, Tngente oder Pssnte des Kreises k ist, und estimme gegeenenflls gemeinsme Punkte von g und k. Kreis: y 6 y Gerde: y 7 Lösung ( ) ( y ) / Kreisgleichung ufstellen y / g nch uflösen 7 ( y / für in die Kreisgleichung einsetzen 7 ) ( y ) ( y / Zhlen in Klmmern zusmmenfssen 9 ) ( y ) 7 6 y y y y / Binomis uflösen y y 6 6y 6y 6 / * 6 y y / zusmmenfssen y y y / y erechnen (mit pq-formel oder c-formel) 7 ) / Lösung in g einsetzen S ( / ) ( Antwort: g ist eine Tngente des Kreises mit dem Berührungspunkt S( / ). Seite 7

28 Mthe GK, Henß Tngente n einen Kreis Gleichung einer Kreistngenten gegeen: - Kreis k mit dem Mittelpunkt M m / m ) und dem Rdius - ein Punkt P / ) des Kreises ( y ( r ( r m )( m ) ( y m )( y m ) (Koordintengleichung) ( p )( p m) (vektorielle Gleichung) Beispiel Gegeen ist der Kreis ( ) ( y ) und der Berührungspunkt B (/).Bestimme die Gleichung der Tngente im Berührungspunkt. λ r r λ r / Gerdengleichung llgemein / B ls Stützvektor einsetzen Den Richtungsvektor kennen wir nicht. Allerdings wissen wir, dss die Tngente senkrecht zum Rdius verläuft. Es gilt: r r. (Sklrprodukt ) r r r r r / Ersten Wert frei wählen*, z.b. r r λ / einsetzen / Tngentengleichung * Tipp: Beim Wählen ist es günstig, den Wert vor der nderen Vrile zu nehmen. z.b. ei r r wähle r Seite 8

29 Mthe GK, Henß Lgeeziehungen von Kreisen. Fll Kreise liegen useinnder M M > r r. Fll Kreise hen Berührungspunkt M M r r. Fll Kreise hen Schnittpunkte M M < r r und M M > r r. Fll Kreise liegen ineinnder M M < r r und M M < r r Beispiel Untersuche die gegenseitige Lge der eiden Kreise. Kreis : y 9 Kreis : 6 y 8y Lösung Kreis : ( ) y 9 M (/ ), r Kreis : ( ) ( y ) 9 6 M (/ ), r / Kreisgleichungen ufstellen / Mittelpunkt und Rdius der eiden Kreise estimmen 6 6,66 / Betrg von M M M M erechnen ("Spitze-Fuß") r r 6,7 / Fll oder Fll r r,8 Antwort: Kreise hen Schnittpunkte Seite 9

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:

Mehr

Eine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z

Eine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z Reltionen, 11 Reltionen Reltion ist einfch gesgt eine Beziehung zwischen Elementen von Mengen. In der Geometrie sind z.b. die Reltionen "ist gleich", "ist senkrecht zu", "ist prllel zu" eknnt. Die letzten

Mehr

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt) Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ

Mehr

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Fchhochschule Frnkfurt m Min Fchereich Informtik und Ingenieurwissenschften Vorkurs Mthemtik Sie finden lle Mterilien sowie ergänzende Informtionen unter

Mehr

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der

Mehr

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III Grundwissen m Ende der Jhrgngsstufe 9 Whlpflichtfächergruppe II / III Funktionsbegriff Gerdengleichungen ufstellen und zu gegebenen Gleichungen die Grphen der Gerden zeichnen Ssteme linerer Gleichungen

Mehr

Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen

Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen Zusmmenfssung: Astände, Winkel und Spiegelungen Inhltsverzeichnis Astände 1 Winkel 5 Spiegelungen 7 Für Experten 1 Astände Astnd Punkt Punkt: Schreiweise: Den Astnd zweier Punkte A und B ezeichnet mn mit

Mehr

v P Vektorrechnung k 1

v P Vektorrechnung k 1 Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische

Mehr

Mathematik 1, Teil B

Mathematik 1, Teil B FH Oldenurg/Ostfrieslnd/Wilhelmshven Fch. Technik, At. Elektrotechnik u. Informtik Prof. Dr. J. Wiee www.et-inf.fho-emden.de/~wiee Mthemtik, Teil B Inhlt:.) Grundegriffe der Mengenlehre.) Mtrizen, Determinnten

Mehr

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010 R. rinkmnn http://rinkmnn-du.de Seite 7..2 Grundegriffe der Vektorrehnung Vektor und Sklr Ein Teil der in Nturwissenshft und Tehnik uftretenden Größen ist ei festgelegter Mßeinheit durh die nge einer Mßzhl

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Mtrizen und Determinnten Im bschnitt Vektorlgebr Rechenregeln für Vektoren Multipliktion - Sklrprodukt, Vektorprodukt, Mehrfchprodukte wurde in einem Vorgriff bereits eine interessnte mthemtische Konstruktion

Mehr

Die Regelungen zu den Einsendeaufgaben (Einsendeschluss, Klausurzulassung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformationen Heft Nr. 1.

Die Regelungen zu den Einsendeaufgaben (Einsendeschluss, Klausurzulassung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformationen Heft Nr. 1. Modul : Grundlgen der Wirtschftsmthemtik und Sttistik Kurs 46, Einheit, Einsendeufge Die Regelungen zu den Einsendeufgen (Einsendeschluss, Klusurzulssung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformtionen

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik Lineare Algebra / Analytische Geometrie. Copyright 2013 Ralph Werner

Abiturvorbereitung Mathematik Lineare Algebra / Analytische Geometrie. Copyright 2013 Ralph Werner Abiturvorbereitung Mthemtik Linere Algebr / Anlytische Geometrie Copyright 2013 Rlph Werner 1 Linere Gleichungssysteme Ein lineres Gleichungssystem (LGS) besteht us einer Anzhl linerer Gleichungen. (m,n)-lgs

Mehr

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG)

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG) Sript für die Oerstufe und ds Aitur Bden-Württemerg erufl. Gymnsium (AG, BTG, EG, SG, WG) Mtrizenrechnung, wirtschftliche Anwendungen (Leontief, Mterilverflechtung) und Linere Optimierung Dipl.-Mth. Alexnder

Mehr

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH /LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH (für Grund- und Leistungskurse Mthemtik) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nch dem Studium dieses Skripts sollten folgende Begriffe eknnt sein: Linere Gleichung; homogene

Mehr

Einführung in die Vektorrechnung (GK)

Einführung in die Vektorrechnung (GK) Einführung in die Vektorrechnung (GK) Michel Spielmnn Inhltsverzeichnis Grundlegende Definitionen Geometrische Vernschulichung. Punkte..................................... Pfeile.....................................

Mehr

P RS S. Definition : Beispiel : PQ und RS sind Repräsentanten des gleichen Vektors v. Man schreibt kurz, aber leider nicht ganz richtig : v = PQ

P RS S. Definition : Beispiel : PQ und RS sind Repräsentanten des gleichen Vektors v. Man schreibt kurz, aber leider nicht ganz richtig : v = PQ I. Vektorräume ================================================================== 1. Geometrische Definition von Vektoren -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Vektorrechnung im R 3 mit dem Voyage 200:

Vektorrechnung im R 3 mit dem Voyage 200: Wir legen einen neuen Folder n: VAR-LINK F, 5 (CREATE FOLDER) Nme: vektor3 Wechseln in den Folder: MODE Current Folder vektor3 uswählen Vektorrechnung im R 3 mit dem Voge 00: Punkte und Vektoren werden

Mehr

Inhaltsübersicht. Vektorrechnung in der Ebene. Ungleichungen in zwei Variablen. Der Vektorraum R n, Vektoroperationen.

Inhaltsübersicht. Vektorrechnung in der Ebene. Ungleichungen in zwei Variablen. Der Vektorraum R n, Vektoroperationen. Inhltsüersicht Kpitel 5: evil forces: Vektorrechnung Vektorrechnung in der Eene Ungleichungen in zwei Vrilen Der Vektorrum R n, Vektoropertionen Eenen im Rum Linere Gleichungssysteme Gußsche Elimintion

Mehr

Übungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8

Übungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8 Üungsltt Gleichungsssteme Klsse 8 Auge : Berechne die Lösungen des Gleichungspres: I II 7 Kontrolliere durch Einseten. Auge : Löse dem Additionsverhren: I 7-6 II 9 Auge : Gegeen ist olgendes linere Gleichungssstem

Mehr

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090 OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der

Mehr

Grundwissen Mathematik 7I

Grundwissen Mathematik 7I Winkel m Kreis Grundwissen themtik 7I Rndwinkelstz Der Winkel heißt ittelpunktswinkel über der Sehne []. Die Winkel n sind die Rndwinkel über der Sehne []. lle Rndwinkel über einer Sehne eines Kreises

Mehr

5. Vektor- und Matrizenrechnung

5. Vektor- und Matrizenrechnung Ü F-Studiengng Angewndte lektronik, SS 6 Üungsufgen zur Lineren Alger und Anlysis II Vektor- und Mtrizenrechnung Für die Vektoren = (,,,) und = (,,,) erechne mn die Linerkomintion ( ) + ( + ), die Längen,

Mehr

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt Wir wissen, wie mn zwei Vektoren und b ddiert b b. Mn knn zwei Vektoren ber uch miteinnder multiplizieren!

Mehr

Erweitern. a b. bd + bc. bd = ad+bc. bei ganzzahligem Nenner: Hauptnenner (= kgv der Nenner), z.b. 4 6 + 3 4 = 8 12 + 9. a d = ac

Erweitern. a b. bd + bc. bd = ad+bc. bei ganzzahligem Nenner: Hauptnenner (= kgv der Nenner), z.b. 4 6 + 3 4 = 8 12 + 9. a d = ac F FORMELSAMMLUNG Bruchrechnung Erweitern = Kürzen c c Addition Nenner gleichnmig mchen! + c d = d d + c d = d+c d, speziell + c = +c ei gnzzhligem Nenner: Huptnenner (= kgv der Nenner), zb 4 6 + 3 4 =

Mehr

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele Grundwissen Klsse 9 Die Menge der reellen Zhlen Die Umkehrung des Qudrierens wird für nicht negtive Zhlen ls Ziehen der Wurzel oder Rdizieren ezeichnet. Die Qudrtwurzel us (kurz: Wurzel us ) ist dei die

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Vektoren

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Vektoren Einführung in die Vektor- und Mtrizenrechnung Vektoren Sklr und Vektor Größen, deren Werte durch reelle Zhlen usgedrückt werden können, heißen Sklre. Beispiele: Msse, Ldung, Tempertur, etc. Größen, die

Mehr

G2 Grundlagen der Vektorrechnung

G2 Grundlagen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G. Die Vektorräume R und R Vektoren Beispiel: Physiklische Größen wie Krft und Geschwindigkeit werden nicht nur durch ihre Mßzhl und ihre Einheit,

Mehr

Lehrgang: Digitaltechnik 1 ( Grundlagen ) - Im Lehrgang verwendete Gatter ( Übersicht ) Seite 3

Lehrgang: Digitaltechnik 1 ( Grundlagen ) - Im Lehrgang verwendete Gatter ( Übersicht ) Seite 3 Lehrgng: Digitltechnik ( Grundlgen ) Dtum: Nme: Seite: Inhltsverzeichnis: Im Lehrgng verwendete Gtter ( Üersicht ) Seite 3 Aufu von Zhlensystemen deziml, dul ( Infoseite ) Seite 4 ( Areitsltt ) Seite 5

Mehr

ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14

ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT DS VEKTORPRODUKT Definition: Ds vektorielle Produkt (oder Kreuprodukt) weier Vektoren und ist ein Vektor mit

Mehr

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie Technik Zsmmenfssng Linere Alger nd Anlytische Geometrie Begriff Ortsvektor Vektor mit Anfngspnkt im Koordintenrsprng: OA æ ö = ç ; ç çè ø OB Berechnng æ ö = ç ç çè ø Addition zweier Vektoren Die Komponentenwerte

Mehr

Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2)

Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2) . Stmmfunktion Definition Stmmfunktion: Gegeen sei eine Funktion f(). Gesucht ist eine Funktion F (), so dss d = f(). Die Funktion F() heisst Stmmfunktion. Schreiweise: F () = f()d. Mn spricht uch vom

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 24

Beispiellösungen zu Blatt 24 µthemtischer κorrespondenz- zirkel Mthemtisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufge Beispiellösungen zu Bltt Mn eweise, dss mn ein Qudrt für jede Zhl n 6 in genu n kleinere Qudrte zerlegen

Mehr

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende

Mehr

5 Gleichungen (1. Grades)

5 Gleichungen (1. Grades) Mthemtik PM Gleichungen (. Grdes) Gleichungen (. Grdes). Einführung Betrchtet mn und (, Q) und vergleicht sie miteinnder, so git es Möglichkeiten:. > ist grösser ls. = ist gleich gross wie. < ist kleiner

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

Darstellung von Ebenen

Darstellung von Ebenen Drstellung von Ebenen. Ebenengleichung in Prmeterform: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch eine Gleichung der Form p u x = p + r v u + s v (r, s R). p u v Der Vektor p heißt Stützvektor

Mehr

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum Üungsltt zum Propädeutium. Gegeen seien die Mengen A = {,,,}, B = {,,} und C = {,,,}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geen Sie diese in ufzählender Form n.. Geen Sie lle Teilmengen

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

Großübung zu Kräften, Momenten, Äquivalenz und Gleichgewicht

Großübung zu Kräften, Momenten, Äquivalenz und Gleichgewicht Großübung u Kräften, omenten, Äuivlen und Gleichgewicht Der Körper Ein mterielles Teilgebiet des Universums beeichnet mn ls Körper. Im llgemeinen sind Körper deformierbr. Sonderfll strrer Körper (odellvorstellung)

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung

Mehr

SBP Mathe Aufbaukurs 2. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck. Winkelfunktionen besonderer Winkel. Zusammenhänge der Winkelfunktionen

SBP Mathe Aufbaukurs 2. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck. Winkelfunktionen besonderer Winkel. Zusammenhänge der Winkelfunktionen SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert

Mehr

Berechnung von Flächen unter Kurven

Berechnung von Flächen unter Kurven Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert

Mehr

wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui qwertyuiopsdfghjklzxcvnmqwerty uiopsdfghjklzxcvnmqwertyuiopsd fghjklzxcvnmqwertyuiopsdfghjklzx Aufgen M-Beispielen cvnmqwertyuiopsdfghjklzxcvnmq Vorereitung uf die. Schulreit wertyuiopsdfghjklzxcvnmqwertyui

Mehr

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( )

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( ) 4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion

Mehr

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.

Mehr

(Analog nennt man a die und b die des Winkels β.)

(Analog nennt man a die und b die des Winkels β.) Mthemtik Einführung Ws edeutet ds Wort und mit ws eschäftigt sich die? Eine kleine Wortkunde: tri edeutet 'drei' Beispiel: Trithlon,... gon edeutet 'Winkel'/'Eck' Beispiel: Pentgon ds Fünfeck mit 5 Winkeln

Mehr

7. VEKTORRECHNUNG, ANALYTISCHE GEOMETRIE

7. VEKTORRECHNUNG, ANALYTISCHE GEOMETRIE Vektoechnung Anltische Geometie 7. VEKTORRECHNUNG ANALYTISCHE GEOMETRIE 7.1. Vektoen () Definition Schiet mn einen Punkt P 1 im Koodintensstem in eine ndee Lge P so ist diese Schieung duch Ange des Upunktes

Mehr

5.5. Integralrechnung

5.5. Integralrechnung .. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds

Mehr

Bruchterme I. Definitionsmenge eines Bruchterms

Bruchterme I. Definitionsmenge eines Bruchterms Bruchterme I Definitionsmenge eines Bruchterms Alle zulässigen Einsetzungen in einen Bruchterm ilden die Definitionsmenge D. Einsetzungen, für die der Nenner Null wird, gehören nicht zur Definitionsmenge.

Mehr

Mathematik schriftlich

Mathematik schriftlich WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe

Mehr

MC-Serie 12 - Integrationstechniken

MC-Serie 12 - Integrationstechniken Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz

Mehr

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2 Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des

Mehr

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung)

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung) Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 2012 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Alphet Ein

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt

Mehr

3 Punkte, Ortsvektoren und Verbindungsvektoren. Zunächst im 2-dimensionalen: A 4 1 , C 2 4. und D 3 1 Koordinatensystem. in einem kartesischen

3 Punkte, Ortsvektoren und Verbindungsvektoren. Zunächst im 2-dimensionalen: A 4 1 , C 2 4. und D 3 1 Koordinatensystem. in einem kartesischen Punkte Ortsvektoren und Verindungsvektoren Punkte Ortsvektoren und Verindungsvektoren Zunähst im -dimensionlen: A 4 Gegeen sind die Punkte B 5 C 4 und D Koordintensystem. in einem krtesishen AB CD d Zu

Mehr

Der Vektor lebt unabhängig vom Koordinatensystem: Bei einer Drehung des Koordinatensystems ändern zwar die Komponenten, der Vektor v aber bleibt.

Der Vektor lebt unabhängig vom Koordinatensystem: Bei einer Drehung des Koordinatensystems ändern zwar die Komponenten, der Vektor v aber bleibt. Vektorlger Vektorlger Vektoren sind Grössen, die einen Betrg sowie eine Rihtung im Rum hen. Im Gegenstz zu den Vektoren estehen Sklre nur us einer Grösse ls Zhl. In Bühern wird nsttt v oft v geshrieen.

Mehr

Nullstellen quadratischer Gleichungen

Nullstellen quadratischer Gleichungen Nullstellen qudrtischer Gleichungen Rolnd Heynkes 5.11.005, Achen Nch y ufgelöst hen qudrtische Gleichungen die Form y = x +x+c. Zeichnet mn für jedes x uf der rechten Seite und ds drus resultierende y

Mehr

Themenbereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6

Themenbereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6 Themenereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6 Lernziele: - Kenntnis der genuen Formulierung der Kongruenzsätze - Kenntnis der edeutung der Kongruenzsätze - Fähigkeit, die Kongruenzssätze gezielt zur egründung

Mehr

Kapitel 1. Anschauliche Vektorrechnung

Kapitel 1. Anschauliche Vektorrechnung Kpitel 1 nschuliche Vektorrechnung 1 2 Kpitel I: nschuliche Vektorrechnung Montg, 13. Oktoer 03 Einordnung Dieses erste Kpitel ht motivierenden Chrkter. Es führt n die geometrische nschuung nknüpfend die

Mehr

Erkundungen. Terme vergleichen. Rechteck Fläche als Produkt der Seitenlängen Fläche als Summe der Teilflächen A B

Erkundungen. Terme vergleichen. Rechteck Fläche als Produkt der Seitenlängen Fläche als Summe der Teilflächen A B Erkundungen Terme vergleihen Forshungsuftrg : Fläheninhlte von Rehteken uf vershiedene Arten erehnen Die Terme () is (6) eshreien jeweils den Fläheninhlt von einem der drei Rehteke. Ordnet die Terme den

Mehr

Hyperbeln INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. FRIEDRICH W. BUCKEL. Text Nr Stand 29. Mai 2016

Hyperbeln INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.  FRIEDRICH W. BUCKEL. Text Nr Stand 29. Mai 2016 Hpereln Tet Nr. 54070 Stnd 9. Mi 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mthe-cd.schule 54070 Hpereln ls lgerische Kurven Vorwort Um 980 herum wren Hpereln und Ellipsen ls sogennnte

Mehr

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Stefn Gärtner Grundkurs Mthemtik Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse zu den Aufgen Von llen Wissenschftlern können

Mehr

10: Lineare Abbildungen

10: Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Linere Alger SS 2008 1 10: Linere Aildungen 10.1 BEISPIEL: Die Vektorräume V 2 und Ê 2 hen diegleiche Struktur. Es git eine ijektive Aildung f : V 2 Ê 2, die durch die Vorschrift definiert

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Definition: Eine Funktion mit der Gleichung y = c (,, c R; 0) heißt qudrtische Funktion oder Funktion. Grdes. qudrtisches Glied;...lineres Glied; c...solutes Glied Der Grph einer

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Schülerkurs. Mathematik > Lineare Algebra > Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme > Teil I: Theorie. Michael Buhlmann

Schülerkurs. Mathematik > Lineare Algebra > Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme > Teil I: Theorie. Michael Buhlmann Michel Buhlmnn Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen Linee Gleichungssysteme > Teil I: Theoie Linee Gleichungen und linee Gleichungssysteme duchziehen den Mthemtikunteicht in llen Schulfomen

Mehr

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i, Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i

Mehr

5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln

5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln 5 Ellipsen, Prbeln und Hperbeln Ellipsen: Seien b > reelle Zhlen und E = E,b := { + b = } Eine Qudrik Q R heißt Ellipse, wenn es reelle Zhlen b > gibt, so dss q E,b. Die Kurven E,b heißen Ellipsen in metrischer

Mehr

2.2. Aufgaben zu Figuren

2.2. Aufgaben zu Figuren 2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeichne ds Dreieck ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erechne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und

Mehr

Proseminar über Multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Proseminar über Multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie Studiengng Diplom-Berufspädgogik Unterrichtsfch Mthemtik Proseminr über Multimedile Linere Algebr und Anlytische Geometrie Ausrbeitung einer Sttsexmensufgbe us der Lineren Algebr Aufgbe 5 usgerbeitet von:

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Brückenkurs Mthemtik WS 0/ us und überrbeitet von B. Eng. Sevd Hppel und Dipl.Ing. Jun Rojs Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Inhltsverzeichnis Brüche, Potenzen und Wurzeln. Brüche..

Mehr

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2 R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8.. Vektoren im krtesischen Koordintensystem Betrg eines Vektors Es soll der Betrg eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordintenschreibweise

Mehr

Einige elementargeometrische Sätze über Dreiecke

Einige elementargeometrische Sätze über Dreiecke Seite I Einige elementrgeometrische Sätze üer Dreiecke Durch drei nicht uf einer Gerden gelegene (d.h. nicht-kollinere) Punkte A, B, C in der euklidischen Eene ein Dreieck ABC mit Seiten,, c und (Innen-)Winkeln,,

Mehr

Mathematik PM Rechenarten

Mathematik PM Rechenarten Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz

Mehr

6.1. Matrizenrechnung

6.1. Matrizenrechnung 6 Mtrizenrechnung 6 Mtrizen und Vektoren Definition Eine Tbelle in der Drstellung A (m,n) n n m m mn heißt m,n-mtrix ( n ) ( ) mit den Zeilenvektoren ( m m mn ) und den Sltenvektoren m, m,, n n mn Mtrizen

Mehr

10 Anwendungen der Integralrechnung

10 Anwendungen der Integralrechnung 9 nwendungen der Integrlrechnung Der Inhlt von 9 wren die verschiedenen Verfhren zur Berechnung eines Integrls Der Inhlt von sind die verschiedenen Bedeutungen, die ein Integrl hen knn Die Integrlrechnung

Mehr

Grundwissen Mathematik 8

Grundwissen Mathematik 8 Grundwissen Mthemtik 8 Proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfchen der einen Größe ds gleiche Vielfche der nderen Größe, so heißt sie proportionle Zuordnung. Die

Mehr

Abitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999

Abitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999 Abitur - Leistungskurs Mthemtik Schsen-Anhlt 999 Gebiet L - Anlysis Augbe.. y, D, R,. Die Funktionenschr sei gegeben durch Die Grphen der Funktionen der Schr werden mit G bezeichnet. ) Ermitteln Sieden

Mehr

für beliebige Mengen A, B, C

für beliebige Mengen A, B, C 1.1 Mengenlehre A A A B B A A B B C A C für elieige Mengen A, B, C (Reflexivität) (Symmetrie) (Trnsitivität) (1) (2) (3) A B = B A A B = B A (Kommuttivgesetze) (4) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) (Assozitivgesetze)

Mehr

Theoretische Physik I: Klassische Mechanik

Theoretische Physik I: Klassische Mechanik Theoretische Physik I: Klssische Mechnik Dirk H. Rischke Wintersemester 2009/2010 Inhltsverzeichnis 1 Mthemtische Vorereitungen 1 1.1 Vektoren..................................... 1 1.1.1 Einführung...............................

Mehr

1 Kurvendiskussion /40

1 Kurvendiskussion /40 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.

Mehr

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis - - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit

Mehr

Aufgabensammlung der höheren Mathematik

Aufgabensammlung der höheren Mathematik Aufgbensmmlung der höheren Mthemtik von Vsili P. Minorski 5., ktulisierte Auflge Hnser München 2008 Verlg C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 446 466 Zu Inhltsverzeichnis schnell und portofrei

Mehr

7.4. Teilverhältnisse

7.4. Teilverhältnisse 7... erehnung von Teilverhältnissen ufgen zu Teilverhältnissen Nr. 7.. Teilverhältnisse Die Shwerpunkte von Figuren und Körpern lssen sih mit Hilfe von Teilverhältnissen usdrüken und erehnen. Definition

Mehr

1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg

1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg Arithmetik Lösungen Lö. Kpitel: Arithmetik. Ergenisse mit und ohne Lösungsweg Zu Aufge.: ) 7 ist eine rtionle Zhl, d sie sich ls Bruch us zwei gnzen Zhlen (Nenner 0) drstellen lässt: 7 7. 6 ) Eenso, denn

Mehr

Die Keplersche Fassregel

Die Keplersche Fassregel Die Keplersche Fssregel K. Gerer Bei vielen Aufgen, z.b. ei der Lösung von Differentilgleichungen, tucht die Schwierigkeit uf, dss Integrtionen nicht durchgeführt werden können. So können z.b. die folgenden

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

7.9A. Nullstellensuche nach Newton

7.9A. Nullstellensuche nach Newton 7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren

Mehr

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch. Januar Inhaltsverzeichnis Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt. Aufgaben....................................................

Mehr

Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen

Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis... 1 3.Logik... 2. 3.1 Zahlensysteme... 2. 3.2 Grundbegriffe zweiwertiger Logik... 13

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis... 1 3.Logik... 2. 3.1 Zahlensysteme... 2. 3.2 Grundbegriffe zweiwertiger Logik... 13 Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... 3.Logik... 2 3. Zhlensysteme... 2 3.2 Grundegriffe zweiwertiger Logik... 3 3.3 Rechengesetze für logische Ausdrücke... 9 3.4 Logische Funktionen... 24 3.5 Logische

Mehr

MATHEMATIK GRUNDWISSEN KLASSE 5

MATHEMATIK GRUNDWISSEN KLASSE 5 MATHEMATIK GRUNDWISSEN KLASSE 5 Them NATÜRLICHE ZAHLEN Zählen und Ordnen Ntürliche Zhlen werden zum Zählen und Ordnen verwendet Stefn ist beim 100m-Luf ls 2. ins Ziel gekommen. Große Zhlen und Zehnerpotenzen

Mehr

MB1 LU 5 und 12 Geometrische Grundbegriffe

MB1 LU 5 und 12 Geometrische Grundbegriffe M1 LU 5 und 12 Geometrische Grundbegriffe Ds Wort Geometrie ist ltgriechischen Ursprungs und setzt sich us den Wörtern geo = Erde und metron = messen zusmmen. Die Geometrie wr die Wissenschft, die sich

Mehr

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

Mehr

Kegelschnitte. Geschichte der Kegelschnitte

Kegelschnitte. Geschichte der Kegelschnitte Kegelschnitte Kegelschnitte ds sind geometrische Figuren, die sich ergeen, wenn mn einen Kegel und eine Eene einnder schneiden lässt. Wir unterscheiden 3 Tpen von Kegelschnitten: Prel, Ellipse und Hperel.

Mehr

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1

Mehr

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 2015 Bltt 6 26.05.2015 Üungen zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Lösungsvorschlg 21. ) Ein Qudrt mit der Seitenlänge + und dmit dem

Mehr

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr