Reguläre Sprachen. Reguläre Ausdrücke NFAs

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1 Reguläre Sprchen Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 0 Dr Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Wir eschäftigen uns jetzt einige Wochen mit regulären Sprchen deterministische und nicht-deterministische endliche Automten reguläre Ausdrücke eweisen, dss eine Sprche nicht regulär ist: Pumping Lemm Minimlutomten und Äquivlenzreltionen Aschlusseigenschften und Entscheidungsverfhren Reguläre Ausdrücke Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Regulärer Ausdrücke NFA Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Reguläre Grmmtik DFA NFA Regulärer Ausdruck Reguläre Ausdrücke NFAs Zu jedem regulären Ausdruck γ git es einen NFA M mit L(γ) = T (M) Beweis durch Induktion üer den Aufu von γ Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 90 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9

2 Kurzer Einschu: Induktion Reguläre Ausdrücke NFAs Induktion ist eine Beweismethode, die geeignet ist für Mengen, die kleinste Elemente hen (forml: wohlgeordnete Mengen) ZB: Ntürliche Zhlen, Wörter, reguläre Ausdrücke Wenn wir nchweisen wollen, dss lle Elemente einer solchen Menge eine gewisse Eigenschft hen, mchen wir ds wie folgt: Induktionsnfng: Wir eweisen, dss lle kleinsten Elemente der Menge die Eigenschft hen Induktionsschritt: Wir eweisen, dss ein elieiges Element e (ds nicht eines der kleinsten ist) die Eigenschft ht, unter Annhme, dss lle kleineren Elemente die Eigenschft hen Wenn wir diese zwei Teile ewiesen hen, können wir schließen, dss die Eigenschft für lle Elemente der Menge gilt Reguläre Ausdrücke NFAs Zu jedem regulären Ausdruck γ git es einen NFA M mit L(γ) = T (M) Beweis durch Induktion üer den Aufu von γ Anfngsschritt: Für γ =, γ = ε und γ = git es offensichtlich entsprechende Automten: z z z z Regulärer Ausdruck NFA Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9 Regulärer Ausdruck NFA Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9 Induktionschritt Sei γ ein elieiger, zusmmengesetzter, regulärer Ausdruck Nch Definition edeutet ds, dss γ eine der folgenden Formen ht: γ = α β γ = αβ γ = α woei α und β kürzere (und dmit kleinere) reguläre Ausdrücke sind Wir können lso nnehmen, dss es für α und β schon NFAs Mα und Mβ, git, so dss L(α) = T (Mα) und L(β) = T (Mβ) Fll : Sei γ = (α β) Es Mα und Mβ mit T (Mα) = L(α) und T (Mβ) = L(β) Wir uen M mit T (M) = L(α β) M ht ls Zustände die Vereinigung eider Zustndsmengen Eenso ergeen sich die Strtzustände ls Vereinigung der Strtzustndsmengen und die Endzustände ls Vereinigung der Endzustndsmengen Alle Üergänge von Mα zw Mβ leien erhlten Sα Sβ Eα Eβ Mα Mβ Dnn gilt T (M) = T (Mα) T (Mβ) = L(α) L(β) Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9

3 Regulärer Ausdruck NFA Regulärer Ausdruck NFA Fll : Sei γ = αβ Dnn git es Automten Mα und Mβ mit T (Mα) = L(α) und T (Mβ) = L(β) Wir schlten diese Automten nun wie folgt hintereinnder zu einem Automten M: M ht ls Zustände die Vereinigung eider Zustndsmengen, die gleichen Strtzustände wie Mα und die gleichen Endzustände wie Mβ (Flls ε L(α), so sind uch die Strtzustände von Mβ Strtzustände von M) Alle Üergänge von Mα zw Mβ leien erhlten Alle Zustände von Mα, die einen Pfeil zu einem Endzustnd von Mα hen, erhlten zusätzlich genuso eschriftete Pfeile zu llen Strtzuständen von Mβ Sα Eα Sβ Eβ neu! Mα Mβ Es gilt T (M) = T (Mα)T (Mβ) = L(α)L(β) Regulärer Ausdruck NFA Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9 Regulärer Ausdruck NFA Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 97 Fll : Sei nun γ = (α) Dnn git es einen Automten Mα mit T (Mα) = L(α) Wir uen us diesem Automten nun wie folgt einen Automten M: Alle Zustände, Strt- und Endzustände sowie Üergänge leien erhlten Zusätzlich erhlten lle Zustände, die einen Pfeil zu einem Endzustnd von Mα hen, genuso eschriftete Pfeile zu llen Strtzuständen von Mα (Rückkopplung) Flls ε T (Mα), so git es einen weiteren Zustnd, der sowohl Strtls uch Endzustnd ist (Dmit uch ds leere Wort erknnt wird) Sα Eα Mα evtl zusätzl Zustnd Es gilt T (M) = (T (Mα)) = (L(α)) Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 98 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 99

4 Reguläre Ausdrücke NFA Regulärer Ausdruck Reguläre Grmmtik DFA NFA NFAs Reguläre Ausdrücke Zu jedem NFA M git es einen regulären Ausdruck γ mit T (M) = L(γ) Regulärer Ausdruck NFA Regulärer Ausdruck Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 00 NFA Regulärer Ausdruck Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 0 Wir verwenden ds folgende Zustndselimintions-Verfhren, ds einen NFA M in einen regulären Ausdruck umwndelt Dei erhält mn ls Zwischenschritte Automten, deren Üergänge nicht mit Alphetsymolen, sondern mit regulären Ausdrücken eschriftet sind Schritt Zunächst führen wir einen neuen Strtzustnd und einen neuen Endzustnd ein und verinden die isherigen Strt- zw Endzustände mit den neuen Zuständen durch Knten, die mit dem regulären Ausdruck ε eschriftet sind z α z ε ε S E ε ε Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 0 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 0

5 NFA Regulärer Ausdruck NFA Regulärer Ausdruck Jetzt wenden wir (nichtdeterministisch) Trnsformtions-Regeln n, die den Automten kleiner mchen (dei sorgen die Regeln dfür, dss der kleinere Automt noch immer die sele Sprche kzeptiert) Am Ende git es nur noch den Strt- und Endzustnd, die mit einem Pfeil verunden sind (und evtl noch zusätzliche Sckgssen) Der reguläre Ausdruck, mit dem dieser Pfeil eschriftet ist, eschreit nun diesele Sprche wie der ursprüngliche NFA z γ z Regel V: Zwei prllel verlufende Pfeile mit den Beschriftungen α und β können zu einer einzigen Trnsition mit der Beschriftung (α β) verschmolzen werden z α β z (α β) z z Gleiches gilt im Fll, wenn ein Zustnd zwei Schleifen esitzt α z β z (α β) NFA Regulärer Ausdruck Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 0 NFA Regulärer Ausdruck Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 0 Regel S: Schleifen werden entfernt, indem mn ihre Beschriftung α (mit einem versieht) mit uf die nchfolgenden Knten setzt Regel E: Ein Zustnd z wird eliminiert, indem mn die Zustände, von denen us Knten nch z hineinführen, und Zustände, in die Knten von z us hineinführen, geeignet miteinnder verindet β x (α) β x x y x αβ y α z βn xn z (α) βn xn α z β αnβ Dies ist er nur zulässig, wenn es sich dei um die einzige Schleife des Zustnds hndelt xn αn βm ym xn αβm αnβm ym Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 0 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 07

6 NFA Regulärer Ausdruck NFA Regulärer Ausdruck Die Anwendung von Regel E ist nur zulässig, wenn: sich keine Schleife m zu entfernenden Zustnd z efindet und es mindestens eine nch z hineinführende und eine us z herusführende Knte git Sold keine Regel mehr nwendr ist, hen wir im Allgemeinen folgende Sitution (und evtl zusätzliche Sckgssen): Dnn ist γ der gesuchte reguläre Ausdruck z Flls es keine Knte zwischen Anfngs- und Endzustnd git γ = γ z Reguläre Ausdrücke Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 08 Reguläre Ausdrücke in der Prxis Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 09 Wozu sind reguläre Ausdrücke in der Prxis nützlich? Suchen und Ersetzen in Editoren (Tools: vi, emcs, ) Pttern-Mtching und Verreitung großer Texte und Dtenmengen, zb eim Dt-Mining (Tools: grep, sed, wk, perl, ) Üersetzung von Progrmmiersprchen: Lexiklische Anlyse Umwndlung einer Folge von Zeichen (ds Progrmm) in eine Folge von Tokens, in der ereits die Schlüsselwörter, Bezeichner, Dten, etc identifiziert sind (Tools: lex, flex, ) POSIX ERE-Syntx: Alle Zeichen, die nicht etws nderes edeuten, sind tomre Symole αβ α β α* α? (α ε) α+ αα α{n} α α (n Ml α) z 9 % # [ n] ( n) [^ n] jedes Zeichen ußer n (,) gruppieren und speichern (nützlich für ersetzen, gespeicherte gruppen werden mit \, \, ngegeen) Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 0 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen

7 Reguläre Ausdrücke in der Prxis Aufge: In einer HTML-Dtei, ersetze jeden Link mit Link-Text T, der seler keine HTML-Tgs enthält, und Ziel-Adresse A, durch den Text T A Ein Hyperlink sieht in HTML folgendermßen us: < href=" A " > T </> Wir wollen nur die Hyperlinks finden, in denen T keine weitere Tgs enthält (T drf lso keine < und > enthlten) Sprche für Hyperlinks: <[^<>]*href="([^<>]*)"*>([^<>]*)</> Ersetzen durch: \&mdsh;\ xkcdcom Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Zusmmenfssung: reguläre Sprchen eschreien Ds Pumping-Lemm Pfeil Produktion Reguläre Grmmtik DFA Induktives Verfhren NFA Produktion Pfeil Potenzmengenkonstruktion Zustndselimintionsverfhren Regulärer Ausdruck Wir hen is jetzt vier Formlismen kennengelernt, mit denen wir eine reguläre Sprche ngeen können: reguläre Grmmtiken, DFAs, NFAs und reguläre Ausdrücke Reguläre Grmmtiken DFAs NFAs Reguläre Ausdrücke Alle Sprchen Reguläre Sprchen Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen

8 Ds Pumping-Lemm Ds Pumping-Lemm Ds Pumping-Lemm Heute werden wir eine Beweismethode kennenlernen, mit der wir zeigen können, dss eine estimmte Sprche nicht regulär ist: ds Pumping-Lemm Pumping-Lemm Reguläre Grmmtiken DFAs NFAs Reguläre Ausdrücke Alle Sprchen Reguläre Sprchen Wie eweist mn, dss eine Sprche L nicht regulär ist? Idee: Wir eweisen, dss es keinen endlichen Automten geen knn, der die Sprche L kzeptiert Dzu versuchen wir uszunutzen, dss ein endlicher Automt nur endlich viele Zustände enthält Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Ds Pumping-Lemm Kurzer Einschu: ds Schufchprinzip Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Ds Pumping-Lemm Kurzer Einschu: ds Schufchprinzip Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 7 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 7

9 Ds Pumping-Lemm Kurzer Einschu: ds Schufchprinzip Ds Pumping-Lemm Ds Pumping-Lemm Ds Schufchprinzip (englisch: pigeon hole principle) Wenn mn m Ojekte üer n Mengen verteilen möchte und m > n ist, dnn git es mindestens eine Menge, die mindestens zwei Elemente enthält Ds Schufchprinzip für endliche Automten Wenn ein Automten mit n Zuständen einen Pfd der Länge m enthält und m n ist, dnn git es mindestens einen Zustnd der mehrfch uf dem Pfd vorkommt Jeder Pfd mit mehr Üergängen ls der Automt Zustände ht, enthält eine Schleife u Die Schleife knn nun mehrfch (oder gr nicht) durchlufen werden, ddurch wird ds Wort x = uvw ufgepumpt und mn stellt fest, dss uw, uv w, uv w, uch in der Sprche des Automten liegen müssen Bemerkung: Es gilt v i = v } {{ v } i-ml v z w Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 8 Ds Pumping-Lemm Ds Pumping-Lemm Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9 Ds Pumping-Lemm Ds Pumping-Lemm u Außerdem knn mn für u, v, w folgende Eigenschften verlngen, woei n die Anzhl der Zustände des Automten ist v : Die Schleife ist uf jeden Fll nicht trivil und enthält zumindest einen Üergng v z uv n: Spätestens nch n Alphetsymolen wird der Zustnd z ds zweite Ml erreicht w Beispiel: M = ({z0, z, z, z}, {,, c}, δ, z0, {ze}) z z0 c c ze z x = c c c T (M) u v w uv 0 w = c T (M) uv w = c c c c c T (M) u w u v v w Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 0 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen

10 Ds Pumping-Lemm Ds Pumping-Lemm Ds Pumping-Lemm Ds Pumping-Lemm Aus dieser Eigenschft von endlichen Automten leiten wir eine Eigenschft von regulären Sprchen Pumping-Lemm für reguläre Sprchen, uvw-theorem (Stz) Sei L eine reguläre Sprche Dnn git es eine Zhl n, so dss sich lle Wörter x L mit x n zerlegen lssen in x = uvw, so dss folgende Eigenschften erfüllt sind: v, uv n und für lle i = 0,,, gilt: uv i w L Pumping-Lemm (lterntive Formulierung) Sei L eine Sprche Angenommen, wir können für jede Zhl n ein Wort x L mit x n wählen, so dss folgendes gilt: für lle Zerlegungen x = uvw mit v, uv n git es eine Zhl i mit uv i w L Dnn ist L nicht regulär Dh, wir müssen zeigen, dss es für jedes n (für jede mögliche Anzhl von Zuständen) ein Wort git, ds mindestens so lng wie n ist und ds keine pumpre Zerlegung ht Pumping-Lemm Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Ds Pumping-Lemm Pumping-Lemm Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Ds Pumping-Lemm Kochrezept für ds Pumping-Lemm Gegeen sei eine Sprche L (Beispiel: { k k k 0}) Wir wollen zeigen, dss sie nicht regulär ist Nehme eine elieige Zhl n n Diese Zhl drf nicht frei gewählt werden Wähle ein Wort x L mit x n Dmit ds Wort uch wirklich mindestens die Länge n ht, empfiehlt es sich, dss n (eispielsweise ls Exponent) in der Beschreiung des Wortes uftucht Beispiel: x = n n Kochrezept für ds Pumping-Lemm Betrchte nun lle möglichen Zerlegungen x = uvw mit den Einschränkungen v und uv n Beispiel: hier git es nur eine mögliche Zerlegung u = j, v = l, w = m n mit j + l + m = n und l Wähle für jede dieser Zerlegungen ein i (ds knn jedes Ml ein nderes i sein), so dss uv i w L (In vielen Fällen sind i = 0 und i = eine gute Whl) Beispiel: wähle i =, dnn gilt uv w = j+l+m n L, d j + l + m n Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen

11 Pumping-Lemm Ds Pumping-Lemm Kurzer Einschu: Äquivlenzreltionen Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Sei Σ = {, } Beispiel-Aufge Zeigen Sie, dss die Sprche L = {ww R w Σ } nicht regulär ist (Woei w R ds Wort w mit umgekehrter Reihenfolge der Buchsten ezeichnet, zb R = ) Ws ist eine Äquivlenzreltion? Wir eginnen zunächst mit der Definition einer Reltion: Reltion Eine (zweistellige, homogene) Reltion R uf einer Menge M ist eine Teilmenge R M M Sttt (m, m) R schreit mn oft uch m R m Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Kurzer Einschu: Äquivlenzreltionen Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 0 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Kurzer Einschu: Äquivlenzreltionen Äquivlenzreltion Eine Äquivlenzreltion R uf einer Menge M ist eine Reltion R M M, die die folgenden Eigenschften ht: R ist reflexiv, dh, es gilt (m, m) R für lle m M R ist symmetrisch, dh, flls (m, m) R, so uch (m, m) R R ist trnsitiv, dh, us (m, m) R und (m, m) R folgt (m, m) R Grphische Drstellung: (m, m) R m m Reflexiv: m Symmetrisch: m m Trnsitiv: m m m Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen

12 Kurzer Einschu: Äquivlenzreltionen Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Kurzer Einschu: Äquivlenzreltionen Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Äquivlenzklsse Sei R eine Äquivlenzreltion uf M und m M Die Äquivlenzklsse [m]r von m ist die folgende Menge: [m]r = {n M (n, m) R} Mnchml schreit mn uch nur [m], wenn klr ist, welche Reltion gemeint ist Eigenschften von Äquivlenzklssen Sei R eine Äquivlenzreltion uf M und m, m M Dnn gilt entweder oder Außerdem gilt: [m]r = [m]r [m]r [m]r = M = [m]r m M Dh, zwei Äquivlenzklssen sind entweder gleich oder vollständig disjunkt Außerdem üerdecken sie M vollständig Mn sgt uch: die Äquivlenzklssen ilden eine Prtition von M Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Erkennungsäquivlenz Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Erkennungsäquivlenz Ist dieser Automt der kleinste Automt, der seine Sprche kzeptiert?, Die Zustände und sind erkennungsäquivlent Eenso die Zustände und Diese Zustände können verschmolzen werden:, / /, Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen

13 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Erkennungsäquivlenz Myhill Nerode-Äquivlenz Erkennungsäquivlenz (Definition) Gegeen sei ein DFA M = (Z, Σ, δ, z0, E) Zwei Zustände z, z Z heißen erkennungsäquivlent genu dnn, wenn für jedes Wort w Σ gilt: ˆδ(z, w) E ˆδ(z, w) E Wenn wir die Erkennungsäquivlenz uf Wörter erweitern (nsttt Zustände), erhlten wir die Myhill Nerode-Äquivlenz Myhill-Nerode-Äquivlenz (Definition) Gegeen sei eine Sprche L und Wörter x, y Σ Wir definieren eine Äquivlenzreltion RL mit x RL y genu dnn, wenn für lle z Σ gilt (xz L yz L) Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 7 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Myhill Nerode-Äquivlenz Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 8 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Myhill Nerode-Äquivlenz Ws sind die Myhill Nerode-Äquivlenzklssen der folgenden Sprchen? L = {w {, } #(w) gerde} L = {w {,, c} ds Teilwort c kommt in w nicht vor} Myhill-Nerode-Äquivlenz und Regulrität (Stz) Eine Sprche L Σ ist genu dnn regulär, wenn RL endlich viele Äquivlenzklssen ht Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 0

14 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Myhill Nerode-Äquivlenz Myhill Nerode-Äquivlenz L ist regulär RL ht endlich viele Äquivlenzklssen: Sei L eine reguläre Sprche und M = (Z, Σ, δ, z0, E) ein DFA mit T (M) = L Dnn definieren wir eine Äquivlenzreltion RM mit x RM y ˆδ(z0, x) = ˆδ(z0, y) für x, y Σ Die Anzhl der Äquivlenzklssen von RM ist gleich der Anzhl der (erreichren) Zustände von M, dh, sie ist endlich Mn knn zeigen, dss us x RM y immer x RL y folgt Wir nehmen n, dss x RM y und nehmen ein elieiges z Σ Dnn gilt: xz L ˆδ(z0, xz) E ˆδ(ˆδ(z0, x), z) E ˆδ(ˆδ(z0, y), z) E ˆδ(z0, yz) E yz L (Def kz Sprche) (Def ˆδ) x RM y (Def ˆδ) (Def kz Sprche) Also setzt RM höchstens so viele Elemente in Beziehung wie RL und ht dmit mehr oder gleich viele Äquivlenzklssen wie RL Drus folgt er, dss RL nur endlich viele Äquivlenzklssen ht Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Myhill Nerode-Äquivlenz Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Myhill Nerode-Äquivlenz RL ht endlich viele Äquivlenzklssen L ist regulär: Wir nehmen zunächst n, dss RL endlich viele Äquivlenzklssen ht und konstruieren einen endlichen Automten M0 = (Z, Σ, δ, z0, E) für L, der wie folgt definiert ist: Z = {[w]rl w Σ } z0 = [ε]rl E = {[w]rl w L}, ) = [w]rl δ([w]rl (Menge der Äquivlenzklssen) Es gilt: x L(M0) ˆδ([ε], x) E [x] E x L Deswegen gilt T (M0) = L Sei M0 der DFA, der us den Äquivlenzklssen konstruiert wird Es gilt, für einen elieigen Automten M, mit T (M) = T (M0), dss: RM RL = RM0 Ds heißt, dss wir M0 us M konstruieren können, indem wir erkennungsäquivlente Zustände verschmelzen In nderen Worten: M0 ist der minimle DFA für L: lle nderen minimlen DFAs, die die gleiche Sprche kzeptieren, sind gleich (nch evtl umenennen der Zustände) Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen

15 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Myhill Nerode-Äquivlenz Minimlutomten Aus dem oigen Stz folgt uch, dss eine Sprche, die unendlich viele Myhill Nerode-Äquivlenzklssen ht, nicht regulär ist Diese Ttsche können wir enutzen, um zu zeigen, dss eine Sprche nicht regulär ist Dzu muss mn nur unendlich viele Wörter us Σ ufzählen und zeigen, dss sie in verschiedenen Äquivlenzklssen sind Beispiel: Sprche L = { k k k 0} ht unendlich viele Äquivlenzklssen Wie knn mn den minimlen DFA us einem elieigen (nicht notwendigerweise minimlen DFA) erhlten, ohne die Äquivlenzklssen zu konstruieren? Lösung: wir strten mit dem DFA und verschmelzen lle erkennungsäquivlenten Zustände Dei legen wir zunächst fest, welche Zustände uf jeden Fll nicht erkennungsäquivlent sind (die Endzustände und Nicht-Endzustände) und suchen weitere nicht erkennungsäquivlente Zustände Minimlutomten Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Minimlutomten Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Algorithmus Minimlutomt Einge: DFA M Ausge: Mengen von erkennungsäquivlenten Zuständen Entferne die Zustände, die vom Strtzustnd us nicht erreichr sind Stelle eine Telle ller (ungeordneten) Zustndspre {z, z } mit z z uf Mrkiere lle Pre {z, z } mit z E und z E (oder umgekehrt) (z, z sind sicherlich nicht erkennungsäquivlent) Algorithmus Minimlutomt Für jedes noch unmrkierte Pr {z, z } und jedes Σ teste, o {δ(z, ), δ(z, )} ereits mrkiert ist Wenn j: mrkiere uch {z, z } (Von z, z git es Üergänge zu nicht erkennungsäquivlenten Zuständen, sie können dher nicht erkennungsäquivlent sein) Wiederhole den vorherigen Schritt, is sich keine Änderung in der Telle mehr ergit Für lle jetzt noch unmrkierten Pre {z, z } gilt: z und z sind erkennungsäquivlent Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 7 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 8

16 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Minimlutomten Minimlutomten Durchführung des Minimierungs-Algorithmus m Beispiel des folgenden Automten:, Durchführung des Minimierungs-Algorithmus m Beispiel des folgenden Automten:, Erstelle eine Telle ller Zustndspre () Mrkiere Pre von Endzuständen und Nicht-Endzuständen Minimlutomten Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Minimlutomten Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Durchführung des Minimierungs-Algorithmus m Beispiel des folgenden Automten:, Durchführung des Minimierungs-Algorithmus m Beispiel des folgenden Automten:, () Mrkiere {, } wegen δ(, ) =, δ(, ) = und {, } mrkiert () Mrkiere {, } wegen δ(, ) =, δ(, ) = und {, } mrkiert Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9

17 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Minimlutomten Minimlutomten Durchführung des Minimierungs-Algorithmus m Beispiel des folgenden Automten:, Durchführung des Minimierungs-Algorithmus m Beispiel des folgenden Automten:, () Mrkiere {, } wegen δ(, ) =, δ(, ) = und {, } mrkiert () Mrkiere {, } wegen δ(, ) =, δ(, ) = und {, } mrkiert Minimlutomten Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Minimlutomten Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Durchführung des Minimierungs-Algorithmus m Beispiel des folgenden Automten:, Durchführung des Minimierungs-Algorithmus m Beispiel des folgenden Automten:, 7 () Mrkiere {, } wegen δ(, ) =, δ(, ) = und {, } mrkiert (7) Mrkiere {, } wegen δ(, ) =, δ(, ) = und {, } mrkiert Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9

18 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Minimlutomten Minimlutomten Durchführung des Minimierungs-Algorithmus m Beispiel des folgenden Automten:, 8 7 Durchführung des Minimierungs-Algorithmus m Beispiel des folgenden Automten:, (8) Mrkiere {, } wegen δ(, ) =, δ(, ) = und {, } mrkiert (9) Mrkiere {, } wegen δ(, ) =, δ(, ) = und {, } mrkiert Minimlutomten Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Minimlutomten Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Durchführung des Minimierungs-Algorithmus m Beispiel des folgenden Automten:, Die verleienden Zustndspre {, } und {, } können nicht mehr mrkiert werden sie sind erkennungsäquivlent Hinweise für die Durchführung des Minimierungs-Algorithmus: Die Telle möglichst so ufstellen, dss jedes Pr nur genu einml vorkommt!,, n vertikl und,, n horizontl notieren Bitte ngeen, welche Zustände in welcher Reihenfolge und wrum mrkiert wurden! (Im Buch von Schöning werden immer nur Sternchen ( ) verwendet, er drus werden ei der Korrektur die Reihenfolge und die Gründe für die Mrkierung nicht ersichtlich) Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 9 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 0

19 Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Äquivlenzreltionen und Minimlutomt Minimlutomten Minimlutomten Für nicht-deterministische Automten knn mn folgende Aussgen treffen: Es git nicht den minimlen NFA, sondern es knn mehrere geen Folgende zwei minimle NFAs erkennen L((0 ) ) und hen eide zwei Zustände (Mit nur einem Zustnd knn diese Sprche nicht erknnt werden) 0, 0 0 Gegeen ein DFA M Dnn ht ein minimler NFA, der T (M) erkennt, immer höchstens so viel Zustände wie M (Denn M ist selst schon ein NFA) Außerdem: der minimle NFA knn exponentiell kleiner sein ls der minimle DFA Siehe Beispielsprchen: Lk = {x {0, } x k, ds k-letzte Zeichen von x ist 0} Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen