Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik

Transkript

1 Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur Junktoren: t, f,,,,, aussagenlogische Formeln AL(P) induktive Definition: IA Atome (Aussagenvariablen) p, q, r,... P IS zusammengesetzte Formeln (ϕ, ψ, η,...): Verknüpfung von Formeln durch Junktoren Prinzip der strukturellen Induktion über Baumstruktur von Formeln Semantik (Bedeutung der Syntaxelemente) eines Junktors: Wahrheitswertfunktion einer Aussagenvariablen: Wahrheitswert aller Aussagenvariablen einer Menge P: durch Belegung (Interpretation) W : P {0, 1} einer Formel aus AL(P): Funktion W : AL(P) {0, 1} Boolesche Funktion Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit von Formeln Äquivalenz von Formeln, z.b. p q p q

2 Modelle aussagenlogischer Formeln Die Aussagenvariablen-Belegung W : P {0, 1} erfüllt die Formel ϕ AL(P) (ist ein Modell für ϕ) genau dann, wenn W (ϕ) = 1. Beispiel: Modelle (erfüllende Belegungen) für p (q p) AL({p, q}): W 10 mit W 10 (p) = 1 und W 10 (q) = 0, W 01 mit W 01 (p) = 0 und W 01 (q) = 1, W 11 mit W 11 (p) = 1 und W 11 (q) = 1 42

3 Modellmengen aussagenlogischer Formeln Menge aller Modelle von ϕ AL(P): Mod(ϕ) = {W : P {0, 1} W (ϕ) = 1} (kürzere Darstellung als WW-Tabellen) Beispiele: Mod(p (q p)) = {W 10, W 01, W 11 }, Mod(p p) = {W 0, W 1 } = {W : {p} {0, 1}}, Mod(p p) = Formel ϕ AL(P) ist unerfüllbar gdw. Mod(ϕ) = erfüllbar gdw. Mod(ϕ) allgemeingültig gdw. Mod(ϕ) = {W : P {0, 1}} äquivalent zu ψ AL(P) gdw. Mod(ϕ) = Mod(ψ) 43

4 Wiederholung: wichtige Äquivalenzen Für alle aussagenlogischen Formeln ϕ, ψ, η gilt: ϕ ϕ ϕ, ϕ ϕ ϕ, ϕ f ϕ, ϕ t ϕ ϕ ψ ψ ϕ, ϕ ψ ψ ϕ (Kommutativität von und ) ϕ (ψ η) (ϕ ψ) η ϕ (ψ η) (ϕ ψ) η (Assoziativität von und ) ϕ (ψ η) (ϕ ψ) (ϕ η) ϕ (ψ η) (ϕ ψ) (ϕ η) (Distributivgesetze) ϕ ϕ (Doppelnegation) (ϕ ψ) ϕ ψ, (ϕ ψ) ϕ ψ (DeMorgansche Regeln) ϕ ψ ( ϕ ψ), (Dualität von und ) ϕ ψ ( ϕ ψ) ϕ ψ ψ ϕ (Kontraposition) (ϕ ψ) ( ϕ ψ) ψ (Fallunterscheidung) 44

5 Umformen von Formeln Satz (Ersetzbarkeitstheorem) Für drei Formeln ϕ, ψ, η AL(P), wobei ψ η und ψ eine Teilformel von ϕ ist, gilt ϕ ϕ, wobei ϕ entsteht, indem in ϕ ein Vorkommen von ψ durch η ersetzt wird. (Nachweis durch strukturelle Induktion) Formeln können also durch Ersetzung äquivalenter Teilformeln in semantisch äquivalente Formeln umgeformt werden. (Änderung der Syntax bei unveränderter Semantik) 45

6 Junktorbasen (vollständige Operatorensysteme) Eine Menge J von Junktoren heißt genau dann Junktorbasis (vollständiges Operatorensystem), wenn zu jeder aussagenlogische Formel ϕ eine äquivalente aussagenlogische Formel ψ (d.h. ϕ ψ) existiert, wobei ψ nur Junktoren aus der Menge J enthält. Beispiele: Die Mengen {,, } {, } {, } {, } {f, } sind Junktorbasen. (ÜA) (ÜA) Die Mengen {, } und {,, } sind keine Junktorbasen. 46

7 Normalformen spezielle Formeln mit Junktoren {,, }: Literal Atom oder negiertes Atom NNF Formeln, in denen das Negationssymbol höchstens auf Atome angewendet wird, heißen in Negations-Normalform. Beispiel: p (( q p) q), p, p CNF Formeln der Form ( mi n i=1 j=1 l i,j mit Literalen l i,j heißen in konjunktiver Normalform. Beispiel: ( p q) (p q) q, p q, p q, p DNF Formeln der Form ( mi n i=1 j=1 l i,j mit Literalen l i,j heißen in disjunktiver Normalform. Beispiel: p ( q p) (p q), p q, p q, p ) ) 47

8 Satz über Normalformen Satz Zu jeder Formel ϕ AL(P) existieren eine äquivalente Formel ϕ 1 AL(P) in NNF, eine äquivalente Formel ϕ 2 AL(P) in CNF und eine äquivalente Formel ϕ 3 AL(P) in DNF. Beweis (konstruktiv) durch Angabe einer Transformationsvorschrift beliebiger Formeln in Normalformen: 1. Formeln mit Junktoren,, t, f schrittweise durch Formeln mit ausschließlich,, ersetzen 2. Konstruktion einer NNF durch (mehrmalige) Anwendung der demorganschen Regeln 3. Konstruktion der CNF und DNF durch (mehrmalige) Anwendung der Distributivgesetze auf die NNF Beispiele (Tafel): p q, (a b) c 48