Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastian Schwarz Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 6. Übungsblatt Aufgabe 3 (Übung) a) Rechnen Sie nach, dass die aus der Vorlesung auf R bekannten Formeln e iz = cos(z) + isin(z), sin (z) + cos (z) =, auch für z C gelten. b) Zeigen Sie, dass die Sinusfunktion ungerade und die Kosinusfunktion gerade ist, also sin( z) = sin(z), cos( z) = cos(z), für alle z C. c) Beweisen Sie, dass für z = x + iy ( e y + e y ) ( e y e y ) sin(z) = sin(x) + icos(x), ( e y + e y ) ( e y e y ) cos(z) = cos(x) isin(x), und schließen Sie daraus, dass die beiden Funktionen auf C unbeschränkt sind. a) Wir fangen auf der rechten Seite der ersten Gleichung an und beobachten, dass Zudem gilt cos(z) + isin(z) = (eiz + e iz ) + i i (eiz e iz ) = (eiz + e iz + e iz e iz ) = e iz. sin (z) + cos (z) = 4 (eiz + e iz ) 4 (eiz e iz ) = 4 (eiz + + e iz (e iz + e iz )) =. b) Es gilt und sin( z) = i (ei( z) e i( z) ) = i (eiz e iz ) = sin(z) cos( z) = (ei( z) + e i( z) ) = (eiz + e iz ) = cos(z)

2 für alle z C. Alternativ erkennt man diese Gleichungen auch an der Potenzreihenentwicklung, da jeweils nur ungerade beziehungsweise gerade Potenzen von z auftauchen. c) Es gilt sin(z) = i (eiz e iz ) = i (eix e y e ix e y ) = i ((cos(x) + isin(x))e y (cos(x) isin(x))e y ) ( e y + e y ) ( e y e y ) ( e y + e y ) ( e y e y ) = sin(x) + cos(x) = sin(x) + icos(x) i und analog cos(z) = (eiz + e iz ) = (eix e y e ix e y ) = ((cos(x) + isin(x))e y + (cos(x) isin(x))e y ) ( e y + e y ) ( e y e y ) ( e y + e y ) ( e y e y ) = cos(x) + isin(x) = cos(x) isin(x). Für die Unbeschränktheit begeben wir uns auf die imaginäre Achse (also x = 0 und somit sin(x) = 0, cos(x) = ). Es gilt für y > 0 (also 0 < e y < e 0 = < e y wegen Monotonie) sin(iy) = ey e y cos(iy) = ey + e y > ey, Da nach Vorlesung sup{e y : y R} = und 0 < e y für y 0, gilt auch sup{e y : y > 0} =. Somit existiert zu jedem C R ein y C > 0 mit e y C > C +, also ey C > ey C > C und somit sowohl sin(iy) > C als auch cos(iy) > C. > ey Aufgabe 3 (Tutorium) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme die folgenden Formeln für alle z,w C. a) sin(z) = sin(z) cos(z) ( ) ( ) z + w z w c) sin(z) + sin(w) = sin cos b) cos(z) = sin (z) = cos (z) ( ) ( ) z + w z w d) cos(z) + cos(w) = cos cos a) Das Additionstheorem sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w) liefert für jedes z C sin(z) = sin(z + z) = sin(z)cos(z) + cos(z)sin(z) = sin(z)cos(z). b) Ebenso folgt aus cos(z + w) = cos(z) cos(w) sin(z) sin(w) die Gleichung cos(z) = cos(z + z) = cos(z)cos(z) sin(z)sin(z) = cos (z) sin (z).

3 Wie wir in Aufgabe 3 a) gesehen haben, gilt die aus der Vorlesung bekannte Formel cos (z) + sin (z) = auch für jedes z C. Somit folgt cos (z) sin ( sin (z)) sin (z) = sin (z), (z) = cos (z) ( cos (z)) = cos (z). c) Nach den bekannten Additionstheoremen und Aufgabe 3 b) gilt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z + w z w z w sin = sin cos + cos sin, ± w cos = cos ( ) ( z cos ± w ) sin ( ) ( z sin ± w ) = cos cos ( ) w sin Somit folgt ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))( ( ) z + w z w z w z w z sin cos = sin cos + cos sin cos cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z w w w z = sin cos cos + sin cos sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w w z z z w + sin cos cos + sin cos sin ( ) ( )( ( ) ( )) z z w w = sin cos sin + cos ( ) ( )( ( ) ( )) w w z z + sin cos sin + cos d) Es gilt ( ) ( ) ( z + w z w cos cos = cos a), A7a) = sin(z) + sin(w) cos ) ( ) w sin ) sin ) ( ))( w cos ) cos sin ( ) w + sin ( ) w + sin ( ( ( ( z w z w = cos cos sin sin ( ( ))( ( )) ( ) ( ) A7 a) z w z w = sin sin sin sin ( ( )) ( ( )) z w = sin + sin b) = cos(z) + cos(w) ( ) w. sin sin ( )) w ( )) w Aufgabe 33 (Übung) a) Für welche z C konvergieren die folgenden Potenzreihen? Bestimmen Sie im Falle der Konvergenz den Reihenwert. (i) nz n n= (ii) n z n n= 3

4 b) Welche Funktionen von C nach C werden durch die folgenden Potenzreihen dargestellt? (i) n (n + )! zn (ii) ( ) n (n + )! (z + )n+ c) Bestimmen Sie jeweils eine Potenzreihenentwicklung der Funktion f um die angegebene Entwicklungsstelle z 0. Wie groß ist dabei der Konvergenzradius? (i) f : C C, z sinz, z 0 = (ii) f : C \ {, } C, z z, z z z 0 = 0 Hinweis: In Teil (ii) hilft die Gleichung a) Der Konvergenzradius beider Potenzreihen ist, da z z z = 3 +z + 3 z für alle z C \ {, } weiter. lim n n n = lim n =. n n Somit sind beide Reihen für z < konvergent und für z > divergent. Für z = ist der Betrag der Folgenglieder, also n bzw. n, keine Nullfolge, weshalb auch dort Divergenz folgt (siehe auch Vorlesung). Kommen wir nun zum Reihenwert, wobei ab nun z < vorausgesetzt sei. (i) Es gilt (siehe Vorlesung) ( ) ( ) z n z k = n z n k z k = n z n = (n + )z n. Somit folgt (n + )z n =. Die geforderte Reihe müssen wir nun nur noch leicht ( z) umformen, um auf diesen nun bekannten Reihenwert zurückgreifen zu können. Wir berechnen Somit folgt nz n = z n= n= (ii) Aus der Vorlesung ist bekannt, dass Damit folgt: n= n k = n(n + ) nz n Index-Shift = z nz n z = ( z). n= ( ( n ) ) n z n = k n z n = (n + )z n. n 0 n ( n ) k = n + n n = k n n ( ( (z n k )(kz k ) nz n = z ) n kz ) k nz n 4

5 Mit Teil a) erhalten wir schließlich n z n = n= z ( ) z ( z) z ( z) = z ( z) z = b) (i) Die Potenzreihe lässt sich als Differenz zweier Potenzreihen darstellen: n (n + )! zn = n + (n + )! zn = n! zn z ( z) + z z( + z) = z ( z) 3. (n + )! zn. Die erste Reihe ergibt e z, die zweite liefert für z = 0 den Wert und für z 0 gilt (n + )! zn = z Insgesamt folgt: Die von (n + )! zn+ = z k= z k k! = ( e z ). z n (n+)! zn dargestellte Funktion f : C C ist gegeben durch f (0) = e 0 =, f (z) = e z ez z = (z )ez + z (z 0). (ii) Hier ergibt sich gemäß der Reihendarstellung der Sinus-Funktion für jedes z C ( ) n (n + )! (z + )n+ = (z + ) ( ) n (n + )! (z + )n+ = (z + )sin(z + ). c) (i) Wir kennen die Potenzreihen für sinz und cosz um die Entwicklungsstelle 0. In Verbindung mit dem Additionstheorem für sinz ergibt sich für jedes z C mit f (z) = sin( + (z )) = sin()cos(z ) + cos()sin(z ) ( ) k = sin() (k)! (z ( ) k )k + cos() (k + )! (z )k+ = a n := sin() ( )n/ n!, falls n gerade, cos() ( )(n )/ n!, falls n ungerade Der Konvergenzradius der Reihe ist offensichtlich. a n (z ) n (n N 0 ). (ii) Für jedes z C \ {, } erhalten wir unter Verwendung des Hinweises f (z) = z z z = /3 + z + /3 z = 3 ( z) + 3 (z). Für z < gilt und für z < ist 3 ( z) = ( z) n 3 3 (z) = (z) n. 3 5

6 Hiermit folgt für jedes z C mit z < min{, } = f (z) = ( z) n + (z) n = a 3 3 n z n mit a n := 3 ( )n + 3 n = 3 (( )n + n ), n N 0. Wegen lim n n a n = beträgt der Konvergenzradius der Potenzreihe =. z = /3 z z +z + /3 Bemerkung: Die Darstellung z kann man auf die folgende Weise erhalten ( Partialbruchzerlegung): Wegen z z = ( + z)( z) machen wir den Ansatz z z z = a + z + b z und müssen die Konstanten a,b R berechnen. Die rechte Seite dieser Gleichung liefert a + z + b a( z) + b( + z) a + b + ( a + b)z = = z ( + z)( z) z z. Die Darstellung gelingt also, wenn a + b = und a + b = sind. Dies bedeutet a = 3 und b = 3. Aufgabe 34 (Tutorium) Für welche x R bzw. z C konvergieren die folgenden Potenzreihen? a) c) n= n + (n ) xn e n(+( )n) x n n= b) d) n= n= (z i)n nn ( ) z n n e) n z n f) (z + 3i) n n= n a) Für a n := (n + )/(n ) gilt a n a n+ = n + (n ) n n + 3 = + /n ( /n) + 3/n n =. Die Reihe hat daher den Konvergenzradius. Wir müssen nun noch die Ränder des Konvergenzintervalls, also x = und x =, untersuchen. Dies liefert die zwei Reihen n= n + (n ) ( )n und n= n + (n ). Die Konvergenz der ersten Reihe wird durch das Leibnizkriterium garantiert, denn a n = n + (n ) + 3 = (n ) (n ) = n + 3 (n ) n + 3 n = n + 3 n = a n+. 6

7 Die zweite Reihe hingegen divergiert wegen a n n/n = /n und des Minorantenkriteriums. Insgesamt: Die Reihe konvergiert nur für x [,). b) Wegen n /n n = /n n 0 hat diese Reihe den Konvergenzradius, d. h. sie konvergiert für alle z C. c) Die Reihe hat die Form k= a k x k mit a n = e n(+( )n) und a n+ = 0 für alle n N. Somit ist n a n = n e n(+( )n) e n/n = e, = e 0/n =, n gerade, n ungerade, und wegen n+ k a n+ = 0 für alle n N folgt limsup k ak = e, d. h. die Potenzreihe hat den Konvergenzradius e. Für x = ±e ergibt sich die Reihe e n(+( )n) e n. n= Diese Reihe ist divergent, da für gerades n gilt: e n(+( )n) e n = e n e n = 0 (n ). Die Potenzreihe konvergiert daher nur für x ( e,e ). Bemerkung: Man kann auch y := x setzen und n= e n(+( )n) y n betrachten. Diese Reihe hat Konvergenzradius e, d.h. sie ist konvergent für y < e und divergent für y > e. Hieraus folgt dann Konvergenz für x < e und Divergenz für x > e. d) Für a n := n gilt offenbar a n n. Wegen n n n folgt hieraus n n a n. Die Potenzreihe n= a n z n hat also den Konvergenzradius R = =. Für z = konvergiert die Reihe nicht, denn dann gilt a n z n n = a n, d. h. die Reihenglieder konvergieren nicht gegen 0. Konvergenz der Reihe liegt also nur für z < vor. e) Auch diese Potenzreihe hat den Konvergenzradius, denn n n z n = n n n z n = z n n 0, z <,, z >. Auf dem Rand des Konvergenzkreises liegt keine Konvergenz vor, denn für z = gilt n z n = n 0 (n ). Die Reihe n z n konvergiert somit nur für z <. f) Für den Konvergenzradius R von (z+3i) n n= = n= a n (z + 3i) n mit a n := ergibt sich wegen n lim sup n n n an = limsup n ( n n) = R = =. Die Potenzreihe (z+3i) n n= konvergiert also für z C mit z+3i < und divergiert n für z C mit z + 3i >. Für z C mit z + 3i = gilt (z + 3i)n z + 3i n n = n = n für jedes n N. Wegen der Konvergenz von n= ist die Reihe (z+3i) n n n= für z + 3i = nach dem Majorantenkriterium konvergent. Also konvergiert die Reihe genau für z C mit z + 3i n. 7

8 Aufgabe 35 (Übung) a) Es sei b(x) = + x für x [,0], x für x (0,], 0 für x < oder x >. Wir definieren f n (x) = b(x n) und g n (x) = f n(x) n für n N. Untersuchen Sie die Funktionenfolgen (f n ) und (g n ) auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. b) Sei h n (x) = +nx für n N und x [0, ). Untersuchen Sie die Funktionenfolge (h n) auf punktweise Konvergenz. Wieso kann sie nicht gleichmäßig konvergieren? Konvergiert sie auf (0, ) bzw. [a, ) mit a > 0 gleichmäßig? a) Für x < gilt f n (x) = 0 für alle n N. Für x [N,N) für ein N N gilt f n (x) = 0 b(x n) = 0 x n < n > x + > N. Somit gilt, dass (f n ) und somit auch (g n ) auf R punktweise gegen die Nullfunktion konvergieren. (f n ) konvergiert jedoch nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion, denn für jedes ε (0,] und jedes n N finden wir ein x n R (nämlich x n := n) mit f n (x n ) 0 = f n (n) = b(0) = ε. (g n ) jedoch konvergiert gleichmäßig gegen die Nullfunktion, denn für alle x R gilt g n (x) 0 = b(x n) n n 0 (n ). Da wir den anfänglichen Betrag unabhängig von x nach oben abgeschätzt haben gegen eine Nullfolge, ergibt sich die gleichmäßige Konvergenz (Satz 7.8 ()). b) Es gilt h n (0) = für alle n N. Für x > 0 fest gilt h n (x) = n n + x 0 (n ). Somit konvergiert (h n ) punktweise gegen die Grenzfunktion, x = 0 h(x) := 0, x > 0 Diese ist nicht stetig (h( n ) = 0 = h(0)), womit die Konvergenz nicht gleichmäßig sein kann (Satz 8.3). Auch auf (0, ) ist die Konvergenz nicht gleichmäßig, da für jedes ε (0, ] und jedes n N ein x n > 0 existiert (nämlich x n := n ) mit h n (x n ) 0 = = ε. + 8

9 Auf [a, ) für a > 0 ist die Konvergenz jedoch gleichmäßig, denn für jedes x a gilt h n (x) 0 = + nx + na = n n + a 0 (n ). Da die letzte Folge wieder unabhängig von x ist und gegen Null konvergiert, ist die gleichmäßige Konvergenz gezeigt (Satz 7.8 ()). Aufgabe 36 (Tutorium) Untersuchen Sie die folgenden Funktionenfolgen und -reihen jeweils auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz auf den angegebenen Teilmengen von R (n N). a) f n (x) = n n x, b) g n (x) = nx( x) n, c) n= h n (x), h n (x) = x n ( x), d) n= i n (x), i n (x) = n +x, x [a,], 0 < a <, x [0,], x (,], x R. a) Sei zunächst 0 < a < und x [a, ] fest. Dann gilt: h n (x) = n n x (n ) Also konvergiert (h n ) gegen die konstante Einsfuktion für n. Da für alle x [a,] sowie alle n N gilt, dass h n (x) = n n x = n n x n n a + n n a n n x n n a + n n a x a = n n x n n a + n n a x n n n n a + n n a =: α n und α n 0 für n, ist die Funktionenfolge (h n ) gleichmäßig konvergent. Sei nun a = 0. Es gilt h n (0) = 0 für alle n N. Für x 0 gilt, mit der gleichen Rechnung wie oben, lim n h n (x) =. Deshalb konvergiert (h n ) punktweise gegen h, wobei h : [0,] R durch 0 für x = 0, h(x) = sonst erklärt ist. Weil h nicht stetig in 0 ist, kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein (Satz 8.3) b) Offenbar gilt f n (0) = 0 für alle n N. Für x (0,] ist q := x [0,) und es ergibt sich f n (x) = nxq n n 0. (Wegen n nq n q < für n konvergiert die Reihe über nq n, was dann nq n 0 für n impliziert.) Die Funktionenfolge (f n ) konvergiert also punktweise gegen die Funktion f : [0,] R mit f (x) = 0 für alle x [0,]. Obwohl diese Grenzfunktion stetig ist, liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor. Es gilt f n ( n ) = n n ( n )n = ( n n )n e 9

10 (vgl. Aufgabe 9 b), 3. Übungsblatt). Also gibt es ein N N, sodass f n ( n ) > e für n N. Zu jedem ε (0, e ] und jedem n N existiert also ein x n (0,] (nämlich x n := n ) mit f n (x n ) 0 = f n (x n ) > e Das schließt die gleichmäßige Konvergenz aus. ε. c) Setzt man x = in n= x n ( x) ein, so ergibt sich der Wert 0. Für jedes x (,) gilt x n ( x) = ( x) x n = ( x)x x k = x( x) x = x. n= n= Die Funktionenreihe konvergiert also punktweise gegen die Funktion f : (,] R mit 0, x =, f (x) = x, x (,). Da diese Funktion, im Gegensatz zu den Partialsummenfunktionen s N : (,] R, die durch s N (x) := N n= x n ( x) gegeben sind, nicht stetig in x = ist, liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor. Bemerkung: Auch auf dem Intervall (,) liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor: Für jedes N N und x (,) gilt N s N (x) f (x) = ( x)x x n x = ( x)x xn x x = x N+ = x N+ sowie x N+ x N+. Obige Rechnung zeigt: Ist ε = gesetzt, dann finden wir zu jedem N N ein x (,) (etwa x = N+ ) so, dass s N (x) f (x) ε gilt. Dies schließt gleichmäßige Konvergenz aus. d) Für alle x R und n N haben wir x + n = x + n n. Da die Reihe n= konvergiert, folgt nach Satz 7.8 (): Die Funktionenreihe n n= konvergiert gleichmäßig und damit auch punktweise auf R. x +n 0