Logik Vorlesung 2: Semantik der Aussagenlogik

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1 Logik Vorlesung 2: Semantik der Aussagenlogik Andreas Maletti 24. Oktober 2014

2 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3 Prädikatenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution 4 Ausblick

3 Vorlesungsziele heutige Vorlesung 1 Vertiefung Syntax 2 Semantik Aussagenlogik 3 Formalisierung natürlichsprachlicher Aussagen 4 Tautologien und Erfüllbarkeit Bitte Fragen direkt stellen!

4 Überblick Organisation

5 Organisation Moduleinschreibung Einschreibeschluss: 26. Oktober 2014 Anmeldung im tool

6 Organisation Moduleinschreibung Einschreibeschluss: 26. Oktober 2014 Anmeldung im tool Abmeldefrist: 25. Januar 2015 Abmeldung auch im tool

7 Aussagenlogik Wiederholung: Syntax

8 Aussagenlogik Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3 Prädikatenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution 4 Ausblick

9 Aussagenlogik Syntax Wiederholung Aussage ist Satz, der entweder wahr oder falsch ist Atome A 0, A 1, A 2,...

10 Aussagenlogik Syntax Wiederholung Aussage ist Satz, der entweder wahr oder falsch ist Atome A 0, A 1, A 2,... Negation F nicht Konjunktion (F 1 F 2 ) und Disjunktion (F 1 F 2 ) oder

11 Aussagenlogik Syntax Wiederholung Aussage ist Satz, der entweder wahr oder falsch ist Atome A 0, A 1, A 2,... Negation F nicht Konjunktion (F 1 F 2 ) und Disjunktion (F 1 F 2 ) oder Definition (Formel) Jedes Atom ist eine Formel Atome

12 Aussagenlogik Syntax Wiederholung Aussage ist Satz, der entweder wahr oder falsch ist Atome A 0, A 1, A 2,... Negation F nicht Konjunktion (F 1 F 2 ) und Disjunktion (F 1 F 2 ) oder Definition (Formel) Jedes Atom ist eine Formel F ist eine Formel gdw. F eine Formel ist (nicht F ) Atome Negation

13 Aussagenlogik Syntax Wiederholung Aussage ist Satz, der entweder wahr oder falsch ist Atome A 0, A 1, A 2,... Negation F nicht Konjunktion (F 1 F 2 ) Disjunktion (F 1 F 2 ) Definition (Formel) Jedes Atom ist eine Formel F ist eine Formel gdw. F eine Formel ist (nicht F ) und oder Atome Negation (F 1 F 2 ) ist eine Formel gdw. F 1 und F 2 Formeln sind F 1 und F 2 Konjunktion

14 Aussagenlogik Syntax Wiederholung Aussage ist Satz, der entweder wahr oder falsch ist Atome A 0, A 1, A 2,... Negation F nicht Konjunktion (F 1 F 2 ) Disjunktion (F 1 F 2 ) Definition (Formel) Jedes Atom ist eine Formel F ist eine Formel gdw. F eine Formel ist (nicht F ) und oder Atome Negation (F 1 F 2 ) ist eine Formel gdw. F 1 und F 2 Formeln sind F 1 und F 2 Konjunktion (F 1 F 2 ) ist eine Formel gdw. F 1 und F 2 Formeln sind F 1 oder F 2 Disjunktion

15 Aussagenlogik Syntax Notizen Syntax = Struktur und Aufbau von Formeln bisher haben Formeln noch keine Bedeutung (sind bisher nur spezielle Zeichenketten) ist gültiger arithmetischer Ausdruck (Syntax) = 2 ist ein gültiger arithmetischer Ausdruck (Syntax) Wert von oder Gültigkeit der Gleichheit = 2 benötigt Semantik

16 Aussagenlogik Syntax Notizen F = Menge aller Formeln wir lassen manchmal die äußersten Klammern weg wir schreiben z.b. f (F 1 F 2 ) anstatt f ((F 1 F 2 ))

17 Aussagenlogik Syntax Notizen F = Menge aller Formeln wir lassen manchmal die äußersten Klammern weg wir schreiben z.b. f (F 1 F 2 ) anstatt f ((F 1 F 2 )) Definition Funktionen entspr. Fällen der Def. Formel wobei man die Funktionsergebnisse (strukturelle Rekursion) der echten Teilformeln nutzen kann

18 Aussagenlogik Syntax Notizen F = Menge aller Formeln wir lassen manchmal die äußersten Klammern weg wir schreiben z.b. f (F 1 F 2 ) anstatt f ((F 1 F 2 )) Definition Funktionen entspr. Fällen der Def. Formel wobei man die Funktionsergebnisse (strukturelle Rekursion) der echten Teilformeln nutzen kann Theorem (Strukturelle Rekursion) Für beliebige Mengen M und Funktionen c : N M, g : M M und g, g : M M M definieren f (A i ) = c(i) f ( F ) = g(f (F )) f (F 1 F 2 ) = g (f (F 1 ), f (F 2 )) f (F 1 F 2 ) = g (f (F 1 ), f (F 2 )) eindeutig eine (totale) Funktion f : F M.

19 Aussagenlogik Syntax Definition (Atome einer Formel) Wir definieren die Funktion Atome: F Pow({A 0, A 1,...}) Atome(A i ) = {A i } Atome( F ) = Atome(F ) Atome(F 1 F 2 ) = Atome(F 1 ) Atome(F 2 ) Atome(F 1 F 2 ) = Atome(F 1 ) Atome(F 2 )

20 Aussagenlogik Syntax Definition (Atome einer Formel) Wir definieren die Funktion Atome: F Pow({A 0, A 1,...}) Atome(A i ) = {A i } Atome( F ) = Atome(F ) Atome(F 1 F 2 ) = Atome(F 1 ) Atome(F 2 ) Atome(F 1 F 2 ) = Atome(F 1 ) Atome(F 2 ) Hier ist c(i) = {A i } g = id g = g mit g (S 1, S 2 ) = S 1 S 2

21 Aussagenlogik Syntax Beispiele 1 Für die Formel A 2 gilt Atome( A 2 ) = {A 2 }

22 Aussagenlogik Syntax Beispiele 1 Für die Formel A 2 gilt Atome( A 2 ) = {A 2 } 2 Atome( (A 1 (A 0 A 4 ))) = {A 0, A 1, A 4 }

23 Aussagenlogik Syntax Beispiele 1 Für die Formel A 2 gilt Atome( A 2 ) = {A 2 } 2 Atome( (A 1 (A 0 A 4 ))) = {A 0, A 1, A 4 } 3 Atome(A 1 ((A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ))) = {A 0,..., A 4 }

24 Aussagenlogik Syntax Beispiele 1 Für die Formel A 2 gilt Atome( A 2 ) = {A 2 } 2 Atome( (A 1 (A 0 A 4 ))) = {A 0, A 1, A 4 } 3 Atome(A 1 ((A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ))) = {A 0,..., A 4 } Nachweis für 3 : Atome ( A 1 ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) )) = Atome(A 1 ) Atome ( ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) )) = {A 1 } Atome ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) ) = {A 1 } Atome(A 2 A 0 ) Atome(A 4 A 3 ) = {A 1 } Atome(A 2 ) Atome(A 0 ) Atome(A 4 ) Atome( A 3 ) = {A 1 } {A 2 } {A 0 } {A 4 } Atome(A 3 ) = {A 1, A 2, A 0, A 4, A 3 }

25 Aussagenlogik Syntax Beispiele 1 Für die Formel A 2 gilt Atome( A 2 ) = {A 2 } 2 Atome( (A 1 (A 0 A 4 ))) = {A 0, A 1, A 4 } 3 Atome(A 1 ((A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ))) = {A 0,..., A 4 } Nachweis für 3 : Atome ( A 1 ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) )) = Atome(A 1 ) Atome ( ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) )) = {A 1 } Atome ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) ) = {A 1 } Atome(A 2 A 0 ) Atome(A 4 A 3 ) = {A 1 } Atome(A 2 ) Atome(A 0 ) Atome(A 4 ) Atome( A 3 ) = {A 1 } {A 2 } {A 0 } {A 4 } Atome(A 3 ) = {A 1, A 2, A 0, A 4, A 3 }

26 Aussagenlogik Syntax Beispiele 1 Für die Formel A 2 gilt Atome( A 2 ) = {A 2 } 2 Atome( (A 1 (A 0 A 4 ))) = {A 0, A 1, A 4 } 3 Atome(A 1 ((A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ))) = {A 0,..., A 4 } Nachweis für 3 : Atome ( A 1 ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) )) = Atome(A 1 ) Atome ( ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) )) = {A 1 } Atome ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) ) = {A 1 } Atome(A 2 A 0 ) Atome(A 4 A 3 ) = {A 1 } Atome(A 2 ) Atome(A 0 ) Atome(A 4 ) Atome( A 3 ) = {A 1 } {A 2 } {A 0 } {A 4 } Atome(A 3 ) = {A 1, A 2, A 0, A 4, A 3 }

27 Aussagenlogik Syntax Beispiele 1 Für die Formel A 2 gilt Atome( A 2 ) = {A 2 } 2 Atome( (A 1 (A 0 A 4 ))) = {A 0, A 1, A 4 } 3 Atome(A 1 ((A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ))) = {A 0,..., A 4 } Nachweis für 3 : Atome ( A 1 ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) )) = Atome(A 1 ) Atome ( ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) )) = {A 1 } Atome ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) ) = {A 1 } Atome(A 2 A 0 ) Atome(A 4 A 3 ) = {A 1 } Atome(A 2 ) Atome(A 0 ) Atome(A 4 ) Atome( A 3 ) = {A 1 } {A 2 } {A 0 } {A 4 } Atome(A 3 ) = {A 1, A 2, A 0, A 4, A 3 }

28 Aussagenlogik Syntax Beispiele 1 Für die Formel A 2 gilt Atome( A 2 ) = {A 2 } 2 Atome( (A 1 (A 0 A 4 ))) = {A 0, A 1, A 4 } 3 Atome(A 1 ((A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ))) = {A 0,..., A 4 } Nachweis für 3 : Atome ( A 1 ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) )) = Atome(A 1 ) Atome ( ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) )) = {A 1 } Atome ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) ) = {A 1 } Atome(A 2 A 0 ) Atome(A 4 A 3 ) = {A 1 } Atome(A 2 ) Atome(A 0 ) Atome(A 4 ) Atome( A 3 ) = {A 1 } {A 2 } {A 0 } {A 4 } Atome(A 3 ) = {A 1, A 2, A 0, A 4, A 3 }

29 Aussagenlogik Syntax Beispiele 1 Für die Formel A 2 gilt Atome( A 2 ) = {A 2 } 2 Atome( (A 1 (A 0 A 4 ))) = {A 0, A 1, A 4 } 3 Atome(A 1 ((A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ))) = {A 0,..., A 4 } Nachweis für 3 : Atome ( A 1 ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) )) = Atome(A 1 ) Atome ( ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) )) = {A 1 } Atome ( (A 2 A 0 ) (A 4 A 3 ) ) = {A 1 } Atome(A 2 A 0 ) Atome(A 4 A 3 ) = {A 1 } Atome(A 2 ) Atome(A 0 ) Atome(A 4 ) Atome( A 3 ) = {A 1 } {A 2 } {A 0 } {A 4 } Atome(A 3 ) = {A 1, A 2, A 0, A 4, A 3 }

30 Aussagenlogik Syntax Theorem (Strukturelle Induktion) Sei E F eine Eigenschaft von Formeln. Falls 1 A i E für alle i N 2 F E für alle F E 3 (F 1 F 2 ) E für alle F 1, F 2 E und 4 (F 1 F 2 ) E für alle F 1, F 2 E, dann gilt E = F

31 Aussagenlogik Syntax Theorem Jede Formel enthält eine gerade Anzahl Klammern

32 Aussagenlogik Syntax Theorem Jede Formel enthält eine gerade Anzahl Klammern Beweis. Sei E die Menge der Formeln mit gerader Anzahl an Klammern.

33 Aussagenlogik Syntax Theorem Jede Formel enthält eine gerade Anzahl Klammern Beweis. Sei E die Menge der Formeln mit gerader Anzahl an Klammern. 1 Offenbar gilt A i E, denn 0 ist gerade

34 Aussagenlogik Syntax Theorem Jede Formel enthält eine gerade Anzahl Klammern Beweis. Sei E die Menge der Formeln mit gerader Anzahl an Klammern. 1 Offenbar gilt A i E, denn 0 ist gerade 2 F enthält die gleiche Zahl an Klammern wie F, somit F E für alle F E

35 Aussagenlogik Syntax Theorem Jede Formel enthält eine gerade Anzahl Klammern Beweis. Sei E die Menge der Formeln mit gerader Anzahl an Klammern. 1 Offenbar gilt A i E, denn 0 ist gerade 2 F enthält die gleiche Zahl an Klammern wie F, somit F E für alle F E 3 (F 1 F 2 ) enthält 2 Klammern und die Klammern aus F 1 und F 2, somit (F 1 F 2 ) E für alle F 1, F 2 E (Summe gerader Zahlen ist wieder gerade)

36 Aussagenlogik Syntax Theorem Jede Formel enthält eine gerade Anzahl Klammern Beweis. Sei E die Menge der Formeln mit gerader Anzahl an Klammern. 1 Offenbar gilt A i E, denn 0 ist gerade 2 F enthält die gleiche Zahl an Klammern wie F, somit F E für alle F E 3 (F 1 F 2 ) enthält 2 Klammern und die Klammern aus F 1 und F 2, somit (F 1 F 2 ) E für alle F 1, F 2 E (Summe gerader Zahlen ist wieder gerade) 4 (F 1 F 2 ) enthält 2 Klammern und die Klammern aus F 1 und F 2, somit (F 1 F 2 ) E für alle F 1, F 2 E

37 Aussagenlogik Syntax Zusammenfassung induktive Definition der Formeln strukturelle Rekursion für Definition von Funktionen f : F M korrespondierendes Beweisprinzip: strukturelle Induktion

38 Aussagenlogik Semantik

39 Aussagenlogik Semantik Überblick wir nutzen die Wahrheitswerte 0 ˆ= falsch und 1 ˆ= wahr B = {0, 1} = Menge der Wahrheitswerte

40 Aussagenlogik Semantik Überblick wir nutzen die Wahrheitswerte 0 ˆ= falsch und 1 ˆ= wahr B = {0, 1} = Menge der Wahrheitswerte Definition (Interpretation) Jede Teilmenge I {A 0, A 1,...} ist eine Interpretation Eine Interpretation enthält die wahren Atome (auch Belegung)

41 Aussagenlogik Semantik Definition (per struktureller Rekursion) Sei I {A 0, A 1,...} eine Interpretation. Wir definieren die Erweiterung I : F {0, 1} der Interpretation I auf Formeln { (A i ) I 1 falls A i I = 0 sonst { ( F ) I 1 falls F I = 0 = 0 sonst { (F 1 F 2 ) I 1 falls F1 I = = 1 und F 2 I = 1 0 sonst { (F 1 F 2 ) I 1 falls F1 I = = 1 oder F 2 I = 1 0 sonst

42 Aussagenlogik Semantik Variante (kürzer) (A i ) I = { 1 falls A i I 0 sonst ( F ) I = 1 F I (F 1 F 2 ) I = min(f I 1, F I 2) (F 1 F 2 ) I = max(f I 1, F I 2)

43 Aussagenlogik Semantik Beispiel Sei I Interpretation mit A 2 / I : Für ( A 2 ) I berechnen wir zunächst A I 2 = 0. Also gilt ( A 2 ) I = 1 kürzer: ( A 2 ) I = 1 A I 2 = 1 0 = 1

44 Aussagenlogik Semantik Beispiel Sei I Interpretation mit A 2 / I : Für ( A 2 ) I berechnen wir zunächst A I 2 = 0. Also gilt ( A 2 ) I = 1 kürzer: ( A 2 ) I = 1 A I 2 = 1 0 = 1 Sei I Interpretation mit A 2 I : Für ( A 2 ) I berechnen wir wieder A I 2 = 1. Also gilt ( A 2 ) I = 0 kürzer: ( A 2 ) I = 1 A I 2 = 1 1 = 0

45 Aussagenlogik Semantik Beispiel Sei I Interpretation mit A 2 / I : Für ( A 2 ) I berechnen wir zunächst A I 2 = 0. Also gilt ( A 2 ) I = 1 kürzer: ( A 2 ) I = 1 A I 2 = 1 0 = 1 Sei I Interpretation mit A 2 I : Für ( A 2 ) I berechnen wir wieder A I 2 = 1. Also gilt ( A 2 ) I = 0 kürzer: ( A 2 ) I = 1 A I 2 = 1 1 = 0 sei A 1, A 4 I und A 0 / I Für ( (A 1 (A 0 A 4 ))) I berechnen wir (A 1 (A 0 A 4 )) I, wofür wir A I 1 = 1 berechnen (A 0 A 4) I = min(a I 0, A I 4) = 0 berechnen Letztlich ( (A 1 (A 0 A 4 ))) I = 0

46 Aussagenlogik Semantik Notizen bei Berechnung von F I berechnen wir auch F I 1 für alle Teilformeln F 1 von F tabellarischer Ansatz; Auflistung aller F I 1 für Teilformeln F 1

47 Aussagenlogik Semantik Notizen bei Berechnung von F I berechnen wir auch F I 1 für alle Teilformeln F 1 von F tabellarischer Ansatz; Auflistung aller F I 1 für Teilformeln F 1 am Beispiel F = (A 1 (A 0 A 4 )) A I 0 A I 1 A I 4 (A 0 A 4 ) I (A 1 (A 0 A 4 )) I F I

48 Aussagenlogik Semantik Notizen bei Berechnung von F I berechnen wir auch F I 1 für alle Teilformeln F 1 von F tabellarischer Ansatz; Auflistung aller F I 1 für Teilformeln F 1 am Beispiel F = (A 1 (A 0 A 4 )) A I 0 A I 1 A I 4 (A 0 A 4 ) I (A 1 (A 0 A 4 )) I F I 0 1 1

49 Aussagenlogik Semantik Notizen bei Berechnung von F I berechnen wir auch F I 1 für alle Teilformeln F 1 von F tabellarischer Ansatz; Auflistung aller F I 1 für Teilformeln F 1 am Beispiel F = (A 1 (A 0 A 4 )) A I 0 A I 1 A I 4 (A 0 A 4 ) I (A 1 (A 0 A 4 )) I F I

50 Aussagenlogik Semantik Notizen bei Berechnung von F I berechnen wir auch F I 1 für alle Teilformeln F 1 von F tabellarischer Ansatz; Auflistung aller F I 1 für Teilformeln F 1 am Beispiel F = (A 1 (A 0 A 4 )) A I 0 A I 1 A I 4 (A 0 A 4 ) I (A 1 (A 0 A 4 )) I F I

51 Aussagenlogik Semantik Notizen bei Berechnung von F I berechnen wir auch F I 1 für alle Teilformeln F 1 von F tabellarischer Ansatz; Auflistung aller F I 1 für Teilformeln F 1 am Beispiel F = (A 1 (A 0 A 4 )) A I 0 A I 1 A I 4 (A 0 A 4 ) I (A 1 (A 0 A 4 )) I F I

52 Aussagenlogik Semantik Notizen bei Berechnung von F I berechnen wir auch F I 1 für alle Teilformeln F 1 von F tabellarischer Ansatz; Auflistung aller F I 1 für Teilformeln F 1 am Beispiel F = (A 1 (A 0 A 4 )) A I 0 A I 1 A I 4 (A 0 A 4 ) I (A 1 (A 0 A 4 )) I F I In solchen Tabellen lassen wir I auch weg

53 Aussagenlogik Semantik Notizen bei Berechnung von F I berechnen wir auch F I 1 für alle Teilformeln F 1 von F tabellarischer Ansatz; Auflistung aller F I 1 für Teilformeln F 1 am Beispiel F = (A 1 (A 0 A 4 )) A I 0 A I 1 A I 4 (A 0 A 4 ) I (A 1 (A 0 A 4 )) I F I In solchen Tabellen lassen wir I auch weg wir können auch die Semantik der Junktoren so erfassen

54 Aussagenlogik Semantik Notizen Eine Formel F ist unter einer Interpretation I entweder wahr (F I = 1) oder falsch (F I = 0) Wahrheit einer Formel ergibt sich aus Wahrheit ihrer Atome

55 Aussagenlogik Semantik Notizen Eine Formel F ist unter einer Interpretation I entweder wahr (F I = 1) oder falsch (F I = 0) Wahrheit einer Formel ergibt sich aus Wahrheit ihrer Atome Definition (Modell, Widerlegung) Sei F eine Formel und I eine Interpretation I ist ein Modell für F gdw. F I = 1 kurz: I = F

56 Aussagenlogik Semantik Notizen Eine Formel F ist unter einer Interpretation I entweder wahr (F I = 1) oder falsch (F I = 0) Wahrheit einer Formel ergibt sich aus Wahrheit ihrer Atome Definition (Modell, Widerlegung) Sei F eine Formel und I eine Interpretation I ist ein Modell für F gdw. F I = 1 I ist eine Widerlegung für F gdw. F I = 0 kurz: I = F kurz: I = F

57 Aussagenlogik Semantik Beispiel Sei I Interpretation mit A 2 / I : Für ( A 2 ) I berechnen wir zunächst A I 2 = 0. Also gilt ( A 2 ) I = 1 kürzer: ( A 2 ) I = 1 A I 2 = 1 0 = 1 (Modell)

58 Aussagenlogik Semantik Beispiel Sei I Interpretation mit A 2 / I : Für ( A 2 ) I berechnen wir zunächst A I 2 = 0. Also gilt ( A 2 ) I = 1 kürzer: ( A 2 ) I = 1 A I 2 = 1 0 = 1 Sei I Interpretation mit A 2 I : Für ( A 2 ) I berechnen wir wieder A I 2 = 1. Also gilt ( A 2 ) I = 0 kürzer: ( A 2 ) I = 1 A I 2 = 1 1 = 0 (Modell) (Widerlegung)

59 Aussagenlogik Semantik Beispiel Sei I Interpretation mit A 2 / I : Für ( A 2 ) I berechnen wir zunächst A I 2 = 0. Also gilt ( A 2 ) I = 1 kürzer: ( A 2 ) I = 1 A I 2 = 1 0 = 1 Sei I Interpretation mit A 2 I : Für ( A 2 ) I berechnen wir wieder A I 2 = 1. Also gilt ( A 2 ) I = 0 kürzer: ( A 2 ) I = 1 A I 2 = 1 1 = 0 sei A 1, A 4 I und A 0 / I Für ( (A 1 (A 0 A 4 ))) I berechnen wir (A 1 (A 0 A 4 )) I, wofür wir A I 1 = 1 berechnen (A 0 A 4) I = min(a I 0, A I 4) = 0 berechnen Letztlich ( (A 1 (A 0 A 4 ))) I = 0 (Modell) (Widerlegung) (Widerlegung)

60 Aussagenlogik Semantik Notizen Modelle und Widerlegungen lassen sich aus Wahrheitswertetabelle ablesen Wahrheitswertetabelle für Junktoren (diesmal ohne I )

61 Aussagenlogik Semantik Notizen Modelle und Widerlegungen lassen sich aus Wahrheitswertetabelle ablesen Wahrheitswertetabelle für Junktoren (diesmal ohne I ) A B A A B A B

62 Aussagenlogik Semantik Notation und Abkürzungen der Übersicht halber erlauben wir auch A, B, C,..., längere Bezeichner und mathematische Ausdrücke als Atome (x 0) (x R)

63 Aussagenlogik Semantik Notation und Abkürzungen der Übersicht halber erlauben wir auch A, B, C,..., längere Bezeichner und mathematische Ausdrücke als Atome (x 0) (x R) Implikation: (F 1 F 2 ) ist eine Abkürzung für ( F 1 F 2 ) wenn F 1 wahr ist, dann auch F 2

64 Aussagenlogik Semantik Notation und Abkürzungen der Übersicht halber erlauben wir auch A, B, C,..., längere Bezeichner und mathematische Ausdrücke als Atome (x 0) (x R) Implikation: (F 1 F 2 ) ist eine Abkürzung für ( F 1 F 2 ) wenn F 1 wahr ist, dann auch F 2 Äquivalenz: (F 1 F 2 ) ist eine Abkürzung für ((F 1 F 2 ) (F 2 F 1 )) F 1 ist genau dann wahr, wenn F 2 wahr ist

65 Aussagenlogik Semantik erweiterte Wahrheitswertetabelle: A B A A B A B A B A B

66 Aussagenlogik Semantik Schwierigkeit: Implikation F 1 F 2 F 1 F 2 besteht aus Prämisse F 1 und Konsequenz F 2 F 1 F 2 ist genau dann falsch, wenn die Prämisse F 1 wahr ist, aber die Konsequenz F 2 falsch ist

67 Aussagenlogik Semantik Schwierigkeit: Implikation F 1 F 2 Beispiel F 1 F 2 besteht aus Prämisse F 1 und Konsequenz F 2 F 1 F 2 ist genau dann falsch, wenn die Prämisse F 1 wahr ist, aber die Konsequenz F 2 falsch ist Wer sich nicht anmeldet, schreibt die Klausur nicht mit. Formalisierung: Anmeldung Klausur

68 Aussagenlogik Semantik Schwierigkeit: Implikation F 1 F 2 Beispiel F 1 F 2 besteht aus Prämisse F 1 und Konsequenz F 2 F 1 F 2 ist genau dann falsch, wenn die Prämisse F 1 wahr ist, aber die Konsequenz F 2 falsch ist Wer sich nicht anmeldet, schreibt die Klausur nicht mit. Formalisierung: Anmeldung Klausur Prämisse falsch: wer sich anmeldet, kann die Klausur mitschreiben oder auch nicht (bei Anmeldung falsch (d.h. Anmeldung wahr) fordert die Regel nichts) Abmeldung bis

69 Aussagenlogik Semantik Schwierigkeit: Implikation F 1 F 2 Beispiel F 1 F 2 besteht aus Prämisse F 1 und Konsequenz F 2 F 1 F 2 ist genau dann falsch, wenn die Prämisse F 1 wahr ist, aber die Konsequenz F 2 falsch ist Wer sich nicht anmeldet, schreibt die Klausur nicht mit. Formalisierung: Anmeldung Klausur Prämisse falsch: wer sich anmeldet, kann die Klausur mitschreiben oder auch nicht (bei Anmeldung falsch (d.h. Anmeldung wahr) fordert die Regel nichts) Abmeldung bis Prämisse wahr: eine nichtangemeldete Person, die die Klausur mitschreibt ( Anmeldung falsch und Klausur wahr) würde die Implikation (Regel) nicht erfüllen

70 Aussagenlogik Formalisierung

71 Aussagenlogik Formalisierung Beispiele Wer A sagt, muss auch B sagen Asagen Bsagen

72 Aussagenlogik Formalisierung Beispiele Wer A sagt, muss auch B sagen Asagen Bsagen Schlachtet der Bauer eine Henne, so ist die Henne krank oder der Bauer. Atome: HenneSchlachten, KrankeHenne, KrankerBauer

73 Aussagenlogik Formalisierung Beispiele Wer A sagt, muss auch B sagen Asagen Bsagen Schlachtet der Bauer eine Henne, so ist die Henne krank oder der Bauer. Atome: HenneSchlachten, KrankeHenne, KrankerBauer HenneSchlachten (KrankeHenne KrankerBauer)

74 Aussagenlogik Formalisierung Beispiele Wer A sagt, muss auch B sagen Asagen Bsagen Schlachtet der Bauer eine Henne, so ist die Henne krank oder der Bauer. Atome: HenneSchlachten, KrankeHenne, KrankerBauer HenneSchlachten (KrankeHenne KrankerBauer) Im Februar Schnee und Eis, macht den Sommer lang und heiß Atome: FebSchnee, FebEis, LangerSommer, HeißerSommer

75 Aussagenlogik Formalisierung Beispiele Wer A sagt, muss auch B sagen Asagen Bsagen Schlachtet der Bauer eine Henne, so ist die Henne krank oder der Bauer. Atome: HenneSchlachten, KrankeHenne, KrankerBauer HenneSchlachten (KrankeHenne KrankerBauer) Im Februar Schnee und Eis, macht den Sommer lang und heiß Atome: FebSchnee, FebEis, LangerSommer, HeißerSommer (FebSchnee FebEis) (LangerSommer HeißerSommer)

76 Aussagenlogik Formalisierung StGB 19, 242 Diebstahl [editiert] Wer eine fremde bewegliche Sache einem anderen in der Absicht wegnimmt, die Sache sich oder einem Dritten rechtswidrig zuzueignen, ist ein Dieb.

77 Aussagenlogik Formalisierung StGB 19, 242 Diebstahl [editiert] Wer eine fremde bewegliche Sache einem anderen in der Absicht wegnimmt, die Sache sich oder einem Dritten rechtswidrig zuzueignen, ist ein Dieb. Formalisierung Atome: SacheFremd, SacheBeweglich, SichAneignen, DrittenAneignen, Dieb

78 Aussagenlogik Formalisierung StGB 19, 242 Diebstahl [editiert] Wer eine fremde bewegliche Sache einem anderen in der Absicht wegnimmt, die Sache sich oder einem Dritten rechtswidrig zuzueignen, ist ein Dieb. Formalisierung Atome: SacheFremd, SacheBeweglich, SichAneignen, DrittenAneignen, Dieb ( (SacheFremd SacheBeweglich) ) (SichAneignen DrittenAneignen) Dieb

79 Aussagenlogik Formalisierung StGB 16, 211 Mord [editiert] Mörder sind genau die Personen, die aus Mordlust, zur Befriedigung des Geschlechtstriebs, aus Habgier oder sonst aus niedrigen Beweggründen, heimtückisch oder grausam oder mit gemeingefährlichen Mitteln oder um eine andere Straftat zu ermöglichen oder zu verdecken, einen Menschen töten.

80 Aussagenlogik Formalisierung StGB 16, 211 Mord [editiert] Mörder sind genau die Personen, die aus Mordlust, zur Befriedigung des Geschlechtstriebs, aus Habgier oder sonst aus niedrigen Beweggründen, heimtückisch oder grausam oder mit gemeingefährlichen Mitteln oder um eine andere Straftat zu ermöglichen oder zu verdecken, einen Menschen töten. Formalisierung Mörder ( (Person Tötung) ( Mordlust (GeschlTrieb (Habgier...)) ) )

81 Aussagenlogik Formalisierung StGB 16, 212 Totschlag [editiert] Wer einen Menschen tötet, ohne Mörder zu sein, wird als Totschläger verurteilt.

82 Aussagenlogik Formalisierung StGB 16, 212 Totschlag [editiert] Wer einen Menschen tötet, ohne Mörder zu sein, wird als Totschläger verurteilt. Formalisierung ( ) Person (Tötung Mörder) Totschläger

83 Aussagenlogik Tautologien und Erfüllbarkeit

84 Aussagenlogik Tautologien Definition Eine Formel F ist eine Tautologie oder allgemeingültig, gdw. I = F für alle Interpretationen I (d.h. sie immer wahr ist; unabh. von Interpretation der Atome)

85 Aussagenlogik Tautologien Definition Eine Formel F ist eine Tautologie oder allgemeingültig, gdw. I = F für alle Interpretationen I (d.h. sie immer wahr ist; unabh. von Interpretation der Atome) unerfüllbar, gdw. I = F für alle Interpretationen I (d.h. immer falsch; unabh. von Interpretation der Atome)

86 Aussagenlogik Tautologien Definition Eine Formel F ist eine Tautologie oder allgemeingültig, gdw. I = F für alle Interpretationen I (d.h. sie immer wahr ist; unabh. von Interpretation der Atome) unerfüllbar, gdw. I = F für alle Interpretationen I (d.h. immer falsch; unabh. von Interpretation der Atome) erfüllbar, gdw. I = F für eine Interpretation I

87 Aussagenlogik Tautologien Definition Eine Formel F ist eine Tautologie oder allgemeingültig, gdw. I = F für alle Interpretationen I (d.h. sie immer wahr ist; unabh. von Interpretation der Atome) unerfüllbar, gdw. I = F für alle Interpretationen I (d.h. immer falsch; unabh. von Interpretation der Atome) erfüllbar, gdw. I = F für eine Interpretation I widerlegbar, gdw. I = F für eine Interpretation I

88 Aussagenlogik Tautologien Problem Wie weist man eine Tautologie nach? er wären unendliche viele Interpretationen zu überprüfen

89 Aussagenlogik Tautologien Problem Wie weist man eine Tautologie nach? er wären unendliche viele Interpretationen zu überprüfen relevant sind zum Glück nur die Atome der Formel

90 Aussagenlogik Tautologien Problem Wie weist man eine Tautologie nach? er wären unendliche viele Interpretationen zu überprüfen relevant sind zum Glück nur die Atome der Formel Theorem Sei F eine Formel und I eine Interpretation. Dann gilt F I = F J wobei J = I Atome(F )

91 Aussagenlogik Tautologien Problem Wie weist man eine Tautologie nach? er wären unendliche viele Interpretationen zu überprüfen relevant sind zum Glück nur die Atome der Formel Theorem Sei F eine Formel und I eine Interpretation. Dann gilt F I = F J wobei J = I Atome(F ) Beweis. in der Übung

92 Aussagenlogik Tautologien Wahrheitswertetabelle Beweisschema für komplexe Aussagen tabellarische Auflistung aller Möglichkeiten (basierend auf den Atomen der Formel) wird schnell sehr groß

93 Aussagenlogik Tautologien Wahrheitswertetabelle Beweisschema für komplexe Aussagen tabellarische Auflistung aller Möglichkeiten (basierend auf den Atomen der Formel) wird schnell sehr groß Beispiel Formel (A 1 A 2 ) A 1 ist eine Tautologie

94 Aussagenlogik Tautologien Wahrheitswertetabelle Beweisschema für komplexe Aussagen tabellarische Auflistung aller Möglichkeiten (basierend auf den Atomen der Formel) wird schnell sehr groß Beispiel Formel (A 1 A 2 ) A 1 ist eine Tautologie Tautologie-Beweis durch Wahrheitswertetabelle: A 1 A 2 A 1 A 2 (A 1 A 2 ) A

95 Aussagenlogik Tautologien Wahrheitswertetabelle Beweisschema für komplexe Aussagen tabellarische Auflistung aller Möglichkeiten (basierend auf den Atomen der Formel) wird schnell sehr groß Beispiel Formel (A 1 A 2 ) A 1 ist eine Tautologie Tautologie-Beweis durch Wahrheitswertetabelle: A 1 A 2 A 1 A 2 (A 1 A 2 ) A

96 Aussagenlogik Tautologien Wahrheitswertetabelle Beweisschema für komplexe Aussagen tabellarische Auflistung aller Möglichkeiten (basierend auf den Atomen der Formel) wird schnell sehr groß Beispiel Formel (A 1 A 2 ) A 1 ist eine Tautologie Tautologie-Beweis durch Wahrheitswertetabelle: A 1 A 2 A 1 A 2 (A 1 A 2 ) A

97 Aussagenlogik Tautologien Theorem Folgende Formel ist eine Tautologie: ( ) ( ) A (B C) (A B) (A C) }{{}}{{} F 1 F 2

98 Aussagenlogik Tautologien Theorem Folgende Formel ist eine Tautologie: ( ) ( ) A (B C) (A B) (A C) }{{}}{{} F 1 F 2 Beweis mit Wahrheitswertetabelle. A B C B C F 1 A B A C F 2 F 1 F

99 Aussagenlogik Tautologien Theorem Folgende Formel ist eine Tautologie: ( ) ( ) A (B C) (A B) (A C) }{{}}{{} F 1 F 2 Beweis mit Wahrheitswertetabelle. A B C B C F 1 A B A C F 2 F 1 F

100 Aussagenlogik Tautologien Theorem Folgende Formel ist eine Tautologie: ( ) ( ) A (B C) (A B) (A C) }{{}}{{} F 1 F 2 Beweis mit Wahrheitswertetabelle. A B C B C F 1 A B A C F 2 F 1 F

101 Aussagenlogik Tautologien Theorem Folgende Formel ist eine Tautologie: ( ) ( ) A (B C) (A B) (A C) }{{}}{{} F 1 F 2 Beweis mit Wahrheitswertetabelle. A B C B C F 1 A B A C F 2 F 1 F

102 Aussagenlogik Tautologien Theorem Folgende Formel ist eine Tautologie: ( ) ( ) A (B C) (A B) (A C) }{{}}{{} F 1 F 2 Beweis mit Wahrheitswertetabelle. A B C B C F 1 A B A C F 2 F 1 F

103 Aussagenlogik Tautologien Theorem Folgende Formel ist eine Tautologie: ( ) ( ) A (B C) (A B) (A C) }{{}}{{} F 1 F 2 Beweis mit Wahrheitswertetabelle. A B C B C F 1 A B A C F 2 F 1 F

104 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

105 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

106 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

107 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

108 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

109 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

110 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

111 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

112 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

113 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

114 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

115 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

116 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

117 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

118 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

119 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

120 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

121 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

122 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

123 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

124 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 )

125 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 ) Notizen Nachweis Tautologie: Beweis (z.b. Wahrheitswertetabelle) Nachweis Unerfüllbarkeit: Beweis (z.b. Wahrheitswertetabelle)

126 Aussagenlogik Tautologien Frage Formel Tautologie unerf. erfüllbar widerlegbar A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 0 A 1 A 0 (A 1 A 0 ) Notizen Nachweis Tautologie: Beweis (z.b. Wahrheitswertetabelle) Nachweis Unerfüllbarkeit: Beweis (z.b. Wahrheitswertetabelle) Nachweis Erfüllbarkeit: Angabe Modell Nachweis Widerlegbarkeit: Angabe Widerlegung

127 Aussagenlogik Tautologien klassische Tautologien A A ((A B) (A C) (B C)) C Bezeichnung ausgeschlossenes Drittes Fallunterscheidung (A (A B)) B modus ponens ((A B) (B C)) (A C) Syllogismus (Transitivität von ) (A B) ( B A) Kontraposition ((A B) (A B)) A reductio ad absurdum (indirekter Beweis) (A B) A Abschwächung für A (A B) Abschwächung für

128 Aussagenlogik Tautologien Theorem (modus ponens) F = (A (A B)) B ist eine Tautologie. (gelten A und wenn A, dann B, dann gilt auch B)

129 Aussagenlogik Tautologien Theorem (modus ponens) F = (A (A B)) B ist eine Tautologie. (gelten A und wenn A, dann B, dann gilt auch B) Beweis. Mit Fallunterscheidung: falls B wahr ist, dann ist F = B wahr

130 Aussagenlogik Tautologien Theorem (modus ponens) F = (A (A B)) B ist eine Tautologie. (gelten A und wenn A, dann B, dann gilt auch B) Beweis. Mit Fallunterscheidung: falls B wahr ist, dann ist F = B wahr falls B falsch ist, dann ist entweder A wahr, womit A (A B) falsch ist

131 Aussagenlogik Tautologien Theorem (modus ponens) F = (A (A B)) B ist eine Tautologie. (gelten A und wenn A, dann B, dann gilt auch B) Beweis. Mit Fallunterscheidung: falls B wahr ist, dann ist F = B wahr falls B falsch ist, dann ist entweder A wahr, womit A (A B) falsch ist A falsch, womit A (A B) auch falsch ist

132 Aussagenlogik Tautologien Theorem (modus ponens) F = (A (A B)) B ist eine Tautologie. (gelten A und wenn A, dann B, dann gilt auch B) Beweis. Mit Fallunterscheidung: falls B wahr ist, dann ist F = B wahr falls B falsch ist, dann ist entweder A wahr, womit A (A B) falsch ist A falsch, womit A (A B) auch falsch ist Da F = A (A B) falsch ist, ist F = F B wahr

133 Aussagenlogik Tautologien Frage Welche Zusammenhänge gelten? Jede Tautologie ist erfüllbar

134 Aussagenlogik Tautologien Frage Welche Zusammenhänge gelten? Jede Tautologie ist erfüllbar

135 Aussagenlogik Tautologien Frage Welche Zusammenhänge gelten? Jede Tautologie ist erfüllbar Jede erfüllbare Formel ist eine Tautologie

136 Aussagenlogik Tautologien Frage Welche Zusammenhänge gelten? Jede Tautologie ist erfüllbar Jede erfüllbare Formel ist eine Tautologie

137 Aussagenlogik Tautologien Frage Welche Zusammenhänge gelten? Jede Tautologie ist erfüllbar Jede erfüllbare Formel ist eine Tautologie Unerfüllbare Formeln sind nicht allgemeingültig

138 Aussagenlogik Tautologien Frage Welche Zusammenhänge gelten? Jede Tautologie ist erfüllbar Jede erfüllbare Formel ist eine Tautologie Unerfüllbare Formeln sind nicht allgemeingültig

139 Aussagenlogik Tautologien Frage Welche Zusammenhänge gelten? Jede Tautologie ist erfüllbar Jede erfüllbare Formel ist eine Tautologie Unerfüllbare Formeln sind nicht allgemeingültig Für jede Tautologie F ist F unerfüllbar

140 Aussagenlogik Tautologien Frage Welche Zusammenhänge gelten? Jede Tautologie ist erfüllbar Jede erfüllbare Formel ist eine Tautologie Unerfüllbare Formeln sind nicht allgemeingültig Für jede Tautologie F ist F unerfüllbar

141 Aussagenlogik Tautologien Frage Welche Zusammenhänge gelten? Jede Tautologie ist erfüllbar Jede erfüllbare Formel ist eine Tautologie Unerfüllbare Formeln sind nicht allgemeingültig Für jede Tautologie F ist F unerfüllbar Für jede erfüllbare Formel F ist auch F erfüllbar

142 Aussagenlogik Tautologien Frage Welche Zusammenhänge gelten? Jede Tautologie ist erfüllbar Jede erfüllbare Formel ist eine Tautologie Unerfüllbare Formeln sind nicht allgemeingültig Für jede Tautologie F ist F unerfüllbar Für jede erfüllbare Formel F ist auch F erfüllbar

143 Aussagenlogik Tautologien Frage Welche Zusammenhänge gelten? Jede Tautologie ist erfüllbar Jede erfüllbare Formel ist eine Tautologie Unerfüllbare Formeln sind nicht allgemeingültig Für jede Tautologie F ist F unerfüllbar Für jede erfüllbare Formel F ist auch F erfüllbar Notizen Vorsicht mit der Negation: 1 F ist unerfüllbar für jede Tautologie F ( F ist für jede Interpretation falsch) 2 F kann erfüllbar sein, falls F keine Tautologie ist (F ist nicht für jede Interpretation wahr)

144 Aussagenlogik Tautologien Spiegelbildprinzip: erfüllbare Formeln unerfüllbare Formeln

145 Aussagenlogik Tautologien Spiegelbildprinzip: Tautologien erfüllbare Formeln keine Tautologien unerfüllbare Formeln

146 Aussagenlogik Tautologien Spiegelbildprinzip: F 2 F 2 Tautologien erfüllbare Formeln unerfüllbare Formeln keine Tautologien F 1 F 1

147 Zusammenfassung Strukturelle Rekursion und Induktion Interpretationen und Semantik von Formeln Formalisierungen von Aussagen Tautologien und Erfüllbarkeit Erste Übungsserie läuft bereits.

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