Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Übungs-Blatt Wahrscheinlichkeitsrechnung BMT Biostatistik Prof. Dr. B. Grabowski Zu Aufgabe ) Ein bestimmtes Bauteil wird auf seine Zuverlässigkeit untersucht. Die technische Prüfung erfolgt dabei so: Das Bauteil Gerät wird als defekt eingestuft, wenn eine Lampe bei Eingabe eines bestimmten Stromsignals aufleuchtet (Ereignis B). In jedem anderen Fall wird das Bauteil als O.K. eingestuft. Es soll die Es soll die Zuverlässigkeit dieses Testverfahrens, d.h. die Trennschärfe des Verfahrens, untersucht werden. Sei A also das Ereignis das Bauteil ist defekt und B das Ereignis: das Bauteil wird als defekt eingestuft, bzw. die Lampe brennt. Aus vorhergehenden Untersuchungen sei bekannt, dass % aller Bauteile defekt sind. Es sei weiterhin bekannt, dass bei 90% aller Bauteile, die defekt sind, die Lampe tatsächlich aufleuchtet, aber leider auch bei % aller Bauteile, die O.K. sind. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauteil, welches als defekt eingestuft wurde auch wirklich defekt ist? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein nicht defekt eingestuftes Bauteil O.K. ist? Gegeben: Ereignisse: B Wird als defekt eingestuft D Bauteil ist defekt Wahrscheinlichkeiten: 0,0, B/ 0,9, B/ D ) 0,0 Wir verwenden zur Lösung der Aufgabe den Satz von Bayes für n : D entspricht A, D entspricht A. Zu a) Ges: D/B) D / B) Satzvon Bayes B) totale Wahrscheinlichkeit 0,9 0,0 0,0 0,9 0,0 0,0( 0,0) 0,0 0, ,64 64,% D.h. 64,% aller Bauteile, die als defekt eingestuft wurden sind auch wirklich defekt.

2 D / B) Satzvon Bayes B) totale Wahrscheinlichkeit ( 0,0) ( 0,0) 0, ,99 99,% ( 0,0) ( 0,0) ( 0,9)0,0 0,90 0,00 9 D.h. 99,% aller Bauteile, die als OK eingestuft wurden sind auch wirklich OK. Damit ist das Konsumentenrisiko sehr gering. (Das ist gut!) Zu Aufgabe ) Im Einzugsbereich eines Arztes befinden sich folgende Bevölkerungsgruppen: 30 % im Alter von bis 50 Jahre (A), 0% unter Jahre (A) und 50% über 50 Jahren (A3). Aus statistischen Erhebungen ist bekannt, dass sich die Patienten, die den Arzt aufsuchen, sich pro Monat wie folgt auf die Altersgruppen verteilen: % der Patienten stammen aus A, % sind unter jährig und 5 % der über 50 jährig. a) Wie viel % aller Personen suchen den Arzt insgesamt pro Monat auf? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gehört ein Patient zur. Gruppe der zwischen und 50 jährigen? c) Sind die beiden Ereignisse: Person ist krank (sucht Arzt auf) und Person gehört zu den zwischen und 50 jährigen stochastisch unabhängig voneinander? (Begründung!) Gegeben: Ereignisse: Ai Person gehoert zur Alterskalsse Ai, i,,3. K Person ist Patient (Krank, bzw. geht zum Arzt) Wahrscheinlichkeiten: A) 0,3, A)0,, A3)0,5, K/A)0,0, K/A)0,0, K/A3)0,005. Wir lösen die Aufgaben mit Hilfe der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit und dem Satz von Bayes. Zu a) Gesucht: K) Wir berechnen K) gemäß der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit: K) K/A)A) K/A)A) K/A3)A3) 0,0*0,3 0,0*0, 0,005*0,5 0,0095 Gesucht: A/K) Wir berechnen A/ K) gemäß dem Satz von Bayes: K / A) A) 0, P ( A/ K) 0,36 K) 0, Zu c) 30 P ( A/ K) 0,36 A) 0,3 95 d.h. es gilt nicht A/K)A). Demzufolge sind die beiden Ereignisse A und K nicht stochastisch unabhängig voneinander!

3 Diskrete Zufalls größen und ihre Verteilungen Zu Aufgabe 3) Welche der folgenden grafischen Darstellungen und Tabellen zeigen keine (Einzel-)Wahrscheinlichkeitsverteilung? Kreuzen Sie Ihre Antworten an und begründen Sie sie!. keine, weil p4 < 0 ist (Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen 0 und ).. ist eine 3. ist keine, weil die Summe aller Wahrscheinlichkeiten > ist (Die Summe ist immer ). Zu Aufgabe 4) Die zufällige Anzahl X von Ausfällen eines großen und teuren medizinischen Gerätes pro Jahr genüge folgender Verteilung: ai >6 pi /0 /0 3/0 /0 /0 /0 /0 0 Ein Ausfall der Maschine verursacht Kosten. Fällt das Gerät mal aus, so kostet das 000 Euro, genauso müssen bei maligem Ausfall 000 Euro bezahlt werden. Bei 3 und 4 maligem Ausfall sind es bereits jeweils 000 Euro und bei mehr als 4 maligem Ausfall im Monat verursachen die Reparaturen 4000 Euro Kosten. Sei Zufallsgröße X Reparaturkosten pro Monat. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mehr als 000 Euro Reparaturkosten im Monat bezahlen zu müssen? b) Wie groß sind die im Monat zu erwartenden Reparatur-Kosten EX? Verteilung von X: ai >6 (Ausfälle) bi (Kosten) pi /0 /0 3/0 /0 /0 /0 /0 0 Zu a) X>000 Euro) Y >4) Y 5 oder X6 oder X>6) p5p6 /0 0, 3

4 EX 6 i b pi i /0 00Euro Zu Aufgabe 5) Die zufällige Übertragungszeit von Nachrichten in einer Übertragungseinrichtung sei diskret gleichverteilt auf der Menge {3,4,5,6,} Sekunden, d.h. jede Zahl aus dieser Menge hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Wie groß ist die erwartete Übertragungszeit? Es gilt Xi) /5 für i3,4,5,6,. Daraus folgt: 5 EX i i 3 Zu Aufgabe 6) Ein Würfel wird geworfen. Sei X die Zufallsgröße, welche die doppelte Augenzahl angibt, und Y die Zufallsgröße, welche die Werte oder 3 annimmt, je nachdem, ob eine ungerade oder gerade Zahl erscheint. Bestimmen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz von a) X b) Y Zu a) Verteilung von X : i pixi) /6 /6 /6 /6 /6 /6 EX (460)/ Var(X) (i ) i Verteilung von Y : i 3 piyi) / / EY / 3/ Var(X) ( ) ( 3), 5 4

5 Zu Aufgabe ) Zwei Baugruppen a, a eines Gerätesystems können voneinander unabhängig in einem vorgegebenen Zeitintervall der Länge T mit den Wahrscheinlichkeiten 0,95 bzw. 0, Bestimmen Sie die durchschnittliche Anzahl der ausgefallenen Baugruppen zum betrachteten Zeitintervall! Sei X Anzahl der ausgefallenen Baugruppen im betrachteten Zeitintervall. Dann ist X {0,,}. Seien folgende Ereignisse definiert: a bzw. a Bauelemente a bzw. a sind O.K. a, a heißt: a bzw. a fallen aus. Dann ist: X 0) a a) a) a) ( 0,95) ( 0,) 0,0 Unabhängigkeit X ) a a) a) a) 0,95 0, 0,6 Unabhängigkeit P ( X ) X 0) X ) -0,0-0,6-0, 0,3 Verteilung von X: i 0 pixi) 0,0 0,6 0,3 Erwartungswert EX berechnet man nun nach folgender Formel: EX ip i 0,6 0,46, i 0 Zu Aufgabe ) (Multiplikationssatz) Lösen Sie unter Verwendung des Multiplikationssatzes folgende Aufgabe! In einem Paket von 0 gleichartigen Bauteilen befinden sich defekte. Bei der Qualitätskontrolle werden zufällig aus diesem Paket 3 Teile entnommen und getestet. X sei die zufällige Anzahl der fehlerhaften Teile unter diesen 3 entnommenen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und stellen Sie diese grafisch dar! b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den 3 gezogenen mindestens defektes Teil befindet? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den 3 gezogenen höchstens ein defektes befindet? d) Berechnen Sie EX! Es ist: X {0,,}. Zu a) 5

6 Wir definieren die Ereignisse Ai Bei der i.ten Ziehung wird ein defektes Teil gezogen, i,,3. Dann ist nach Multiplikationssatz: 6 P ( X 0) A A A) A / A) A A) 0 9 X ) ( A A ( A A ( A A ) A A A A A A A) A / A) A A) A) A / A) A A) A) A / A) A A) und es ist X) - X0)-X) 5. Verteilung von X: i 0 pi /5 /5 /5 X ) /5 /5 /50,533 Zu c) X ) /5 /5 4/5 Zu d) 9 EX i pi 0 0, i 0 6