15 / 16 I GK EF Übung 2 Dez.15

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1 1 / 16 I GK EF Übung Dez.1 Nr. 1: Ableitungsdefinition - Tangentenberecnung Gegeben ist die ganzrationale Funktion. Grades mit: f(x) = x - x a) Bestimmen Sie die durcscnittlice Änderungsrate (Sekantensteigung) der Funktion zwiscen den x-werten 1 und. Δ = f()-f (1) -1 = 4-10-(1-) 1 = - b) Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate (Tangentensteigung) der Funktion zum Zeitpunkt mit der - Metode und mit den Ableitungsregeln. gesuct: f ' () f(+)-f () m t = f ' () = lim = lim (+) - (+)- -* lim (-6) 0 = lim -1 0 = (-1) = = lim 0-1 = -1 Nac den Ableitungsregeln gilt: f ' (x) = x - f ' () = * - = -1 c) Bestimmen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten die erste Ableitung von f an der Stelle a. gesuct: f ' (a) m a = f(a+)-f (a) a+-a = (a+) - (a+)- a - a a + a + - a- - a - a = = + a - a = (+ a-) f ' (a) = lim 0 ( + a - ) = a - (vgl. mit f ' (x) = x - ) = + a - d) Bestimmen Sie die Gleicung der Tangenten an den Grapen von f an der Stelle 1. t: y = m x + b ; m = f ' (1) = - = - ; f(1) = 1 - * 1 = -4 ; B(1-4) t -4 = - * 1 + b b = -1 t : y = - x - 1 e) Wo scneidet die Normale an der Stelle 1 die Parabel zum. Mal? Normale: n : y = m x + b ; m n * m t = -1 m n * (-) = - m n = 1 B(1-4) n -4 = 1 * 1 + b b = -4 1 n : y = 1 x - 1 Scnittpunktbestimmung durc Gleicsetzen von Normale und Parabel: x - x = x - 1 x 1 = 1 x - 16 x + 1 = 0 x 1, = 8 ± ; x = 1 Mit n 1 = 1 * 1-1 = folgt: Die Normale scneidet die Parabel nocmal im Punkt P P 4 1 = 8 ± f) Bestimmen Sie den Tiefpunkt der Parabel. Im Tiefpunt gilt: f ' (x) = 0 0 = x - x =. Mit : f(.) = - 6. folgt: Sceitelpunkt S (. - 6.)

2 U nb g) In welcem Winkel scneidet die Parabel die x-acse in der von Null versciedenen Nullstelle? Nullstellen: f (x) = 0 = x - x = x(x - ) x 1 = 0; x = Scnittwinkel: tan (α) = m = f ' () = - = α = tan -1 () = Nr. : Grapisces Differenzieren Gegeben sind die Grapen A und B zweier ganzrationaler Funktionen. y y x x - A B a) (1) Bestimmen Sie begründet den Grad der beiden Funktionen. () Bestimmen Sie begründet die Symmetrieeigenscaften der Grapen A und B. (1) A ist der Grap einer ganzrationale Funktion 4. Grades, denn er könnte maximal 4 Nullstellen aben, wenn die x-acse etwas öer läge. B ist aus dem gleicen Grund ( Nullstellen). Grades. () Bei A ist keine Symmetrie erkennbar. B ist punktsymmetrisc zum Ursprung. z.b. liegen die Nullstellen (-8, -6., 0, 6., 8) symmetrisc zum Ursprung. Dem Hocpunkt H(-. 7) entsprict der Tiefpunkt T(. - 7). Allgemein gilt für B: - f(x) = f(- x) b) Zeicnen Sie die Grapen der Ableitung in das jeweilige Koordinatensystem ein. y y x x Nr. : Zusammenang zwiscen Funktion, Ableitung und Aufleitung f sei eine ganzrationale Funktion über dem Intervall [a; e]. Der Grap der Ableitungsfunktion f ' ist in der folgenden Zeicnung gegeben:

3 a) Macen Sie eine begründete Aussage über den f ' a b c d e Grad der Ableitungsfunktion f '. b) In welcen Intervallen steigt der Grap von f, in welcen fällt er (Begründung!)? c) Welces Veralten zeigt der Grap von f an den Stellen b, c und d (Begründung!)? d) Skizzieren Sie einen möglicen Verlauf des Grapen von f. e) Macen Sie eine begründete Aussage über die möglice Anzal der Nullstellen von f im Intervall [a ; e]. Input Der Grap könnte Nullstellen aben ; (er at Extremstellen) f ' at den Grad. b) f 'ist von 0 bis d immer negativ - er wird nur einmal bei b null -, daer fällt der Grap von f in diesem Bereic, erst für x > d steigt der Grap von f, denn ier ist f'>0. c) Stelle b: f ' (b) = 0 waagerecte Tangente in b. Da f ' sein Vorzeicen in b aber nict ändert, liegt dort ein Sattelpunkt und kein Extrema vor. Stelle c: f 'at in c ein Extrema (Tiefpunkt), damit at f dort einen Wendepunkt. Stelle d: f ' (d) = 0 waagerecte Tangente in d. Da f ' sein Vorzeicen in d von minus nac plus ändert, dort also vom Fallen zum Steigen überget,liegt dort ein Tiefpunkt vor. f f ' d) a b c d e e) f kann bis zu 4 Nullstellen aben, da der Grad von f gleic 4 ist. Nr. 4: Ableiten Berecnen Sie die erste Ableitung folgender Funktionen: a) f (x) = x 4 - x + 4 b) g(x) = 7 x - x c) (t) = t - π t + t + x a) f ' (x) = 8 x - 9 x b) g' (x) = 1 7 x4 - x c) ' (t) = - t - π t - 9 t 4 Nr. : Tangente und Normale

4 4 U nb Gegeben ist die ganzrationale Funktion. Grades mit: f(x) = 1 x - 1 x - 1. Die Grapen sind links dargestellt. - - Input a) Bestimmen Sie die Gleicung der Tangenten an den Grapen von f an der Stelle 1. f ' (x) = x - 1 ; Berürpunkt: f(1) = 1 * 1-1 * 1-1 = -1 B(1-1) t: y = m x + b ; m = f ' (1) = 1-1 = 1 ; B liegt auf t, also: -1 = 1 * 1 + b b = - t : y = 1 x -1. b) Wo scneidet die Normale an der Stelle 1 die Parabel zum. Mal? Normale: n : y = m x + b ; m n * m t = -1 m n = m n = - B(1-1) n -1 = - * 1 + b b = 1 n : y = - x + 1 Scnittpunktbestimmung durc Gleicsetzen von Normaler und Parabel: 1 x - 1 x - 1 = - x x + x - = 0 x + x - 4 = 0 x 1, = -1. ±. + 4 x 1, = -1. ±. x 1 = -4 ; x = 1 (Berürpunkt) y-wert: n(-4) = - (-4) + 1 = 9 Die Normale scneidet die Parabel nocmal im Punkt P(-4 9) c) Bestimmen Sie den Tiefpunkt der Parabel. Im Tiefpunt gilt: f ' (x) = 0 0 = x - 0. x = 0. Mit : f(0.) = 1 * * = -1.1 folgt: Sceitelpunkt S( ) d) In welcem Winkel scneidet die Parabel die x-acse in der größeren Nullstelle? Nullstellen: f (x) = 0 = 1 x - 1 x = x - x - x 1, = 0. ± 0. + x 1, = 0. ± 1. x 1 = -1; x = (größere Nullstelle) Scnittwinkel: tan (α) = m = f ' () = - 1 = 1. α = tan -1 (1.) = 6.1 Nr. 6: Transformation

5 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleicung f (x) = 1 x - x -. Der Grap ist in der Abbildung dargestellt. (1) Weisen Sie recnerisc nac, dass die in der Zeicnung erkennbare Nullstelle tatsäclic eine Nullstelle ist. () Gegeben ist die Funktion g a mit der Gleicung g a (x) = f (x + a). Geben Sie an, wie sic der Grap von g a verändert, wenn man für a immer größere Zalen einsetzt. Geben Sie außerdem einen Wert für a an, so dass die Funktion g a die Nullstelle x = -1 besitzt. (1) Am Grapen ist erkennbar, dass die vermutlice Nullstelle ist. Zum recneriscen Nacweis: Setze für x in f(x) ein. f () = = 0 () Je größer a wird, desto weiter wird der entsprecende Grap der Funktion g a nac links verscoben. Damit -1 eine Nullstelle wird, muss der Grap von f um drei Eineiten nac links verscoben werden, also muss a = gelten Nr. 7: Hocwasser in Beverungen In Beverungen sind Hocwasser nicts Unbekanntes. In den ersten Tagen des Jares 011 ließen analtende Regenfälle und die beginnende Scneescmelze in den Mittelgebirgen die Weser scnell ansteigen Für die Tage vom 6. Januar 011 0:00 Ur bis zum 8 Januar 011 4:00 Ur können die Aufzeicnung des Wasserstandes an der Messstation in Beverungen modellaft durc die Funktion mit der Funktionsgleicung: (x) = 1 4 x - x + x + bescrieben werden.dabei wird die Wasseröe in Metern und die Zeit in Tagen nac dem 6. Januar 0:00 Ur gemessen. Der Grap dieser Funktion ist links abgebildet.mit dieser Funktion ist es möglic, die folgenden Aufgabenstellungen zu bearbeiten. Input a) Berecnen Sie die Höe des Wasserstandes am 6 Januar 011 um 0:00 Ur und am 7. Januar um 1:00 Ur. 6. Januar 0110:00 Ur entsprict dem Startpunkt. Also: (0) = [m] 7. Januar 011 1:00 Ur ist 1 1 Tage nac dem Startpunkt, also: (1.) =.847[m] b) Berecnen Sie die Gescwindigkeit in m/, mit der der Wasserstand in den ersten 1 Stunden des Beobactungszeitraumes durcscnittlic anstieg. 1 Stunden 0, Tage, also: x 1 = 0 ; x = 0. Δ = (0.)-(0) = =.01 m = 4.06 = 4.06 m Tag 4 = m In den ersten 1 Stunden betrug die durcscnittlice Steigungsgescwindigkeit rund 17 cm /

6 6 U nb c) Wie oc war die momentane Änderungsrate des Wasserstandes am 6. Januar um 1:00 Ur? Die momentane Änderungsrate entsprict der Tangentensteigung, also der 1. Ableitung. (x) = 1 4 x - x + x + ' (x) = 4 x - 4 x + ' (0.) = 4 * * 0. + =.187 m Tag = m = m Am Mittag des 1. Tages steigt das Wasser mit einer Gescwindigkeit von ca 1 cm /. d) Ermitteln Sie recnerisc den Zeitpunkt, zu dem der öcste Wasserstand in diesem Zeitraum an der Messstation erreict wurde und berecnen Sie diesen Höcststand. Im Hocpunkt ist die Tangente waagerect, also Steigung ' (x) = 0 (x) = 1 4 x - x + x + ' (x) = 4 x - 4 x + Mit () = ' (t) = 0 0 = 4 x - 4 x + 0 = x - 16 x + 0 x 1, = 8 ± x 1, = 8 ± x 1 = ; x = 10 6 [m] =. (entfällt, da nict im Zeitraum) Wie man auc am Grapen erkenne kann, wird nac Tagen, also um Mitternact des 7./8. Januars der öcste Punkt des Hocwassers mit 6 m angenommen. e) An einer zweiten Messstation in Höxter war die Entwicklung des Wasserstandes in weiten Teilen vergleicbar mit dem Verlauf an der ersten Messstation in Beverungen. Allerdings wurde ier der öcste Wasserstand erst zu einem späteren Zeitpunkt gemessen und atte eine geringere Höe als an der ersten Messstation. Die Entwicklung des Wasserstandes an der zweiten Messstation kann durc eine Funktion g mit g(t) = a (t + b) bescrieben werden. Geben Sie einen Zalenbereic für a und einen Zalenbereic für b so an, dass der oben bescriebene neue Sacveralt sinnvoll modelliert werden kann, und begründen Sie Ire Wal. Der öcste Wasserstand wurde zu einem späteren Zeitpunkt gemessen, also muss der Grap nac rects verscoben werden. Dies gelingt mit b < 0. Da der öcste Wasserstand eine geringere Höe atte als an der ersten Messstation, muss der Grap in vertikaler Rictung gestauct werden. Dies gelingt, wenn ein a mit 0 < a < 1 gewält wird. Weitere Einscränkungen der Zalenbereice werden nict erwartet. Nr. 8: Verkersstau NRW Zentral 014 An einer Autobanbaustelle wurde über einen längeren Zeitraum die Stauentwicklung untersuct. Für 1 t 19 stellt der Grap der Funktion f modellaft die Staulänge wärend eines bestimmten Tages in der Zeit von 1:00 Ur bis 19:00 Ur dar (siee Abbildung). Es gilt: f (t) = -0.1 t + 4. t t +.7 Dabei ist t die Urzeit (z. B. 14:00 Ur t = 14) und f (t) die Staulänge zur Zeit t in Kilometern. Mit dieser Funktion f ist es möglic, die folgenden AufgabensteIlungen zu bearbeiten. a) (1) Berecnen Sie die Länge des Staus um 1:00 Ur.

7 () Um abzuscätzen, wie viele Farzeuge um 1:00 Ur im Stau steen, müssen Annamen getroffen werden. Berecnen Sie mit Hilfe von zwei plausiblen Annamen einen Scätzwert für die Anzal der Farzeuge, die um 1:00 Ur in diesem Stau steen. (+ Punkte) (1) f (1) = -0.1*1 + 4.*1-66.*1 +.7 = 1.6 km () Die Staulänge wird durc eine abgescätzte durcscnittlice Farzeuglänge zuzüglic des durcscnittlicen Farzeugabstandes dividiert. Komplexere Lösungen, in denen z. B. die Anzal der Farspuren berücksictigt wird, werden natürlic ebenfalls anerkannt. [Bei der Beurteilung der konkreten Annamen sollte großzügig verfaren werden.] Also: z.b. Autolänge und Farzeugabstand ca. 10 m Anzal der Autos im Stau ca b) Ermitteln Sie recnerisc die Urzeit, zu der die Staulänge im betracteten Zeitraum maximal ist, und geben Sie die maximale Länge des Staus an. (9 Punkte) Gesuct: globales Maxium im Intervall [1 ; 19], also lokales Max und Randveralten! lokale Extrema: Ableitungen: f (t) = -0.1 t + 4. t t +.7 ; f ' (t) = -0. t + 9 t ; f '' (t) = -0.6 t + 9 Extrema: notw. Bed.: f ' (t) = 0 0 = -0. t + 9 t = 1 t - 0 t + 1 t 1, = 1 ± - 1 t 1 = 1; t = 17 inr. Bed.: f '' (1) = -0.6*1 + 9 = 1. > 0 TP bei 1 ; f '' (17) = -0.6* = -1. < 0 HP bei 17 Werte: f (1) = -0.1*1 + 4.*1-66.*1 +.7 = 1.6(unnötig) f 1 = -0.1* *17-66.* = 4.8 H(17 4.8) ; T(1 1.6) Randveralten: f[1] = -0.1*1 + 4.*1-66.*1 +.7 =. und f[19] = -0.1* *19-66.* = 1.6 Also ist die Staulänge im lokalen Hocpunkt auc global am längsten. Um 17:00 Ur wird die Staulänge mit 4.8 km maximal. c) Bestimmen Sie, um wie viele Kilometer die Staulänge in der Zeit von 1:00 Ur bis 17:00 Ur pro Stunde im Durcscnitt zunimmt. ( Punkte) Es ist nac der durcscnittlicen Wacstumsgescwindigkeit, also nac der Sekantensteigung gefragt. Überlegung: Die Staulänge steigt in diesen 4 Stunden von 1.6 km auf 4.8 km, also um 0.8 km/. Recnung: m = y -y 1 = f(17)-f(1) = x -x = 0.8 km d) Für die Funktion f gelten für 1 < t < 17 die beiden Ungleicungen: f ' (t) > 0 und f " (t) < 0. Interpretieren Sie, welce Bedeutung diese beiden Ungleicungen im Saczusammenang der Aufgabe aben. (4 Punkte) f ' (t) > 0: Der Grap von f at für 1 < t < 17 eine positive Steigung, die Staulänge nimmt daer zwiscen 1:00 Ur und 17:00 Ur ständig zu. f '' (t) < 0: Der Grap von f at für 1 < t < 17 eine Rectkrümmung. die Staulänge nimmt daer zwiscen 1:00 Ur und 17:00 Ur immer langsamer zu. oder f '' (t) < 0 : Die Änderungsrate von f ' ist für 1 < t < 17 negativ, die Staulänge nimmt daer zwiscen

8 8 U nb e) 1:00 Ur und 17:00 Ur immer langsamer zu. Es kann davon ausgegangen werden, dass sic der Stau ab 19:00 Ur gleicmäßig um,6 Kilometer pro Stunde verringert. (1) Bestimmen Sie die Urzeit, zu der sic der Stau vollständig aufgelöst at. () Die Staulänge ab 19:00 Ur soll mit einer geeigneten Funktion g modelliert werden. Ermitteln Sie eine Funktionsgleicung der Funktion g. (+4 Punkte) (1) Staulänge um 19:00 Ur: f (19) = -0.1* *19-66.* = 1.6 km Da er sic pro Stunde um.6 km verkürzt dauert es keine Stunde mer = = *60 min = min 7 min Der Stau at sic ca 7 Minuten später, also ungefär um 19:7 Ur vollständig aufgelöst. () Da die Staulänge gleicmäßig abnimmt, wird zur Modellierung der Staulänge eine lineare Funktion g (eine Gerade) mit g (t) = m t + b verwendet. Da die Staulänge sic pro Stunde um,6 Kilometer verringert, gilt m = -.6. Punkt: Mit g(19) = f(19) = 1.6 = -.6 *19 + b b = = 70. ergibt sic die Funktionsgleicung g (t) = -.6 x + 70 Viel Erfolg!!!