Übungsaufgaben 1. Reelle Zahlen. kd1 k2 D 1 n.n C 1/.2n C 1/ für jedes n 2 N gilt! 6. kd1 k2 D 1 D 1.1 C 1/.2 C 1/. C.n C 1/ 2

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1 Übugsaufgabe 1 Reelle Zahle Aufgabe 1. Ma beweise, daß 1 1. /. / für jedes N gilt! Lösug. er Beweis soll idutiv über N geführt werde: Idutiosafag: Für 1 ergibt sich P /. /. Idutiosschritt: Uter der Idutiosvoraussetzug, daß die Formel 1 1. /. / für ei N gilt, ergibt sich durch die Rechug 1 1 C. /.C1/.C1/ C. / C1. / C. / C1 C 7 C.C1/.C/..C1/C1/ i der Tat die Idutiosbehauptug. amit ist der Idutiosbeweis erbracht. Aufgabe. Sei für jedes N ei offees Itervall S a ; b Œ mit a, b R ud a < b gegebe. 1. Ma beweise, daß der edliche urchschitt \ 1 S für jedes N ei offees Itervall oder die leere Mege ist!. Ma zeige durch die isussio eies Gegebeispiels, daß der uedliche urchschitt \ 1 1 S im Allgemeie weder ei offees Itervall och leer ist! Lösug. 1. ie Aussage wird mit Hilfe vollstädiger Idutio ach N bewiese: Idutiosafag: Für 1 ist \ 1 1 S S 1 ei offees Itervall. Idutiosschritt: Uter der Aahme der Idutiosvoraussetzug, daß \ 1 S ei offees Itervall oder die leere Mege für ei N ist, existiere im erste Falle zwei reelle Zahle a, b R mit a < b ud \ 1 S a; bœ. Ma erhält somit \ C1 1 S \ 1 S \ SC1 a; bœ \ a C1 ; b C1 Œ fx R j a < x < b ud a C1 < x < b C1 g fx R j maxfa; a C1 g < x < mifb; b C1 gg: Bildet ma c maxfa; a C1 g R ud d mifb; b C1 g R, da ist \ C1 1 S im Falle c < d das offee Itervall c; dœ ud im Falle c d oder \ 1 S die leere Mege. amit ist die Idutiosbehauptug bewiese ud der Idutiosbeweis erbracht.. er urchschitt eier uedliche Familie offeer Itervalle ist im Allgemeie weder ei offees Itervall och leer: Bildet ma die offee Itervalle S 1 ; 1 für N, da erhält ma \ 1 1 S 1 f0g: I der Tat gilt < 0 < 1 für jedes N, also 0 \ 1 1 S. Für jedes x R mit x 0 existiert ei ` N mit ` > 1 ud somit jxj 0 < 1` < jxj. Es gilt also x S` ud damit erst recht x \ 1 1 S. 8

2 Aufgabe 3. Ma zeige, daß i eiem Körper K die Lagrage-Idetität 1 x 1 y 1 x y 1 1 für alle N, x 1 ; : : : ; x K ud y 1 ; : : : ; y K gilt! P ǹ C1.x y` x`y / Lösug. er Beweis wird durch vollstädige Idutio über N geführt: Idutiosafag: Für 1 gilt tatsächlich 1 x y x 1 y 1.x 1 y 1 / 1 x 1 y Idutiosschritt: Elemetare Umformuge liefer zuächst 1 x 1 y 0 P 0 1 P 1`C1.x y` x`y / : 1 x P y 1 x C C1 x 1 y C y C1 1 x y C x C1 y C1 1 x 1 y 1 x y C 1 x y C1 C x C1 y x y C1 x C1 y 1 x 1 y C 1.x y C1 x C1 y / 1 x y für alle N sowie x 1 ; : : : ; x ; x C1 K ud y 1 ; : : : ; y ; y C1 K. Uter der Aahme, daß die Idutiosvoraussetzug 1 x 1 y 1 x P y 1 P ǹ 1 C1.x y` x`y / für ei N gilt, ergibt sich daraus die Idutiosbehauptug 1 x P y 1 P ǹ 1 C1.x y` x`y / 1 x 1 y C 1.x y C1 x C1 y / 1 P ǹ 1 C1.x y` x`y / C 1 1.x y C1 x C1 y / C.x y C1 x C1 y / womit der Idutiosbeweis erbracht ist. 1 1 `C1.x y` x`y / C `C1.x y` x`y / 1 `C1.x y` x`y / ;

3 Alterative Lösug. 1. Für alle N, x 1 ; : : : ; x K ud y 1 ; : : : ; y K gilt P ǹ 1 y` 1 x P ǹ P y 1 x`y` P ǹ 1 1 x y` x y x`y` : 1 x. Spaltet ma die oppelsumme auf der rechte Seite i drei Summe über die Idexbereiche 1 < `, 1 `, 1 ` < auf, da ergibt sich P ǹ P 1 1 x y` x y x`y` 1<` x y` x y x`y` C 1 x y x y x y C P 1`< x y` x y x`y` : Beachtet ma, daß die zweite Summe auf der rechte Seite verschwidet ud vertauscht ma die Idizes ud ` i der dritte Summe, so erhält ma P ǹ P 1 1 x y` x y x`y` 1<` x y` x y x`y` C P 1<` x` y x`y`x y P 1<` x y` x`y`x y C x ` y P 1<`.x y` x`y / : Zusamme mit Schritt 1 folgt daraus die Lagrage-Idetität. Aufgabe 4. Ma zeige, daß i eiem Körper K für alle x Kf1g ud N die Formel 0 x 1 xc1 für die geometrische Summe gilt! 1 x Lösug. Sei x K ei beliebiges Elemet. a erhält ma durch Idexverschiebug.1 x/ 0 x 0 x 0 xc1 0 x 1 x 1 x C1 wege x 0 1. a im Falle x 1 stets 1 mit.1 x/ 1 K die gewüschte Formel. x 0 gilt, folgt daraus durch Multipliatio Aufgabe 5. Ma zeige, daß i eiem geordete Körper K für alle N ud x K mit 1 C x 0 die Beroulli-Ugleichug.1 C x/ 1 C x gilt! Lösug. er Nachweis der Beroulli-Ugleichug soll idutiv über N erfolge: Idutiosafag: Für 1 ud alle x K gilt 1 C x 1 C x. Idutiosschritt: Uter der Idutiosvoraussetzug, daß die Beroulli-Ugleichug für alle x K mit x 0 ud ei N gilt, ergibt sich die Idutiosbehauptug.1 C x/ C1.1 C x/.1 C x/.1 C x/.1 C x/ 1 C. /x C x 1 C. /x wege x 0, womit der Idutiosbeweis erbracht ist.

4 Aufgabe. Seie d 1 vorgegebe sowie eie Folge ratioaler Zahle Q durch die reursive Vorschrift C1 für alle N defiiert. 1. Ma zeige, daß 0 < C1 < sowie d > für jedes N gilt ud schließe daraus, daß if N p R die größte utere Schrae der Mege f Q j Ng ist!. Ma beweise, daß es eie ratioale Zahl d Q mit d gibt, mit adere Worte, daß d p R eie irratioale Zahl ist! Lösug Zuächst solle die Beziehuge > 0 sowie d > idutiv über N bewiese werde: Idutiosafag: Für 1 gilt i der Tat d 1 > 0 ud d 1 4 >. Idutiosschritt: Uter der Aahme, daß die Idutiosvoraussetzuge > 0 sowie d > für ei N erfüllt sid, erhält ma die beide Idutiosbehauptuge C1 > 0 sowie d C1.d C/ 4d d 4 C4d C4 4d d 4 4d C4 4d C 8d 4d.d / 4d C > : 1.. a > 0 ud d > für jedes N gilt, ergibt sich daraus C1 C d < für alle N: 1.3. a die Mege f Q j Ng R ach ute durch p beschrät ist, existiert ihre größte utere Schrae d if N R, ud es gilt d p. Sei ı R mit ı > 0 beliebig fixiert. Würde d` > d C ı für alle ` N gelte, da wäre d if N icht die größte utere Schrae. aher gibt es ei ` N mit d` d C ı, ud Schritt 1. liefert d d`c1 < d` d C ı. Somit erhält ma d d`c1 d` d` dcı d : a ı > 0 beliebig vorgegebe wurde, ergibt sich daraus d d d, also d ud somit wege d p schließlich d p R.. Ageomme, es gäbe eie ratioale Zahl d Q mit d, etwa mit der arstellug d a, wobei a, b N icht gleichzeitig gerade Zahle sei solle, da ma b asoste ürze öte. Außerdem erhielte ma b 1, da es ei a N mit a gibt. Aus d würde somit a b folge, das hieße, a N wäre eie gerade Zahl a m mit m N. Ma erhielte daraus a 4m b ud somit b m, das hieße, b N wäre ebefalls eie gerade Zahl im Widerspruch zur Wahl vo a, b N. ie obige Aahme war daher falsch: Es gibt eie ratioale Zahl d Q mit d, mit adere Worte, d p R ist eie irratioale Zahl.

5 Aufgabe 7. Ma beweise, daß i eiem Körper K die biomische Formel.a C b/ 0 a b für jedes N ud alle a, b K gilt! Lösug. 1. Zuächst soll die Recheregel achgewiese werde: I der Tat gilt: 1 C C1 Š. 1/Š. C1/Š C Š C1. C1/ 1 C für alle, N, 1 Š. /Š C1 Š.C1/Š C1. 1/Š. /Š Š. C1/Š Š. 1/Š. /Š. er Nachweis der biomische Formel soll idutiv über N geführt werde: Idutiosafag: a für alle a K stets a 0 1 gilt, ergibt sich für 1 offebar : P 1 0 a b 1 0 a 0 b 1 ab 0 a C b: Idutiosschritt: Uter der Aahme der Idutiosvoraussetzug, daß die biomische Formel für ei N gilt, ist die Gültigeit der etsprechede Aussage für zu beweise. Aus.a C b/ C1 a.a C b/ C b.a C b/ folgt uter Beutzug der Idutiosvoraussetzug durch Idexverschiebug.a C b/ C1 0 1 a C1 b a b 1 a C1 C 0 C 0 C1 C 0 b C1 C 1 a b C1 a b C 1 C1 a b C1 : Somit liefert die i Schritt 1 bereitgestellte Formel für Biomialoeffiziete schließlich.a C b/ C1 C1 C1 a C1 C C1 0 b C1 C 1 C1 a b C1 0 C1 a b C1 : amit ist die Idutiosbehauptug bewiese ud der Idutiosbeweis erbracht.