Aufgabenblatt 7 zur Lehrveranstaltung Quantitative Methoden der Betriebswirtschaftslehre I Frühjahrssemester 2015

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1 Universität Bern Bern, den 27. März 2015 Professur für Quantitative Methoden der BWL Schützenmattstr. 14, 3012 Bern Prof. Dr. Norbert Trautmann, Oliver Strub Hinweis: Wegen der Osterferien verschiebt sich der Abgabetermin für diese Übung um eine Woche (vgl. Hinweise zur Bewertung auf der letzten Seite). Aufgabenblatt 7 zur Lehrveranstaltung Quantitative Methoden der Betriebswirtschaftslehre I Frühjahrssemester 2015 Aufgabe 24: Investitions- und Finanzplanung mit Investitions-Minima Die Consultingfirma OptInvest hatte im letzten Geschäftsjahr einen Überschuss in Höhe von CHF und möchte diesen komplett investieren. Es stehen 5 verschiedene Anlagemöglichkeiten zur Verfügung, und die Ein- und Auszahlungen sind wie folgt gegeben: Anlage- Jahr möglichkeit Wird zum Beispiel CHF 1.00 zu Beginn des Jahres 1 in Anlage 1 investiert, so erhält OptInvest eine Auszahlung von CHF 1.18 zu Beginn von Jahr 3. Wird in eine Anlagemöglichkeit investiert, so beträgt das Investitionsminimum CHF Alternativ kann auch ein Teil des verfügbaren Geldes zu Beginn eines jeden Jahres in Staatsanleihen, mit einer Laufzeit von einem Jahr und einer Rendite von 3% pro Jahr, investiert werden. a) Formulieren Sie ein Gemischt-Binäres Lineares Optimierungsproblem, mit dem die Consultingfirma OptInvest entscheiden kann, wie das Geld auf die Investitionsmöglichkeiten aufgeteilt wird, so dass die gesamten verfügbaren Mittel zu Beginn von Jahr 4 maximiert werden. Verwenden Sie für die Modellierung ausschliesslich folgende Bezeichner, und geben Sie dabei alle Konstanten als Zahlenwerte an: { 1 falls in Anlagemöglichkeit i investiert wird (i = 1,..., 5) x i = 0 sonst y i : In Anlagemöglichkeit i investiertes Geld (i = 1,..., 5) s j : In Staatsanleihen investiertes Geld zu Beginn von Jahr j (j = 1, 2, 3) 1

2 b) Implementieren Sie das in a) formulierte Optimierungsproblem mit Hilfe des Solver-Add- Ins von Microsoft Excel. Wählen Sie dazu als Lösungsmethode Simplex LP aus, und wählen Sie den Wert 0 für den Parameter Integer Optimality. Wieviel wird in Anlagemöglichkeit 3 investiert? c) Formulieren Sie die folgenden Randbedingungen, die bei der Planung zusätzlich berücksichtigt werden sollen, als lineare Ungleichungen: i) Wenn in Anlagemöglichkeit 1 investiert wird, dann muss mindestens CHF in Anlagemöglichkeit 2 investiert werden. ii) Wenn in Anlagemöglichkeit 2 investiert wird, dann dürfen in Anlagemöglichkeit 4 höchstens CHF investiert werden; ansonsten dürfen in Anlagemöglichkeit 4 höchstens CHF investiert werden. iii) Wenn in Anlagemöglichkeit 3 investiert wird, dann muss auch in die Anlagemöglichkeiten 4 und 5 investiert werden. Aufgabe 25 (* E): Portfolio-Selektion mit Transaktionskosten und ganzen Stückzahlen (1.5 Punkte) Als Investment Consultant der Bank RSZ & Co wurden Sie beauftragt, für einen Kunden CHF 1 Million anzulegen. Als Anlagemöglichkeiten stehen die folgenden 10 Aktien zur Verfügung: Aktie i Preis pro Aktie Branche Erwartete Dividende Risikopunkte (in CHF) (in CHF pro gekaufte Aktie) (pro CHF) ABB 1 16 A Schindler A BEKB B ZKB B Lonza 5 43 C Basilea 6 46 C Transocean 7 45 D Nobel Biocare 8 11 E Sonova E Swisscom F Falls Sie in eine Aktie investieren, fallen fixe Transaktionskosten in Höhe von CHF 50 an; diese fixen Transaktionskosten sind unabhängig vom investierten Betrag. Zudem fallen auf allen Investitionen variable Transaktionskosten in der Höhe von 1% des investierten Betrages an. Die Transaktionskosten müssen von den CHF 1 Million bezahlt werden. Das Portfolio soll so zusammengestellt werden, dass unter Einhaltung der nachfolgenden Randbedingungen (RB1 bis RB9) die erwartete gesamte Dividende in CHF maximiert wird. RB1: Wenn in eine Aktie investiert wird, so dürfen nicht weniger als CHF und nicht mehr als CHF in die Aktie investiert werden. RB2: Die gesamte Investition inklusive den Transaktionskosten darf CHF 1 Million nicht übersteigen. RB3: Es muss in mindestens 5 verschiedene Aktien investiert werden. RB4: Das Gesamtrisiko darf höchstens 8 Millionen Punkte betragen. RB5: Wenn in beide Aktien der Branche C investiert wird, darf in maximal eine Aktie der Branche E investiert werden. 2

3 RB6: Wenn in die Branche C investiert wird, darf nicht in die Branche F investiert werden. RB7: Wenn in die beiden Aktien 4 (ZKB) und 5 (Lonza) investiert wird, muss die Investition in die Aktie 8 (Nobel Biocare) mindestens CHF betragen. RB8: Falls in Branche B investiert wird, muss auch in Branche E investiert werden. RB9: Aktien können nur in ganzen Stückzahlen gekauft werden. Negative Stückzahlen sind nicht erlaubt. a) Formulieren Sie ein gemischt-ganzzahliges lineares Optimierungsproblem, mit Hilfe dessen ermittelt werden kann, wie viel Stück der einzelnen Aktien gekauft werden, so dass alle Randbedingungen eingehalten sind und die erwartete gesamte Dividende in CHF maximal ist. Verwenden Sie in Ihrem Modell ausschliesslich folgende Bezeichner, und geben Sie sonstige Konstanten als Zahlenwerte an: p i Preis der Aktie i (i = 1,..., 10) d i Erwartete Dividende der Aktie i (i = 1,..., 10) r i Risikopunkte der Aktie i (i = 1,..., 10) x i Anzahl Stück, die von Aktie i gekauft werden (i = 1,..., 10) y i { = 1, falls in Aktie i investiert wird = 0, sonst. (i = 1,..., 10) Hinweis: Einige Randbedingungen müssen mit mehreren Nebenbedingungen modelliert werden. b) Ermitteln Sie mit Hilfe des Solver-Add-Ins von Microsoft Excel eine optimale Lösung für das in a) formulierte Optimierungsproblem. Wählen Sie dabei als Lösungsmethode Simplex LP aus, und wählen Sie im Dialog Options für den Parameter Integer Optimality den Wert 0. In welche Aktien wird in der optimalen Lösung nicht investiert? 3

4 Gruppennummer: Punkte für Aufgabe 25: a) Zielfunktion: RB 1: RB 2: RB 3: RB 4: RB 5: RB 6: RB 7: RB 8: RB 9: Weitere Randbedingungen: b) 4

5 Aufgabe 26: Gestaltung von Wertschöpfungsnetzwerken Die Firma MilkAndMore betreibt derzeit 4 Molkereien (M1 M4), die 6 Zentrallager (D1 D6) eines Grossverteilers mit Frischmilch beliefern. Die jährlichen Fixkosten und Kapazitäten der Molkereien, die Transportkosten zu den einzelnen Zentrallagern, sowie die jährlichen Bedarfe sind in der nachfolgenden Tabelle angegeben (Kapazität und Nachfrage in hl, alle Kosten in CHF pro Jahr bzw. pro hl). von / nach D1 D2 D3 D4 D5 D6 Kapazität Fixkosten M M M M Nachfrage Die Geschäftsleitung erwägt, mit dem Ziel eines regionalen Marken-Images künftig die Herkunft der Milch auf der Verpackung anzugeben. Aus organisatorischen Gründen muss dazu das singlesourcing-prinzip angewendet werden, d.h., künftig soll die Nachfrage der einzelnen Zentrallager von jeweils genau einer Molkerei aus erfüllt werden. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die gesamte Nachfrage erfüllt werden muss, und dass die Transportmengen auch nicht-ganzzahlig sein können. a) Formulieren Sie analog zu Folie V159 ein Gemischt-Binäres Lineares Optimierungsproblem, mit dem die Firma MilkAndMore entscheiden kann, welche Molkereien weiterhin existieren sollen und welches Zentrallager von welcher Molkerei aus beliefert wird, so dass die gesamten Kosten minimal sind. Verwenden Sie ausschliesslich die gleichen Bezeichner wie auf Folie V158 ausser x ij ; verwenden Sie an Stelle von x ij die Variablen { 1 falls Molkerei i Zentrallager j beliefert z ij = 0 sonst Hinweis: Das Modell kann wie auf Folie V159 abstrakt angegeben werden, d.h., die Konstanten müssen nicht als Zahlenwerte angegeben werden. b) Implementieren Sie das in a) formulierte Optimierungsproblem mit Hilfe des Solver-Add- Ins von Microsoft Excel. Bestimmen Sie eine optimale Lösung für die oben angegebenen Daten; wählen Sie dazu als Lösungsmethode Simplex LP aus, und wählen Sie den Wert 0 für den Parameter Integer Optimality. Wie gross sind die gesamten Kosten in der optimalen Lösung? c) Die Gewerkschaft MilkNotLess beharrt darauf, dass keine der Vier Molkereien stillgelegt werden soll. Geben Sie an, wie diese Randbedingung mit Hilfe einer zusätzlichen Nebenbedingung in das in a) formulierte Modell integriert werden kann. d) Wie gross sind die zusätzlichen Kosten (in Bezug auf die in b) ermittelte optimale Lösung) in der optimalen Lösung zu c), die aufgrund dieser Randbedingung entstehen? e) Nach längeren Diskussion zeigt sich die Gewerkschaft bereit, ggf. einer Stillegung einer oder mehrere Molkereien zuzustimmen. Im Gegenzug sollen aber die verbleibenden Molkereien so ausgewählt werden, dass die gesamte nicht genutzte Kapazität minimiert wird (andere Komponenten wie z.b. Kosten spielen bei der Entscheidung keine Rolle). Formulieren Sie dieses alternative Zielkriterium für das in a) betrachtete Modell. f) Wie gross sind die zusätzlichen Kosten (in Bezug auf die in b) ermittelte optimale Lösung) in der optimalen Lösung zu e), die aufgrund dieses Zielkriteriums entstehen? 5

6 Aufgabe 27: Crew Planung Die Fluggesellschaft Flying Johnny bietet verschieden Flüge zwischen den Städten San Francisco (SF), Los Angeles (LA), Phoenix (PH), Las Vegas (LV), Chicago (CH) und Miami (MI) an. Den bestehenden Flügen soll nun mindestens eine Crew zugeordnet werden. Die Crews können auf insgesamt 12 verschiedene Arbeitsstrecken, welche sich aus mehreren Flügen zusammensetzen, verteilt werden. Die Flüge und die Arbeitsstrecken sind in der folgenden Tabelle aufgeführt. Arbeitsstrecken Flug SF LA 1 1 SF PH SF LV LA SF LA LV 2 2 PH LV 2 2 PH CH 2 2 LV LA LV CH LV PH 2 1 LV MI 1 3 CH MI MI LV 3 MI CH 2 Kosten Beispielsweise beinhaltet die Arbeitsstrecke 11 die drei Flüge LV LA (erster Flug), LA SF (zweiter Flug) und SF LV (dritter Flug). In der letzten Zeile der oben aufgeführten Tabelle sind die Kosten, welche für die Fluggesellschaft anfallen aufgeführt, wenn eine Crew einer Arbeitsstrecke zugeordnet wird. Die Kosten für die einzelnen Arbeitsstrecken unterscheiden sich vor allem auf Grund der unterschiedlichen Anzahl Flügen. San Francisco und Las Vegas stellen die Basen der Fluggesellschaft dar. In San Francisco stehen höchstens vier und in Las Vegas höchstens drei Crews zur Verfügung. Aus organisatorischen Gründen möchte das Management, dass nicht mehr als eine Crew den Arbeitsstrecken 6 und 7 zugeteilt werden. a) Formulieren Sie ein Binäres Lineares Optimierungsproblem, mit Hilfe dessen die Crews den bestehenden Abeitsrouten zugeordnet werden, so dass alle Flüge zu minimalen Gesamtkosten durch mindestens eine Crew gedeckt sind. b) Ermitteln Sie mit Hilfe des Solver-Add-Ins von Microsoft Excel eine optimale Lösung für das in a) formulierte Optimierungsproblem. Wählen Sie dazu als Lösungsmethode Simplex LP aus, und wählen Sie den Wert 0 für den Parameter Integer Optimality. Wie hoch sind die Kosten in dieser Lösung? 6

7 Hinweise zur Bewertung: Wenn Sie an einer Bewertung Ihres Lösungsvorschlags für die mit * markierte Aufgabe interessiert sind, so bearbeiten Sie diese Aufgabe bitte in der gleichen Gruppe wie bei Aufgabenblatt 6. Sofern Sie noch keiner Gruppe angehören, so schliessen Sie sich bitte einer Gruppe von drei Personen an. Die Zusammensetzung der Gruppen kann im Laufe des Semesters nicht geändert werden. Bitte tragen Sie den Lösungsvorschlag handschriftlich in die vorgesehenen Freiräume ein und werfen Sie die ausgefüllten Blätter im Original bis spätestens Freitag, den 10. April 2015, 17:00 Uhr in den Briefkasten vor Büro 008 in der Schützenmattstrasse 14 (Öffnungszeiten des Gebäudes: Montag bis Freitag 7:30 bis 17:00 Uhr) oder am Montag, den 13. April 2015, zwischen 8 und 8:15 Uhr in die Box am Eingang von Hörsaal A003 Nicht handschriftlich erstellte Lösungsvorschläge werden nicht gewertet. Bitte senden Sie für die mit E markierte Aufgabe zusätzlich die von Ihrer Gruppe erstellte.xlsx-datei bis spätestens Montag, den 13. April 2015, 8 Uhr per an die Adresse und geben dabei a) im Feld CC (Carbon Copy) die -Adressen aller Gruppenmitglieder b) im Betreff der QMI Ü7 Gruppennummer c) im Text der die Namen und Matrikelnummern aller Mitglieder Ihrer Gruppe an. Benennen Sie die.xlsx-datei wie folgt: A25 GruppeX.xlsx (X=Gruppennummer). Werden von einer Gruppe mehrere Lösungsvorschläge eingereicht, so wird nur der zuerst eingetroffene gewertet; mit den Excel-Dateien wird gleich verfahren. Eine verspätete Abgabe des Lösungsvorschlags führt zu Punktabzug (bis zu 1h Verspätung: 50%; mehr als 1h Verspätung: 100%). Der Lösungsweg und das Ergebnis müssen eindeutig ersichtlich und nachvollziehbar sein. Mit Hilfe von Software (z.b. Microsoft Excel) erstellte Lösungsvorschläge werden nur gewertet, wenn die Verwendung der Software in der Aufgabenstellung explizit angegeben ist. Eine gruppenübergreifende Zusammenarbeit ist nicht gestattet und führt zum Ausschluss vom Bewertungsverfahren. Die Punkte aus den Übungen werden nur an Klausuren zu dieser Lehrveranstaltung im Zeitraum Juni 2015 bis September 2015 angerechnet. Die Lösungen zu diesen Aufgaben werden am Donnerstag, den 16. April 2015 von 8:15 bis 10 Uhr in Raum A003 (UniS) besprochen. 7

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