Nichtdeterministische endliche Automaten. Nichtdetermistische Automaten J. Blömer 1/12

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1 Nichtdeterministische endliche Automten Nichtdetermistische Automten J. Blömer 1/12

2 Nichtdeterministische endliche Automten In mnchen Modellierungen ist die Forderung, dss δ eine Funktion von Q Σ Q ist, zu restriktiv. Nichtdetermistische Automten J. Blömer 1/12

3 Nichtdeterministische endliche Automten In mnchen Modellierungen ist die Forderung, dss δ eine Funktion von Q Σ Q ist, zu restriktiv. Mn möchte zulssen, dss für Pre (q, ) Q Σ mehrere Üergänge möglich sind, ohne dss festgelegt wird, welcher der möglichen Üergänge gewählt wird. Nichtdetermistische Automten J. Blömer 1/12

4 Nichtdeterministische endliche Automten In mnchen Modellierungen ist die Forderung, dss δ eine Funktion von Q Σ Q ist, zu restriktiv. Mn möchte zulssen, dss für Pre (q, ) Q Σ mehrere Üergänge möglich sind, ohne dss festgelegt wird, welcher der möglichen Üergänge gewählt wird. Diese Entscheidungsfreiheit wird Nichtdeterminismus gennnt und führt zu nichtdeterministischen endlichen Automten (NFAs). Nichtdetermistische Automten J. Blömer 1/12

5 Nichtdeterministische endliche Automten In mnchen Modellierungen ist die Forderung, dss δ eine Funktion von Q Σ Q ist, zu restriktiv. Mn möchte zulssen, dss für Pre (q, ) Q Σ mehrere Üergänge möglich sind, ohne dss festgelegt wird, welcher der möglichen Üergänge gewählt wird. Diese Entscheidungsfreiheit wird Nichtdeterminismus gennnt und führt zu nichtdeterministischen endlichen Automten (NFAs). NFAs sind in der Modellierung von Prozessen häufig einfcher ufzustellen und leichter zu verstehen. Nichtdetermistische Automten J. Blömer 1/12

6 Nichtdeterministische endliche Automten In mnchen Modellierungen ist die Forderung, dss δ eine Funktion von Q Σ Q ist, zu restriktiv. Mn möchte zulssen, dss für Pre (q, ) Q Σ mehrere Üergänge möglich sind, ohne dss festgelegt wird, welcher der möglichen Üergänge gewählt wird. Diese Entscheidungsfreiheit wird Nichtdeterminismus gennnt und führt zu nichtdeterministischen endlichen Automten (NFAs). NFAs sind in der Modellierung von Prozessen häufig einfcher ufzustellen und leichter zu verstehen. Rele Mschine hen nicht die Eigenschft des Nichtdeterminismus. Nichtdetermistische Automten J. Blömer 1/12

7 Nichtdeterministische endliche Automten In mnchen Modellierungen ist die Forderung, dss δ eine Funktion von Q Σ Q ist, zu restriktiv. Mn möchte zulssen, dss für Pre (q, ) Q Σ mehrere Üergänge möglich sind, ohne dss festgelegt wird, welcher der möglichen Üergänge gewählt wird. Diese Entscheidungsfreiheit wird Nichtdeterminismus gennnt und führt zu nichtdeterministischen endlichen Automten (NFAs). NFAs sind in der Modellierung von Prozessen häufig einfcher ufzustellen und leichter zu verstehen. Rele Mschine hen nicht die Eigenschft des Nichtdeterminismus. Allerdings knn jeder NFA in einen DFA umgewndelt werden, der sich gleich verhält. Nichtdetermistische Automten J. Blömer 1/12

8 Nichtdeterministische endliche Automten In mnchen Modellierungen ist die Forderung, dss δ eine Funktion von Q Σ Q ist, zu restriktiv. Mn möchte zulssen, dss für Pre (q, ) Q Σ mehrere Üergänge möglich sind, ohne dss festgelegt wird, welcher der möglichen Üergänge gewählt wird. Diese Entscheidungsfreiheit wird Nichtdeterminismus gennnt und führt zu nichtdeterministischen endlichen Automten (NFAs). NFAs sind in der Modellierung von Prozessen häufig einfcher ufzustellen und leichter zu verstehen. Rele Mschine hen nicht die Eigenschft des Nichtdeterminismus. Allerdings knn jeder NFA in einen DFA umgewndelt werden, der sich gleich verhält. Nichtdeterminismus spielt in der (theoretischen) Informtik eine große Rolle. Nichtdetermistische Automten J. Blömer 1/12

9 Potenzmengen Ist M eine endliche Menge, so ezeichnen wir mit die Potenzmenge von M. Pow(M) := {U U M} Nichtdetermistische Automten J. Blömer 2/12

10 Nichtdeterministische endliche Automten Definition 1 Ein nichtdeterministischer endlicher Automt (NFA) N ist ein 5-Tupel (Σ, Q, δ, q 0, F ), woei Σ ein endliches Alphet ist, Q eine endliche Menge von Zuständen ist, δ : Q Σ Pow(Q) die (totle)üergngsfunktion ist, q 0 der Strtzustnd ist, F Q die Menge von Endzuständen (uch: kzeptierenden Zuständen) ist. Nichtdetermistische Automten J. Blömer 3/12

11 Nichtdeterministische endliche Automten Bemerkungen Sei N = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein NFA. Die Funktion δ ist immer totl. Sei (q, ) Q Σ. Gilt δ(q, ) = U Pow(Q), so knn N us dem Zustnd q unter Symol in jeden Zustnd r U gehen. Elemente in U heißen mögliche Nchfolgezustände von q unter. Ist δ(q, ) =, so git es für q unter keinen Nchfolgezustnd. Dieses entspricht den nicht definierten Funktionswerten δ(q, ) = ei DFAs. Nichtdetermistische Automten J. Blömer 4/12

12 Beispiele NFA N 1 definiert durch: Σ = {0, 1} Q = {q 0, q 1, q 2, q 3 } F = {q 3 } δ 0 1 q 0 {q 0 } {q 0, q 1 } q 1 {q 2 } {q 3 } q 2 {q 3 } q 3 {q 3 } {q 3 } Nichtdetermistische Automten J. Blömer 5/12

13 Beispiele NFA N 2 definiert durch: Σ = {, } Q = {0, 1, 2, 3, 4} q 0 = 0 F = {4} δ 0 {1} 1 {2} 2 {2, 3} {2} 3 {4} 4 Nichtdetermistische Automten J. Blömer 5/12

14 Beispiele NFA N 3 definiert durch: Σ = {, } Q = {q 0, q 1, q 2 } F = {q 2 } δ q 0 {q 0, q 1 } {q 0 } q 1 {q 2 } {q 2 } q 2 Nichtdetermistische Automten J. Blömer 5/12

15 Grphische Drstellung von NFAs NFAs und Grphen pro Zustnd ein Knoten, jeweils mrkiert mit Zustnd, Strtzustnd und Endzustände gekennzeichnet Knte (q, r) mrkiert mit Σ genu dnn, wenn r δ(q, ) erhlten Multigrphen, d Knten sich nur durch Mrkierung unterscheiden können Nichtdetermistische Automten J. Blömer 6/12

16 Grphische Drstellung von NFAs - Beispiele NFA N 1 definiert durch: Σ = {0, 1} Q = {q 0, q 1, q 2, q 3 } F = {q 3 } δ 0 1 q 0 {q 0 } {q 0, q 1 } q 1 {q 2 } {q 3 } q 2 {q 3 } q 3 {q 3 } {q 3 } 0, 1 0, 1 q 1 strt 0 q 0 1 q 1 2 q 3 1 Nichtdetermistische Automten J. Blömer 7/12

17 Grphische Drstellung von NFAs - Beispiele NFA N 2 definiert durch: Σ = {, } Q = {0, 1, 2, 3, 4} q 0 = 0 F = {4} δ 0 {1} 1 {2} 2 {2, 3} {2} 3 {4} 4, strt Nichtdetermistische Automten J. Blömer 7/12

18 Grphische Drstellung von NFAs - Beispiele NFA N 3 definiert durch: Σ = {, } Q = {q 0, q 1, q 2 } F = {q 2 } δ q 0 {q 0, q 1 } {q 0 } q 1 {q 2 } {q 2 } q 2 strt q 0 q 1 q 2 Nichtdetermistische Automten J. Blömer 7/12

19 Erweiterung von Üergngsfunktionen Um ds Verhlten eines NFAs N = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ei Folgen von Symolen zu eschreien, erweitern wir die Üergngsfunktion. Nichtdetermistische Automten J. Blömer 8/12

20 Erweiterung von Üergngsfunktionen Um ds Verhlten eines NFAs N = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ei Folgen von Symolen zu eschreien, erweitern wir die Üergngsfunktion. Definition 2 Sei N = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein nichtdeterministischer endlicher Automt. Dnn wird die erweiterte Üergngsfunktion ˆδ : Q Σ Pow(Q) rekursiv wie folgt definiert: ˆδ(q, ɛ) = {q} ˆδ(q, w) = {q für lle q Q p Q : p ˆδ(q, w) und q δ(p, )} für lle q Q, w Σ, Σ. Nichtdetermistische Automten J. Blömer 8/12

21 Erweiterung von Üergngsfunktionen Um ds Verhlten eines NFAs N = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ei Folgen von Symolen zu eschreien, erweitern wir die Üergngsfunktion. Definition 2 Sei N = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein nichtdeterministischer endlicher Automt. Dnn wird die erweiterte Üergngsfunktion ˆδ : Q Σ Pow(Q) rekursiv wie folgt definiert: Bemerkungen: ˆδ(q, ɛ) = {q} ˆδ(q, w) = {q für lle q Q p Q : p ˆδ(q, w) und q δ(p, )} für lle q Q, w Σ, Σ. 1 Wir unterscheiden häufig nicht zwischen δ und ˆδ und schreien uch δ für die erweiterte Üergngsfunktion ˆδ. 2 Hen ˆδ uch für Pre (q, ɛ), q Q definiert. Nichtdetermistische Automten J. Blömer 8/12

22 Erweiterung von Üergngsfunktionen Definition 2 Sei N = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein nichtdeterministischer endlicher Automt. Dnn wird die erweiterte Üergngsfunktion ˆδ : Q Σ Pow(Q) rekursiv wie folgt definiert: ˆδ(q, ɛ) = {q} ˆδ(q, w) = {q für lle q Q p Q : p ˆδ(q, w) und q δ(p, )} für lle q Q, w Σ, Σ. Nichtdetermistische Automten J. Blömer 9/12

23 Erweiterung von Üergngsfunktionen Definition 2 Sei N = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein nichtdeterministischer endlicher Automt. Dnn wird die erweiterte Üergngsfunktion ˆδ : Q Σ Pow(Q) rekursiv wie folgt definiert: ˆδ(q, ɛ) = {q} ˆδ(q, w) = {q Alterntive Formulierungen für lle q Q p Q : p ˆδ(q, w) und q δ(p, )} für lle q Q, w Σ, Σ. Für q, q Q und w = 1 n, i Σ, i = 1,..., n, gilt 1 ˆδ(q, w) = δ(r, n ) r δ(q, 1 n 1 ) 2 q ˆδ(q, w) genu dnn, wenn es r 0,..., r n Q git mit r 0 = q, r n = q und r i+1 δ(r i, i+1 ) für i = 0,..., n 1. Nichtdetermistische Automten J. Blömer 9/12

24 Erweiterung von Üergngsfunktionen - Beispiel ˆδ(q, w) = r δ(q, 1 n 1 ) δ(r, n) NFA N 3 : strt q 0 q 1 q 2 Nichtdetermistische Automten J. Blömer 10/12

25 Erweiterung von Üergngsfunktionen - Beispiel ˆδ(q, w) = r δ(q, 1 n 1 ) δ(r, n) NFA N 3 : strt q 0 q 1 q 2 δ(q 0, ) = {q 0, q 1 } Nichtdetermistische Automten J. Blömer 10/12

26 Erweiterung von Üergngsfunktionen - Beispiel ˆδ(q, w) = r δ(q, 1 n 1 ) δ(r, n) NFA N 3 : strt q 0 q 1 q 2 δ(q 0, ) = {q 0, q 1 } δ(q 0, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) = {q 0 } {q 2 } = {q 0, q 2 } Nichtdetermistische Automten J. Blömer 10/12

27 Erweiterung von Üergngsfunktionen - Beispiel ˆδ(q, w) = r δ(q, 1 n 1 ) δ(r, n) NFA N 3 : strt q 0 q 1 q 2 δ(q 0, ) = {q 0, q 1 } δ(q 0, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) = {q 0 } {q 2 } = {q 0, q 2 } δ(q 0, ) = δ(q 0, ) δ(q 2, ) = {q 0, q 1 } = {q 0, q 1 } Nichtdetermistische Automten J. Blömer 10/12

28 Erweiterung von Üergngsfunktionen - Beispiel ˆδ(q, w) = r δ(q, 1 n 1 ) δ(r, n) NFA N 3 : strt q 0 q 1 q 2 δ(q 0, ) = {q 0, q 1 } δ(q 0, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) = {q 0 } {q 2 } = {q 0, q 2 } δ(q 0, ) = δ(q 0, ) δ(q 2, ) = {q 0, q 1 } = {q 0, q 1 } δ(q 0, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) = {q 0, q 1 } {q 2 } = {q 0, q 1, q 2 } Nichtdetermistische Automten J. Blömer 10/12

29 Erweiterung von Üergngsfunktionen - Beispiel ˆδ(q, w) = r δ(q, 1 n 1 ) δ(r, n) NFA N 3 : strt q 0 q 1 q 2 δ(q 0, ) = {q 0, q 1 } δ(q 0, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) = {q 0 } {q 2 } = {q 0, q 2 } δ(q 0, ) = δ(q 0, ) δ(q 2, ) = {q 0, q 1 } = {q 0, q 1 } δ(q 0, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) = {q 0, q 1 } {q 2 } = {q 0, q 1, q 2 } Nichtdetermistische Automten J. Blömer 10/12

30 Erweiterung von Üergngsfunktionen - Beispiel ˆδ(q, w) = r δ(q, 1 n 1 ) δ(r, n) NFA N 3 : strt q 0 q 1 q 2 δ(q 0, ) = {q 0, q 1 } δ(q 0, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) = {q 0 } {q 2 } = {q 0, q 2 } δ(q 0, ) = δ(q 0, ) δ(q 2, ) = {q 0, q 1 } = {q 0, q 1 } δ(q 0, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) = {q 0, q 1 } {q 2 } = {q 0, q 1, q 2 } Nichtdetermistische Automten J. Blömer 10/12

31 Nichtdeterministische Automten und Sprchen Definition 3 Sei N = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein nichtdeterministischer endlicher Automt. Der NFA N kzeptiert ds Wort w Σ genu dnn, wenn δ(q 0, w) F. Die Menge L(N) := {w Σ δ(q 0, w) F } heißt die von N kzeptierte Sprche. Nichtdetermistische Automten J. Blömer 11/12

32 Nichtdeterministische Automten und Sprchen Definition 3 Sei N = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein nichtdeterministischer endlicher Automt. NFA N 3 : Der NFA N kzeptiert ds Wort w Σ genu dnn, wenn δ(q 0, w) F. Die Menge L(N) := {w Σ δ(q 0, w) F } heißt die von N kzeptierte Sprche. strt q 0 q 1 q 2 Nichtdetermistische Automten J. Blömer 11/12

33 Nichtdeterministische Automten und Sprchen Definition 3 Sei N = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein nichtdeterministischer endlicher Automt. Der NFA N kzeptiert ds Wort w Σ genu dnn, wenn δ(q 0, w) F. Die Menge L(N) := {w Σ δ(q 0, w) F } heißt die von N kzeptierte Sprche. NFA N 3 : strt q 0 q 1 q 2 L(N 3 ) = {w ds vorletzte Symol in w ist } Nichtdetermistische Automten J. Blömer 11/12

34 Nichtdeterministische Automnten und Sprchen NFA N 1 : 0, 1 0, 1 q 1 strt 0 q 0 1 q 1 2 q 3 1 Nichtdetermistische Automten J. Blömer 12/12

35 Nichtdeterministische Automnten und Sprchen NFA N 1 : 0, 1 0, 1 q 1 strt 0 q 0 1 q 1 2 q 3 L(N 1 ) = {w {0, 1} w enthält die Teilfolge 101 oder die Teilfolge 11} 1 Nichtdetermistische Automten J. Blömer 12/12

36 Nichtdeterministische Automnten und Sprchen NFA N 2 :, strt Nichtdetermistische Automten J. Blömer 12/12

37 Nichtdeterministische Automnten und Sprchen NFA N 2 :, strt L(N 2 ) = {w {, } w eginnt mit und endet mit } Nichtdetermistische Automten J. Blömer 12/12

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