Dank. 1 Determinierte endliche Automaten (DEAs) 2 Indetermnierte endliche Automaten (NDEAs) 3 Automaten mit ε-kanten

Transkript

1 Dnk Vorleung Grundlgen der Theoretichen Informtik / Einführung in die Theoretiche Informtik I Bernhrd Beckert Diee Vorleungmterilien ieren gnz weentlich uf den Folien zu den Vorleungen von Ktrin Erk (gehlten n der Univerität Kolenz-Lndu) Jürgen Dix (gehlten n der TU Cluthl) Intitut für Informtik Sommeremeter 27 Ihnen eiden gilt mein herzlicher Dnk. Bernhrd Beckert, April 27 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS 27 / 26 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS 27 2 / 26 Teil III Inhlt von Teil III Vereinfchte Modell eine Computer: endlicher Automt Die von endlichen Automten erknnten rtionlen Sprchen ind genu die Typ-3-Sprchen (rechtliner, regulär) Determinierte und indeterminierte endliche Automten ind äquivlent Pumping Lemm erlut, eine Sprche l nicht rtionl nchzuweien. E git Algorithmen, die Proleme üer endlichen Automten zw. Typ-3-Sprchen löen. Typ-3-Sprchen ind genu die, die durch reguläre Audrücke echrieen werden können. Endliche Automten Determinierte endliche Automten (DEA) 2 Indetermnierte endliche Automten (NDEA) 3 Automten mit ε-knten 4 Endliche Automten Typ-3-Sprchen 5 Pumping Lemm 6 Wortproleme 7 Rtionl = Regulär B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS 27 6 / 26 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS 27 7 / 26

2 Beipiel Beipiel Beipiel. Die Sprche L = {}{} {c} it regulär. Denn ie wird (z. B.) erzeugt von der rechtlineren Grmmtik G = ({S,A},{,,c},R,S), mit Regelmenge R: S A A A c Beipiel.2 Die Sprche ller durch 3 teilren Dezimlzhlen it regulär. Eine erzeugende Grmmtik it G = ({S,S,S,S 2 },{,...,9},R,S) mit der Regelmenge R: S 3S 6S 9S S 4S 7S 2S 2 5S 2 8S 2 S S 3S 6S 9S S 4S 7S 2S 2 5S 2 8S 2 ε S S 3S 6S 9S S 2 4S 2 7S 2 2S 5S 8S S 2 S 2 3S 2 6S 2 9S 2 S 4S 7S 2S 5S 8S Ohne d ε in der zweiten Regel wäre nur die l Terminlwort herleitr. B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS 27 8 / 26 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS 27 9 / 26 Grmmtiken und Automten Endlicher Automt: Informell Grmmtik v. Automt Grmmtik: erzeugt Wörter Automt: nlyiert / erkennt Wörter eide: echreien / definieren eine Sprchen Endlicher Automt Ein endlicher Automt tetet, o ein gegeene w Σ in einer Sprche L liegt. Leekopf erlut w zu leen. Bewegt ich nur von link nch recht. Endlich viele mögliche interne Zutände, immer einer dvon it der ktuelle Zutnd Automt eginnt in einem initilen Zutnd. Bei jedem geleenen Buchten Üergng zu neuem ktuellen Zutnd, in Ahängigkeit vom Buchten und dem lten Zutnd Wenn m Ende von w ein finler Zutnd erreicht it, it w kzeptiert l Element von L, ont nicht. Automt toppt (uf jeden Fll) nch w Schritten B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS 27 2 / 26 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS 27 2 / 26

3 Endlicher Automt: Modell eine einfchen Computer Endlicher Automt: Drtellung l Grph Endlicher Automt: Computer mit egrenztem Speicher Knn vom Bnd nur leen kein externer Speicher Speichert nur den ktuellen Zutnd ( Progrmmzähler) trk egrenzter interner Speicher Drtellung l Grph ein Knoten für jeden Zutnd Knten echreien Zutndänderungen, ind mit Buchten echriftet initile Zutände ind mit einem Pfeil gekennzeichnet finle Zutände mit einem doppelten Krei B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 26 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 26 Endlicher Automt: Drtellung l Grph Endlicher Automt: Definition Beipiel.3 (Sprche {w # (w) gerde} {,} ) Der folgende endliche Automt erkennt die Sprche {w # (w) gerde} üer Σ = {,} der Wörter mit gerder Anzhl von Definition.4 (Endlicher Automt) Ein endlicher Automt (e.., finite utomton it ein Tupel Dei it A = (K,Σ,δ,,F) > K eine endliche Menge von Zutänden Σ ein endliche Alphet (u deen Buchten die Eingewörter etehen können) δ : K Σ K die totle(!) Üergngfunktion K der Strtzutnd F K die Menge der finlen Zutände B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 26 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 26

4 Endlicher Automt: Üergngfunktion Endlicher Automt: Üergngfunktion Bedeutung der Üergngfunktion δ(q,) = q edeutet: Wenn der Automt im Zutnd q it und ein liet, dnn geht in den Zutnd q üer. Definition.5 (Erweiterung von δ zu δ ) δ : K Σ K it trukturell rekuriv üer Σ definiert durch: δ (q,ε) := q δ (q,w) := δ(δ (q,w),) B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 26 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 26 Endlicher Automt: Beipiel Endlicher Automt: Üergngfunktion Beipiel.6 > Forml ht er die Form: mit A = ({, },{,},δ,,{ }) Dieer Automt zeptiert die Sprche {w # (w) gerde} {,} (. Bp..3). Beipiel.7 (Beipiel für δ ) δ (,) = δ ( δ (,), ) = δ ( δ ( δ (,), ), ) = δ ( δ ( δ(δ (,ε), ), ), ) = δ ( δ ( δ(,), ), ) = δ ( δ(,), ) = δ(,) = δ(,) = δ(,) = δ(,) = δ(,) = B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 26 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 26

5 Endlicher Automt: Akzeptierte Sprche Definition.8 (Von einem endlichen Automten kzeptierte Sprche) Die von einem Automten A kzeptierte Sprche, it definiert l L(A) := {w Σ δ (,w) F} Endliche Automten: UML Stte Chrt UML Stte Chrt UML Stte Chrt ind eine (erweiterte) Form endlicher Automten Beipiel. Definition.9 (Von endlichen Automten kzeptierte Sprchen) Die Menge RAT := {L e git einen endlichen Automten A mit L = L(A)} der von endlichen Automten kzeptierten Sprchen heißt Menge der rtionlen Sprchen Wir zeigen demnächt: RAT = Menge der regulären Sprchen B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS 27 3 / 26 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS 27 3 / 26 Endliche Automten: Weitere Beipiele Endliche Automten: Weitere Beipiele Beipiel. Die Sprche ller Wörter mit gerder Anzhl von üer dem (kleineren) Alphet Σ = {} wird kzeptiert von: Beipiel.2 Die Sprche L = {w {,} w enthält genu zwei Einen} wird kzeptiert von dem folgendenendlichen Automten: > > 2 3, B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 26 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 26

6 Endliche Automten: Weitere Beipiele Beipiel.3 Die Sprche ller durch 3 teilren Dezimlzhlen wird kzeptiert durch:, 3, 6, 9, 3, 6, 9 A:, 4, 7 2, 5, 8 2 2, 5, 8 2, 5, 8, 4, 7, 4, 7, 4, 7 2, 5, 8, 3, 6, 9,,..., 9 3, 6, 9 > cc,,..., 9 rej B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Determinierte endliche Automten (DEA) SS / 26