Nachklausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2013/14

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1 Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Nachklausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2013/14 Vorname Nachname Matrikelnummer Hinweise Für die Bearbeitung stehen Ihnen 60 Minuten zur Verfügung. Zum Bestehen der Klausur sind 20 der 60 möglichen Punkte hinreichend. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Schreiben Sie Ihre Lösungen auf Aufgabenblätter und Rückseiten. Zusätzliches Papier erhalten Sie bei Bedarf von der Aufsicht. Schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf jedes Blatt. Aufgabe mögliche Punkte erreichte Punkte a b c Σ a b c Σ x1 10 Σ 60

2 Seite 1 Aufgabe 1 (4+3+3 = 10 Punkte) a) Gegeben sei die Sprache L über dem Alphabet Σ = {a, b}: L = {a n b m k N 0 : n + m = 2k + 1; m, n N 0 } Geben Sie einen DEA an, der L akzeptiert.

3 Seite 2 b) Gegeben sei der folgende DEA. b a,b q 1 c q 0 b q 3 c q 2 c Wenden Sie das aus der Vorlesung bekannte Verfahren zur Minimierung auf den Automaten an. Zeichnen Sie den minimierten Automaten!

4 Seite 3 c) Wir definieren einen Multi-DEA (mdea) wie folgt: ein mdea ist ein Tupel {Q, Σ, δ, Q 0, F }. Q, Σ, δ und F sind gleich wie bei DEAs definiert. Die Besonderheit gegenüber DEAs ist, dass es eine Menge von Startzuständen Q 0 gibt. Ein Wort w wird akzeptiert, wenn es einen Startzustand aus Q 0 gibt, sodass aus diesem nach Einlesen von w ein Finalzustand aus F erreicht wird. Zeigen Sie, dass mdeas genau die regulären Sprachen akzeptieren.

5 Seite 4 Aufgabe 2 (4(2+2)+6(3+3) Punkte) a) Gegeben sei die Grammatik G = {Σ, V, S, P } mit Terminalalphabet Σ = {x, y, z}, Variablen V = {S, X, Y, Z}, Startzeichen S und Produktionsmenge P = {S XY, X XY x, Y Y Y ZZ y, Z Y X z} 1. Testen Sie mit dem CYK-Algorithmus, ob w = xyyxz in L(G) liegt. Verwenden Sie zum Ausführen des CYK-Algorithmus die folgende Tabelle: x y y x z 2. Ist L(G) endlich? Begründen Sie Ihre Antwort.

6 Seite 5 b) Zeigen Sie mit dem Pumping-Lemma für reguläre Sprachen, dass folgende Sprachen nicht regulär sind: 1. L 1 = {vv v {0, 1} } 2. L 2 = {1 n 0 n+m m, n N}

7 Seite 6 Aufgabe 3 (3+2+5 Punkte) a) Gegeben sei die Sprache L = { M M entscheidet die Sprache SAT}, also die Menge der Gödelnummern, sodass die zugehörige Turingmaschine SAT entscheidet. Zeigen Sie: L ist nicht entscheidbar. b) Betrachten Sie die Sprache L = { M M entscheidet das Halteproblem für TM}. Ist L entscheidbar? Begründen Sie Ihre Antwort!

8 Seite 7 c) Für ein Wort w bezeichnen wir mit w 1, w 2,..., w n die einzelnen Zeichen des Wortes. Seien L 1, L 2 zwei Sprachen über {0, 1} mit den folgenden Eigenschaften: n N 0 : 1 n L 1 L 2 ist nicht entscheidbar Betrachten Sie die Sprache L 3 = {u 1 v 1 u 2 v 2... u n v n n N 0, u L 1, v L 2 }. Ist L 3 entscheidbar? Beweisen Sie Ihre Behauptung!

9 Seite 8 Aufgabe 4 (5+2+3 Punkte) a) Betrachten Sie die Komplexitätsklasse NP log2, welche wie folgt definiert ist. Eine Sprache L ist genau dann in NP log2, wenn es eine Relation R L (L {0, 1} ) mit R L P gilt, wobei x L y {0, 1} : (x, y) R L. Dabei muss y von oben beschränkt sein durch log 2 ( x ). Zeigen Sie: P = NP log2. Hinweis: Im Gegensatz zur Definition von NP haben die Zeugen hier nur logarithmische Länge in der Länge der Eingabe. b) Welche Sprachen in NP sind in Polynomialzeit auf SAT many-one-reduzierbar? Begründen Sie Ihre Antwort!

10 Seite 9 c) Angenommen, es existiert eine Sprache L P, die NP-schwer ist. Zeigen Sie, dass in diesem Fall P=NP gilt.

11 Seite 10 Aufgabe 5 (3+2+5(3+2) Punkte) a) Gegeben sei die folgende Häufigkeitsverteilung über dem Alphabet Σ = {A,..., G}. Zeichen s A B C D E F G Pr[s] 9/35 8/35 1/35 3/35 2/35 5/35 7/35 Konstruieren Sie einen ternären Huffman-Code über dieser Häufigkeitsverteilung, d. h. einen Huffman-Code, der Wörter nach Σ = {0, 1, 2} codiert.

12 Seite 11 b) Gegeben sei der folgende [7,4]-Hamming-Code C mit Generatormatrix G und Prüfmatrix H G = , H = Finden Sie mittels Syndromdecodierung ein Codewort c C, welches Hamming- Abstand 1 zu dem Wort c = ( ) T besitzt. Welches Informationswort m gehört zu c?

13 Seite 12 c) Betrachten Sie den Übertragungskanal für das Eingabealphabet X = {0, 1} und das Ausgabealphabet Y = {A, B}, der durch die folgenden Übertragungsscheinlichkeiten p(y x) = Pr[Y = y X = x] gegeben ist: p(a 0) = 1 p(a 1) = 1 2 p(b 0) = 0 p(b 1) = Berechnen Sie die Transinformation I(X; Y ) für den Fall, dass der Kanal mit H(X) = 1 bit betrieben wird. Geben Sie das Ergebnis auf 2 Nachkommastellen genau an! 2. Berechnen Sie die Transinformation I(X; Y ) für den Fall, dass der Kanal mit H(Y ) = 1 bit betrieben wird. Geben Sie das Ergebnis auf 2 Nachkommastellen genau an! Hinweis: log 2 3 1,58.

14 Seite 13 Aufgabe 6 (10 Punkte) Bei dieser Multiple-Choice-Aufgabe gibt jede richtige Antwort 1 Punkt; für jede e Antwort wird 1 Punkt abgezogen, die Gesamtpunktzahl der Aufgabe kann jedoch nicht negativ werden. Für nicht beantwortete Fragen (kein Kreuz) werden keine Punkte abgezogen. Es gibt keine binäre Quelle X, deren Entropie 2 1,41 bit beträgt. Keine echte, nichtleere Teilmenge des Halteproblems ist entscheidbar. Sei L = {w {a, b} w a 0 mod 3}. Mit Hilfe des Pumping Lemma kann man zeigen, dass L nicht regulär ist. Akzeptiert ein endlicher Automat mit n Zuständen ein Wort der Länge n + 1, so hat er mindestens einen Zyklus. Die Umformungsalgorithmus von NEA zu DEA aus der Vorlesung hat eine Laufzeitkomplexität von O( Q 3 ). Der folgende Automat erkennt alle durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen in Binärdarstellung. 0 1 q 0 q 1 q Ein Kellerautomat mit 2 Kellern kann das Halteproblem für 1- Band-Turingmaschinen entscheiden. Die Diagonalsprache ist semi-entscheidbar. Es existieren kontextfreie Grammatiken, die nicht in Chomsky- Normalform gebracht werden können. Reguläre Sprachen sind unter Komplementbildung abgeschlossen.

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