PROTOKOLL ZUM ANFÄNGERPRAKTIKUM. MICHELSON-Interferometer. Sebastian Finkel Sebastian Wilken

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1 PROTOKOLL ZUM ANFÄNGERPRAKTIKUM PHYSIK MICHELSON-Interferometer Sebastian Finel Sebastian Wilen Versuchsdurchführung: 5. Juli 6

2 . Inhalt. Einleitung. Theoretischer Teil.. Interferenz von zwei ebenen Wellen mit gleicher Ausbreitungsrichtung.. Interferenz von zwei zueinander geneigten ebenen Wellen.3. Interferenz von zwei Wellen mit beliebigen Phasenfronten 3. Pratischer Teil 3.. Aufbau und Justage des Interferometers 3.. Interferenzmuster bei Lichtdurchgang durch ein Luftvolumen mit räumlich variierenden Brechungsindex 3.3. Messung der Ausdehnung eines Piezo-Translators als Funtion der angelegten eletrischen Spannung (Eletrostrition) 4. Anhang 4.. Literatur 4.. Abbildungsnachweis 5. Anlage (Messwertabellen)

3 . Einleitung In einem MICHELSON-Interferometer wird einfallendes monochromatisches Licht mit Hilfe eines teildurchlässigen Spiegels in zwei Lichtwellen aufgespalten, die dann nach Durchlaufen unterscheidlich langer Strecen in einem Beobachtungspunt zu Überlagerung gebracht werden. Abb. : Prizipieller Aufbau eines MICHELSON-Interferometers. Infolge der unterschiedlichen Laufzeiten ommt es nun zu Interferenzerscheinungen. Wertet man diese Muster aus, ann man letztlich auf die Laufzeitunterschiede der Wellen schließen.. Theoretischer Teil Wir betrachten nun wie in Abbildung dargestellt den Aufbau eines MICHELSON- Interferometers genauer. Wir lassen Laserlicht der Wellenlänge λ durch einen Strahlaufweitungssystem AW und anschließend durch eine Blende B laufen, so dass eine begrenzte ebene Lichtwelle E auf den Strahlteilerwürfel ST trifft, dessen teildurchlässige Spiegelschicht TS die Wellen im Verhältnis : aufspaltet. Wir haben nun zwei ebene Lichtwellen E und E, die nach unterschiedlichen Laufzeiten auf die die Spiegel SP und SP treffen und dort refletiert werden. Auf ihrem Weg zurüc treffen sie erneut auf den Würfel. Dort werden sie wiederum teilrefletiert, so dass nun die Lichtewellen E und E mit 5% der ursprünglichen Intensität am Beobachtungspunt BS angelangen. In unseren Fall befindet sich an dieser Stelle eine CCD-Kamera zur Beobachtung des resultierenden Interferenzmusters.

4 Abb. : Aufbau eines Michelson-Interferometers mit einem Laser als Lichtquelle. Aufgrund des quadratischen Zusammenhangs zwischen Intensität und Amplitude haben die anommenden Wellen noch die gleiche Amplitude E. Der Einfacherheit halber gehen wir von E als eine polarisierte Welle aus und legen fest, dass ST, SP und SP eine Polarisationseffete hervorrufen, so dass wir statt der vetoriellen Darstellung die salare verwenden dürfen. Beide Wellen E und E haben die gleiche Kreisfrequenz ω, da sie aus der selben Lichtquelle stammen und es gilt für beide: () c ω π λ So gilt dann für die Ausbreitungsgeschwindigeit c der Lichtwellen in einem Medium: () c c n mit n als Brechungsindex und c als Lichtgeschwindigeit im Vauum. Wir önnen nun für die Wellen einen Ausdruc in Abhängigeit der Laufzeit t und und des Ortsvetors finden: 3

5 i( ωt ϕ ( r)) E( t, r) : E Ee (3) i( ωt ϕ ( r)) E ( t, r) : E E e mit φ und φ als Ortabhängie Phasen. Für die Phasen gilt weiterhin: (4) ϕ( r ) r Wobei der Vetor der Wellenzahl ist, für den gilt: (5) π λ Da wir wissen, dass die Intensität quadratisch von der Wellenamplitude abhängt, erhalten wir dann nach einigen Zwischenüberlegungen und Rechenschritten für die Intensität: ϕ (6) I 4aE cos mit a als Proportionalitätsfator. Die Lichintensität I(r) variert also mit dem cos der Phasendifferenz Δφ(r). Unser Intereferenzmuster mit hellen und dunlen Streifen hängt als von der Phasendifferenz Δφ ab... Interferenz von zwei ebenen Wellen mit gleicher Ausbreitungsrichtung Wir betrachten nun wie in Abbildung 3 dargestellt eine aufgelappte Version des MICHELSON-Interferometers. Den Ursprung unseres Koordinatensystems legen wir in den Mittelpunt der Spiegelschicht TS. Der Ortsvetor r zeigt nun vom Punt P zu einem beliebigen Punt Q auf dem Beobachtungsschirm BS, für den wir nun die Phasendifferenz Δφ berechnen wollen. Abb. 3: Aufgelappte Version des MICHELSON-Inteferometers. 4

6 Beide Wellen breiten sich in z-richtung aus und für ihre Wellenvetoren gilt dann: (7) λ π z λ π z Für den Ortsvetor r ergibt sich dann: (8) + 3 l l y x q q r + 3 l l y x q q r Für die Phasendifferenz Δφ erhalten wir: () ) ( 4 l l λ π ϕ r r Die Phasendifferenz ist also über den gesamten Weg onstant und hängt lediglich von der Differenz der Strecen l und l ab, woraus folgt, dass auch die Intensität am Schirm onstant ist... Interferenz von zwei zueinander geneigten ebenen Wellen Wir betrrachten nun den Fall, dass die Welle E um einen leinen Winel α gegenüber der z- Achse verippt wird. Dies gelingt zum Beispiel durch Neigung des Reflexionsspiegels um den Winel α/. Wir erhalten nun für die Wellenvetoren: () + α α λ π cos sin z x λ π z 5

7 Abb. 4: Lins: Wellenvetor bei Verippung der Ausbreitungsgeschwindigeit der Welle E um den Winel α gegenüber der z-achse; Rechts: Ortsvetor r bei der Verippung des Spiegels SP um den Winel α/ gegenüber der y-achse. Für die Phasendifferenz Δφ erhalten wir nun: () π π ϕ xq sinα + (l + l3) cosα(l l3) λ λ ϕ q ϕ Der rechte Term ist eine Konstante φ, die nur von den Längen l i der Strecen, die die Lichtwelle zurüclegt, abhängt und nicht vom Punt Q auf dem Beobachtungsschirm. Der line Term stellt die Abhängigeit der Phasendifferenz Δφ vom Punt Q auf dem Schirm dar. Auf dem Schirm sehen wir nun waagerechte Interferenzstreifen, die parallel zur y-achse ausgereichtet sind. Der Abstand in x-richtung ist dann gegeben durch den Winel α und die absolute Lage durch die Phase φ. Wir bestimmen nun den Abstand zwischen zwei Interferenzstreifen (vgl. Frage ). Die Wellenlänge λ beträgt 63 nm. Der Winel sei erst α,5 und dann β 5. So ergibt sich für die Abstände: λ λ λ λ (3) d,3 µ m d,66µ m sinα sinα sin β sin β Sei der Abstand nun mm, so ergibt sich folgender Winel γ: λ 4 (4) γ arcsin 6,3 d 6

8 Abb. 5: Interferenzstreifen bei der Überlagerung von zwei zueinander geneigten ebenen Lichtwellen..3. Interferenz von zwei Wellen mit beliebigen Phasenfronten In einem Interferometer önnen wir auch Wellen zur Überlagerung bringen, deren Fronten nicht eben sind. Bringen wir z.b. ein Gasvolumen in einen Arm des Interferometers, welches über eine ortabhängige, variable Temperatur T, Dichte ρ und einen variablen Brechungsindex n verfügt, so werden die ursprünglich ebenen Wellen nach Druchgang durch das Gasvolumen eine mehr oder weniger omplizierte Form haben. Abb. 6: Veränderung einer Wellenfront durch ein Luftvolumen variierender Temperatur T, Dichte ρ und einem variablen Brechungsindex n. So önnen wir davon ausgehen, dass z.b. die Phase φ (r) der Welle E mit dem Ort r recht omplex variiert und wir önnen dann für die Phasendifferenz Δφ schreiben: (5) ϕ x, y, z) ϕ ( x, y, z) ϕ ( x, y, ) ( z 7

9 3. Pratischer Teil Vor der eigentlichen Versuchsbeschreibung ist auf folgende Punte hinzuweisen: Da im Versuch mit Laserlicht (Helium-Neon-Laser mit 5 mw Lichtleistung) gearbeitet wird, ist zum Schutz des Augenlichtes unbedingt darauf zu achten, nicht in den Laser zu sehen. Um die Augen nicht auf Höhe des Lasers zu halten, wird die gesamte Justage am Versuchsaufbau daher im Stehen durchgeführt. Zur Erzeugung einer ebenen Welle ist diret hinter dem Laser von der technischen Assistenz ein Strahlaufweitungssystem aufgebaut worden. Die Einstellung eines solchen Systems ist sehr aufwändig. Daher werden alle zum Strahlaufweitungssystem gehörigen Komponenten im Versuchsaufbau weder berührt noch verstellt. 3.. Aufbau und Justage des Interferometers Wir bauen nun ein MICHELSON-Interferometer gemäß Abbildung wie folgt auf: Hinter das Strahlaufweitungssystem AW setzen wir die Interferometer-Grundplatte auf die Dreiecsschiene. Auf der Platte montieren wir den Strahlteiler ST und die beiden Spiegel SP und SP. Der Spiegel SP ist dabei auf einem Piezo-Translator montiert. Mit Hilfe eines Beobachtungsschirmes BS justieren wir beide Spiegel zunächst so, dass die von ihnen refletierten Wellen an der gleichen Position erscheinen. Nun ersetzen wir den BS durch eine CCD-Kamera, welche via Firewire mit einem PC verbunden ist. Am PC verwenden wir die Software IC CAPTURE, welche das Kamerabild auswertet. Um optimale Ergebnisse zu erzielen, stellen wir für die Bildhelligeit und den Kontrast den Wert ein. Für die Belichtungszeit wählen wir den niedrigsten Wert. Da das Bild zunächst übersteuert erscheint, stellen wir ein Graufilterrad vor das Target der Kamera. Wir wählen den Graufilter so, dass möglichst wenige Pixel des Bildes den maximalen Grauwert von 55 aufweisen. Dies önnen wir am PC ontrollieren. Nach erfolgtem Aufbau des Interferometers wollen wir nun ein erstes Interferenzmuster erzeugen und aufnehmen. Dazu stellen wir die Spiegel SP und SP so ein, dass wir fünf bis zehn parallele, horizontal ausgerichtete Interferenzstreifen im Live-Kamera-Fenster von IC CAPTURE betrachten önnen. Ein mit Hilfe der Snap -Funtion aufgenommenes Bild des Interferenzmusters zeigt Abbildung 7. 8

10 Abb. 7: Erstes Interferenzmuster nach erfolgter Justage des MICHELSON-Interferometers. Die in Abbildung 7 zu erennenden leinen ringförmigen Struturen werden als NEWTON- Ringe bezeichnet. Sie werden von Verschmutzungen auf dem Target der CCD-Kamera verursacht. Für weitere Informationen zu den NEWTON-Ringen siehe z.b. [3]. 3.. Interferenzmuster bei Lichtdurchgang durch ein Luftvolumen mit räumlich variierendem Brechungsindex Wir lassen nun mit einem Gasfeuerzeug etwas Gas in einen Interferometerarm einströmen. Durch die zur umgebenden Luft verschiedene Dichte und Temperatur des Feuerzeuggases ergibt sich ein Interferenzmuster wie in Abildung 8 zu erennen ist. Das Interferenzmuster ist qualitativ wie folgt zu deuten: Das vorliegende Luft-Gas-Gemisch in einem Interferometerarm verfügt über eine flutuierende Brechungsverteilung n(x,y,z), welche an jedem Punt des Raumes einen anderen Wert annimmt. In dem anderen Interferometerarm befindet sich hingegen nach wie vor Luft, deren Brechungsindex wir als onstant über den Raum verteilt annehmen. Aufgrund der verschiedenen Brechungsindices im Luft-Gas- Gemisch sind die Laufwege des Laserstrahls sehr ompliziert. Interferiert der Teilstrahl aus dem Arm mit dem Luft-Gas-Gemisch nun mit dem Teilstrahl aus dem anderen Arm, so ommt es zu ebenso omplizierten Interferenzmustern. Im Gegensatz zu Abbildung 7, wo die Intensitätsminima und -maxima mit einer onstanten Phasenverschiebung gleichmäßig über das CCD-Target verteilt sind, ist in Abbildung 8 zu erennen, dass die 9

11 Phasenverschiebung varriiert. Die Phasenverschiebung hängt mit der unterschiedlichen Dichte- und Brechungsverteilung im Luft-Gas-Gemisch zusammen. Dadurch wird die ursprünglich ebene Welle aus dem Strahlaufweitungssystem in ihrer Phasenlage verschoben. Abb. 8: Interferenzmuster während des Einströmens von Feuerzeuggas in einen Interferometerarm Messung der Ausdehnung eines Piezo-Translators als Funtion der angelegten eletrischen Spannung (Eletrostrition) Wir wollen nun das MICHELSON-Interferometer für eine quantitative Messung verwenden, in der wir die Ausdehnung eines piezoeletrischen Translators - urz Piezo-Translator - in Abhängigeit einer eletrischen Spannung U näher untersuchen. Dazu erzeugen wir zunächst etwa fünf bis zehn senrechte, parallele Interferenzstreifen auf dem Target der CCD- Kamera. Der Spiegel SP des Interferometers ist auf einem piezoeletrischen Kristall montiert, welcher sich beim Anlegen einer eletrischen Spannung in z-richtung ausdehnt. Diesen Effet bezeichnet man auch als Eletrostrition. Aus der Ausdehnung in z-richtung folgt eine Verürzung der Strece l (vgl. Abbildung ), was wiederum eine Änderung der Phase φ zur Folge hat. Falls die Strece l um λ/ oder ganzzahlige Vielfache davon verürzt wird, ändert sich der Laufweg von E um ein entsprechendes Vielfaches der Wellenlänge λ. Aufgrund des zweimaligen Durchlaufes der Welle E durch den Interferometerarm wird die Phase somit um ganzzahlige Vielfache von π verschoben. Das Interferenzbild sieht also nach einer Verschiebung um π wieder genauso aus wie vor dem Spiegelversatz. Für alle

12 weiteren Änderungen von l wird das Interferenzmuster parallel zur Ausgangssituation verschoben. Mit Hilfe dieser Erenntnisse wollen wir nun die Ausdehnung d des Piezo-Translators bestimmen. Dazu schließen wir ein Hochspannungs-Netzgerät an den Kristall an, welches wir zunächst auf V einstellen und ausgeschaltet lassen. Aufgrund eines Hystereseverhaltens bei der Ausdehnung des Kristalls verhält sich die Funtion d(u) nicht linear, es spielt also eine Rolle, ob ein bestimmter Spannungswert U durch eine Erhöhung oder eine Erniedrigung der Ausgangsspannung erreicht wird. Diese Nichtlinearität ist auf Polarisationseffete im Piezoristall zurüczuführen. In unserem onreten Fall bedeutet dies, dass wir für eine bestimmte Ausdehnung d des Piezo-Translators zwei Spannungswerte U und U messen önnen, je nachdem, ob die zuvor angelegte Spannung höher oder niedriger war. Daher werden wir im Folgenden innerhalb einer Messreihe zunächst die Spannung am Netzgerät monoton von V auf den Maximalwert erhöhen und anschließend von diesem Wert ausgehend wieder monoton fallend zu V erniedrigen. Insgesamt führen wir zwei Messreihen mit je einer Erhöhung und einer Erniedrigung der Spannung durch. Innerhalb der Software IC CAPTURE verwenden wir den Mauszeiger als Marer, den wir anfangs mittig in einem Interferenzstreifen platzieren. Während der Versuchsdurchführung wird die Spannung am Netzgerät nun solange erhöht bzw. erniedrigt, bis der Mauszeiger an dem nächsten Interferenzstreifen angeommen ist, welcher um π phasenverschoben ist. Aus der beannten Wellenlänge des Lasers (λ,638 μm) önnen wir für jede Phasenverschiebung die Ausdehnung d wie folgt bestimmen: d n n,354 m n N Da wir die Wellenlänge des Lasers als fehlerfrei annehmen, önnen wir auch einen Fehler für die Ausdehnung d angeben. Für die Spannungen U hingegen nehmen wir einen Fehler von 5 V an, welcher aus der Einstellungsgenauigeit am Netzgerät und der zum Teil etwas ungenauen Marierungsmethode mit dem Mauszeiger resultiert. Zudem war das von der CCD-Kamera aufgenommene Bild durch leinste Erschütterungen nie in Ruhe, was das exate Bestimmen der Interferenzstreifen mit einem Gangunterschied von π zusätzlich erschwerte. Die Tabellen bis 4 geben nun unsere gemessenen Spannungen U sowie die berechneten Ausdehnungen d für beide Messreihen wieder.

13 . MESSREIHE MONOTONE ERHÖHUNG DER SPANNUNG Δφ U / V d / μm Δφ U / V d / μm π 44,36 36π 57 5,695 4π 8,633 38π 597 6, 6π,949 4π 63 6,38 8π 56,66 4π 649 6,644 π 89,58 44π 67 6,96 π,898 46π 7 7,77 4π 5,5 48π 733 7,594 6π 84,53 5π 756 7,9 8π 33,848 5π 785 8,6 π 345 3,64 54π 8 8,543 π 374 3,48 56π 836 8,859 4π 4 3,797 58π 864 9,76 6π 43 4,3 6π 89 9,49 8π 458 4,43 6π 9 9,88 3π 485 4,746 64π 94,5 3π 5 5,63 66π 97,44 34π 54 5,376 68π 999,758. MESSREIHE MONOTONE ERNIEDRIGUNG DER SPANNUNG Δφ U / V d / μm Δφ U / V d / μm π 5,36 36π 435 5,695 4π 38,633 38π 46 6, 6π 6,949 4π 49 6,38 8π 86,66 4π 5 6,644 π 7,58 44π 55 6,96 π 3,898 46π 583 7,77 4π 59,5 48π 64 7,594 6π 8,53 5π 647 7,9 8π,848 5π 678 8,6 π 8 3,64 54π 7 8,543 π 5 3,48 56π 745 8,859 4π 78 3,797 58π 779 9,76 6π 3 4,3 6π 88 9,49 8π 333 4,43 6π 856 9,88 3π 359 4,746 64π 9,5 3π 38 5,63 66π 948,44 34π 49 5,376 68π 998,758 Tab. und : Erste Messreihe zur Ausdehnung des Piezo-Translators.

14 . MESSREIHE MONOTONE ERHÖHUNG DER SPANNUNG Δφ U / V d / μm Δφ U / V d / μm π 47,36 38π 57 6, 4π 86,633 4π 597 6,38 6π 8,949 4π 66 6,644 8π 5,66 44π 653 6,96 π 86,58 46π 678 7,77 π 5,898 48π 7 7,594 4π 47,5 5π 78 7,9 6π 77,53 5π 756 8,6 8π 36,848 54π 78 8,543 π 333 3,64 56π 88 8,859 π 358 3,48 58π 89 9,76 4π 388 3,797 6π 856 9,49 6π 48 4,3 6π 88 9,88 8π 444 4,43 64π 95,5 3π 47 4,746 66π 933,44 3π 497 5,63 68π 959,758 34π 5 5,376 7π 988,74 36π 54 5,695. MESSREIHE MONOTONE ERNIEDRIGUNG DER SPANNUNG Δφ U / V d / μm Δφ U / V d / μm π 9,36 36π 43 5,695 4π 35,633 38π 465 6, 6π 6,949 4π 49 6,38 8π 8,66 4π 58 6,644 π 8,58 44π 553 6,96 π 5,898 46π 58 7,77 4π 5,5 48π 66 7,594 6π 78,53 5π 635 7,9 8π 98,848 5π 668 8,6 π 5 3,64 54π 7 8,543 π 49 3,48 56π 738 8,859 4π 74 3,797 58π 776 9,76 6π 3 4,3 6π 87 9,49 8π 39 4,43 6π 849 9,88 3π 355 4,746 64π 89,5 3π 378 5,63 66π 935,44 34π 49 5,376 68π 988,758 Tab.3 und 4: Zweite Messreihe zur Ausdehnung des Piezo-Translators. 3

15 Wir tragen nun für beide Messreihen die Ausdehnungen d über den Spannungen U auf. Dabei werden die Verläufe für die Erhöhung und die Erniedrigung der Spannung jeweils in ein Diagramm eingetragen (siehe Abbildungen 9 und ). In den Diagrammen önnen wir das Hysteresverhalten gut erennen: Bei der Erniedrigung der Spannung ist die Ausdehnung des Piezo-Translators bei beiden Messreihen größer als bei der Erhöhung. Im Bereich der minimalen und der maximalen Spannung am Netzgerät ist dieser Effet gering. In der Mitte der Diagramme jedoch, bei Spannungen um 5 V ist der Unterschied zwischen beiden Kurven relativ groß (Größenordnung:,5 μm). Abb. 9: Ausdehnung des Piezo-Translators für verschiedene Spannungen U Erste Messreihe. Wir wollen nun die maximale Ausdehnung d max des Piezo-Translators bestimmen. Dazu bilden wir den Mittelwert der größten Ausdehnung d aus den Tabellen bis 4 und erhalten einen Wert von d max,837 μm. Nun wollen wir noch bestimmen, welche Spannungsdifferenz ΔU nötig ist, um in einer Umgebung von U 5 V eine Ausdehnung des Piezo-Translators um λ,638 μm zu erreichen. Dazu betrachten wir in den Ergebnissen beider Messreihen die Ausdehnungen d im Bereich von 5 V und ermitteln jene Spannungsdifferenz, welche zu einem Phasenunterschied von 4π führt. Der Wert 4π folgt aus der Überlegung, dass die Strece l bei einem Phasenunterschied von π um die 4

16 Strece λ/ verürzt wird. Da wir jetzt an einer Verschiebung um λ interessiert sind, betrachten wir die doppelte Phasenver-schiebung, also um 4π. Wie erhalten als Mittelung über beide Messreihen eine Spannungsdifferenz von etwa ΔU 56,5 V (vgl. Frage ). Abb. : Ausdehnung des Piezo-Translators für verschiedene Spannungen U Zweite Messreihe. 5

17 4. Anhang 4.. Literatur [] Sript zum Anfängerpratium Physi II, CvO Universität Oldenburg, Institut für Physi, Otober 5 [] dtv-atlas Physi, Band und, Deutscher Taschenbuch Verlag, 7. Auflage, August 4 [3] ton/newton.htm 4.. Abbildungsnachweis Abb. : Sript zum Anfängerpratium Physi II, siehe [] Abb. : Sript zum Anfängerpratium Physi II, siehe [] Abb. 3: Sript zum Anfängerpratium Physi II, siehe [] Abb. 4: Sript zum Anfängerpratium Physi II, siehe [] Abb. 5: Sript zum Anfängerpratium Physi II, siehe [] Abb. 6: Sript zum Anfängerpratium Physi II, siehe [] 6

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