Ringbildung beim Michelson-Interferometer

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1 1 Ringbidung beim Micheson-Interferometer Ausgangspunkt ist das Hygensche Prinzip, dass von jedem Punkt einer Weenfront Kugeween, d.h. Ween in ae Raumrichtungen, ausgehen. Das erstauniche ist nun, dass sich sebst neben einem eigentich gerichteten Strah damit nicht verschwindende Intensitäten ergeben. r L1 L 1 1 1/ 1/ ) / ( 1 1 ) / ( 1 1 ) / ( 1 ) ( r n n r k r k s s k s k und r s = + = = + = + = λ π ϕ ϕ Aus der Rotationssymmetrie um den Lichtstrah herum ergeben sich dann hee Kreise bei den oben angegebenen Radien.

2 Zeitiche Kohärenz VI Nach etwas ängerer Rechnung, die hier nicht ausgeführt werden so, erhät man für die Intensitätsverteiung I des entstehenden Streifenmusters bei gegeneinander um einen keinen Winke θ verkippte Strahen: I= 1+ F(z)cos( Ω x + ϕ(z)) F(z) = + g( ω)cos( ω z / c)d ω Ω= θ ω0 / c, ϕ(z) = zω 0 / c Dabei ist Ω die Ortsfrequenz, mit der das Streifenmuster moduiert ist. F(z) ist die Fourier-Transformierte des Spektrums mit der Mittenfrequenz ω 0 und θ der keine Winke zwischen den Teistrahen. Der Kontrast K des Streifenmusters, d.h. der Unterschied zwischen den heen und dunken Bereichen ist die Fourier-Transformierte des Spektrums: Imax Imin K = = F(z) I + I max min

3 Zeitiche Kohärenz VII Ein gemessenes Interferenzmuster eines Laserpuses bei 835 nm und einem Winke θ = 0,4 mrad ist in der Abbidung gezeigt (Der Detektor bestand aus einem Array keiner Dioden. Die Diodennummern entsprechen der Position in x-richtungen senkrecht zum Strah.): 3

4 Zeitiche Kohärenz VIII Der für ein Gauß- und ein Lorentzprofi berechnete Kontrast as Funktion des Wegunterschieds in z-richtung ist in der nachfogenden Grafik aufgetragen as Funktion der reativen Abstandsänderung. Die Größe υ ~ ist die voe Habwertsbreite der Profie. Übicherweise bezeichnet man as Kohärenzzeit t k und Kohärenzänge L K die Größen: t k = 1/ ν bzw. bzw. L ~ υ = 1 k Lk = c t k = c / ν mit ~ υ = υ / c 4

5 Zeitiche Kohärenz IX Durch Messung des Kontrastes as Funktion der Verschiebung eines der Spiege ässt sich aso die Fourier-Transformierte des Spektrums direkt messen. Es ist nun mit modernen Computern eicht die Rücktransformation numerisch durchzuführen und damit das Spektrum zu ermitten. Dies wird vor aem im infraroten Spektrabereich angewandt und die entsprechenden Spektrometer heißen Fourier-Transform-Spektrometer. Einen ähnichen Aufbau verwendet man auch zur Messung der zeitichen Länge utrakurzer Laserpuse. Dabei werden aerdings die Feder in einem nichtinearen Krista überagert, d.h. das Signa bei der doppeten Frequenz ist dann proportiona zum Produkt der Feder der beiden Ween. Man kann damit die Autokorreationsfunktion messen. 5

6 Räumiche Kohärenz I Bei ausgedehnten Lichtqueen stet sich die Frage, inwieweit die Phasen der Emission an verschiedenen Raumpunkten miteinander korreiert sind. Dazu so eine in einer Dimension ausgedehnte Lichtquee betrachtet werden, die zwei Spate beeuchtet. Diese Spate dienen dann wiederum as Lichtqueen zur Erzeugung einer Interferenzstruktur an einem Schirm. Dazu nehmen wir entsprechend dem Huygenschen Prinzip an, dass jeder Spat wiederum die Quee von Kugeween ist. Für Punkte der Lichtquee, die aus der Mitte versetzt sind, ergibt sich eine Laufzeitdifferenz zu den beiden Spaten. Ist diese Differenz größer as die Weenänge, so ist bei statistischer Verteiung der Phasen keine Korreation der reativen Phasen an den beiden Spaten gegeben. Es wird dann aso keine Interferenz auf dem Schirm beobachtet. Die seitichen Punkte der Emission dürfen aso höchstens so weit von der Mitte entfernt sein, bis die Wegdifferenz zu den Spaten geich der Weenänge ist. 6

7 Räumiche Kohärenz II Die Geometrie der Anordnung ist wie fogt: Das Ergebnis wird aber von der spezieen Anordnung unabhängig sein. 7

8 Räumiche Kohärenz III Man berechnet aus der Geometrie eicht: s = bsin bd < 1 λ R ( θ / ) = bd R < λ / Der vom Empfänger ausgenutzte Raumwinke Ω ist d /R und die Senderfäche b (wenn man das Argument auf zwei Dimensionen ausdehnt). Damit fogt schießich: FdΩ So aso eine ausgedehnte Lichtquee zur kohärenten Beeuchtung eingesetzt werden, so kann nur ein sehr keiner Raumwinke genutzt werden. Umgekehrt erauben keine Queen (Idea: Punktichtquee) einen entsprechend größeren Raumwinke. λ 8

9 Interferenz I Werden verschiedene Ween geicher Frequenz an einem Ort überagert, so addieren sich deren eektrische Feder. Je nach Phase kann dies zu Verstärkung oder Ausöschung führen. Wesentich ist, dass die Feder in der geichen Richtung poarisiert sind. Bei senkrechter Poarisation tritt bestenfas eine Drehung der Poarisationsrichtung auf. Variieren die Phasen der Feder zeitich gegeneinander, so entsteht kein stabies Muster und im zeitichen Mitte addieren sich einfach die Intensitäten. Sind die reativen Phasen jedoch zeitich unveränderich, so bidet sich ein zeitich stabie Struktur, die nur durch die Überagerung der Ampituden, d.h. der Feder, und nicht durch die Überagerung der Intensitäten der beteiigten Ween verstanden werden kann. Man spricht in diesem Fa von Interferenz. 9

10 Interferenz II Dies ässt sich am Beispie zweier Ween mit einer reativen Phasenverschiebung eicht zeigen: f = Ae I f i( ω t + ϕ (t)) = A = A Be B B iω t + A Be o.b.d.a.: A,B ree iϕ (t) + A Be + A Bcos( ϕ(t)) iϕ (t) Ist die Phase zeitich fuktuierend, so ergibt der dritte Summand im Mitte keinen Beitrag. Dann ist die Intensität einfach die Summe der Einzeintensitäten. Bei fester Phase ergibt sich ein zusätzicher Term der je nach dem Wert der Phase zwischen AB (destruktive Interferenz) und +AB (konstruktive Interferenz) iegt. Bei geichen Ampituden kann daher die Intensität zwischen Nu und dem Vierfachen der Einzeintensitäten variieren. Der Kontrast ist dann maxima. Bei ungeichen Ampituden nimmt der Kontrast ab. 10

11 Newton Ringe I Zwischen einer panen Fäche und einer gekrümmten Fäche ergeben sich durch Interferenz bunte Ringmuster. Diese entstehen durch die Überagerung von Ween, die an den beiden Oberfächen mit einer der okaen Luftspatbreite entsprechenden reativen Verzögerung refektiert werden. 11

12 Newton Ringe II Ist R der Krümmungsradius und n der Brechungsindex des Mediums im Spat so ergibt sich die Dicke des Spats as Funktion des radiaen Abstands vom Aufagepunkt as: Spatdicke : Ringradius : r d R positive Interferenzbedingung : r ( m + 1/ ) R λ n m = / ϕ = k x + π = n k d + π = π m n d = ( m + 1/ ) λ 0 0 Zu jedem festen m gehört ein Spektrum von Ringen, da r m von λ abhängt. Keinere Weenängen (bau) iegen jeweis innen. Bei der Abeitung ist berücksichtigt, dass die Phasenverschiebung zwischen den Teiween ein ganzzahiges Viefaches von π sein muss und dass aufgrund der unterschiedichen Refexion (Luft-Gas, Gas-Luft) eine zusätzicher fester Phasensprung von π besteht. 1

13 Beugung am Einzespat I Betrachten wir einen einzenen Spat der Breite b der mit dem kohärentem Licht einer ebenen Wee der Weenänge λ beeuchtet wird, d.h. über die Spatbreite (bei fester Höhe) haben ae Punkte die geiche Phase. In einer Entfernung R wird auf einem Schirm ein charakteristisches Beugungsmuster beobachtet. Jeder Punkt des Spates kann as Quee einer Kugewee angesehen werden (Huygensches Prinzip): i( kr ω t ) e y E = E0 r Jede Kugewee egt einen etwas anderen Weg r bis zu einem festen Punkt P am Ort y auf dem Schirm zurück. Es ist das Integra über ae vom Spat ausgehenden Ween mit ihren unterschiedichen Phasen zu biden. 13

14 Beugung am Einzespat II Die Entfernung r beträgt näherungsweise (für R >> b, z): r R z sin( θ ) Diese Bedingung wird Frauhenhofer-Bedingung genannt, d.h. Frauenhofer-Beugung wird im Fernfed beobachtet. Damit ergibt sich für das Integra: E E = E 0 b / 0 b / I = I b R 0 e e i i ( kr k sin( θ ) z ω t ) i( kr ω t ) ( kr ω t ) b R R sinc sinc( β ) ( β ) dz = E mit 0 e β = Minima R b / b / ik sin( θ ) z k bsin( θ ) für e β = nπ k b π b θ λ R, dz y n = ± 1, ±,... für θ << 1 Hinweis: sin( x ) / x = sinc( x) 14

15 Beugung am Einzespat III Das Beugungsbid hat aso fogende Intensitätsverteiung: Hinweis: Bei bekannter Weenänge und bekanntem Abstand ässt sich damit sehr präzise die Spatbreite ausmessen (1. Minimum). 15

16 Beugung am Einzespat IV Das zentrae Maximum hat eine Breite von: Wenn b >> λ voriegt, dann ist das Maximum sehr schma (d.h. der Winke θ geht gegen Nu). Die ebene Wee durchdringt den Spat praktisch ungestört und setzt sich auch jenseits des Spates as ebene Wee mit der Breite des Spates fort. b λ R Für λ = 500 nm und R = 1 m ergibt sich b = 1 mm. y 0 = 1 für λ R b b Bei b << λ wird das Maximum sehr vie breiter as der Spat. Es macht aso wenig Sinn, zur Erzeugung eines schmaen Bides einen beiebig schmaen Spat zu verwenden. Aufgrund der Beugung wird das Bid im Gegentei verbreitert. b b y 0 16

17 Ausbick zur Beugung Das Thema Beugung wie auch genere das Thema Ween wird erneut im. Semester im Zusammenhang mit der Eektrodynamik und der Optik wieder aufgegriffen und wesentich vertieft. Die agemeinen Eigenschaften von Ween wie Interferenz, Beugung oder Kohärenz sind aerdings unabhängig von der spezieen Art der Ween und geten in geicher Weise in der Optik wie in der Akustik oder auch in anderen Bereichen der Physik. In der Festkörperphysik sind z.b. gegenwärtig sogenannte Spinnween ein heißes Thema im Zusammenhang mit Magnetismus. 17