Laborversuche zur Physik II

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1 Laborversuche zur Physik II Versuch 5: Michelson-Interferometer Versuchsleiter: Autoren: Herr Imbrock Daniel Heißelmann Michael Beimforde Gruppe: 2 Versuchsdatum: Montag, 19. Mai 2003 Datum : 21. Juli 2003 Punktzahl: 49 / 50

2 Beimforde, Heißelmann Versuch II-5 Seite 2 Inhaltsverzeichnis 1 Ziele 3 2 Michelson-Interferometer Hinweise zur Sicherheit und Fehlerrechnung Aufbau und Justierung des Michelson-Interferometers Bestimmung der Wellenlänge des He-Ne-Lasers Messung des Brechungsindexes von Luft Thermische Ausdehnung von Metallen Bestimmung von piezoelektrischen Konstanten Anhang 14

3 Beimforde, Heißelmann Versuch II-5 Seite 3 1 Ziele Aufbau und Justierung des Michelson-Interferometers Bestimmung der Wellenlänge des He-Ne-Lasers Messung des Brechungsindixes von Luft Messung der thermischen Ausdehnung von Metallen Bestimmung von piezoelektrischen Konstanten 2 Michelson-Interferometer Abbildung 1: Das Michelson-Interferometer Das Michelson-Interferometer, benannt nach dem deutschen Physiker Albert A. Michelson ( ), besteht im wesentlichen aus einer kohärenten Lichtquelle (hier: Laser), einem Strahlteiler, zwei Spiegeln und einem Schirm (oder anderem Beobachtungsinstrument). Wie in Abbildung 1 dargestellt, trifft der Lichtstrahl unter einem Winkel von 45 auf den Strahlteiler, sodass der Strahl sowohl hindurchgelassen, als auch unter einem Winkel von 90 reflektiert wird. Der Strahlteiler wird zur leichteren Versuchsauswertung so gewählt, dass die Intensität des reflektierten Lichtes ebenso groß ist, wie die

4 Beimforde, Heißelmann Versuch II-5 Seite 4 des hindurchgelassenen. Senkrecht zu beiden vom Teiler ausgehenden Strahlen steht je ein Spiegel, welcher den dort einfallenden Strahl in sich selber wieder reflektiert. Diese reflektierten Strahlen treffen beide wieder auf den Strahlteiler und werden wiederrum reflektiert bzw. hindurchgelassen. Von beiden Strahlen fällt so also ein etwa gleich intensiver Teil auf den Schirm. Wird nun der Strahl durch ein System von Linsen aufgeweitet, so sind auf dem Schirm bei geeigneter Justage ringförmige, konzentrische Interferenzmuster, die sog. Newton schen Interferenzringe zu erkennen. Abbildung 2: Newton sche Ringe Bei minimaler Verschiebung von einem der Spiegel wandern die Interferenzmuster je nach Richtung der Verschiebung zu deren Zentrum oder von diesem Weg. Der Grund hierfür ist, dass die von den Spiegeln reflektierten Strahlen von zwei virtuellen Lichtquellen stammen, welche auf dem Schirm interferieren. Durch verschieben eines Spiegels wird die Weglänge zwischen einer der virtuellen Lichtquellen und dem Schirm verändert, sodass sich die Phase zwischen den einfallenden Strahlen und damit auch deren Interferenzmuster verändert. Quantitativ betrachtet, muss der Spiegel un eine halbe Wellenlänge verschoben werden, um beim auf den Schirm einfallenden Lichtstrahl die Phase um λ zu verändern. Dies entspricht einer Verschiebung des Interferenzmusters um einen Ring nach außen oder nach innen, abhänging von der Verschiebungsrichtung des Spiegels. Mit dieser Kenntnis, kann so mit diesem Aufbau die Wellenlänge des Lichts

5 Beimforde, Heißelmann Versuch II-5 Seite 5 zu λ = 2L λz = 2L L = λz (1) Z 2 λ: Wellenlänge, L: Verschiebung des Spiegels, Z: Anzahl der herausquellenden Ringe bestimmt werden, wobei das L zur Einfachheit so gewählt werden sollte, dass eine ganze Zahl für Z abgelesen werden kann. Der optische Weg d eines Lichtbündels durch ein Medium ist definiert als geometrische Länge l multipliziert mit dem Brechungsindex n des Mediums. d = n l (2) Dass dieser optische Weg nicht mit dem geometrischen übereinstimmt, geht aus dem Prinzip von Fermat hevor, welches besagt, dass gleiche optische Weglängen in gleicher Zeit zurückgelegt werden. Da bekannterweise das Licht in einem Medium mit großem Brechungsindex langsamer ist, folgt dann zwingend, dass die optische Weglänge in einem solchen länger ist, als außerhalb dieses Mediums. Die geometrische Länge entspricht der optischen Weglänge im Vakuum. Wird eine Kammer der Länge l in den Strahlengang zwischen Strahlteiler und Spiegel aufgestellt, so wird diese natürlich zweimal durchlaufen und für die optische Weglänge gilt: d = 2 n l (3) n: Brechungsindex in der Kammer. Im Laufe dieser Versuchsreihe werden unterschiedliche Komponenten der optischen Weglänge der Apparatur verändert. Zur Bestimmung der Wellenlänge des Lasers in 2.3, sowie den thermisch verformbaren Metallen in 2.5 und den piezoelektrischen Kristallen in 2.6 werden die geometrischen Längen variiert, während der Brechungsindex unverändert bleibt. Bei der Bestimmung des Brechungsindex von Luft, d.h. beim Einsatz der oben erwähneten Kammer, bleibt die geometrische Länge konstant, während der Brechungsindex des durchlaufenen Mediums im Mittel erhöht wird. Zum Verstellen der Spiegel werden hier neben einer Gewindeuntersetzung Metalle der Länge l verwendet, die sich unter thermischen Einflüssen T verformen. Ihr Längenausdehnungskoeffizient α wird definiert als: α = l 1 (4) l T Auch piezoelektrische Kristalle können benutzt werden um kleine relative Längenänderungen S der Spiegel bei einem angelegten elektrischen Feld E zu bewirken. S = l = d E (5) l d: Piezokonstante, l: Länge des Kristalls, l: absolute Längenänderung

6 Beimforde, Heißelmann Versuch II-5 Seite Hinweise zur Sicherheit und Fehlerrechnung Da auch bei dieser Versuchsreihe mit intensivem Laserlicht gearbeitet wird, ist es wichtig, dass nicht direkt in den Strahlengang geblickt wird und, dass keine reflektierenden Gegenstände in den Strahlengang gebracht werden. Zur Fehlerrechnung sei angemerkt, dass die verwendeten Winkel im Bogenmaß zu behandeln sind. 2.2 Aufbau und Justierung des Michelson-Interferometers Wie bereits einführend erläutert, werden die verschiednen optischen Instrumente gemäß Abbildung 1 auf einer schwingungsarmen Platte aufgebaut. Zur Feinjustage dienen Justierschrauben auf der Rückseite der Spiegel. Das System wird so eingestellt, dass alle drei beim Strahlteiler eintreffenden Strahlen diesen in einem Punkt durchlaufen. Ebenso ist es wichtig, dass die beiden auf dem Schirm eintreffenden Strahlen zusammenfallen. Wird nun das Laserlicht durch ein System von Linsen divergent gemacht, so kann das Ringförmige Interferenzmuster erkannt werden. Der korrekte Aufbau wird von der Aufsicht testiert. 2.3 Bestimmung der Wellenlänge des He-Ne-Lasers Da nun die Funktionsweise des Michelson-Interferometers bekannt und der Aufbau justiert ist, kann nun die Wellenlänge des monochromatischen Laserlichts bestimmt werden. Hierzu ist einer der beiden Speigel auf einem, durch ein Gewinde verstellbaren, optischen Reiter montiert. Dieses Gewinde ist zudem durch eine starke Untersetzung noch genauer einstellbar, sodass eine Umdrehung des Stellhebels einer Verschiebung des Spiegels von 0,005mm entspricht. Da durch die Untersetzung beim Richtungswechsel der Drehrichtung stets ein toter Gang entsteht, wird dieser vor jeder Messung durch Drehung in die entsprechende Richtung eliminiert. Nun wird der Stellhebel so lange gedreht, bis eine gewisse Zahl an Maxima Z aus dem Zentrum des Interferenzmusters hervorgegangen ist. Mit Hilfe von Gleichung (1) kann dann die Wellenlänge des Laserlichts bestimmt werden.

7 Beimforde, Heißelmann Versuch II-5 Seite 7 Z Umdrehungen U Verschiebung L in µm Wellenlänge λ in nm Mittelwert: 638 Tabelle 1: Bestimmung der Wellenlänge Zur Bestimmung des Größtfehlers wird angenommen, dass die Anzahl der herausgequollenen Maxima auf Z = 1 Ring genau gezählt werden kann. Da die Anzahl der Umdrehungen gering und gut abzulesen ist, wird hier von einem Fehler von U = 30 ausgegangen. Nach einfacher Anwendung des Dreisatzes folgt für den Fehler der Verschiebung L = 4, mm. Somit gilt für den Größtfehler 2 λ = Z L + 2L Z 2 Z (6) = 94nm (7) Vergleicht man die durch die Messungen bestimmte Wellenlänge mit der auf dem Gehäuse des Lasers angegebenen Welllänge von λ = 632, 8nm, so wird festgestellt, dass beide im Rahmen des Messfehlers übereinstimmen. 2.4 Messung des Brechungsindexes von Luft In der nun folgenden Versuchsreihe wird mit Hilfe des Michelson-Interferometers der Brechuungsindex von Luft bestimmt. Da der Brechungsindex an sich nicht gemessen werden kann, sondern nur in Relation zu anderen Medien, und weil der Brechungsindex von einem Vakuum definitionsgemäß 1 beträgt, ist es sinnvoll eine durchleutbare Vakuumkammer in den Strahlengang zwischen Strahlteiler und einem Spiegel einzubringen. Da das Licht beim Durchqueren der Vakuumkammer eine andere optische Weglänge zurücklegt, als in der Raumluft, kann aus dem Vergleich beider der Brechungsindex der Luft berechnet werden. Die Idee zur Berechnung des Brechungsindex ist, dass die optische Weglängendifferenz (d Luft d V ak ) einer Verschiebung des Spiegels L entspricht. Da die Vakuumkammer zweimal durchlaufen wird, gilt: d Luft d V ak = 2L (8)

8 Beimforde, Heißelmann Versuch II-5 Seite 8 Daraus folgt mit Gleichung (1): d Luft d V ak = Zλ (9) und mit der Gleichung (2): 2n Luft l 2n V ak l = Zλ (10) 2n Luft l 2l = Zλ (11) n Luft 1 = Zλ (12) 2l n Luft = 1 + Zλ (13) 2l In der praktischen Durchführung wird die Vakuumkammer in den Strahlengang eingebracht und ca. 2 Minuten mit der Vakuumpumpe abgepumpt. Anschließend wird das Ventil der Vakuumkammer langsam geöffnet, sodass beim Einströmen der Luft sich der Brechungsindex der Kammer langsam verändert. Während dieses Vorganges kann auf dem Schirm beobachtet werden, wie Interferenzmaxima aus deren Zentrum hervorquellen. Werden hierbei die Maxima gezählt, die durchlaufen werden, so kann daraus mit Gleichung (13) der Brechungsindex von Luft berechnet werden. Um einen genaueren Mittelwert zu bestimmen, wird die Messung fünf mal durchgeführt. Bei einer Kammerlänge von l = 50mm und einer Wellenlänge λ = 633nm ergeben sich folgende Ergebnisse: Durchlaufene Maxima Z Brechungsindex n Luft 41 1, , , , , Mittelwert: 1, Tabelle 2: Bestimmung des Brechungsindex von Luft Zur Berechnung des Größtfehlers wird angenommen, dass die Anzahl der Maxima auf Z = 1 bestimmt werden kann. Da Wellenlänge und Kammerlänge auf den jeweiligen Geräten angegeben sind, werden diese als genau angesehen. Es ergibt sich: n = λ Z 2 l (14) = 0, (15)

9 Beimforde, Heißelmann Versuch II-5 Seite 9 Die Literatur 1 geht von einem Wert von n Luft = 1, aus. Dieser bezieht sich auf He-Ne-Licht(λ = 633nm) bei einer Temperatur von 20 C. Der hier ermittelte Wert stimmt nicht im Rahmen des Messfehlers mit dem Literaturwert überein. Der Grund hierfür ist, dass für die Berechnung des Fehlers nur die Messungenauigkeit für die Anzahl der Ringe eingeht. Da aber die als genau angesehene Kammerlänge nicht fehlerfrei angegeben werden kann und diese zudem durch zwei Glasplatten begrenzt wird, welche einen wesentlich höheren Brechungsindex als die Luft besitzen, entsteht eine Abweichung von dem zu erwarteten Wert. Auch die Temperatur im Labor liegt nicht konstant bei 20 ; dieses Problem kann allerdings nur schwer in die Berechnung des Messfehlers einfließen. 2.5 Thermische Ausdehnung von Metallen Da einige Metalle sich bei Temperaturerhöhungen ausdehnen, dieser Effekt aber nur minimal ist, eignet sich das Michelson-Interferometer gut um diese Ausdehnung zu messen. Untersucht werden zwei Metallstäbe (Kupfer und Aluminium) die vom Punkt ihrer Einspannung bis zur Spitze l = 10cm messen. Bei dem Michelson-Interferometer wird der durch den Feinstelltrieb verschiebbare Spiegel nun durch den eingespannten Metallstab ersetzt, an dessen Spitze nun ein weiterer Planspiegel angebracht. Auch dieser Spiegel wird so justiert, dass auf dem Schirm die konzentrischen Interferenzringe beobachtet werden können. Um den Metallstab ist eine Heizspirale gewickelt, die sich und somit auch den Stab im stromdurchflossenen Zustand aufheizt. Durch die Erwärmumg dehnt sich der Metallstab u.a. in Längsrichtung aus und der an dessen Spitze angebrachte Spiegel wird im Strahlengang verschoben. Die Ausdehnung l kann nach Zählen der durchlaufenen Maxima mit Gleichung (1) berechnet werden. Ein Thermoelement misst hierbei die Temperaturänderung T des Stabes. Der in Gleichung (4) vorgestellte Längenausdehnungskoeffizient α ist definiert als Längenänderung l pro Länge l und Temperaturdifferenz T : α = l 1 l T mit (1) (16) α = λz 1 2l T 1 gprakt/html/projekte/brechungsindex 2/uebersicht.html

10 Beimforde, Heißelmann Versuch II-5 Seite 10 Je fünf verschiedene Messungen für den Kupfer- und den Aluminiumstab ergeben: Temperaturdiff. T in K Maxima Z Ausdehnungskoeffizient α in /K Mittelwert: 32 Tabelle 3: Ausdehnungskoeffizient von Kupfer Temperaturdiff. T in K Maxima Z Ausdehnungskoeffizient α in /K Mittelwert: 38 Tabelle 4: Ausdehnungskoeffizient von Aluminium Für den Größtfehler wird angenommen, dass die Zahl der Maxima wiederrum auf Z = 1 bestimmt werden kann. Die Länge der Metallstäbe wird auf l = 2mm bestimmt. Die Temperaturdifferenz wird auf ( T ) = 0, 2K genau gemessen. Somit ergibt sich für den Größtfehler: λ α = 2l T Z + λz 2l 2 T l + λz 2l( T ) 2 ( T ) (17) = 4, /K (18) Aus der Literatur 2 gehen Werte für Kupfer und Aluminium wie folgt hervor: α Cu = 16, /K α Al = 23, /K 2 Kuchling, Horst: Taschenbuch der Physik Auflage, 1999, S. 615f

11 Beimforde, Heißelmann Versuch II-5 Seite 11 Die in diesem Versuch ermittelten Längenausdehnungskoeffizienten Stimmen nicht mit den Literaturwerten überein. Auch im Rahmen des Größtfehlers sind die ermittelten Werte entschieden zu groß. Selbst bei großzügig kalkulierten Messfehlern wird nicht die benötigte Fehlerschranke erreicht. Der Grund für diesen Fehler konnte allerdings auch nach langen Überlegungen nicht eroiert werden. 2.6 Bestimmung von piezoelektrischen Konstanten Abbildung 3: Schaltungsskizze des Piezo-Kristalls In dieser Versuchsreihe wird der in der vorigen Anordnung eingesetzte Metallstab durch eine piezoelektrische Messzelle ersetzt, an deren Kopfende ein weiterer Planspiegel angebracht ist. Piezoelektrische Kristalle sind Isolatoren, die eine polare Achse in ihrer Kristallstruktur besitzen. Werden diese Isolatoren in ein elektrisches Feld gebracht, so verschieben sich die Ladungen in diesem, was dazu führt, dass es zu einer mechanischen Deformation kommt, die nach Gleichung (5) berechnet werden kann. Diese Deformation kann durch das Michelson-Interferometer bestimmt werden. Dies geschieht analog zu dem letzten Teilversucht, in welchem die geometrische und damit auch die optische Weglänge zwischen einer der virtuellen Lichtquellen und dem Schirm variiert wird. Der hier zu Verfügung stehende Piezo-Kristall besteht aus drei hintereinander angeordneten Keramikplatte, welche parallel geschaltet werden (vgl. Abbildung 3). Nun wird an den in

12 Beimforde, Heißelmann Versuch II-5 Seite 12 der Skizze erkennbaren Eingängen eine Spannung von bis zu 1,5kV angelegt. Es kommt zu der beschriebenen Verformung des Kristalls und es kann beobachtet werden, wie die Interferenzringe aus ihrem Zentrum hervorquellen. Durch die in der Skizze dargestellte parallele Schaltung wird bewirkt, dass die elektrische Feldstärke über die gesamte Länge des Kristalls der einer dreifach höheren Spannung entspricht, wenn einfach eine Katohde und Anode an die Enden des Kristalls angebracht wären. Die Begründung dieser Tatsache liegt in der Definition der Feldstärke, welches als Potentialdifferenz pro Strecke definiert ist. Zwischen je zwei Elektroden (Abstand entspricht ein Drittel Kristallänge) liegt eine Spannung von 1,5kV an. Dies ist äquivalent zu einem Versuchsaufbau mit nur zwei Elektroden an den Enden des Kristalls mit einer Spannung von 4,5kV. Mit Gleichung (5) kann dann für eine Gegebene Wellenlänge λ und Spannung U die Zahl der durchlaufenen Maxima Z gezählt werden und hieraus die Piezokonstante d bestimmt werden: S = l l d = l le = l l U l mit: (1) = λz 2U = d E d = S E (19) (20) (21) (22) Für die Anordnung mit den vier Elektroden (Abb. 3) wird wie oben erläutert diegleiche Wirkung wie bei dreifacher Spannung bei einfachem Anschluss erzielt, somit ist in der letzten Gleichung das U durch 3U zu ersetzen. Somit gilt: d = λz 6U Diese Messung wird nun für sechs verschiedene Spannungen durchgeführt: (23)

13 Beimforde, Heißelmann Versuch II-5 Seite 13 Spannung U in kv Maxima Z Piezokonst. d in m/v 0,5 2 4,22 0,7 3 4,52 0,9 4 4,69 1,1 6 5,75 1,3 7 5,68 1,5 8 5,63 Mittelwert: 5,08 Tabelle 5: Bestimmung der Piezo-Konstanten Für den Größtfehler wird angenommen, dass die Anzahl der Maxima wiederrum auf Z = 1genau gezählt werden kann. Die Spannung kann auf U = 10V genau bestimmt werden. Somit folgt für den Größtfehler: λ d = 6U Z + λ Z 6U 2 U (24) = 2, 20 m V (25) Somit liegen alle Meßwerte im Fehlerrahmen des Mittelwertes. Die in der Literatur zu findenden Werte für gängige Piezo-Keramiken liegen in der gleichen Dimension wie der hier emittelte. So hat beispielsweise Seignette-Salz eine Piezo-Konstante von d = 4, m/v, Barium- Titanat von 2, m/v und Piezolan S2 von 5, m/v. 3 Es bleit weiterhin zu sagen, dass die Ausdehnung des Piezokristalls vom elektrischen Feld anbhängt und sich damit auch die Beschaltung auf die Längenänderung auswirkt. Durch eine geringe Spannung, die nur über einen kurzen Abstand wirkt kann also der gleiche Effekt erzielt werden wie durch eine große Spannung über eine lange Distanz. 3 vgl. Anhang

14 Beimforde, Heißelmann Versuch II-5 Seite 14 3 Anhang

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