Physikalisches Praktikum O 3 Interferenz

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1 Physikalisches Praktikum O 3 Interferenz Versuchsziel Untersuchung von Interferenzerscheinungen. Literatur /1/ E. Hecht Optik /2/ Bergmann/Schäfer Band 3, Optik /3/ P. Tipler/G. Mosca Physik /4/ LD Didactic Handblätter Physik /5/ Phywe Betriebsanleitung Grundlagen 1. Interferenz Die Wellengleichung die die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen beschreibt ist eine homogene lineare partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung. Als solche genügt sie dem Superpositionsprinzip: hat man zwei Lösungen der Wellengleichung gefunden, so ist die Summe dieser Lösungen ebenfalls eine Lösung der Wellengleichung. Dementsprechend ist die resultierende elektrische Feldstärke E an einem Punkt im Raum, wo sich zwei oder mehr Lichtwellen überlagern, gleich der vektoriellen Summe der Einzelwellen. Die optische Schwingung bzw. die Feldstärke E variiert über der Zeit mit einer extrem großen Geschwindigkeit von einigen Hz, was die Feldstärke selbst zu einer für die direkte Messung ungeeigneten Größe macht. Hingegen ist die Intensität (Bestrahlungsstärke), d. i. die durchschnittliche Energie pro Flächen- und Zeiteinheit, der direkten Messung mit Sensoren wie z.b. Photozellen oder dem menschlichen Auge, zugänglich. Die Addition der Feldstäken führt dazu, dass sich die Intensitäten, die durch die Quadrate der Feldstärken gegeben sind, i.a. nicht einfach additiv überlagern. Man bezeichnet daher speziell beim Licht jede Abweichung von der Additivität der Bestrahlungsstärken bei der Überlagerung als Interferenz. 1

2 Unter optischer Interferenz versteht man daher die Wechselwirkung zweier oder mehrerer Lichtquellen, die eine resultierende Intensität ergibt, die sich von der Summe der einzelnen Intensitäten unterscheidet. Betrachten wir zwei Punktquellen die elektromagnetische Wellen gleicher Frequenz und Wellenlänge emittieren. Die elektrischen Feldstärken E 1 und E 2 seien gleichgerichtet (gleich polarisiert). Sind r 1 und r 2 die Wege, die beide Wellen von ihren Quellen zu einem beliebigen Punkt P im Raum zurückgelegt haben, dann kann man für die Feldstärken in diesem Punkt schreiben: E 1 = E 01 cos(k r 1 ωt + ε 1 ) E 2 = E 02 cos(k r 2 ωt + ε 2 ) (1) Nach dem Superpositionsprinzip ist dann die Gesamtfeldstärke E in P gegeben durch: E = E 1 + E 2 Die Intensität I in P ist dann gegeben durch den zeitlichen Mittelwert des Quadrats der elektrischen Feldstärke: I = E = (E 1 + E 2 ) (E 1 + E 2 ) = E E E 1 E 2 = E E E 1 E 2 = I 1 + I 2 + I 12 (2) Mit (1) und unter Berücksichtigung das der zeitliche Mittelwert einer Funktion f(t) in einem Intervall τ gegeben ist durch f(t) = 1 τ lässt sich der Interferenzterm I 12 schreiben als: t t+τ f t dt I 12 = 2 E 01 E 02 [cos( kr 1 + ε 1 ) cos ωt + sin( kr 1 + ε 1 ) sin ωt] [cos(kr 2 + ε 2 ) cos ωt + sin( kr 2 + ε 2 ) sin ωt] = 2 τ E 01E 02 cos( kr 1 + ε 1 ) cos ωt + sin(kr 1 + ε 1 ) sin ωt t t+τ cos( kr 2 + ε 2 ) cos ωt + sin(kr 2 + ε 2 ) sin ωt dt Ausführen des Integrals liefert für den Interferenzterm: mit I 12 = E 01 E 02 cos δ (3) δ = (kr 1 kr 2 + ε 1 ε 2 ) (4) 2

3 als Phasendifferenz δ. Die Phasendifferenz kann sich also sowohl aus der Differenz der optischen Weglängen k(r 1 r 2 ) ergeben, die von beiden Wellen durchlaufen werden, als auch aus dem Unterschied ε 1 ε 2 der Phasenkonstanten. Berücksichtigt man das I 1 = E 1 2 = E 01 2 und I 2 = E 2 2 = E 02 2 so folgt für die Gesamtintensität: I = I 1 + I I 1 I 2 cos δ (5) Für δ = 0, ±2π, ±4π, wird cos δ = 1 und I wird maximal: I max = I 1 + I I 1 I 2 In diesem Fall spricht man von vollständig konstruktiver Interferenz. Für δ = ±π, ±3π, ±5π, wird cos δ = 1 und I wird minimal: I min = I 1 + I 2 2 I 1 I 2 In diesem Fall spricht man von vollständig destruktiver Interferenz. Insbesondere gilt für den Fall das die Amplituden der beiden Wellen gleich sind (also E 01 = E 02 ): I 1 = I 2 I 0. Damit ergibt sich aus Gl. (5) I = 2I 0 (1 + cos δ) = 4I 0 cos 2 δ 2 Daraus folgt unmittelbar I min = 0 und I max = 4I 0. Natürlich kann die Intensität im Ganzen weder vermehrt noch vermindert werden; wenn an bestimmten Stellen des Raumes I > I 1 + I 2 ist, so bedeutet das nur, dass an anderen Stellen des Raumes I < I 1 + I 2 ist, sodass im Ganzen die Energie erhalten bleibt: Sie wird beim Auftreten von Interferenz nur räumlich anders verteilt. 2. Kohärenz Im Allgemeinen beobachtet man in der Optik, dass Intensitäten im Gegensatz zu Gl. (5) additiv sind, d.h. dass keine Interferenz zwischen zwei Lichtwellen, die von verschiedenen Quellen stammen, stattfindet. Dies liegt daran, dass die Differenz der Phasenkonstanten ε 1 ε 2 der Lichtwellen im Allgemeinen zeitlich nicht konstant ist, sondern während der Beobachtungsdauer beliebige positive und negative Werte annehmen kann. D.h. die Interferenz in einem bestimmten Punkt schwankt sehr schnell zwischen konstruktivem und destruktivem Fall, so dass kein stationäres Muster zu beobachten ist. Deshalb ist in Gl. (5) noch über die Differenz der der Phasenkonstanten 3

4 zu mitteln, wodurch der Interferenzterm herausfällt und die Gesamtintensität gleich der Summe der Einzelintensitäten ist. Zwei Wellen, für die ε 1 ε 2 konstant ist, nennt man kohärent. Ändern sich aber die beiden Phasenkonstanten ε 1 und ε 2 in zusammenhangloser Weise, so nennt man die Wellen inkohärent. Interferenz kann man also nur gut beobachten, wenn die sich überlagernden Wellenzüge kohärent sind. Ein Laser ist eine gute kohärente Lichtquelle. Die konventionellen Lichtquellen der Optik, wie z.b. die Sonne, Glüh- und Gasentladungslampen können als praktisch inkohärent betrachtet werden. Ihre Inkohärenz beruht auf dem Entstehungsmechanismus des von ihnen ausgesandten Lichts. Die lichtausendenden Zentren sind Atome oder Moleküle, deren Elektronen durch Energiezufuhr in angeregte Zustände gehoben werden. Bei der Rückkehr in den Grundzustand wird Energie in Form einer gedämpften Welle abgestrahlt. Diese kann näherungsweise als ein Wellenzug mit begrenzter Länge aufgefasst werden. Die einzelnen Akte der Lichtemission verschiedener Atome erfolgen statistisch, sodass die einzelnen Wellenzüge wechselnde Phasenkonstanten haben. Deshalb sind die von verschiedenen Punkten einer Lichtquelle, d.h. von verschiedenen Atomen, abgestrahlten Lichtwellen zueinander inkohärent. Auch die von einem einzelnen Emissionszentrum (Atom) zeitlich hintereinander ausgestrahlten Wellenzüge haben eine statistische Phasenlage zueinander und sind untereinander nicht kohärent. Hingegen hat ein Wellenzug, der einem einzelnen Emissionsakt entstammt, eine definierte Phasenkonstante. Spaltet man diesen Wellenzug in zwei Teilwellen auf und lässt diese eine optische Wegdifferenz durchlaufen, so sind diese beiden Teilwellenzüge kohärent. Diese Wegdifferenz darf jedoch nicht größer sein als die Länge x c des ausgesandten Wellenzuges mit definierter Phasenlage. x c bezeichnet man als Kohärenzlänge. Dann gilt für die Zeit die das Licht braucht um die Kohärenzlänge zurückzulegen: t c = x c c (6) t c wird Kohärenzzeit in genannt. Das von einer gasentladungsröhre ausgestrahlte monochromatische Licht hat eine Kohärenzlänge von nur einigen Millimetern. Dagegen hat das von sehr stabilen Lasern abgestrahlte Licht eine Kohärenzlänge von vielen Kilometern. 3. Newtonsche Ringe Berührt eine schwach gekrümmte Konvexlinse eine ebene Glasplatte (Abb. 1), so entsteht ein Luftkeil mit einer sphärisch gekrümmten Begrenzungsfläche. Beleuchtet man diese Anordnung mit senkrecht einfallendem, parallelem Licht, so entstehen konzentrische Interferenzringe um den Berührungspunkt der beiden Flächen. 4

5 Abb. 1: Schematische Darstellung des Luftkeils zwischen Glasplatte und Plankonvexlinse /4/ Das Interferenzmuster entsteht durch Zweistrahlinterferenz: der erste Strahl geht durch den Luftkeil zwischen Linse und Glasplatte, der zweite Lichtstrahl wird zuerst an der Glasplatte und anschließend an der Unterseite der Linse reflektiert. Durch die Reflexion am optisch dichteren Medium entsteht dabei jedesmal eine Phasenverschiebung um π, entsprechend einem Gangunterschied λ 2. Der gesamte Gangunterschied zwischen Strahl 1 und 2 ist somit: = 2 d + 2 λ 2 (8) Aufgrund der Symmetrie um die optische Achse der Anordnung ergibt sich ein ringförmiges Interferenzmuster. Dabei sind die hellen Ringe (konstruktive Interferenz) nach Gl. (5) bei einer Phasendifferenz δ = 2nπ zu finden. Somit ergibt sich für den Gangunterschied (also die Differenz der optischen Weglängen) nach Gl. (4), wenn man davon ausgeht das die Wellen Phasengleich (ε 1 ε 2 = 0) emittiert werden: = r 1 r 2 = 2πn k = n λ Mit (8) ist somit die Bedingung für konstruktive Interferenz erfüllt, wenn gilt: d = (n 1) λ 2 (9) Die Dicke d hängt vom Abstand r zum Berührungspunkt zwischen Konvexlinse und Glasplatte sowie vom Krümmungsradius R der Konvexlinse ab. Aus Abb.1 entnimmt man den Zusammenhang. Für kleine Dicken d vereinfacht sich dies zu: R 2 = r 2 + (R d) 2 5

6 d = r2 2R Somit ergibt sich für den Radius der hellen Ringe: mit n = 1, 2, 3,.. r n 2 = (n 1) R λ (10) Analog erhält man für den Radius der dunklen Ringe: r n 2 = n R λ (11) 4. Interferometer nach Michelson Im Interferometer nach Michelson wird ein Lichtbündel in zwei Teilbündel gleicher Intensität aufgespalten, die das Interferometer wieder gemeinsam verlassen (Abb. 2). Die Wegdifferenz beider Teilbündel kann bei gleichzeitiger Beobachtung des von ihnen erzeugten Interferenzmusters um ganzzahlige Vielfache der Wellenlänge verändert werden. Die Änderung der Weglänge ist am Interferometer ablesbar und erlaubt bei Verwendung von monochromatischem Licht eine Bestimmung der Wellenlänge. Abb. 2: Michelson Interferometer. Schematische Darstellung /5/ Aus Abb. 2 ließt man für den Gangunterschied = 2d cos θ ab. Mit Gl. (3) gilt dann für konstruktive Interferenz: = 2d cos θ n = r 1 r 2 = 2πn k = n λ n = 1, 2, 3, (12) 6

7 Als Interferenzmuster erhält man also Kreisringe, da θ n für ein festes n und d konstant ist. Verändert man die Lage des Spiegels S 2, so dass z.b. d zunimmt, so wird nach Gl. (12) der Ringdurchmesser zunehmen, da n für diesen Ring fest ist. Es verschwindet also jedesmal ein Ring, wenn d um λ 2 vergrößert wird. Ist d die Spiegelverschiebung und Z die Anzahl der Streifen, die sich dabei an einem Referenzpunkt vorbeibewegt haben, so gilt offenbar (n und θ n sind hier konstant!): d = Z(λ 2) (13) Hieraus lässt sich dann die Wellenlänge des Lichts bestimmen. Die Kohärenzlänge d C ergibt sich aus der Differenz der beiden optischen Weglängen und damit der beiden Spiegelpositionen x 1 und x 2 an denen jeweils gerade noch Interfenz beobachtet werden kann. d C = 2(x 2 x 1 ) (14) 5. Beugung am Spalt Beugungserscheinungen treten auf, wenn die freie Ausbreitung des Lichts durch Hindernisse (wie z.b. eine Blende mit einem Spalt) geändert wird. Die dabei zu beobachtende Abweichung von der geradlinigen Ausbreitung des Lichts bezeichnet man als Beugung. Nach dem Huygens-Fresnel`schen Prinzip gehen von jedem Punkt der Beugungsöffnung Sekundärwellen aus, die hinter dem Spalt interferieren. Im Gegensatz zu den oben dargestellten Phänomenen, bei denen lediglich zwei Wellen sich überlagerten (Zweistrahlinterferenz), handelt es sich hier um ein Beispiel von sogenannter Vielstrahlinterferenz. In ausreichend großer Entfernung hinter dem Spalt (Fraunhofer- oder Fernfeldbeugung) kann die Intensitätsverteilung des entstehenden Interferenzmusters geschrieben werden als: Dabei ist b die Spaltbreite. sin 2 [(kb 2) sin α] I(θ) = I 0 [(kb 2) sin α] 2 (15) Abb. 3: Schematische Darstellung zur Beugung des Lichts am Einzelspalt /4/ 7

8 Nach Gl. (14) findet man maximale Intensität bei den Beugungswinkeln: sin α max = 2n λ b (n = 1, 2, 3, ) (16) Minimale Intensität bei: sin α min = n λ b (n = 1, 2, 3, ) (17) Für den Fall n = 0 findet man das zentrale Hauptmaximum. 6. Beugung am Doppelspalt und Gitter Tritt kohärentes Licht aus einem Laser auf einen Doppelspalt, so beobachtet man auf einem in ausreichender Entfernung dahinter befindlichen Schirm, ein durch Interferenz entstandenes Beugungsmuster. Abb. 4: Schematische Darstellung zur Beugung des Lichts am Doppelspalt /4/ Für die Maxima findet man beim Doppelspalt: sin α max = n λ d n = 0, 1, 2, 3, (18) Und minimale Intensität bei: sin α min = n λ d n = 0, 1, 2, 3, (19) Für kleine Beugungswinkel gilt für die Maxima näherungsweise: 8

9 d = α n = x n L (20) Die Intensitätsmaxima auf dem Schirm liegen also an den Orten (vom Zentrum des Beugungsbildes aus gesehen): x n = n L λ d (21) Der Abstand a der Intensitätsmaxima auf dem Schirm beträgt somit: a = x n+1 x n = L λ 1 d (22) Wird die Anzahl p der Spalte vergrößert, so bleiben die obigen Beziehungen gültig. Allerdings nehmen die Intensitäten der Maxima proportional zu p 2 zu (wobei sowohl hier als auch beim Doppelspalt die Intensität der Maxima höherer Ordnung aufgrund der Modulierung durch die Intensitätsverteilung am Einzelspalt allmählich abnehmen) und die Breite der Maxima nimmt ab. Da die Lage der Maxima proportional zur Wellenlänge ist, eignet sich ein solches Gitter zur Trennung verschiedener Wellenlängen; d.h. ein Beugungsgitter lässt sich als Spektroskop einsetzen. Durchführung und Auswertung 1. Newton Ringe: Bestimmung der Krümmungsradius der Linse Führen Sie die Messung mit zwei Wellenlängen (Orange λ orange = 578 nm; Grün λ grün = 546 nm) durch. Bestimmen Sie den Durchmesser von mindestens fünf der sichtbaren Ringe (der hellen oder dunklen) und bestimmen Sie daraus den Radius r (die Skalenteilung der sichtbaren Skala beträgt 1 mm). Tragen Sie für jede Wellenlänge r 2 n gegen die Ringordnung auf und bestimmen Sie aus den Graphen nach Gl. (10) bzw. (11) den Krümmungsradius R. 2. Bestimmung von Wellenlänge und Kohärenzlänge mit dem Michelson-Interferometer Bestimmen Sie die Wellenlänge der grünen Spektrallinie der Hg Spektrallampe. Dazu geht man am besten von einem Interferenzmuster mit dunklem Zentrum aus und verschiebt den Spiegel S 2 um die Wegstrecke d. Der Spiegel S 2 ist mit Hilfe einer Mikrometerschraube und einer 1: 10 Hebeluntersetzung parallel zu seiner Spiegelnormalen verschiebbar. Ein Teilstrich der Mikrometer entspricht somit einer Spiegelverschiebung um 1 μm. Zählt man die Anzahl Z der Dunkelzonen die dabei an einem beliebigen Referenzpunkt vorbeilaufen, so kann aus Gl. (13) die Wellenlänge 9

10 bestimmt werden. Es sollten > 20 Dunkelzonen durchlaufen werden. Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit dem Literaturwert (λ Grün,Hg = 546,01 nm). 3. Bestimmung von Spaltbreite und Spaltabstand Sicherheitshinweise für den Umgang mit dem He-Ne-Laser: - Nicht in den direkten oder reflektierten Laserstrahl blicken - Überschreiten der Blendungsgrenze vermeiden (d.h. kein Beobachter darf sich geblendet fühlen) Bestimmen Sie aus dem Beugungsbild des Einzelspalts mit Hilfe der Gl. (16) die Spaltbreite b. Leiten Sie Gl. (20) her und bestimmen Sie aus dem Beugungsbild des Doppelspalts und eines Gitters den Spaltabstand d und beim Gitter die Gitterkonstante (Zahl der Spalte je mm). Es sollen jeweils mindestens 3 bis 5 Maxima ausgemessen werden. Mittelwert und der absolute Fehler sind anzugeben. (Hinweis: Beachten Sie das für große Abstände L von Spalt und Schirm gilt: sin α n tan α n = x n ; λ = 632,8 nm) L Fragen (zur Versuchsvorbereitung) 1) Was geschieht mit der Energie einer Lichtquelle, wenn destruktive Interferenz auftritt? 2) Welche der nachfolgend genannten Paare von Lichtquellen sind kohärent? a) Zwei Kerzen, b) eine Punktquelle und ihr von einem ebenen Spiegel erzeugtes Spiegelbild, c) zwei von derselben Punktquelle beleuchtete Öffnungen, d) zwei Scheinwerfer eines Autos, e) zwei Bilder einer Punktquelle, die durch Reflexion an der Vorder- bzw. an der Rückseite des Flüssigkeitsfilms einer Seifenblase entstehen. 10

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