Schwingungen und Wellen Zusammenfassung Abitur

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1 Schwinunen und Wellen Zusammenfassun Abitur Raphael Michel 12. März Mechanische Schwinunen 1.1 Harmonische Schwinunen Die Federkraft ist definiert durch F = D s. Für die Elonation, Geschwindikeit und Beschleuniun ilt bei Winkeleschwindikeit ω = 2π f und maximaler Auslenkun von ŝ: s(t) = ŝ sin(ωt + ϕ 0 ) (1) v(t) = ṡ(t) = ŝ ω cos(ωt + ϕ 0 ) (2) a(t) = s(t) = ŝ ω 2 sin(ωt + ϕ 0 ) (3) Aus F = ma und F = Ds eribt sich die Differenzialleichun m a(t) = D s(t), die zur Lösun hat: m T = 2π (4) D Die Elonationsenerie beträt: W Elon = 1 2 D s2 (5) Fadenpendel Beim Fadenpendel wirkt mit Auslenkunswinkel δ die Kraft m sin δ auf das Gewicht. Wenn die horizontale Auslenkun s l ist, so kann man s s h annähern und erhält mit sin δ = s/l schließlich den Betra der Kraft F = ms/l und daraus D = m/l und mit Gleichun 4 schließlich: l T = = 2π (6) 1.2 Gedämpfte Schwinunen Bei Dämpfun durch konstante Kraft nehmen die Amplituden linear ab. Bei Dämpfun durch zur Schnelle v proportionale Kraft nehmen die Amplituden exponentiell ab. 1.3 Erzeute Schwinun / Resonanz f f 0 Amplitude des Schwiners und Erreers ist unefähr leich, es ibt keinen Phasenunterschied. f = f 0 Die Amplitude des Schwiners ist maximal. Der Erreer eilt dem Schwiner um die Phase ϕ = π/2 voraus. 1

2 f f 0 Amplitude des Schwiners eht een null. Erreer und Schwiner besitzen die Phasenverschwinun ϕ = π. 2 Elektromanetische Schwinunen 2.1 Schwinkreis Während bei mechanischen Schwinunen die Träheit der Masse für die Schwinwirkun verantwortlich ist, ist es bei elektromanetischen Schwinkreisen die Selbstinduktion in einer Spule. Abbildun 1: Schwinkreis Der Kondensator wird stehts zuerst aufeladen und entlädt sich dann. Wenn der Entladevoran startet, wird in der Spule eine Geenspannun induziert (Lenzsche Reel), die den Entladevoran verlansamt. Wenn der Kondensator voll entladen ist, ändert sich die Stromstärke wieder und es wird in der Spannun eine Spule induziert, die den Strom noch etwas aufrecht erhält (Lenzsche Reel) und den Kondensator so wieder (andersherum epolt) auflädt. Es ilt: L I(t) = 1 Q(t) (7) C L Q(t) = 1 C Q(t) (8) T = 2π LC (9) 3 Wellen Wellen haben eine Wellenläne λ und eine Frequenz f. Sie breiten sich mit der Geschwindikeit c aus. Es ilt der folende Zusammenhan: c = λ f (10) Nach Huyens ist jeder Punkt einer Wellenfront Ausansort einer kreisförmien Elementarwelle. 2

3 3.1 Mechanische Wellen Mechanische Wellen transportieren Enerie und Impuls, aber keine Materie. Sie benötien Materie als Wellenträer. Es ibt Quer- und Länswellen. 3.2 Elektromanetische Wellen Elektromanetische Wellen enstehen, indem ein sich veränderndes elektrisches Feld ein dazu rechtwinkli lieendes B-Feld erzeut, das wiederum ein E-Feld erzeut und so weiter. E und B sind in Phase. Elektromanetische Wellen benötien zur Ausbreitun kein Medium. Aus ρ el, ρ ma und E = Bv kann man die Lichteschwindikeit aus Naturkonstanten berechnen: c = 1 ɛ0 ɛ r µ 0 µ r 3, m s (11) Elektromanetische Wellen sind Transversalwellen Hertzscher Dipol Wenn man einen simplen Schwinkreis, bestehend aus Kondensator und Lampe aufbiet, erhält man einen linearen Hertzschen Dipol, in dem in ständiem Wechsel starke elektromanetische Felder enstehen. Die meiste Ladun hält sich an seinen Enden auf, den rößen Strom findet man in der Mitte. Die starken Wechselfelder erzeuen Manetfelder Das elektromanetische Spektrum Wellenläne Frequenz W P hoton Bezeichnun von bis von bis ab 10 km 30 khz 30 MHz 120 pev Radio-Lan-/Mittel-/Kurzwelle 10 m 30 MHz 300 MHz 120 nev Radio-Ultrakurzwelle (UKW) 1 m 300 MHz 30 GHz 1,2 µev Mikrowellen 780 nm 1 mm 300 GHz 385 THz 1,2 mev Infrarot 380 nm 780 nm 384 THz 789 THz 1,6 ev Licht 200 nm 50 nm 789 THz 300 PHz 3,3 ev UV 10 pm 1 nm 300 PHz 30 EHz 1 kev Röntenstrahlun 10 pm 30 EHz 120 kev Gammastrahlen Tabelle 1: Überblick elektromanetisches Spektrum 3.3 Durchdrinun Zwei Wellen verschiedener Ausbreitunsrichtun, die sich treffen, überlaern sich und laufen danach unverändert weiter. 3.4 Stehende Wellen Interferieren zwei Wellen enteenesetzter Richtun und leicher Frequenz, ensteht eine stehende Welle, in der die Knoten immer am selben Ort bleiben. Der Abstand der Knoten beträt λ/2, die Teilchen dort sind nicht in Beweun. 3

4 Alle Punkte zwischen zwei benachbarten Kunden schwinen in Phase. Zwischen den Knoten befinden sich Schwinunsbäuche, die in der Mitte maximale Amplitude haben. Benachbarte Schwinunsbäuche schwinen eenphasi. Die Amplitude ist das doppelte (bzw. aufaddierte) der enteenlaufenden Wellen. Bei maximaler Elonation ist der Träer kurzfristi in Ruhe. W Elon ist maximal, W B = Reflexion Durch Reflexion an einem Ende des Wellenträers entsteht eine neue Welle mit enteenesetzter Ausbreitunsrichtun und erzeut in Überlaerun mit der ursprünlichen Welle eine stehende Welle. Festes Ende Bei Reflexion an einem festen Ende hat die reflektierte Welle die neative Amplitude ŝ (bzw. macht einen Phasensprun von π). Freies Ende Bei Reflexion an einem freien Ende hat die reflektierte Welle die leiche Amplitude wie die ursprünliche. 3.6 Beuun Trifft eine Welle auf einen Spalt oder eine Kante, so breiten sich von den entsprechenden Stellen nach Huyens Elementarwällen aus und drinen so auch in den Schattenraum. 3.7 Brechun Trifft eine Welle auf eine Grenze zwischen zwei Stoffen, in denen sie unterschiedliche Ausbreitunseschwindikeiten hat, so ändert sie ihre Richtun. n = c 1 = sin α c 2 sin β (12) 3.8 Ausbreitunseschwindikeit, Dispersion 3.9 Interferenz Treffen sich zwei Wellen leicher Ausbreitunsrichtun (und, der Vereinfachun halber leicher Frequenz und Geschwindikeit), so findet Interferenz statt. Zwischen Ganunterschied δ und Phasenunterschied ϕ ilt der Zusammenhan: δ λ = ϕ 2π Die Grenzfälle, die hierbei entstehen können, sind konstruktive Interferenz, bei der sich die Amplituden der beiden Wellen addieren: (13) ϕ = k 2π, δ = k λ, k = 0, 1, 2,... (14) und destruktive Interferenz, bei der sich die Amplituden subtrahiert werden bzw. sich Wellen leicher Amplitude auslöschen: ϕ = (2k 1) π, δ = (2k 1) λ, k = 1, 2, 3,... (15) 2 4

5 Abbildun 2: Doppelspalt Spalt und Gitter Zur Vereinfachun werden die Wee als parallel anenommen (da a )! Für die Maxima (beim Mehrfachspalt Hauptmaxima) eribt sich (siehe Abbildun 2 und Gleichun 14): Für die Minima entsprechend: sin α k = k λ, k = 0, 1, 2,... (16) tan α k = d k, k = 0, 1, 2,... (17) a sin α k = (2k 1) λ, k = 1, 2, 3,... (18) Da die Sinusfunktion das Intervall [ 1; 1] nie verlässt, ist die Anzahl der Maxima berenzt: k λ 1 k λ Doppelspalt Da beim Doppelspalt α k 5 ist, können wir sin α k tan α k nähern und erhalten für die Position der Maxima (Achtun, dies funktioniert beim Gitter oder Mehrfachspalt nicht!): Daraus eribt sich: Und damit der Abstand zweier Maxima: (19) d k = k λ a, k = 0, 1, 2,... (20) λ = d k, k = 0, 1, 2,... (21) a k d = d k+1 d k = λ a 5 λ = d a (22)

6 Mehrfachspalt mit n Spalten Hauptmaxima werden schmaler, da die Minima näher daran rücken, da das erste Minimum schon bei δ = 1/n λ auftritt. Die Lae der Maxima bleibt leich. Hauptmaxima werden heller, da dort mehr Licht konstruktiv interferiert und weil in den Zwischenräumen wenier Licht ist ( Enerieerhaltun). Zwischen Hauptmaxima befinden sich n 1 Minima und n 2 Nebenmaxima. Gitter Entspricht prinzipiell dem Mehrfachspalt, aber durch die hohe Anzahl der Spalten werden die Nebenmaxima verschwindend erin. Licht unterschiedlicher Wellenlänen wird unterschiedlich stark abelenkt, wodurch Spektren sichtbar werden. Je kleiner die Gitterkonstante, desto rößer der Abstand der Maxima Einzelspalt Hinter einem Einzelspalt der Spaltbreite l findet man ebenfalls Interferenzbilder mit Minima und Maxima (siehe Abb. 3). Zur Vorstellun kann man sich die Strahlen, die durch den Spalt kommen und ebeut werden, in verschiedene Bündel einteilen, von denen sich immer solche, die zueinander den Ganunterschied λ/2 haben, sich eenseiti auslöschen. Hierdurch kommen Minima zustande, deren Ort sich folendermaßen bestimmen lässt: sin α k = k λ, k = 1, 2, 3,... (23) l I a α l δ Abbildun 3: Einzelspalt Einzelspalt spielt beim Doppelspalt mit Bei einem Doppelspalt sind immer auch zwei Einzelspalte vorhanden. An Stellen, an denen beide Einzelspalte (unefähr) ein Minimum haben, kommt natürlich auch kein Licht an, der Doppelspalt hat dort also zusätzliche Minima. 6

7 3.9.3 Kohärenzläne Atome senden Licht in einzelnen Wellenzüen aus. Je wahrscheinlicher es ist, dass das Atom während dem Aussenden stößt (also z.b. bei erhöhtem Druck), destro kürzer sind die Wellenzüe. Ist der Ganunterschied rößer als die Läne der Wellenzüe, überlaern sie sich nicht und zeien keine Interferenz Interferometer Mit Interferometern kann man Länenänderunen sehr enau messen, indem man als Maßstab die Wellenläne des verwendeten Lichts nimmt. Spieel Spieel Teilerspieel Schirm (a) Michelson-Interferometer (b) Mach-Zehnder-Interferometer Abbildun 4: Interferometer Michelson-Interferometer Beim Michelson-Interferometer wird das Licht an einem Teilerspieel in zwei Wee eteilt. Bei beiden Ween wird das Licht von einem Spieel zurückeworfen und am Teilerspieel erneut, eteilt und ein Teil des Lichts so zum Schirm eschickt (Abb. 4(a)). Verschiebt man einen der Spieel sehr lansam, so werden die beiden Wee unterschiedlich lan und es kommt zu einem Wechsel von konstruktiver und destruktiver Interferenz. Beachte: Verschiebt man einen Spieel um x, so ändert sich der Ganunterschied ween Hin- und Rückwe un δ = 2 x. Mach-Zehnder-Interferometer Beim Mach-Zehnder-Interferometer wird das Licht ebenfalls zuerst an einem Teilerspieel zu 50% espieelt und zu 50% durchelassen. Das espieelte Licht (Pfad U) macht durch Reflexion an optisch dichteren Medien zwei Phasensprüne von π, also insesamt einen Phasensprun von 2π. Auf dem anderen We macht das Licht auf dem We zu Detektor 1 ebenfalls Phasensprüne von insesamt 2π, auf dem We zu Detektor 2 allerdins nur einen Phasensprun von π. Am Detektor 1 entsteht also (bei leichen eometrischen Ween) konstruktive, am Detektor 2 destruktive Interferenz Dünne Schichten An dünnen Schichten kann man auch bei verleichsweise kurzer Kohärenzläne Interferenz beobachten. Bei einem Glimmerblatt wird ein Teil das Lichts an der Blattoberfläche mit Phasensprun reflektiert, ein Teil an der Blattrückseite ohne Phasensprun. Je nach Dicke des Blatts entsteht Interferenz. 7

8 Zusätzlich hänt der Ganunterschied vom Eintreffswinkel sowie von der Lichteschwindikeit im Glimmerblatt ab. Dies ist auch der Grund für das Schillern von Seifenblasen. Zusätzlich kommt bei Seifenblasen hinzu, dass das Wasser in der Seifenhaut nach unten absinkt und dadurch oben die Dicke der Schicht een null eht. Dadurch wird auch der Ganunterschied dort nahe null und durch den Phasensprun entsteht destruktive Interferenz: Oben sieht eine Seifenblase dunkel aus. Durch sehr dünne Schichten auf Glas (z.b. Kryolith) kann man so auch entspieeltes Glas herstellen Polarisation elektromanetischer Wellen Die Richtun des E-Feld-Vektors einer elektromanetischen Welle bestimmt ihre Polarisation. Ein Polarisationsfilter lässt nur die Anteile von Wellen durch, die senkrecht zu seinen Stäben stehen. Der Grund ist, dass Wellen, deren E-Feld parallel zu den Stäben des Polarisators liet, erzwunene Schwinunen in den Stäben hervorrufen. Da die Eienfrequenz des Stabes wesentlich kleiner ist als die Welle, hat die erzwunene Schwinun einen Phasenunterschied von π und löst ebenfalls eine Welle aus, die hinter dem Gitter mit der ursprünlichen Welle destruktiv interferiert. Die Welle wird am Gitter reflektiert. Ist die Welle schrä zum Gitter, teilt man sie in eine senkrechte und eine parallele Komponente auf. 8