Formelsammlung (Fundamentum, ohne zusätzliche Blätter) Grafikfähiger Taschenrechner CAS im Prüfungsmodus (zurückgesetzt)
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- Jörn Vogt
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1 BM Mahemaik T Schwerpunk_6 / 0 - Serie Seie: /7 Abschlussprüfung BM Mahemaik Schwerpunk TAL Teil Prüfungsdauer 90 Minuen, ohne Hilfsmiel Formelsammlung (Fundamenum, ohne zusäzliche Bläer Grafikfähiger Taschenrechner CAS im Prüfungsmodus (zurückgesez Geomeriewerkzeug Die Lösungen werden nur bewere, wenn der Lösungsweg klar ersichlich und sauber dargesell is. Alle Lösungen müssen, falls möglich, eak angegeben werden. Numerische Lösungen auf vier signifikane Sellen runden. Nich mi Bleisif schreiben. Alle Aufgaben müssen direk auf das Aufgabenbla gelös werden. Falls mehr Plaz benöig wird verwenden Sie die Rückseie oder ein Zusazbla. Alle Bläer müssen vollsändig mi Name und Klasse (Zusazbläer: Aufgabennummer beschrife sein. Jede Aufgabe aus dem Prüfungseil korrek gelös zähl Punke. Jede Aufgabe aus dem Prüfungseil korrek gelös zähl Punke. Toal Punkzahl: 8 3 Punke ergib die Noe 6.
2 BM Mahemaik T Schwerpunk_6 / 0 - Serie Seie: /7 Aufgabe Mersenne Primzahlen lassen sich in der Form : p darsellen. Geben Sie die folgende Mersenne Primzahl in wissenschaflicher Schreibwiese an: Drücken Sie den folgenden Sachverhal durch eine logarihmische Gleichung aus: 56 Mi welcher Zahl muss man poenzieren, um zu erhalen? 65 Besimmen Sie die Definiionsmenge und die Lösungsmenge folgenden Gleichung und besimmen Sie die Bedingung für a dami die Gleichung lösbar is. + a + a Lösung Mersenne Primzahlen lassen sich in der Form : p darsellen. Geben Sie die folgende Mersenne Primzahl in wissenschaflicher Schreibwiese an: log 0 ( log ( Drücken Sie den folgenden Sachverhal durch eine logarihmische Gleichung aus: 56 Mi welcher Zahl muss man poenzieren, um zu erhalen? 65 X log log log log Besimmen Sie die Definiionsmenge und die Lösungsmenge folgenden Gleichung und besimmen Sie die Bedingung für a dami die Gleichung lösbar is. + a + a, D : + a 0 { R a } a D a + a + a a 0 ± a + a ± ( a ± ( a { a a} L ; a R 0 a
3 BM Mahemaik T Schwerpunk_6 / 0 - Serie Seie: 3/7 Aufgabe a Besimmen Sie grafisch die folgende Ungleichung: + 5< 0+ - Besimmen Sie arihmeisch die Definiionsmenge und die Lösungsmenge Ungleichung. Aufgabe b Besimmen Sie die Eremalselle der Funkion kleinsen Grades, welche durch die drei Punke A, B und C gegeben is. A (-; 7 B (0; C (7;.5 Lösung a Besimmen Sie grafisch die folgende Ungleichung: Grafik P + 5< 0+ - D R 0.5 { } y 3 5< < + 33< 0, ± P.3 ( - 33 Gemäss Grafik is die unere Grenze bei. Bei Wurzel (Ungleichungen is das Resula immer zu konrollieren, da nich äquivalene Umformungen zur Lösung führen. { < 3.866} L P Lösung b A (-; 7 B (0; C (7;.5 Quadraische Funkion, besimmen mi Gleichungssysem: ( a + b+ c y ( 6a b+ c 7 ( 0 0 a+ 0 b+ c ( 7 9a+ 7b+ c. 5 f f f f 6a b + c c 7 9a+ 7b+ c.5 6a b 6 9a+ 7b 0.5 f ( ( P S ( ; a 0.5; b ; c Minimum.5 P
4 BM Mahemaik T Schwerpunk_6 / 0 - Serie Seie: /7 Aufgabe 3 Nikoin wird im Körper abgebau. Die verbleibende Menge Nikoin im Körper kann durch eine eponeniell abfallende Funkion beschrieben werden. Herr Rauch nimm durch das Rauchen einer Zigaree 5 mg Nikoin auf. Nach einer Sunde werden in seinem Körper noch mg Nikoin gemessen. Nach welcher Zei ( auf Minuen genau sind weniger als mg Nikoin vorhanden? Herr Rauch rauch jede Sunde eine Zigaree. Wie viel Nikoin ha sich in seinem Körper,5 Sunden nach dem Rauchen der ersen Zigaree angesammel? Lösung 3 0,8 < 0,8 ln 0, < 0, > log 0, ( 0, > > 7,56h 7h3 min ln 0,8 5 8 Alernaiver Lösungsweg, falls e als Basis gewähl wird: m h ( m 0 e mg 5mg e h 0.8 e ln ( 0.8 ( 0.8 h h. 8 ln.8 5mg e. 8h m( m0 e mg ln ( 0. (. 8 < > 7. 7h.7 min Nach Sunden: ,8+ 5 0, , , mg Nach,5 Sunden: ,8 5.03mg Alernaiver Lösungsweg, falls e als Basis gewähl wird: Nach Sunden: Nach,5 Sunden: h h.8h.8h.8h e + 5 e + 5 e + 5 e 0.5h h e 5.03mg 3h h h 6.808mg
5 BM Mahemaik T Schwerpunk_6 / 0 - Serie Seie: 5/7 Aufgabe Von einer quadraischen geraden Pyramide mi der Grundkanenlänge cm wird eine Spize von 7 cm abgerenn. Der Pyramidensumpf ha noch eine Höhe von 3 cm. Berechnen Sie die Kanenlänge der Deckfläche des Pyramidensumpfes. Berechnen Sie die Oberfläche des Pyramidensumpfes. Berechnen Sie den Winkel der Pyramidenspize (Winkel zweier gegenüberliegender Kanen Lösung Aufgabe Von einer quadraischen geraden Pyramide mi der Grundkanenlänge cm wird eine Spize von 7 cm abgerenn. Der Pyramidensumpf ha noch eine Höhe von 3 cm. Berechnen Sie die Kanenlänge der Deckfläche des Pyramidensumpfes. Ähnliche Körper (Pyramidenspize zu gesamer Pyramide Berechnen Sie die Oberfläche des Pyramidensumpfes. +.8 S SG + SD + STr h h s P +.8 S S 86.3cm P Berechnen Sie den Winkel der Pyramidenspize (Winkel zweier gegenüberliegender Kanen d α arcan arcan h 30 s α P
6 BM Mahemaik T Schwerpunk_6 / 0 - Serie Seie: 6/7 Aufgabe 5 Beim Diskuswerfen wirf der Sporler die Scheibe meis an der Selle A des Wurfkreises ab, verfehl aber of die Zielrichung. nernaionale Sporregeln besimmen, dass nich die asächliche Wurfweie w AZ, sondernw BZ gewere wird. Z is der Punk, an dem der Diskus den Boden berühr. Ein Diskuswerfer verschenk so bei einem Winkel α genau 8.9 cm. Berechnen Sie die asächliche Wurfweie w, wenn der Kreisradius r.5 m miss. Lösung 5 MZ.5m+ w w w 8. 9cm α MZ 5cm+ w 8.9cm w + 6. cm α ' 58 Anwenden des Kosinusazes MZ r + w r w cos( α' ( + 6. r + w r w cos( α' w + 6. w + 6. r + w r w cos( α' 6. w + 6. r r w cos( α' 6. w + r w cos( α ' r 6. ( 6.+ r cos( ' r 6. w w α r w 53cm 6.+ r cos 0.0 ( α' cos( 58 w m 53.
7 BM Mahemaik T Schwerpunk_6 / 0 - Serie Seie: 7/7 Aufgabe 6 Ein Flugzeug F wird vom Tower eines Flugplazes geore, ein erses Mal zum Zeipunk 0 im Punk A, 0 Sekunden späer im Punk B: A (-00; 00; 00 B ( 900; -00; 300 Die Längenangaben sind in m, die Zeiangaben in Sekunden. Geben Sie die Paramergleichung der Flugbahn an. Besimmen Sie die Geschwindigkei des Flugzeuges in km/h. Die Flugbahn eines zweien Flugzeuges F wird mi der folgenden Parameergleichung beschrieben: r Zeigen Sie, dass sich die beiden Flugbahnen nich schneiden V Kann rozdem ein Schniwinkel der Flugbahnen berechne werden? Wenn ja berechnen Sie denselben. Lösung 6 00 Süzvekor: OA 00 Richungsvekor: 00 AB dividier durch 0 s ergib den Richungsvekor pro s: AB 0s Besimmen Sie die Geschwindigkei des Flugzeuges in km/h. Berag des Richungsvekors ergib die Geschwindigkei in m/s: AB r v m / s v 389.km / h ?? r r Aus ( und (: ( ( ( 3 9 Eingesez in( Die Flugbahnen schneiden sich also nich. V Mi Hilfe des Skalarproduk der beiden Richungsvekoren: α arccos α
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