Darstellung des Momentenverlaufes in Abhängigkeit der Gelenkanordnung

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1 II Darstellung des Momentenverlaufes in Abhängigkeit der Gelenkanordnung (Anmerkung: Die Felder sind nachfolgend jeweils gleichgroß) q l²/8 s = 3 a = 5 g = 4 3s = a+g statisch bestimmt ~ 70% (- q l²/8) ~ 70% (q l²/8) - q l²/8 s = 2 a = 5 g = 2 3s = a+g statisch unbestimmt Seite 0 von 9

2 II Gerberträger Das nachfolgende statische System zeigt einen Gerberträger. a) Berechnen Sie die Auflagerkräfte in den Auflagern A, B, C und D unter Volllast. b) Ermitteln Sie den Normalkraftverlauf, den Querkraftverlauf und den Momentenverlauf unter Volllast. c) Stellen Sie die Biegelinie und die Schnittkraftverläufe graphisch dar. d) Berechnen Sie die Trägerhöhe eines Kiefer Vollholzprofiles (C24) bei einer Breite von 14 cm für den Standardfall (NKL: 1; KLED: mittel), damit die Spannungsnachweise erfüllt werden. Das Eigengewicht des Trägers sei dabei in mitinbegriffen. e) Beurteilen Sie die Verfügbarkeit des ermittelten Vollholzquerschnittes nach der Profiltafel auf Seite 8. Welchen Querschnitt werden Sie folglich wählen? 4 m 1 m 3 m 1 m 4 m A B C D A V = D V ; B V = C V ; A H = 0 Teilsysteme: I A 4 m 1 m B II G 2 3 m III 1 m 4 m C D Seite 1 von 9

3 Berechnung Gelenkkräfte II Teilsystem II G 2 3 m = G 2 = ( 3m) /2 = (8 kn/m 3m)/2 = 12 kn Teilsystem I = Teilsystem III = 12 kn 4 m 1 m A B a) Berechnung Auflagerkräfte M A = 0 = B V 4 m - 5 m - 5 m 5/2 m B V = ( 5 m + 5 m 5/2 m)/4m = 40 kn = C V A V = + 5 m - B V = 12 kn + 40 kn - 40 kn = 12 kn = D V Seite 2 von 9

4 Berechnung Schnittkräfte II Teilsystem I Schnitt 1, vor Auflager B M 1 A H N 1 4 m V 1 A V I : H = 0 = A H + N 1 N 1 = - A H = 0 kn II : V = 0 = A V - V 1-4 m V 1 = A V - 4 m = -20 kn III : M = 0 = - A V 4 m + (4 m)²/2 + M 1 M 1 = A V 4 m - (4 m)²/2 = -16 knm = 12 kn Schnitt 2, vor Gelenk : M 2 N 2 V 2 I : H = 0 N 2 = = 0 kn II : V = 0 = V 2 - V 2 = = 12 kn III : M = 0 M 2 (Gelenk) = 0 knm Seite 3 von 9

5 Berechnung Schnittkräfte II Teilsystem II Schnitt 3, Mitte System: M 3 N 3 1,5 m V 3 I : H = 0 N 3 = = 0 kn II : V = 0 = -V ,5 m V 3 = - 1,5 m = 0 kn III : M = 0 = M 3-1,5 m + (1,5 m)²/2 M 3 = 1,5 m - (1,5 m)²/2 = 9 knm Berechnung Stelle max M Feld im Teilsystem I = 0-Durchgang im V - Verlauf A V - x = 0! x = A V / = 12 kn / 8 kn/m = 1,5 m Seite 4 von 9

6 Berechnung Schnittkräfte II Teilsystem I Schnitt 4, (1,5 m) M 4 N 4 A H 1,5 m V 4 A V III : M = 0 = - A V 1,5 m + (1,5 m)²/2 + M 1 M 1 = A V 1,5 m - (1,5 m)²/2 = 9 knm Seite 5 von 9

7 c) Darstellung Schnittkraftverläufe: II 4 m 1 m 3 m 1 m 4 m A B C D w (qualitativ) Knick N [kn] = V [kn] M [knm] Seite 6 von 9

8 II d) Berechnung Trägerhöhe Grenzspannung: σ Rd = f m,d = f m,k k mod / γ M = 2,4 kn / cm² 0,8 / 1,3 cm² = 1,48 kn / cm² σ d σ Rd! σ d W y = M y / W y = M y / σ d 1/6 b h² = M y / σ d h = 6 M y / (σ d b) h = 6 M y / (σ Rd b) = 6 16 knm [ 100 cm/m] / (1,48 kn/cm² 14 cm) = 21,5 cm 22 cm τ d = 1,5 V / A k cr = 0,5 = 1,5 20 kn / (22 cm 14 cm) = 0,097 kn/cm² f v,d = f v,k k cr k mod / γ M = 0,123 kn /cm² τ d / f v,d = 0,097 kn/cm² / 0,123 kn /cm² = 0,79 < 1 Um die Spannungsnachweise zu erfüllen müsste der Vollholzträger eine Höhe von 22 cm aufweisen. Seite 7 von 9

9 II Tabelle: Verfügbarkeit Holzquerschnitte Auszug aus: Bemessungstafeln e) Verfügbarkeit Laut der Tabelle ist ein Vollholzprofil mit den Abmessungen 14/22 nicht verfügbar. Folglich fällt die Wahl auf einen Querschnitt mit den Abmessungen 14/24. Seite 8 von 9

10 II Tafel 9.8 Charakteristische Rechenwerte nach DIN EN 338 für VH nach DIN EN Tafel 9.9 Charakteristische Rechenwerte für BSH nach DIN 1052 Auszug aus Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 20. Auflage Auszug aus Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 20. Auflage C D GL = conifer = deciduous tree = Nadelbaum = Laubbaum Tafel 9.3 Modifikationsbeiwerte kmod = glued-laminated timber = glulam / gluelam = Brettschichtholz Tafel 9.4b Klassen der Lasteinwirkungsdauer Auszug aus Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 20. Auflage VH BSH = Vollholz = Brettschichtholz Auszug aus Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 20. Auflage NKL 1 Ausgleichsfeuchte ωgl [%] 10 ± 5 (meist ω 12%) Einsatzbereich (Beispiele) Beheizte Innenräume 2 15 ± 5 (meist ω 20%) Überdachte, offene Tragwerke 3 18 ± 6 (meist ω 20%) Frei der Witterung ausgesetzte Bauteile Seite 9 von 9