Klausur zu Mathematische Grundlagen BachelorStudiengänge der Informatik

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1 Klausur zu Mathematische Grundlagen BachelorStudiengänge der Informatik SS 2016, Prof. Dr. Hans-Jürgen Steens Name: Vorname: Matrikelnummer: Die Klausur besteht aus 23 Aufgaben. Es sind maximal 180 Punkte zu erreichen. Es sind alle Hilfsmittel zur selbständigen Bearbeitung erlaubt. Aufgabe Punkte Aufgabe Punkte

2 1. Teil: Mengen und mehr... Aufgabe 1: ( Punkte) i) Gegeben seien folgende Mengen ganzer Zahlen: a = {0, 1, 2, 3, 4, 5} b = {1, 3, 5, 7} c = { 1, 2, 3, 4, 5} d = { 1, 3, 5, 7} Berechnen Sie (a b) (c a d b) ii) Bilden Sie die Potenzmengen folgender Mengen: a) {1, 2, 3, 4} b) {1, 2, {1, 2}} Aufgabe 2: ( Punkte) Seien c, b, c Mengen. beweisen Sie folgende Gleichungen: a) (a b) (a c b) = a b b) a (a \ b) = a \ (a b) c) (a \ b) (b \ a) = (a b) \ (a b) Hinweis: Einige dieser Gleichungen können Sie geschickt unter Benutzung schon bewiesener Gleichungen leicht nachweisen (siehe Anhang). Wenn Sie keinen Beweis nden können, können Sie mit Hilfe von Venn-Diagrammen die Gleichungen graphisch darstellen. (Hierfür erhalten Sie dann nur die halbe Punktzahl.) Aufgabe 3 : (9 Punkte) Zur Erinnerung: Eine induktive Menge x ist eine Menge, die folgende Eigenschaft besitzt: x y (y x x {x} x) (Es gibt viele unterschiedliche induktive Mengen.) Wir betrachten nun eine induktive Menge, die u.a. auch das Element {{ }} enthalten möge. Geben Sie noch zwei weitere Elemente an, die in diesem Fall ebenfalls in unserer induktiven Menge enhalten sein müssen. Zusatzfrage: Es gibt eine kleinste induktive Menge. Welche Rolle spielte diese kleinste induktive Menge für uns? 2

3 Aufgabe 4: (4 + 5 Punkte) Gegeben sei ein einstelliges Prädikat prim auf der Menge der natürlichen Zahlen mit der (üblichen) Bedeutung, dass prim(n) wahr liefert, wenn n eine Primzahl ist. Ein Primzahlzwilling ist eine Primzahl n, für die n + 2 oder n 2 ebenfalls eine Primzahl ist. i) Formulieren Sie diesen Sachverhalt in Prädikatenlogik. Finden Sie also eine prädikatenlogische Formel, die besagt, dass n ein Primzahlzwilling ist unter Benutzung des einstelligen Prädikates prim und der zweistelligen Funkoren + und -. (Hinweis: Hierfür brauchen Sie keine Quantoren.) ii) Formulieren Sie nun die Aussage, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. (Von dieser Aussage weiÿ man noch nicht, ob sie wahr oder falsch ist.) Hinweis für ii): Dass eine Zahlmenge unendlich viele Elemente enthält, lässt sich z.b. so formulieren, dass es zu jeder Zahl aus dieser Menge eine gibt, die gröÿer ist und ebenfalls zu dieser Menge gehört. Hierfür benötigt man Quantoren, um dies in Prädikatenlogik auszudrücken. Aufgabe 5: (8 Punkte) Können sie aus folgender Menge eine boolesche Algebra bilden? {1, 2, 3, 7, 6, 14, 21, 42} wie sieht hier das (verallgemeinerte) und, das (verallgemeinerte) oder und das (verallgemeinerte) nicht aus? (Hinweis: Sie können die gesuchte boolesche Algebra als gekippten Würfel visualisieren. 3

4 2. Teil: Zahlen, damit ng alles an... Aufgabe 6: (max. 5 Punkte) Beantworten Sie mit eigenen Worten (und dennoch) möglichst exakt die Frage: Wodurch sind die natürlichen Zahlen charakterisert? Aufgabe 7: ( Punkte) Gegeben seien folgende Grammatiken: Erste Grammatik: <S> <S> {S} Zweite Grammatik: <S> <S> {S,{S}} Welche der folgenden Ausdrücke können von der ersten und welche von der zweiten Grammatik erzeugt werden (Mehrfachnennungen möglich): a) { } b) {{ }} c) {{, { }}, { }} Geben sie an, in welcher Reihenfolge welche Regel angewendet werden muss, um die jeweiligen Ausdrücke zu erzeugen. Zusatzfragen: Erzeugt die zweite Grammatik die natürlichen Zahlen unserer in der Vorlesungen behandelten Standardimplementierung? Könnte die erste Grammatik eine mögliche alternative Implementierung der natürlichen Zahlen liefern? Aufgabe 8: ( Punkte) i) Beweisen Sie, dass 13 eine irrationale Zahl ist. ii) Beweisen Sie ganz allgemein, dass p für jede Primzahl p eine irrationale Zahl ist. iii) zeigen Sie, dass 6 eine irrationale Zahl ist. Hinweis: Benutzen Sie den Satz, dass eine Primzahl p ein Produkt n m genau dann teilt, wenn p die Zahlen n oder m teilt. 4

5 Aufgabe 9: (6 Punkte) Berechnen sie den ggt und das kgv der beiden Zahlen und nach einem Verfahren Ihrer Wahl. Exkurs in komplexe Zahlen Aufgabe 10: ( Punkte) Berechnen Sie a) (2 + 3i) + (1 + i) b) (1 i)(2 + 3i) c) 1 + i 1 i d) ( i ) 9 2 Hinweis: Denken Sie bei d) nach. Aufgabe 11: (5 Punkte) ( a b Repräsentieren Sie eine komplexe Zahl a + ib durch eine Matrix b a Rechnen Sie nun nach, dass die Addition und die Multiplikation zweier komplexer Zahlen sich bei dieser Repräsentation synchron verhält zur der Addition und Multiplikation von Matrizen. Sie ( können) zum ( Warmwerden ) als Beispiel (1 i) (2 + 3i) und berechnen und vergleichen ). 5

6 3.Teil: Äquivalenzklassen von Zahlen Aufgabe 12: (3 Punkte) Zählen sie die Äquivalenzklassen von Z 13 auf. Aufgabe 13 (max. 4 Punkte): Beschreiben Sie mit eigenen Worten, was man unter der Wohldeniertheit der Operationen auf Äquivalenzklassen versteht. Aufgabe 14: (4 Punkte) Berechnen Sie mod 3. Aufgabe 15: ( Punkte) Welche der folgenden Restklassenringe besitzt eigentliche Nullteiler? a) Z 3 b) Z 4 c) Z 1 3 d) Z 1 24 Geben Sie im Fall der Existenz eines eigentlichen Nullteilers ein Beispiel, und geben Sie eine Begründung für den Fall, dass kein eigentlicher Nulllteiler existiert. 6

7 4. Teil: Paare und Relationen Aufgabe 16: (4 Punkte) Denieren Sie auf der Menge {1, 2, 3} eine Ordnung, die keine totale Ordnung ist. Aufgabe 17 : (10 Punkte) Können sie folgender Gleichung einen Sinn verleihen? Wenn ja, welchen und auf welche Weise? 2 = (2, 0, 1, 1). 7

8 5. Teil: Gruppen und was sonst noch so dazugehört Aufgabe 18: (6 + 4 Punkte) Seien (G 1, ) und (G 2, ) zwei (beliebige) Gruppen mit den jeweiligen Trägermengen G 1 und G 2 und den zugehörigen Operationen, die wir mit dem gleichen Symbol notieren wollen. Die jeweiligen neutralen Elemente seien e 1 und e 2. Die jeweiligen Inversen bezeichnen wir jeweils mit der üblichen Potenzschreibweise, also mit g1 1 und g2 1. i) Wir betrachten nun das kartesische Produkt G 1 G 2 = {(g 1, g 2 ) g 1 G 1, g 2 G 2 }. Geben Sie G 1 G 2 eine Gruppenstruktur, d.h. denieren Sie eine Verknüpfung (g 1, g 2 ) (g 1, g 2) = (?,??) so dass die so gebildete Verknüpfung alle Eigenschaften einer Gruppe hat. ii) Wie sieht die entsprechende Gruppentabelle von Z 2 Z 2 aus? Aufgabe 19: (6 Punkte) Können Sie eine Beziehung zwischen der Symmetriegruppe eines Rechtecks und Z 2 Z 2 herestellen? Aufgabe 20: (12 Punkte) Betrachten sie das Verschlüsselungsverfahren RSA. Gegeben seien die Primzahlen p = 31 und q = 13. Berechnen Sie ϕ(n) = phi(p q. Zeigen Sie, dass d = 23 die teilerfremd ist zu ϕ(n) und berechnen Sie das zugehörige (positive) e mit d e + l ϕ(n) = 1 Wie? durch Rückwärtwärtsrechnung des euklischen Algorithmus. Sei (n, e) der öentliche Schlüssel und (n, d) der private Schlüssel. Verschlüsseln Sie nun die Zahl 2 und entschlüsseln Sie das Ergebnis anschlieÿend wieder (das Ergebnis müsste dann wieder die 2 sein). 8

9 6. Teil: Induktionen Aufgabe 21: (5 Punkte) Beweisen sie mit vollständiger Induktion über n: a n a m = a n+m { 1, n = 0; Dabei ist a n deniert durch a n = a a n 1, n > 0. Aufgabe 22: (5 + 5 Punkte) Beweisen Sie per vollständiger Induktion über n (x 1): a) (1 + x) (1 + x 2 ) (1 + x 4 ) (1 + x 2n ) = 1 x2n+1 1 x ( b) 1 + 1) 1 1 ( ( 1 + 2) 1 ) n 1 = nn 1 n 1 (n 1)! Aufgabe 23: (10 Punkte) Bilden Sie induktiv folgende Mengen f n : {, n = 0; f n = {f n 1 }, n > 0. Bilden sie der Reihe nach f 0, f 1, f 2, f 3. Zeigen Sie per vollständiger Induktion über n: f n 1 f n. Anhang: Gleichungen, die in Aufgabe 2 benutzt werden dürfen. Für alle Mengen a, b gilt: i) a b (a \ b) \ b = a \ b ii) a a \ = a iii) a b a \ b a iv) a b a b a \ b = v) a b a (a \ b) = a \ b vi) a b a (b \ a) = vii) a b a \ (a b) = a \ b. 9