Die abschnittsweise definierte Funktion
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- Johannes Fuchs
- vor 5 Jahren
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Transkript
1 Die abschnittsweise definierte Funktion Beispiel: In folgendem Beispiel ist die Geschwindigkeit eines Autos (in m/s) in Abhängigkeit der gefahrenen Zeit t (in Sekunden) dargestellt. Physikalische Interpretation: Das Auto beschleunigt konstant aus dem Stand in den ersten zwei Sekunden bis zu einer Geschwindigkeit von 4 m/s. Die nächsten zwei Sekunden fährt das Auto mit konstanter Geschwindigkeit und anschließend bremst das Auto mit konstanter Verzögerung ab bis es nach neun Sekunden zum Stillstand kommt. Aufstellen der zugehörigen Funktionsgleichung: 0 Sekunden bis 2 Sekunden: y = mx + t P 1 (0 / 0) P 2 (2 / 4) m = = 2 y = 2x 2 Sekunden bis 4 Sekunden: y = 4 4 Sekunden bis 9 Sekunden: y = mx + t P 3 (4 / 4) P 4 (9 / 0) m = = 4 5 y = 4 5 x + t P 3 (4 / 4) einsetzen: 4 = t t = 36 5 y = 4 5 x x x x < 2 2 x < 4 4 x 9
2 Definition: Funktionen, die sich aus mehreren Funktionen bestimmte Definitionsbereiche zusammensetzen, nennt man auch abschnittsweise definierte Funktionen. Aufgaben: 1) 1 0,5x +1 2 x < 0 0 x < 2 x 2 Graph: Nullstellen von f: 1) 1 = 0 (f) keine Nullstelle 2) 0,5x +1 = 0 (x = 2) D keine Nullstelle 3) 2 = 0 (f) keine Nullstelle f hat keine Nullstellen
3 2) x +1 x 2 + 2x x < 1 x 1 Nullstellen von f: 1) x +1 = 0 x 1 = 1 2) x 2 + 2x = 0 x( x + 2) = 0 (x 2 = 0) D x 3 = 2 f hat zwei Nullstellen bei x = 1 und x = 2 Graph:
4 3) 1 1,5x + 0,5 (x 1) 2 x < 1 1 < x < 1 x 1 Nullstellen von f: 1) 1 = 0 (f) 2) 1,5x + 0,5 = 0 x = 1 3 3) (x 1) 2 = 0 x = 1 f hat zwei Nullstellen bei x = 1 3 und x = 1 Graph:
5 Weitere Aufgaben: 1.0 Bestimmen Sie von folgenden Funktionen jeweils die Nullstellen und zeichnen Sie die Graphen der Funktionen in ein kartesisches Koordinatensystem. 1.1 x 2 2x 1 (x 3) 2 1 x < 1 1 x 3 x > x 2 x x < 2 2 x 0 0 < x 2 x > 2 2 Im Internet werden T-Shirts zu einem Preis von 3,80 angeboten. Bei Bestellung von mindestens 10 Stück gewährt der Händler einen Rabatt von 10%, bei einer Bestellung von mindestens 50 Stück einen Rabatt von 25%. Stellen Sie die Kosten K der Lieferung in Abhängigkeit der Liefermenge x dar. 3 Eine Telefongesellschaft hat vor einigen Jahren folgenden Tarif angeboten: In der monatlichen Grundgebühr von 15 sind bereits 20 Minuten Gesprächsguthaben enthalten. Darüber hinaus betrug der Minutenpreis 0,50 und es wurde im Minutentakt abgerechnet. Bestimmen Sie die monatlichen Kosten K (in Euro) in Abhängigkeit der Gesprächsdauer t (in Minuten) und zeichnen Sie den Graphen der Funktion in ein kartesisches Koordinatensystem ein.
6 4.0 Die Abbildung zeigt den Graphen einer reellen Funktion. Wählen Sie aus den angegebenen Funktionstermen die passenden aus und geben Sie damit die Funktionsgleichung der abschnittsweise definierten Funktion f mit den zugehörigen Abschnitten der Definitionsmenge an (ohne Hilfsmittel) ,25x x +1 3x + 4 x + 4 2x ,5x + 2 x 3 x + 4 4x + 2 x +1 0,5x 2
7 4.3 x + 3 x +1 2x + 3 2x + 3 2x ,5x + 0,5 2 0,25x +1 4x + 2,5 0,25x 4
8 5.0 Ein Unternehmen bietet Ihnen zwei Tarife Ihren Handy-Vertrag an: Super-Fun und Hyper-X. Im Werbeprospekt finden Sie folgende Abbildung (ohne Hilfsmittel): 5.1 Bestimmen Sie zu jedem Angebot die Funktionsgleichung als Zweizeiler. 5.2 Berechnen Sie die beiden Schnittpunkte der Graphen zu den Angeboten Super-Fun und Hyper-X und interpretieren Sie deren Bedeutung im Sachzusammenhang.
9 6.0 Das folgende Diagramm zeigt, wie viel Kraftstoff sich während eines Reisezeitraumes im Tank eines Fahrzeuges befindet (ohne Hilfsmittel). 6.1 Berechnen Sie, wie viel Kraftstoff während der gesamten Reise Verbraucht wird. 6.2 Beschreiben Sie knapp, was im Zeitraum Δt geschieht.
10 7.0 Madita befindet sich im Skigebiet Sonnenwinkel. Ihre letzte Fahrt verlief wie folgt: Mit der Seilbahn 1 hat sie von der Talstation zur Mittelstation 10 Minuten gebraucht und dabei 400 Höhenmeter überwunden. 5 Minuten benötigte sie das Umsteigen in Seilbahn 2, die in 15 Minuten weitere 600 Höhenmeter bis zum Gipfel überwand. 5 Minuten vergingen, bis Madita startklar war. Danach begann sie die Abfahrt bis zur Alm, die 15 Minuten dauerte. In der Alm, die 400 Meter über dem Tal liegt, traf sie ihre Freundinnen und kehrte 20 Minuten ein. Die Abfahrt zur Talstation dauerte 15 Minuten. Gehen Sie dabei davon aus, dass sich die Höhe zwischen den Stationen nur linear ändert. 7.1 Zeichnen Sie den Verlauf der Fahrt in ein Koordinatensystem nach untenstehendem Muster ein. 7.2 Stellen Sie die dazugehörige Funktion auf. 7.3 Madita ist um 15:40 Uhr an der Talstation. Um 17:00 Uhr fährt ihr Bus. Sie möchte noch einmal die herrliche Abfahrt vom Gipfel genießen. Ermitteln Sie, ob sie es rechtzeitig zum Bus schafft, der direkt bei der Talstation wartet.
11 Lösungen: 1.1 Nullstellen: x 2 2x = 0 x(x 2) = 0 x 1 = 0 (x 2 = 2) D f 1 = 0 keine Nullstelle -(x-3) 2 1 = 0 (x 3) 2 = 1 keine Nullstellen f hat eine Nullstelle bei x=0 Graph: 1.2 Nullstellen: 2) Graph:
12 0 bis 9 T-Shirts: 3,80 pro Stück 10 bis 49 T-Shirts: 3,80-10% = 3,42 pro Stück ab 50 T-Shirts: 3,80-25% = 2,85 pro Stück K(x) = 3,80x 3,42x 2,85x 0 x < x < 50 x ) K(t) = 15 + (t 20) 0,5 0 t 20 t > 20
13 4.1 3x +1 2x + 6 x 1 x > x +1 x + 4 x 3 x > x + 3 2x 1 x 1 x > ,5x + 0,5 2 0,25x x < 4 x = 4 x > Super Fun : 3 20 x ,5 Hyper X : x 150 x > ,1x + 5 x 100 x > x + 5 = 15 x = 20 3 P( /15) 0,1x + 5 = 27,5 x = 225 Q(225 / 27,5) Bei 200 und bei 225 Gesprächsminuten ist 3 Tarif Super-Fun und Tarif Hyper-X genau gleich teuer.
14 6.1 Während der gesamten Reise werden 100 Liter Kraftstoff verbraucht. 6.2 Im Zeitraum Δt wird das Auto aufgetankt x x x x x < x < x < x < x < x < x Madita braucht die Fahrt insgesamt 65 Minuten, also schafft sie es rechtzeitig zum Bus, da sie noch 80 Minuten Zeit hat.
15 Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle x 0 Beispiele: 1) Das Porto einen Brief bis 20g beträgt 70 Cent, einen Brief zwischen 20g und 50g kostet das Porto 85 Cent x < x 50 Graph: unstetige Funktion 2) f(x) = x + 2 Graph: stetige Funktion
16 Definition: Eine Funktion f heißt an einer Stelle x 0 im Inneren von D f stetig, wenn gilt: lim x < x 0 f (x) = lim x > x 0 f (x) = f (x 0 ) Eine Funktion ist innerhalb eines Intervalls stetig, wenn f an jeder Stelle x 0 des Intervalls stetig ist. Beispiele stetige und unstetige Funktionen: a) stetig b) stetig in D c) unstetig d) stetig e) unstetig f) stetig g) stetig in D h) unstetig i) stetig in D
17 Folgerung: Jede ganzrationale bzw. gebrochenrationale Funktion ist in der maximalen Definitionsmenge stetig. Stetigkeit muss nur an den Nahtstellen abschnittsweise definierter Funktionen untersucht werden. Aufgaben: 1) ì x ï f (x) = í 2 ï î4 - x 0 x < 1 x = 1 x > 1 2) ì x 2 ï f (x) = í ï î2x - 1 x 1 x > 1 3) 2 3 x x 2 x < 1,5 x = 1,5 x > 1,5
18 Lösungen zu den Aufgaben: 1) lim f (x) = lim(x) = 1 lim f (x) = lim(4 - x) = 3 x < 1 x < 1 x > 1 x > 1 Þ f ist an der Stelle x 0 = 1 unstetig 2) lim x < 1 f (x) = lim x < 1 f (1) = 1 2 = 1 Þ f ist stetig bei x 0 = 1 (x 2 ) = 1 lim f (x) = lim(2x - 1) = 1 > x 1 x > 1
19 3) lim 2 3 x + 2 = 1 x < 1,5 lim ( 2x 2) = 1 f(1,5) = 2 x > 1,5 f ist unstetig bei x = 1,5
20 Differenzierbarkeit von Funktionen Nützliches Differenzierbarkeitskennzeichen: Ist f an einer Stelle x 0 stetig und rechts und links davon differenzierbar und gilt, lim f (x) = lim x < x 0 x > x 0 f (x) = m mit m! so ist f an der Stelle x 0 differenzierbar mit f (x 0) = m. Beispiele: 1) x 1 x x < 0 x 0 Stetigkeit: lim x < 0 f (x) = lim(x) = 0 x < 0 lim f (x) = lim(1 x) = 0 x > 0 x > 0 f ist nicht stetig bei x = 0 f ist nicht differenzierbar bei x = 0 2) 1+ x 2 1 x x 1 x > 1 Stetigkeit: lim x < 1 f ist stetig bei x = -1 f(x) = lim (1+ x 2 ) = 2 lim x < 1 x > 1 Differenzierbarkeit: 2x x < -1 f (x) = 1 x > -1 lim f (x) = lim (2x) = 2 lim f (x) = lim ( 1) = 1 x < 1 x < 1 x > 1 x > 1 f ist nicht differenzierbar bei x = -1 f(x) = lim (1 x) = 2 f( 1) = 1+ ( 1) 2 = 2 x > 1
21 Graph: Nichtdifferenzierbarkeit macht sich im Graphen als Knick bemerkbar. 3) x 3 3x 2 x 1 x > 1 Stetigkeit: lim f(x) = lim x < 1 x < 1 f ist stetig bei x = 1 Differenzierbarkeit: f (x) = 3x 2 3 (x 3 ) = 1 lim x < 1 x > 1 x > 1 f(x) = lim(3x 2) = 1 f(1) = 1 3 = 1 x > 1 lim f (x) = lim(3x 2 ) = 3 lim f (x) = lim(3) = 3 x < 1 x < 1 x > 1 x > 1 f ist differenzierbar bei x = 1 Eine an einer Stelle x 0 differenzierbare Funktion f ist dort auch stetig. Folgerung: Ist eine Funktion an einer Stelle x 0 nicht stetig, so ist sie dort auch nicht differenzierbar.
22 Weitere Aufgaben: Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen an der Nahtstelle differenzierbar sind. 1) 2x 2 4x 4 x 2 x > 2 2) 1 4 (x3 + 2x 2 4x 8) 2x + 2 x 0 x > 0 3) 1 9 (x3 + x 2 16x + 20) 4 9 (x2 4x + 4) x < 1 x 1 (Abitur 2011 AI) 4) Entscheiden Sie anhand des Graphen der Funktion f, ob sie an der Stelle x 0 stetig oder unstetig oder nicht definiert ist (ohne Hilfsmittel).
23 5.0 Das folgende Diagramm zeigt zwei Parabeln der reellen Funktionen f und g. Zur Lösung der Aufgabe dürfen dem Diagramm geeignete ganzzahlige Werte entnommen werden. Der Punkt P 1 liegt auf der Parabel zur Funktion f und der Punkt P 2 liegt auf der Parabel zur Funktion g. 5.1 Bestimmen Sie die Funktionsterme f(x) und g(x) mithilfe der Nullstellen der Funktionen f und g sowie der Punkte P 1 und P 2. g(x) x Gegeben ist die reelle Funktion h mit h(x) =. f(x) x > 1 Äußern Sie sich zur Stetigkeit von h an ihrer Nahtstelle.
24 6.0 Für einen Snowboard Sprungwettbewerb wird eine Rampe präpariert. Die Teilnehmer starten von einer waagrechten Plattform (AB), gleiten ab B(-5/4) ohne Knick durch die Rampe (BC) und beginnen den Sprung im Punkt C(0/0). Die Bahnkurve des Sprunges entspricht annähernd einer Parabel. Skizze des Querschnitts, Flugbahn gestrichelt gezeichnet: 6.1 Die Kurve aus obiger Skizze wird durch folgende abschnittsweise definierte Funktion beschrieben: 4 8 x < 5 4 g(x) = 25 (x 3 + 9x 2 +15x) 5 x x x 0 < x 4 Die Funktion g ist stetig innerhalb ihrer gesamten Definitionsmenge (Nachweis nicht erforderlich). Begründen Sie rechnerisch, dass die Funktion an den Stellen x 1 = -5 und x 2 = 0 differenzierbar ist. 6.2 Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes im abfallenden Teil der Rampe, in dem diese am steilsten ist.
25 Lösungen: 1) Stetigkeit: lim f(x) = lim(2x 2 4x) = 0 x < 2 x < 2 lim f(x) = lim(4) = 4 x > 2 x > 2 f ist bei x = 2 nicht stetig f ist bei x = 2 nicht differenzierbar 2) Stetigkeit: lim f(x) = lim[ 1 x < 0 x < 0 4 (x3 + 2x 2 4x 8)] = 2 lim f(x) = lim(2x + 2) = 2 x > 0 x > 0 f(0) = 1 4 ( ) = 2 f ist bei x = 0 stetig Differenzierbarkeit: 1 4 (3x2 + 4x 4) f (x) = 2 x < 0 x > 0 lim f (x) = lim[ 1 x < 0 x < 0 4 (3x2 + 4x 4)] = 1 lim f (x) = lim(2) = 2 x > 0 x > 0 f ist bei x = 0 nicht differenzierbar
26 3) Stetigkeit: 4a) stetig 4b) unstetig 4c) unstetig 4d) nicht definiert 5.1 lim h(x) = lim[ 1 x < 1 x < 1 9 (x3 + x 2 16x + 20)] = 4 4 lim h(x) = lim ( x > 1 x > 1 9 x2 4x + 4) = 4 h( 1) = 4 ( 9 ( 1)2 4 ( 1) + 4) = 4 h ist bei x = -1 stetig Differenzierbarkeit: h (x) = 1 9 (3x2 + 2x 16) 4 (2x 4) Die Funktion h ist an der Stelle x = 1 unstetig. x < 1 x > 1 lim h (x) = lim x < 1 x 1[ 1 < 9 (3x2 + 2x 16)] = lim h (x) = lim (2x 4) x > 1 x > 1 9 = 8 3 h ist bei x = -1 nicht differenzierbar f :y = a(x + 2)(x 3) P 1 einsetzen : 3 = a(0,5 + 2)(0,5 3) a = 0,48 f(x) = 0,48(x + 2)(x 3) g :y = a(x + 5)(x 3) P 2 einsetzen : 3 = a(1+ 5)(1 3) a = 0,25 g(x) = 0,25(x + 5)(x 3)
27 6.1 Die Funktion ist nach Voraussetzung stetig. 0 8 x < 5 4 g (x) = 25 (3x 2 +18x +15) 5 < x < x < x 4 5 Differenzierbarkeit : lim g (x) = lim (0) = 0 lim g (x) = lim ( 4 x < 5 x < 5 x > 5 x > 5 25 (3x 2 +18x +15)) = 0 g(x) ist differenzierbar bei x = -5 lim g (x) = lim x < 0 x 0( 4 < 25 (3x 2 +18x +15)) = 12 5 g(x) ist differenzierbar bei x = 0 limg (x) = lim x > 0 x 0( 6 < 5 x ) = Die steilste Stelle ist die Wendestelle von g. g (x) = 4 25 (3x 2 +18x +15) - 5 < x < 0 g (x) = 4 (6x +18) - 5 < x < 0 25 g (x) = 0 6x +18 = 0 x = -3 Nachweis Wendepunkt : g (x) = g ( 3) = WP bei x = -3 Die Rampe ist am steilsten im Wendepunkt WP(-3/1,44)
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