Übungen zur Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie

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Adolf Pfaff
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1 Übungen zur Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie Blatt 1 WS 08/09 Abgabe: Prof. Dr. T. Mannel, S. Faller 1. Galilei-Gruppe Die Gruppe G der Galilei-Transformationen g = g, v, a, λ, s) sei gegeben durch t x g t = x λt + s, 1.1) x + vt + a mit t, s R t, x, v, a R 3, O3) und s, v, a = const. Desweiteren gilt λ = ±1 und für die 3 3 Drehmatrix = ±1. Für λ = +1 und = +1 erhält man die eigentliche, det det orthochrone Galileigruppe G + = Gλ=+1 det=+1. Eine Transformation g 1 G + sei gegeben durch x 1 = 1 x 0 + w 1 t 0 + a 1 ; t 1 = t 0 + s 1, x 2 = 2 x 1 + w 2 t 1 + a 2 ; t 2 = t 1 + s 2. a) Zeigen Sie, dass die Tranformation g 1 G + von x 0 nach x 2 die Form x 2 = 3 x 0 + w 3 t 0 + a 3 ; t 3 = t 0 + s 3, besitzt und geben Sie 3, w 3, a 3 und s 3 an. [Teilergebnis: a 3 = 2 a 1 + a 2 + w 2 s 1 ] 4 BE) b) Beweisen Sie die Gruppeneigenschaften von G +. Verwenden Sie dazu Ihre Ergebnisse aus Teilaufgabe a). 6 BE) Betrachten Sie nun ein Teilchen mit Masse m und Geschwindigkeit v T. Das Teilchen bewege sich im System S. c) Bestimmen Sie das Transformationsverhalten des Impulses p T in das System S unter einer Galilei-Transformation g 2, m v, λ, s) G. 4 BE) d) Berechnen Sie die spezielle Galilei-Tranformation g 3, die vom Zustand mit Impuls p T auf Ruhe p 0) T = 0 führt. 2 BE) e) Begründen Sie, dass man Inertialsysteme finden kann, in denen ein kräftefreies Teilchen beliebig hohe Geschwindigkeiten hat. 4 BE) Bitte wenden!) 1

2 2. Lagrangefunktion Ein Zwei-Teilchensytem mit Zentralkraft Ur) kann im System S durch die Lagrangefunktion in der natürlichen Form L = 1 2 m 1 x m 2 x 2 2 U x 1 x 2 ) = 1 2 M R µ r 2 Ur) beschrieben werden, wobei M die Gesamtmasse und µ die reduzierte Masse bezeichnet, M R = m 1 x 1 + m 2 x 2, r = x 1 x 2, M = m 1 + m 2 und µ = m 1m 2 M. Der Wechsel in das Bezugsystems S wird vermittelt, vermöge der speziellen Galilei- Transformation t g 4 t = t, i = 1, ) x i x i = x i + wt a) Geben Sie die Euler-Lagrange-Gleichungen für L an. 2 BE) b) Bestimmen Sie die Lagrangefunktion L im System S und berechnen Sie die zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichungen. 6 BE) c) Interpretieren Sie Ihr Ergebnis aus a) und b). 2 BE) 3. Doppler-Effekt Ein Sender emittiere eine ebene Welle φ x, t) mit der Amplitude φ 0. Auf einem Experimentierwagen befinde sich ein Empfänger. Die Geschwindigkeit v = v e x des Wagens kann variiert werden. Während eines Messvorganges wird die Geschwindigkeit konstant gehalten. Mit dem Sender sei das System S, mit dem Empfänger das System S fest verbunden. Der Schnittwinkel der Achse x und x werde mit α bezeichnet. Sender z y z y Sender α x Empfänger Empfänger a) Zeigen Sie, dass die Lichtgeschwindigkeit c unter den in Aufgabe 1 gegebenen Galilei-Transformationen g G nicht konstant ist. 2 BE) b) Mit dem Versuchsaufbau ist es möglich, den Frequenzunterschied ω = ω ω 0 zu bestimmen, dabei ist ω die am Empfänger registrierte Frequenz der Welle. Bestimmen Sie ω in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v des Wagens und dem Winkel α für k = k, k = k und t = t. 8 BE) x v x v x 40 BE) 2

3 Lösungsvorschlag Aufgabe 1 a) x 1 einsetzen in x 2, x 2 = 2 x 0 + w 2 t 1 + a 2 = 2 1 x 0 + w 1 t 0 + a 1 ) + w2 t 1 + a 2 mit = 2 1 x w 1 t a 1 + w 2 t 1 + a 2 = 1 x w 1 t 0 + w 2 t a 1 + a 2 } 2 {{} =3 = 3 x w 1 t 0 + w 2 t 0 + s 1 ) + 2 a 1 + a 2 = 3 x 0 + ) 2 w 1 + w 2 t0 + 2 a 1 + a 2 + w 2 s 1 = 3 x 0 + w 3 t 0 + a 3 } {{}} {{} = w 3 = a 3 3 = 2 1, w 3 = 2 w 1 + w 2, a 3 = 2 a 1 + a 2 + w 2 s 1. Aus t 2 = t 1 + s 2 = t 0 + s 1 + s 2 }{{} = s 3 = t 0 + s 3 t 3 folgt s 3 = s 1 + s 2. b) 1 Abgeschlossenheit: a, b G; a b G. Zwei Galilei-Transformationen hintereiander, g 2, w 2, a 2, s 2 )g 1, w 1, a 1, s 1 ) = g 3, w 3, a 3, s 3 ), wurde in a) gezeigt. 2 Assoziativität: a, b, c G, a b) c = a b c), g 3 g 2 g 1 ) = g 3 g 2 )g 1, Die Galileitransformation ist einer Kombination von Addition und Matrizenmultiplikation, diese besitzen diese Eigenschaft und damit auch die Galilei-Transformation. 3 Existenz des neutralen Elements e: a G e G : a e = e a = a, d.h. mit Ẽ = g1, O, O, 0) folgt g i Ẽ = Ẽg i = g i g i G +. 1

4 4 Existenz des Inversen: a G ā G : a ā = ā a = e, d.h. g G + g 1 G + : g g 1 = g 1 g = Ẽ. Mit den Ergbnis aus a) 3 = = R T, w 3 = w + w = O w = w, a 3 = a + a + w s = O a = a w s = a + s w, s 3 = s + s = 0 s = s, d.h. g 1 = g T, T w, s T w T a, s) G + bildet eine Gruppe. c) Aus der Tranformation g folgt = λ, x T = 3 x T + vt + a d x T d x T = 3 + v p T = 1 λ 3 p T + v T λ m λ p T = 3 p T + p 0. Transformation des Impulses g 2, p 0, λ, s), t g 2 t = λt + s. p T λ p T 3 p T + p 0 d) Mit dem Ergebnis aus c) λ p T = O = 3 p T + p 0 p 0 = 3 p T, daraus folgt die Transformation g 3 3, 3 p T, λ, s) in das Ruhesystem. e) Aus c) folgt, das durch geeignete Wahl von p 0 immer ein Inertialsystem gefunden werden kann, in der die Geschwindigkeit des Teilchens beliebig hoch ist. Aufgabe 2 a) L = 1 2 m R µ r 2 Ur), Euler-Lagrange-Gleichungen d L L R R = 0 = d ) M R = M R, d L L r r = 0 = d ) Ur) µ r = µ r Ur) r r. b) Tranformation: t = t =, x i = x i + wt d x i = x i = d x i + w = x i + w, i = 1, 2. Verhalten des relativen Abstandes r unter Galilei-Transformation g 4, r = x 1 x 2 = x 1 + wt x 2 wt = x 1 x 2 r. 2

5 Für den Schwerpunkt gilt M R = m 1 x 1 + m 2 x 2 = m 1 x 1 + wt) + m 2 x 2 + wt) = m 1 x 1 + m 2 x }{{ 2 +m } 1 + m 2 ) wt }{{} = M = M R + M wt = M R + wt), = M R somit ist die Geschwindigkeit des Schwerpunktes, lautet damit R = R+ w. Die neue Lagrangefunktion L L = 1 2 M R + w) µ r 2 + Ur). Daraus liest man die Euler-Lagrange-Gleichungen d L R d L R = 0 = d [ M R + w) ] = M R, L L r r = 0 = d ) Ur) µ r + r = µ r + Ur) r. c) Die Bewegungsgleichungen sind in beiden Systemen gleich. Nicht-Eindeutigkeit der Lagrangefunktion L = 1 2 M R µ r 2 + Ur) + M [ 2 = L + M ] 1 R w + 2 w2 ) = L + d M R w + M 2 w2 t 2 R w + w 2 ) Eichtransformationen), vgl. Fließbach Mechanik. Der Zusatzterm beschreibt Eichtransformationen der Galileitransformationen g 4. Aufgabe 3 a) Aus Gl. 1.1) folgt t = λt + s = λ, x = x + vt + a d x d.h. x = x λ + v 1 λ = λ x = d x + v, x + v, o.b.d.a. setze man = 1, x = x e r und v = v e r, somit λẋ = ẋ + v λc = c + v, v 0. Daraus folgt, dass die Lichtgeschwindigkeit c unter Galilei-Transformation nicht konstant ist. 3

6 b) Bestimmung der Galilei-Transformation: Es gilt y vt + x x = O x = x vt, damit hat die Galilei-Transformation die Form g 5 : x = x vt, t = t. Von links nach rechts laufende ebene Welle y x vt e x x x x φ x, t) = φ 0 e i k x ω 0 t) g 4 φ x, t ) = φ 0 e i k x ω t ), mit k = k folgt φ x, t ) = φexp { i k x vt) ω t )} = φ 0 exp { i [ k x k v + ω )t ]}. Vergleich mit φ x, t) ergibt ω 0 = k v + ω ω = ω 0 k v = ω 0 1 ) k v. ω 0 Es gilt mit v = v e x und k = k, k v = kv cos α. Im System S ist die Phasengeschwindigkeit c, d k x ω0 t ) = 0 = k x ω 0, o.b.d.a. k x = kc, d.h. kc = ω 0 k = ω 0 c eingesetzt ergibt ω = ω 0 1 kv ) ) cosα = ω 0 1 ω 0 v cosα = ω 0 1 vc ) ω 0 c ω cos α 0 und ω = ω ω 0 = ω 0 1 v ) c cos α ω 0 ω = ω 0 v c cos α. 4

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