Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik I. Mengen und Mengenoperationen (Teil 1)

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1 Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik I Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) Exzerpt aus dem Skript von Prof. Dr. Klaus U. Schulz Michaela Geierhos M.A. Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung Ludwig-Maximilians-Universität München

2 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 2 Gliederung Mengen und ihre Darstellung Gleichheit und Inklusion Mengenoperationen und Gesetze

3 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 3 Mengen und ihre Darstellung (1) Unsere Beschreibung des Mengenbegriffs basiert auf folgender,,definition (G. Cantor) 1 : Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Wir schreiben falls a Element der Menge M ist und a M a M im anderen Fall. 1 Der deutsche Mathematiker Georg Cantor ( ) begründete im letzten Viertel des 19. Jahrhunderts die moderne Mengenlehre.

4 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 4 Mengen und ihre Darstellung (2) Für die Darstellung von Mengen stehen uns zu Beginn im wesentlichen zwei Grundmethoden zur Verfügung: 1. Die Elemente einer endlichen Menge lassen sich oft explizit aufzählen. Man kann dann die Klammerschreibweise verwenden. M = {1, 2, 3} besagt, dass M die Menge mit den Elementen 1, 2 und 3 ist. So ist {M, i, s, p} die Menge der Buchstaben des Wortes,,Mississippi. Mit,, oder,,{ } wird die,,leere Menge bezeichnet, die kein Element enthält. Wir werden bei Definition sehen, dass es genau eine leere Menge gibt.

5 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 5 Mengen und ihre Darstellung (3) Mengen treten oft selbst als Elemente von komplexeren Mengen auf. Hier sind einige Beispiele: { } hat genau ein Element, nämlich die leere Menge. {{1, 2, 3}, {1, 2}} hat zwei Elemente, {1, 2, 3} und {1, 2}. {{ }, } hat zwei Elemente, nämlich { } und die leere Menge.

6 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 6 Mengen und ihre Darstellung (4) 2. Man kann die Elemente einer Menge mit Hilfe einer Eigenschaft ϕ beschreiben, die Objekten x zukommen kann oder nicht. So bezeichnet {x ϕ(x)} die Menge aller Objekte x, welche die Eigenschaft ϕ besitzen. Es stellt also bei dieser Darstellungsweise die auf das Zeichen,, folgende Aussageform die Bedingung dar, die auf ein Element x zutreffen muss, damit es zu der beschriebenen Menge gehört. Man spricht hier manchmal von Mengenbildung durch,,abstraktion. Der verwendete Objektname x ist natürlich irrelevant, die obige Menge ist also identisch zur Menge {y ϕ(y)}.

7 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 7 Mengen und ihre Darstellung (5) Verwandt zur Abstraktion ist die Bildung einer Menge durch,,aussonderung aus einer bestehenden Menge. So sondert etwa M := {x IN y IN: x = 2y} die Menge aller geraden Zahlen aus der Menge IN der natürlichen Zahlen aus. 2 Die hier genannten Darstellungsarten für Mengen werden insbesondere verwendet, um unendliche Mengen zu beschreiben, aber auch in einem Fall wie M := {n IN n ist die kleinste Primzahl oberhalb k} kann man das einzige Element von M nicht explizit angeben, wenn k eine hinreichend große natürliche Zahl ist, sondern ist auf eine beschreibende Eigenschaft angewiesen. 2 Der Doppelpunkt in,,:= deutet an, dass M definiert ist als die rechtsstehende Menge, die sich ausführlich liest als,,menge aller x aus IN, die folgende Bedingung erfüllen: es gibt ein y IN mit der Eigenschaft x = 2y.

8 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 8 Mengen und ihre Darstellung (6) Eine einfache Intuition, die hilft, den Mengenbegriff besser zu verstehen, und etwa den Unterschied zwischen der leeren Menge,, und der Menge { }, welche die leere Menge als einziges Element enthält, zu begreifen, beruht auf dem Bild der Menge als,,schachtel. Eine leere Schachtel ist offenkundig etwas anderes, als eine Schachtel, in der sich als einziger Inhalt eine leere Schachtel befindet. Abbildung 1: Schachteldarstellung von Mengen.

9 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 9 Gleichheit und Inklusion (1) Zwei fundamentale Beziehungen zwischen Mengen sind Gleichheit und Inklusion. Definition (Extensionalitätsprinzip für Mengen) Zwei Mengen M und N sind gleich genau dann, wenn sie dieselben Elemente enthalten 3 : M = N : x: (x M x N). Beweistechnisch bedeutet das Extensionalitätsprinzip, dass man die Gleichheit zweier Mengen M und N dadurch verifizieren kann, dass man zeigt, dass jedes Element von M auch Element von N ist und umgekehrt. Dieses Standardrezept werden wir nachfolgend häufig anwenden. 3 Nachfolgend deutet der Doppelpunkt in,,: an, dass es sich um eine definierende Äquivalenz handelt. Die Gleichheit zwischen Mengen M und N ist also definiert durch die rechte Seite.

10 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 10 Gleichheit und Inklusion (2) Inhaltlich besagt das Extensionalitätsprinzip, dass bei dem Prozess der,,zusammenfassung davon abstrahiert wird, welche,,anschauung bei der Auswahl der Elemente maßgebend wahr. Demgemäß kann eine Gleichheit {x ϕ(x)} = {x ψ(x)} gelten, auch wenn die Beschreibungen ϕ und ψ nichts Erkennbares miteinander zu tun haben. Identitäten wie {4} = {n IN 3 < n n < 5} = { 16} resultieren. Oder, mit einem aus der Semantik bekannten Gegenstand, {Morgenstern} = {Abendstern}.

11 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 11 Gleichheit und Inklusion (3) Natürlich wird in einer Menge auch keine Reihenfolge ausgezeichnet, und es gilt etwa {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. Weiterhin ergibt sich aus dem Extensionalitätsprinzip, dass die Mengen {1, 1} und {1} identisch sind. Es macht also bei Mengen keinen Sinn, nach der Vielfachheit des Vorkommens eines Elements zu fragen. Wir werden bei der expliziten Beschreibung von endlichen Mengen durch Aufzählung der Elemente eine Mehrfachnennung desselben Elements nicht grundsätzlich verbieten, sie jedoch nur in ganz wenigen begründeten Ausnahmefällen verwenden.

12 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 12 Gleichheit und Inklusion (4) Definition (Teilmenge) M und N seien Mengen. N heißt Teilmenge von M, im Zeichen N M, genau dann, wenn jedes Element von N auch Element von M ist: M N : x: (x M x N). N heißt echte Teilmenge von M, N M, genau dann, wenn N M und N M. Man schreibt oft M N (resp. M M) um auszudrücken, dass M keine Teilmenge (resp. keine echte Teilmenge) von N ist. Abbildung 2 gibt eine Darstellung der Teilmengenbeziehung in Form eines sogenannten Venn-Diagramms. 4 4 Beim Arbeiten mit Venn-Diagrammen sollte man sich stets vergegenwärtigen, dass alle Teilflächen auch leere Flächen repräsentieren können.

13 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 13 Gleichheit und Inklusion (5) Abbildung 2: Teilmengenbeziehung N M im Venn-Diagramm. Beispiel Die Menge {1, 4} ist eine echte Teilmenge der Menge {1, 4, 7}. Für beliebige Mengen L, M und N gilt: 1. wenn L M und M N, so L N, 2. wenn M N und N M, so M = N, 3. M und M M.

14 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 14 Gleichheit und Inklusion (6) Beweis Wir zeigen vorerst einmal, dass folgende Teilaussage gültig ist. wenn L M und M N, so L N Sei x L. Aus L M folgt x M, aus M N folgt x N. Also gilt L N. Während wir später den Beweis der Teilaussage 1 als,,trivial bezeichnen und weglassen würden, wollen wir an dieser Stelle die verwendete Argumentation einmal mit der Lupe betrachten, um zu zeigen, wie bisher beschriebenen Beweisprinzipien bei einer genauen Betrachtung eingehen.

15 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 15 Gleichheit und Inklusion (7) Indem wir die definierten Beziehungen jeweils durch die gemäß Definition der Teilmenge äquivalenten Bedingungen ersetzen, erhalten wir (1) x: (x L x M) (2) x: (x M x N). Zu zeigen ist die Konklusion L N. Nach Definition der Teilmenge müssen wir also zeigen. (3) x: (x L x N).

16 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 16 Gleichheit und Inklusion (8) Hierzu nehmen wir an, dass g ein beliebiges Objekt ist. Wir wollen zeigen, dass g L auch g N impliziert. Es reicht wiederum den Fall zu betrachten, wo tatsächlich g L gilt. Durch Einsetzen von g für x in Voraussetzung (1) erhalten wir die wahre Aussage (g L g M). Wie in (α (α β)) β sichtbar gemacht wird, implizieren die beiden letztgenannten Formeln nun g M. Durch Spezialisierung der Voraussetzung (2) erhalten wir die wahre Aussage (g M g N). Durch eine zweite Anwendung von (α (α β)) β erhalten wir g N. Damit ist die Implikation g L g N gezeigt. Da g beliebig war, ist (3) gezeigt.

17 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 17 Mengenoperationen und Gesetze (1) Definition (Vereinigung) Die Menge A B := {x x A x B} heißt die Vereinigung von A und B. Definition (Durchschnitt) Die Menge A B := {x x A x B} heißt der Durchschnitt von A und B. Abbildung 3: Vereinigung A B (links) und Durchschnitt A B (rechts). Die Mengen A und B heißen disjunkt genau dann, wenn A B = gilt.

18 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 18 Mengenoperationen und Gesetze (2) Beispiel Die Vereinigung der Mengen {1, 3, 4} und {1, 2, 4, 9} ist {1, 2, 3, 4, 9}. Die Vereinigung der Mengen {{1, 3, 4}} und {{1, 2, 4, 9}} ist {{1, 3, 4}, {1, 2, 4, 9}}. Im,,Schachtelbild vereinigen wir jeweils den Inhalt der beiden Ausgangsschachteln in einer neuen Schachtel, wobei doppelte Vorkommen eliminiert werden. Der Durchschnitt der Mengen {1, 3, 4} und {1, 2, 4, 9} ist {1, 4}. Der Durchschnitt von {{1, 3, 4}} und {{1, 2, 4, 9}} ist die leere Menge.

19 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 19 Mengenoperationen und Gesetze (3) Lemma Für beliebige Mengen A, B, C gelten die folgenden Identitäten: 1. A A = A, A A = A (Idempotenz von und ), 2. A B = B A, A B = B A (Kommutativität von und ), 3. A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C (Assoziativität von und ), 4. A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) (Distributivität von und ), 5. A = A, A =.

20 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 20 Mengenoperationen und Gesetze (4) Beweis (Kommutativität von ) Wir beweisen die erste Identität der Teilaussage 2. Um die Gleichheit der Mengen A B und B A zu beweisen, zeigen wir, dass jedes Element von A B auch Element von B A ist und umgekehrt. Hierzu betrachten wir die folgenden Aussagen: (1) x A B (2) (x A) (x B) (3) (x B) (x A) (4) x B A. Beim Übergang zwischen den Aussagen (1) und (2) analog bei (3) und (4) haben wir nur die Vereinigung durch ihre Definition ersetzt haben. Die Aussagen (2) und (3) sind laut (α β) (β α) äquivalent. Damit sind auch die Aussagen (1) und (4) äquivalent. Gemäß dem Extensionalitätsprinzip folgt nun A B = B A.

21 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 21 Mengenoperationen und Gesetze (5) Definition (Differenz) Die Menge A \ B := {x x A x / B} heißt Differenz der Mengen A und B. Man sollte sich merken, dass in einer Differenz A \ B die Menge B keinesfalls Teilmenge von A sein muss! Beispiel Es gilt {4, 1, 2} \ {1, 5, 6} = {4, 2} und {1, 5, 6} \ {4, 1, 2} = {5, 6}. Es ist {{1, 3, 4}} \ {{1, 2, 4, 9}} = {{1, 3, 4}}.

22 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 22 Mengenoperationen und Gesetze (6) Lemma Für beliebige Mengen A und B gilt stets: 1. A \ = A und A \ A =. 2. A B = A \ B = A B \ A = B. Neben der Differenz tritt seltener auch die sogenannte symmetrische Differenz A B := (A \ B) (B \ A) auf. Beispiel Es gilt {4, 1, 2} {1, 5, 6} = {4, 2, 5, 6} und {4, 1, 5, 6} {1, 5, 6} = {4}.

23 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 23 Mengenoperationen und Gesetze (7) Lemma (Symmetrische Differenz) Für beliebige Mengen A, B und C gilt stets 1. A B = (A B) \ (A B), 2. A B = B A (Kommutativität von ), 3. A (B C) = (A B) C (Assoziativität von ), 4. A A =, 5. A (A B) = B, 6. A (B C) = (A B) (A C), 7. A B = A B = A B.

24 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 24 Mengenoperationen und Gesetze (8) Definition (Komplement) Ist A eine Teilmenge von B, so wird die Differenz B \ A auch Komplement von A in B genannt. Für die Bezeichnung des Komplements von A in B gibt es unterschiedliche notationelle Konventionen. Wenn klar ist, in welcher Menge B die Komplemente gebildet werden, dann wird allerdings zumeist einfach Ā oder A geschrieben.

25 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 25 Mengenoperationen und Gesetze (9) Lemma (De Morgansche Regeln 5, einfache Form) Es seien A und B beliebige Teilmengen einer Menge M. Das Symbol,, bezeichne Komplementbildung in M. Dann gilt Beweis Wir betrachten die Aussagen (1) x (A B) (A B) = ( A) ( B), (A B) = ( A) ( B). (2) (x M) ((x A) (x B)) (3) (x M) ( (x A) (x B)) (4) ((x M) (x A)) ((x M) (x B)) (5) x ( A) ( B). 5 Benannt nach dem englischen Mathematiker Augustus De Morgan ( ).

26 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 26 Die Aussagen (1) und (2) sowie (4) und (5) sind gemäß der Definition des Komplements äquivalent. Laut (α β) ( α β) sind die Aussagen (2) und (3) äquivalent, nach (α (β γ)) (α β) (α γ) (Distributivität von und ) sind auch (3) und (4) äquivalent. Damit sind (1) und (5) äquivalent, es enthalten die beiden Mengen (A B) und ( A) ( B) dieselben Elemente und sind nach dem Extensionalitätsprinzip gleich.

27 Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) 27 Mengenoperationen und Gesetze (10) Lemma Es seien A, B beliebige Teilmengen einer Menge M. Das Symbol,, bezeichne Komplementbildung in M. Dann gilt 1. ( A) = A, 2. A B genau dann, wenn B A, 3. = M und M =, 4. A B genau dann, wenn A B = M.