1 Integrale von Funktionen in mehreren Variablen

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1 $Id: inegral.ex,v /10/26 13:46:09 hk Exp $ 1 Inegrale von Funkionen in mehreren Variablen 1.1 Das Rieman Inegral im R n Im lezen Semeser wurde die Differenialrechnung auf Funkionen f(x 1,..., x n ) in mehreren Variablen ausgedeh, und wir wollen dasselbe nun auch für die Inegralrechnung un. Hierzu erinnern wir uns zunächs einmal an die im lezen Semeser behandele Siuaion von Funkionen f : [a, b] R in einer Variablen. Hier konne man sich das Inegral b f() d als den a Gesamwer oder die Summe von f() für a b vorsellen. Haben wir beispielsweise ein sich geradlinig mi Geschwindigkei 1 bewegendes Teilchen und wirk auf dieses zu jedem Zeipunk eine Kraf f() in der Bewegungsrichung des Teilchens, so war das Inegral b f() d die Summe all a dieser Kräfe f() vom Zeipunk = a bis zum Zeipunk = b, also die zwischen den Zeipunken = a und = b am Teilchen verrichee Arbei. Die formale Definiion erfolge dann in II. 2.1 über die sogenannen Ober- und Unersummen. Zu einer gegebenen beschränken Funkion f : [a, b] R haen wir das Inervall [a, b] zereil, ewa durch a = 0 < 1 <... < n = b, und auf jedem Teilsück [ i 1, i ] den kleinsen Wer m i und den größen Wer M i von f auf dem Teilsück berache. Mi diesen Zahlen wurden dann die Uner- und Obersumme Unersumme S = n m i ( i i 1 ) Obersumme S = n M i ( i i 1 ) gebilde. Die Rieman-Inegrierbarkei von f bedeuee das Uner- und Obersumme bei immer feiner werdender Unereilung gegen einen gemeinsamen Wer konvergieren, und dieser Grenzwer war das Rieman Inegral. Diesen Summensandpunk werden wir im folgenden auf mehrere Variablen überragen. Beginnen wir mi einem Beispiel. Das Graviaionsgesez der klassischen Mechanik besag, dass je zwei Körper K 1 im Punk p mi Masse m 1 und K 2 im Punk q mi Masse m 2 einander mi einer Kraf vom Berag γm 1 m 2 /r 2 anziehen wobei r := p q 1-1

2 der Absand zwischen p und q is und γ eine Naurkonsane is, die sogenanne Graviaionskonsane. Die Kraf wirk dabei in Richung des jeweils anderen Körpers, zum Beispiel is die auf K 2 wirkende Kraf gegeben durch F = γ m 1m 2 r 2 p q p q = γ m 1m 2 (p q). p q 3 Hierbei sell man sich die beiden Körper als Massepunke vor, ignorier also ihre räumliche Ausdehnung. Diese Vereinfachung is nich immer sinnvoll, zum Beispiel bei der Beschreibung von Saellienbahnen oder auch bei der Beschreibung der Bahn des Merkur um die Sonne. Nehmen wir einmal an unser Körper K 2 seh für einen um die Erde kreisenden Saellien und K 1 is die Erde. Den Saellien kann man ruhig als Punkmasse beschreiben da er im Vergleich zur Erde sehr klein is. Auf die Erde selbs riff dies aber nich zu. Beispielsweise is die Erde ja zum einen keine exake Kugel und zum anderen is ihre Masse nich homogen vereil, so das die auf den Saellien wirkende Anziehung von seiner momenanen Posiion abhäng und nich nur von seinem Absand zur Erde. Wie kann man jez die wirklich wirkende Kraf berechnen? Das Graviaionsgesez is hierzu nich direk anwendbar, da wir ja gerade keine Punkmassen berachen wollen. Wir brauchen eine koninuierliche Form des Graviaionsgesezes. Hierzu denken uns die Erde E aus vielen, sehr kleinen Teilsücken E 1,..., E n zusammengesez. Jedes dieser Teilsücke E i habe seinen Schwerpunk in p i und eine Masse m i. Jedes Sück E i bewirk eine Anziehungskraf F i auf unseren Saellien, und die insgesam von der gesamen Erde ausgeübe Anziehung F ergib sich als die Summe all dieser Teilkräfe, also F = n F i. Das Sück E i soll klein sein und kann dami zumindes näherungsweise als eine Punkmasse im Schwerpunk p i inerpreier werden. Auf diese Punkmasse können wir das Graviaionsgesez anwenden und dami ergib sich die von E i auf den Saellien wirkende Kraf als F i = γ m im p i q (p 3 i q) wobei q die Posiion des Saellien und m seine Masse sind. Die insgesam wirkende Kraf seze sich aus all diesen Teilkräfen zusammen, also n n m i F = F i = γm p i q (p 3 i q). Auch diese Formel is nur eine Näherung, da die E i ja in Wahrhei keine Punke sind. Wenn wir die Anzahl der Teilsücke aber immer weier vergrößern und die E i immer kleiner werden lassen, so wird die Näherung immer besser, und es solle im Grenzwer die exake Kraf F herauskommen. Um dies durchzuführen berachen wir wieder ein einzelnes Sück E i. Schreiben wir V i für das Volumen von E i, so ha E i die milere Diche ϱ i := m i /V i, also m i = ϱ i V i und es wird F = γm n ϱ i p i q 3 (p i q) V i. 1-2

3 Beim Grenzübergang werden die Sücke E i zu Punken p, die Mielpunke p i werden dabei ebenfalls zu p und die mileren Dichen ϱ i werden zur Diche ϱ(p) der Erde im Punk p. Die Summaion über Wer mal Volumen wird zum Inegral über die Erde E, die auf den Saellien wirkende Kraf is dann F = γm E ϱ(p) p q p q 3 dp. Dies is dann die koninuierliche Form des Graviaionsgesezes und das hierbei aufreende räumliche Inegral is eines der Urbeispiele derariger Inegrale. Ähnliche Überlegungen lassen sich immer ansellen um aus einem Punkgesez ein koninuierliches Gesez zu erhalen. Wie soll das hierbei aufreende Inegral nun exak definier werden? Beache hierzu die formale Ähnlichkei der obigen Summendarsellung von F mi den Riemansummen bei der Definiion des eindimensionalen Inegrals. Die Obersumme war ja beispielsweise S = n M i( i i 1 ). Denken wir uns hier die Teilinervalle [ 0, 1 ],..., [ n 1, n ] als die Sücke in die das Inervall [a, b] zerleg wird, so können wir i i 1 auch als die Länge des Teilsücks [ i 1, i ] auffassen, und die Länge is so ewas wie das eindimensionale Volumen. In dieser Inerpreaion ha dann auch die Riemansumme die Form Teilsücke Funkionswer im Teilsück Volumen des Teilsücks. Dies führ auf die Idee auch das mehrdimensionale Inegral als Grenzwer von Riemansummen aufzufassen. Es gib aber noch einen kleinen Unerschied zum eindimensionalen Fall, dor haen wir eine Funkion f(x) über ein Inervall [a, b] inegrier und das Inervall dazu in Teilinervalle zerleg. In unserem Saellienbeispiel wird dagegen gleich über eine ewas komplizierere räumliche Menge E inegrier und demensprechend werden auch die Teilsücke E 1,..., E n ewas komplizierere Mengen sein. Es sell sich als bequem heraus dieses Deail ers einmal zu ignorieren. Wir werden in einem ersen Schri nur Inegrale über einfache Mengen berachen und dazu einfache Zerlegungen dieser Mengen verwenden, und das Inegral dann in einem zweien Schri auf allgemeinere Mengen wie unser E ausdehnen. Als diese einfachen Mengen verwenden wir höherdimensionale Inervalle, oder achsenparallelen Quader, die wie folg definier werden: Definiion 1.1 (Räumliche Inervalle) Seien n N und a, b R n. Dann definieren wir das Inervall [a, b] R n als die Menge [a, b] := {x R n a 1 x 1 b 1,..., a n x n b n } = [a 1, b 1 ] [a n, b n ]. Analog werden offene Inervalle (a, b) und halboffene Inervalle [a, b), (a, b] definier. Bei uns is meisens n = 2 oder n = 3 und Inervalle sehen dann wie folg aus: 1-3

4 z (1,3,3) (1,2,3) (3,2,3) (3,3,3) y (2,5) (8,5) [(1,2,0),(3,3,3)] [(2,1),(8,5)] y (1,3,0) (3,3,0) (2,1) (8,1) (1,2,0) (3,2,0) x Inervall im R 2 Inervall im R 3 Inervalle im R 2 sind also achsenparallele Rechecke und im R 3, sowie allgemein im R n, handel es sich um achsenparallele Quader. Das Volumen eines solchen Quaders is das Produk seiner Seienlängen, also n vol([a, b]) = (b 1 a 1 )... (b n a n ) = (b i a i ). Wie im eindimensionalen Fall brauchen wir jez Zerlegungen unserer Inervalle. Das is leider in den Deails ewas verwirrend. Eine Zerlegung eines eindimensionalen Inervalls [a, b] in n Teilinervalle konne man einfach durch die Zerlegungspunke 0,..., n beschreiben. Eine Zerlegung eines Rechecks in Teilrechecke is schon ewas komplizierer, wir brauchen sowohl Unereilungspunke in waagerecher Richung als auch welche in verikaler Richung. Die waagerechen nennen wir dann 10, 11,..., 1,r1 und die verikalen heißen 20, 21,..., 2r2. Im Dreidimensionalen brauch man zusäzlich 30, 31,... für die z-koordinae und immer so weier. Allgemein führ dies auf die folgende Definiion: Definiion 1.2 (Zerlegungen von Quadern) Seien a, b R n mi a b, also a i b i für i = 1,..., n. Eine Zerlegung des Inervalls [a, b] is ein Tupel Z = ( ij ) 1 i n 0 j r i mi a i = i0 < i1 < < i,ri = b i für i = 1,..., n. Wie eben seh der erse Index dabei für die n Koordinaenachsen und der zweie numerier die Unereilungspunke auf der jeweiligen Achse durch. Die zur Zerlegung Z gehörenden Teilinervalle sind die Inervalle Q j1,...,j n := [( 1,j1 1,..., n,jn 1), ( 1,j1,..., n,jn )] für 1 j 1 r 1,..., 1 j n r n, und die Feinhei von Z is die größe aufreende Seienlänge, also δ(z) := max{ ij i,j 1 1 i n, 1 j r i }. 1-4 x

5 Ein Inervall is klein wenn alle seine Seienlängen klein sind, und die Zerlegung Z is klein wenn alle ihre Teilinervalle Q j1,...,j n klein sind. Zusammengenommen is Z also klein wenn alle Seienlängen aller Teilinervalle klein sind, und dies wird gerade von der Feinhei δ(z) von Z gemessen. Beim Grenzwer alle Teilinervalle werden klein kann man also genausogu δ(z) geh gegen Null sagen, und zu diesem Zweck wird die Feinhei eingeführ. In einem zweidimensionalen Beispiel mi vier Teilen in waagerecher und drei Teilen in verikaler Richung sieh dies alles wie im unensehenden Bild aus. 23 Q 13 Q 23 Q 33 Q Q Q Q Q Q 11 Q 21 Q31 Q Zerlegung im R 2 mi r 1 = 4 und r 2 = 3 Als nächsen Schri definieren wir bei gegebener Zerlegung Z von [a, b] und gegebener Funkion f : [a, b] R eine Ober- und eine Unersumme von f bezüglich der Zerlegung. Wie beim eindimensionalen Rieman Inegral berachen wir dabei nur beschränke Funkionen dami die Exisenz unerer und oberer Schranken immer sichergesell is. Definiion 1.3 (Uner- und Obersummen) Seien a, b R n mi a b, f : [a, b] R eine beschränke Funkion und Z = ( ij ) 1 i n,1 j ri eine Zerlegung von [a, b]. Für jedes Teilinervall Q j1,...,j n der Zerlegung berache m j1,...,j n := inf f(x), x Q j1,...,jn M j1,...,j n := sup x Q j1,...,jn f(x). Dabei bedeuee das Infinum inf den kleinsen der Were f(x) für x Q j1,...,j n und das Supremum sup is ensprechend der größe dieser Were. Die zur Zerlegung Z 1-5

6 gehörende Uner- beziehungsweise Obersumme is dann S := m j1,...,j n vol(q j1,...,j n ) (Unersumme), S := 1 j 1 r j n r n 1 j 1 r j n r n M j1,...,j n vol(q j1,...,j n ) (Obersumme). Sreng genommen sind Supremum und Infimum nich unbeding der größe beziehungsweise kleinse Funkionswer da es einen solchen gar nich geben muss, für unsere Zwecke spiel dieses Deail aber keine Rolle. Wie im eindimensionalen Fall sind Unerund Obersummen nur für die exake Definiion des Riemaninegrals und für die Beweise von Säzen über das Riemaninegral von Bedeuung. Für rechnerische Zwecke werden diese Begriffe keine Rolle spielen. Unersumme Obersumme Für die anschauliche Bedeuung des Inegrals is die Vorsellung von Riemansummen dagegen of nüzlich, so wie wir beim Übergang vom Graviaionsgesez für Punkmassen zum koninuierlichen Graviaionsgesez mi Näherungen durch Riemansummen argumenier haben, geh man ziemlich of vor. Bei solchen Überlegungen enseh das Inegral dann asächlich als Grenzwer der Riemansummen bei der Zerlegung in immer kleinere Teilsücke. Wir wollen die Uner- und Obersummen in zumindes einem Beispiel wirklich einmal ausrechnen. Wir berachen das Inervall Q := [0, 1] 2 und die Funkion f : Q 1-6

7 R; (x, y) xy. Sei Z = ( ij ) eine Zerlegung von Q, also 0 = i0 < i1 < i,ri = 1 für i = 1, 2. Für 1 j 1 r 1, 1 j 2 r 2 haben wir Q j1,j 2 = [ 1,j1 1, 1,j1 ] [ 2,j2 1, 2,j2 ], m j1,j 2 = inf 1,j1 1 x 1,j1 2,j2 1 y 2,j2 xy = 1,j1 1 2,j2 1, M j1,j 2 = sup 1,j1 1 x 1,j1 2,j2 1 y 2,j2 xy = 1,j1 2,j2, da das Produk xy dann am kleinsen is wenn x und y ihre minimalen Were annehmen, also in der linken uneren Ecke des Teilrechecks, und dann am größen is wenn x und y maximal sind, also in der rechen oberen Ecke. Die zugehörigen Uner- und Obersummen ergeben sich als S = r 1 r 2 j 1 =1 j 2 =1 und ebenso 1,j1 1 2,j2 1( 1,j1 1,j1 1)( 2,j2 2,j2 1) ( r1 ) ( r2 ) = 1,j1 1( 1,j1 1,j1 1) 2,j2 1( 2,j2 2,j2 1) j 1 =1 j 2 =1 ( r1 ) ( r2 ) S = 1,j1 ( 1,j1 1,j1 1) 2,j2 ( 2,j2 2,j2 1). j 1 =1 Definiion 1.4 (Rieman-inegrierbare Funkionen) Seien a, b R n mi a b und f : [a, b] R eine beschränke Funkion. Dann nennen wir die Funkion f Rieman-inegrierbar über [a, b] wenn das Infinum der Menge aller Obersummen von f gleich dem Supremum der Menge aller Unersummen von f is, und dieser gemeinsame Wer wird dann als das Inegral von f über [a, b] bezeichne, geschrieben als f(x) dx oder auch f(x 1,..., x n ) d(x 1,..., x n ). In anderen Woren müssen Uner- und Obersummen sich also beliebig nahe kommen und beim Grenzwer δ(z) 0 dami gegen denselben Wer konvergieren. In einigen Fächern is es auch üblich Inegrale in zwei Variablen mi einem verdoppelen Inegralzeichen zu schreiben und Inegrale in drei Variablen ensprechend mi einem verdreifachen Inegralsymbol, also f(x, y) dx dy und f(x, y, z) dx dy dz, j 2 =1 dieser Konvenion wollen wir hier aber nich folgen. 1-7