Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft

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1 Studiengang Modul Art der Leistung Klausur-Kennzeihen Betriebswirtshat Wirtshatsmathematik Prüungsleistung Datum.6.8 BB-WMT-P 86 Bezüglih der Anertigung Ihrer Arbeit sind olgende Hinweise verbindlih: Verwenden Sie ausshließlih das vom Ausihtsührenden zur Verügung gestellte Papier, und geben Sie sämtlihes Papier (Lösungen, Shmierzettel und niht gebrauhte Blätter) zum Shluss der Klausur wieder bei Ihrem Ausihtsührenden ab. Eine niht vollständig abgegebene Klausur gilt als niht bestanden. Beshriten Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte au jeder Seite / ihrer Breite als Rand ür Korrekturen rei, und nummerieren Sie die Seiten ortlauend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, au welhe Augabe bzw. Teilaugabe sih diese bezieht. Die Lösungen und Lösungswege sind in einer ür den Korrektanten zweielsrei lesbaren Shrit abzuassen. Korrekturen und Streihungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserlihes wird niht bewertet. Bei nummerish zu lösenden Augaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist. Die Klausur-Augaben können einbehalten werden. Dies bezieht sih niht au ausgeteilte Arbeitsblätter, au denen Lösungen einzutragen sind. Zur Prüung sind bis au Shreib- und Zeihenutensilien ausshließlih die nahstehend genannten Hilsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilsmittel verwendet oder Täushungsversuhe estgestellt, gilt die Prüung als niht bestanden und wird mit der Note bewertet. Bearbeitungszeit: Minuten Hilsmittel: Anzahl Augaben: 7 Höhstpunktzahl: HFH-Tashenrehner Formelsammlung Wirtshatsmathematik Vorläuiges Bewertungsshema: Punktzahl Note von bis einshl., sehr gut,, sehr gut 8 8,,7 gut 8 8,, gut 7 7,, gut 7 7,,7 beriedigend 6 6,, beriedigend 6 6,, beriedigend,,7 ausreihend,, ausreihend,, niht ausreihend Viel Erolg! Klausuraugaben, Prüungsleistung 6/8, Wirtshatsmathematik, Betriebswirtshat BB-WMT-P 86

2 Klausuraugaben, Prüungsleistung 6/8, Wirtshatsmathematik, Betriebswirtshat HFH Hamburger Fern-Hohshule Augabe Bestimmen Sie die. Ableitung olgender Funktionen nah der Variablen :.. ln ( ), { > } ( ) e, D R. D R. Punkte 6 Augabe Punkte Bestimmen Sie die Etremwerte der Funktion ( ) ( e ), D R. Welhe Art von Etremwerten liegt vor? Augabe Punkte Gegeben seien die beiden Matrizen A und B. Prüen Sie, ob die Matrizenoperation T (BA) deiniert ist und berehnen Sie gegebenenalls das Ergebnis. Augabe 6 Punkte Bestimmen Sie mit Hile des GAUß-Algorithmus alle Lösungen des linearen Gleihungssystems A und b v. 7 v r A b mit Augabe Punkte Bestimmen Sie den Wert des bestimmten Integrals d. BB-WMT-P 86 Seite /

3 Klausuraugaben, Prüungsleistung 6/8, Wirtshatsmathematik, Betriebswirtshat HFH Hamburger Fern-Hohshule Augabe 6 6 Punkte Die Flähe zwishen dem Graphen einer Funktion () I a, b einen Shwerpunkt S. Die y-koordinate dieses Shwerpunktes lässt sih mit Hile der olgenden Formel berehnen: b ( ( )) d a ys, a < b. b ( ) d a und der -Ahse besitzt im Intervall [ ] Berehnen Sie die y-koordinate des Shwerpunktes S der Flähe, die durh den Graphen der Funktion ( ) und die -Ahse begrenzt wird. Als Intervallgrenzen a und b sollen die Nullstellen der Funktion () angenommen werden. Augabe 7 Punkte Gegeben ist die Funktion z (, 6y y mit D {, R, y R} (. Untersuhen Sie diese Funktion au Etrema. Welhe Art von Etremwerten liegt vor? BB-WMT-P 86 Seite /

4 Korrekturrihtlinie zur Prüungsleistung Wirtshatsmathematik am.6.8 Betriebswirtshat BB-WMT-P 86 Für die Bewertung und Abgabe der Prüungsleistung sind olgende Hinweise verbindlih: Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrihtlinie ausgewiesen. Eine summarishe Angabe von Punkten ür Augaben, die in der Korrekturrihtlinie detailliert bewertet worden sind, ist niht gestattet. Nur dann, wenn die Punkte ür eine Augabe niht dierenziert vorgegeben sind, ist ihre Aushlüsselung au die einzelnen Lösungsshritte Ihnen überlassen. Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur au einen anderen rihtigen als den in der Korrekturrihtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrihtlinie vor. Rehenehler sollten grundsätzlih nur zur Abwertung des betreenden Teilshrittes ühren. Wurde mit einem alshen Zwishenergebnis rihtig weitergerehnet, so erteilen Sie die hierür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug. Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweielsrei lesbaren Shrit vor. Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sih gemäß dem nahstehenden Notenshema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular Klausurergebnis (Ergebnisliste) ein. Bitte legen Sie Ihrer Bewertung das olgende Bewertungsshema zugrunde: Punktzahl von bis einshl. Note, sehr gut,, sehr gut 8 8,,7 gut 8 8,, gut 7 7,, gut 7 7,,7 beriedigend 6 6,, beriedigend 6 6,, beriedigend,,7 ausreihend,, ausreihend,, niht ausreihend Die korrigierten Arbeiten reihen Sie bitte spätestens bis zum. Juli 8 in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlih oder per Einshreiben erolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sih aus vorher niht absehbaren Gründen eine Terminübershreitung abzeihnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglih dem Prüungsamt der Hohshule anzuzeigen (Tel. / - bzw. birgit.hupe@hamburger-h.de). Korrekturrihtlinie, Prüungsleistung 6/8, Wirtshatsmathematik, Betriebswirtshat BB-WMT-P 86

5 Korrekturrihtlinie, Prüungsleistung 6/8, Wirtshatsmathematik, Betriebswirtshat HFH Hamburger Fern-Hohshule Bitte beahten Sie: Die jeweils im Lösungstet angeührten Punkte ( ) geben an, ür welhe Antwort die einzelnen Teilpunkte ür die Augabe zu vergeben sind. Lösung vgl. SB, Abshn. Punkte.. ln ( ) Quotientenregel: g( ) ln ; g ( ) h( ) ; h ( ) ln ( ) ln ln ( ) e Kettenregel: ( ) ; ( ) g( ) e ; g ( ) e ( ) y g ( ) e e BB-WMT-P 86 Seite /7

6 Korrekturrihtlinie, Prüungsleistung 6/8, Wirtshatsmathematik, Betriebswirtshat HFH Hamburger Fern-Hohshule Lösung vgl. SB, Abshn.. Punkte ( ) ( e ) Etremwerte: Bestimmung der Ableitungen: ( ) ( e ) e e (Anwendung binomishe Formel) ( ) e ( ) e ( ) e e (Kettenregel) ( ) e ( ) e ( ) e e (Kettenregel) Alternativ kann auh direkt die Kettenregel au die Funktion () angewendet werden, was zum gleihen Ergebnis ührt. Hier sind dann insgesamt 6 Punkte zu vergeben. Notwendige Bedingung ür Etremum ist ( ) (Formelsammlung.). ( ) e e e e e e (möglihes Etremum) Hinreihende Bedingung ür Etremum ( ) und ( ) (Formelsammlung.). ( ) e e () e e > Da ( ) > liegt bei ein lokales Minimum vor. BB-WMT-P 86 Seite /7

7 Korrekturrihtlinie, Prüungsleistung 6/8, Wirtshatsmathematik, Betriebswirtshat HFH Hamburger Fern-Hohshule BB-WMT-P 86 Seite /7 Lösung vgl. SB 6, Abshn../.6 Punkte siehe ÜA. g): T ) (BA ist deiniert, wenn BA deiniert ist. BA ist deiniert, da die Anzahl ( ) der Spalten von B mit der Anzahl ( ) der Zeilen von A übereinstimmt. Anwendung des FALKshen Shemas: BA. Vertaushung der Zeilen und Spalten lieert ( ) T BA.

8 Korrekturrihtlinie, Prüungsleistung 6/8, Wirtshatsmathematik, Betriebswirtshat HFH Hamburger Fern-Hohshule BB-WMT-P 86 Seite /7 Lösung vgl. SB 6, Abshn../. 6 Punkte Das LGS ist unterbestimmt. Es gibt Gleihungen mit Unbekannten, mindestens Variable ist rei wählbar. Bilden der erweiterten Matri ), ( b r A : 7 Umormungen der erweiterten Matri ), ( b r A : I III I II 7 II III Umgewandelte LGS besitzt Trapezorm, Lösungsall: n r < (Formelsammlung.). Aus der dritten Zeile olgt unmittelbar:. Aus der zweiten Zeile olgt mit :. Aus der ersten Zeile olgt mit :. Setzt man hier ür das aus der zweiten Zeile gewonnene Ergebnis ein, so erhält man:. Aulösen nah lieert:. Als allgemeine Lösung erhält man somit, alls man s () setzt: s s s r, R s.

9 Korrekturrihtlinie, Prüungsleistung 6/8, Wirtshatsmathematik, Betriebswirtshat HFH Hamburger Fern-Hohshule BB-WMT-P 86 Seite /7 Lösung vgl. SB 7, Abshn..,. und. Punkte d d d ln ln ln 6 ln ln 6,6 ln 7 ln Lösung 6 vgl. SB 7, Abshn../. und. 6 Punkte ) ( Bestimmung der Nullstellen (Integrationsgrenzen): Aus olgt unmittelbar und. Shwerpunkt: b a b a y ) d ( d )) ( ( S, b a <.

10 Korrekturrihtlinie, Prüungsleistung 6/8, Wirtshatsmathematik, Betriebswirtshat HFH Hamburger Fern-Hohshule Berehnung des Integrals im Nenner: ( )d ( 8 ) ( 8 ) 6 Berehnung des Integrals im Zähler: ( ) d (6 8 ) d y S Lösung 7 vgl. SB, Abshn.. Punkte siehe ÜA.: z (, 6y y, (, { R R} D, y Bestimmung der partiellen Ableitungen. Ordnung: 6y y 6 y Nullsetzen der partiellen Ableitungen lieert das Gleihungssystem: 6 6y y. (I) (II) Aus (I) olgt: 6y y. BB-WMT-P 86 Seite 6/7

11 Korrekturrihtlinie, Prüungsleistung 6/8, Wirtshatsmathematik, Betriebswirtshat HFH Hamburger Fern-Hohshule Einsetzen in (II) ergibt: Somit ist und Mit olgt aus Mit olgt aus y somit y. y somit y. Die stationären Punkte sind somit P (, ) und P (, ). Es ist die hinreihende Bedingung (, y ) yy(, y ) y(, y ) > zu überprüen. Bildung der partiellen Ableitungen. Ordnung: 6, yy 6y, y y 6. Betrahtung von P (, ) : (, ) yy(, ) y(, ) 6 6 <. Also liegt in P (, ) ein Sattelpunkt von (, vor. Betrahtung von P (, ) : (, ) yy(, ) y(, ) ( ) ( ) 6 8 >. Da die hinreihende Bedingung erüllt ist und (, ) < gilt, liegt in P (, ) ein (lokales) Maimum von (, vor. BB-WMT-P 86 Seite 7/7