Mengen. G. Cantor,

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1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denken zu einem Ganzen. G. Cantor, Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 1

2 Mengen M = {11, 13, 17, 19}. M = {x x ist Primzahl, 10 x 20}. (In der Mathe-Vorlesung: : statt ) Achtung: Paradoxon des Lügners! M = {X X X} N in der Informatik immer inklusive der 0 A n = {(a 1,..., a n ) a i A}, A 1 = A A 0 = {()}, eine einelementige Menge, das Element wird mit () bezeichnet. T für das Komplement statt T c Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 2

3 Prädikatenlogik Eine komplizierte mathematische Theorie, wir brauchen nur: Prädikat: Eine Aussage (mit Variablen): P (x): x erfüllt das Prädikat P, P gilt für x, es gilt P (x). Allquantor: ( x)p (x) für alle x gilt P (x) Existenzquantor: ( x)p (x) es gibt mindestens ein x, für das P (x) gilt. Offensichtlich gilt: ( x)q(x) ist gleichbedeutend mit ( x) Q(x) und ( x)q(x) ist gleichbedeutend mit ( x) Q(x). Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 3

4 B(x, y): x ist besser als y Wurstbrötchen-Revision Ein Wurstbrötchen ist besser als nichts : B(W u, ) Nichts ist besser als die ewige Seligkeit : ( x)b(x, Se) Der Fehlschluß Ein Wurstbrötchen ist besser als die ewige Seligkeit B(W u, Se) ist in dieser Formulierung nicht möglich! Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 4

5 Unendliche Mengen Unendliche Mengen mit endlichen Mitteln beschreiben! Beispiel: Natürliche Zahlen, N: Dezimaldarstellung 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... Römische Zahlen I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI,... Strichdarstellung,,,,,,,... Was bedeuten die Punkte (... )? Was ist eine natürliche Zahl wirklich? Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 5

6 Axiomatische Definition Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine total geordnete Menge (N; ) mit den Eigenschaften: 1. (N; ) hat kein größtes Element. 2. (N; ) ist wohlgeordnet. Das kleinste Element von N wird mit 0 bezeichnet. 3. Jedes Element von N außer der 0 hat genau einen Vorgänger, d.h. ( n N \ {0}) ( n 1 N) n 1 n ( n 2 N)(n 2 n n 2 n n 2 n 1 ) Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 6

7 Induktive Definition Die Menge N der natürlichen Zahlen ist gegeben durch folgende Eigenschaften: 1. Es gibt eine natürliche Zahl 0 N. 2. Zu jeder Zahl n N gibt es eine Zahl n N, die Nachfolger von n heißt. 3. Für alle n N ist n Aus n = m folgt n = m. 5. Eine Menge M von natürlichen Zahlen, welche die 0 enthält und mit jeder Zahl m M auch deren Nachfolger m, ist mit N identisch. Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 7

8 Induktive Definition 1. Eine Verankerung, d. h. die Vorgabe endlich vieler Elemente. 2. Ein Erzeugungsverfahren zur Konstruktion weiterer Elemente aus vorgegebenen und bereits erzeugten Elementen. 3. Ein Induktionsaxiom (induktiver Abschluß), das alle Elemente ausschließt, die nicht aus 1) und 2) entstanden sind. Alternative Formulierungen für das Induktionsaxiom: die kleinste Menge mit..., Durch... werden alle Elemente erzeugt. Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 8

9 Vollständige Induktion Zum Beweis der Behauptung, daß ein bestimmtes Prädikat P für alle natürlichen Zahlen gilt, genügt es, die folgenden Beweise zu führen: 1. P (0), d.h. das Prädikat gilt für die 0 ( Induktionsverankerung ). 2. P (n) P (n + 1), d.h. aus der Annahme, daß P für irgendein n N gilt ( Induktionsannahme ), läßt sich folgern, daß P (n + 1) gilt ( Induktionsschluß ). (P (0) (( n N) P (n) P (n + 1)) ( n N) P (n) Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 9

10 Behauptung: Gaußsche Summenformel (1) ( n N) n i = i=1 n (n + 1) 2 Induktionsverankerung: n = 0: In diesem Fall handelt es sich um eine leere Summe, deren Wert 0 ist. Induktionsvoraussetzung: Gelte die Behauptung bereits für ein bestimmtes m und sei nun n = m + 1. Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 10

11 Sei n = m + 1. n i = ( i=1 = = = = Gaußsche Summenformel (2) m i) + m + 1 i=1 m (m + 1) + m + 1 (nach Induktionsvoraussetzung) 2 m (m + 1) + 2 (m + 1) 2 (m + 1) (m + 2) 2 n (n + 1) 2 Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 11

12 Wortmengen Sei Σ = {a 1,..., a k } eine endliche Menge, genannt Alphabet. Die Elemente von Σ heißen auch Symbole. Die Menge Σ der Wörter über Σ ist die kleinste Menge mit den folgenden Eigenschaften: 1. Es gibt ein leeres Wort ɛ Σ. 2. Wenn w Σ und a Σ, so ist wa Σ. ɛ, ɛa, ɛb, ɛc, ɛaa, ɛab, ɛac,..., ɛabc,.... ɛ, a, b, c, aa, ab, ac,..., abc,... Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 12

13 Wortinduktion Zum Beweis der Behauptung, daß ein bestimmtes Prädikat P für alle w Σ gilt, genügt es, die folgenden Beweise zu führen: 1. P (ɛ) ( Induktionsverankerung ) 2. P (w) P (wa) ( Induktionsschluß ). (P (ɛ) (( w Σ, a Σ) P (w) P (wa)) ( w Σ )P (w) Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 13

14 Terme (3x + 1) (5 (y + z)) 2 (a (b c)) (a b). Terme oder Ausdrücke bestehen aus Teiltermen und benutzen ggf. Klammern, um diese Teilterme auszuzeichnen. Terme enthalten Operationssymbole; die Notwendigkeit von Klammern in den oben aufgeführten Termen ergibt sich dadurch, daß Operationssymbole zwischen ihre Argumente geschrieben werden (Infixnotation). Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 14

15 Operationsalphabet Ein Operationsalphabet oder Rangalphabet ist eine Menge Σ = {F 1,..., F m } von Operationssymbolen zusammen mit einer Abbildung σ : Σ N. σ(f ) heißt die Stelligkeit oder auch der Rang von F. Für n N sei Σ (n) def = {F Σ σ(f ) = n} Σ (n) heißt Menge der n-stelligen Operationssymbole. Statt F Σ (n) wird auch die Schreibweise F (n) Σ verwendet. Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 15

16 Beispiel: Ganze Zahlen Ganze Zahlen mit Nachfolger, Vorgänger und den vier Grundrechenarten: (Ω; σ) mit Ω (0) = {0} Ω (1) = {succ, pred} Ω (2) = {+,,, div, mod} Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 16

17 Beispiel: Aussagenlog. Ausdrücke Γ (0) = {W, F} Γ (1) = { } Γ (2) = {,,, } Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 17

18 Terme (nach Łukasiewicz) Sei X eine abzählbare Menge, genannt Menge der Variablen. Sei ferner (Σ; σ) ein Operationsalphabet. Es gelte Σ X =. Die Menge T Σ (X) der Σ-Terme über X ist die kleinste Teilmenge von (Σ X) mit den Eigenschaften: 1. X T Σ (X) 2. Falls t 1,..., t n T Σ (X) und F Σ (n), so ist F t 1... t n T Σ (X) (Aus Bedingung 2 für n = 0 folgt, daß Σ (0) T Σ (X).) Herbert Klaeren WSI (Info-i-2004, 3. November 2004) S. 18

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