Brückenkurs Mathematik zum Sommersemester 2015

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1 HOCHSCHULE HANNOVER UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES AND ARTS Dipl.-Math. Xenia Bogomolec Brückenkurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Übungsblatt 1 (Grundlagen) Aufgabe 1. Multiplizieren Sie folgende Ausdrücke aus und fassen Sie sie dann zusammen: (a) a(b + c(a b)) b(a + c(1 + a)) c(b a(c b)) (b) (a + b + c)(a b c) + (a + b c)(a b + c) Aufgabe 2. Fassen Sie folgende Ausdrücke geschickt zusammen: (a) (x 2y) y(x 5y) (b) 3(ln x + x 2 ) + x(ln x + 9) (d) (3 cos x + y)(3 cos x y) + (y + z)(y z) Aufgabe 3. Faktorisieren Sie mit Hilfe der binomischen Formeln oder des Satzes von Vieta: (a) x (b) x 2 + 8x (c) 16x 2 y 2 + 2xy 2 z + 9y 2 z 2 (d) 5y sin 2 x + 20y sin x + 20y Aufgabe. Kürzen Sie die Brüche: (a) (x 2 16)(x 5) 12(x )(x 2 10x+25) (c) (sin x)2 +17 sin x (sin x) 2 (b) 3a2 b 2 9b 2 (d) (ln x+3) (2 ln x) +(ln x) 2 + ln x

2 Aufgabe 5. Addieren oder subtrahieren Sie folgende Brüche und kürzen Sie das Ergebnis: (a) (c) x+1 x 2 3 x+2 (b) b a + a b (d) 3 cos x+(sin x)2 sin x cos x sin x cos x Aufgabe 6. Multiplizieren oder dividieren Sie folgende Quotienten und kürzen Sie das Ergebnis: (a) (a+b) a b (b) (a+b) a 2 +ab (c) 2x x (d) x(x 2) (x2 ) 6(x+2) Aufgabe 7. Vereinfachen Sie folgende Quotienten: (a) a a b (b) ln x a 2a (ln x) 2 (c) x+1 x+3 x+1 x 3 x+1 x+3 Aufgabe 8. Vereinfachen und kürzen Sie die Brüche: (a) 5(x+6)8 (x 7) 11 5(x+6) 3 (x 7) 13 (b) ( a2 b 3 c 3(bc) 3 ) 2

3 HOCHSCHULE HANNOVER UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES AND ARTS Dipl.-Math. Xenia Bogomolec Brückenkurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Übungsblatt 2 (Potenzen, Wurzeln, Logarithmen) Aufgabe 1. Vereinfachen Sie folgende Potenzen ohne Taschenrechner: (a) 3000 (b) ( 2x) 3 ( 0, 5x) 3 (c) 5(ac) 6 12c 3 a 3 (d) ( 1 5 ) 5 3 ( 5) 6 Aufgabe 2. Fassen Sie folgende Summen geschickt zusammen: (a) a 3 + 6a 2a 2 + 2a 3 + 8a 2 (b) ( 1 x ) 8 + (x 2 ) + 3x 8 (d) ( 3) 3 + ( 6) 2 + ( 1 3 ) 3 Aufgabe 3. Vereinfachen Sie die Quotienten: (a) ( a8 a 9 ) 1 (b) 15x9 y 11 3x y 5 (c) c7 x ln 3 x 3(c ln x) 8 Aufgabe. Vereinfachen Sie die Wurzeln: (a) x 12 (d) 3 a 7 a 2 (b) 3 x 9 (x + 2) (c) x 3 (e) (x+1) 5 (x 2 +) 3 x

4 Aufgabe 5. Kürzen Sie die folgenden Brüche: (a) a6 c 2 +a 13 c 5 a 6 c 2 (b) zn 5 z n+3 z n Aufgabe 6. Berechnen Sie x: (c) x m x m+2 x 2 (a) x = lg 1000 (b) x = log 7 33 (c) 2 x = 1 (d) 2 x+1 = 16 (e) e x = 1 (f) 3 x = 27 2 (g) 5 x = Aufgabe 7. Berechnen Sie die Terme: (a) lg (100) 5 (b) 2 log log 12 2 Aufgabe 8. Setzen Sie <, > oder = ein, damit folgende Aussagen wahr sind: (a) Wenn p < q und a? 1, dann gilt a p = a q. (b) Wenn p > q und c? 0, dann gilt c p = c q. (c) Wenn p < q und x? 1, dann gilt x p < x q. (c) Wenn p > q und 0? c? 1, dann gilt c p < c q.

5 HOCHSCHULE HANNOVER UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES AND ARTS Dipl.-Math. Xenia Bogomolec Brückenkurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Übungsblatt 3 (Elementare Funktionen, Trigonometrie) Aufgabe 1. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f(x) = x 2 2x + 3 im Intervall [ 3, ]. Aufgabe 2. Bestimmen Sie jeweils die Definitionsmenge, die Bildmenge, alle Nullstellen, den Scheitelpunkt und die Umkehrfunktion: (a) f(x) = 3x (b) f(x) = x 2 + x + 3 (c) f(x) = 1 x+ Aufgabe 3. Zeichnen Sie die folgenden Betragsfunktionen: (a) f(x) = 2x 2 (b) f(x) = x 2 9 (c) f(x) = x Aufgabe. Führen Sie die Polynom-Divisionen durch: (a) (x 3 + 7x 2 + 9x 5) (x + 5) (b) (x 5 x 13x x x 10) (x 2 + 3x 2) (c) (x 3 + 3x 2 + 3x + 1) (x + 1)

6 Aufgabe 5. Beschreiben Sie Symmetrie, Monotonieverhalten und Achsenschnittpunkte der folgenden Graphen: (a) f(x) = x (b) f(x) = 3x (c) f(x) = 2(x 2) Aufgabe 6. Rechnen Sie von Grad ins Bogenmaß um oder umgekehrt: (a) 30 (b) 5 (c) 135 (d) π (e) 5π 6 (f) π 3 Aufgabe 7. Gegeben seien rechtwinklige Dreiecke mit Katheten a und b und Hypotenuse c und Winkeln α(gegenüber a),β (gegenüber b) und γ = 90. Berechnen Sie die fehlenden Seiten oder Winkel: (a) a = 3cm, b = cm (b) c = 10cm, α = 5 Aufgabe 8. Bestimmen Sie erst Amplitude, Periode und Phasenverschiebung der Schwingungsfunktion f(x) = 3 sin (2x π ) und zeichnen Sie nachher ihren Verlauf.

7 HOCHSCHULE HANNOVER UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES AND ARTS Dipl.-Math. Xenia Bogomolec Brückenkurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Übungsblatt (Gleichungen und Ungleichungen lösen) Aufgabe 1. Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungen: (a) x 2 + 5x 1 = 0 (b) 81x x + = 11 (c) 3 x = 23 (d) a x+15 = a 8 (e) v(v x 3 ) x+2 = v (v 3x+1 ) x 3 (f) lg x = 2 (g) lg 3 x = 1 2 Aufgabe 2. Suchen Sie nach Nullstellen folgender Polynomfunktionen, indem Sie sie (wenn möglich) in Linearfaktoren zerlegen: Frage: Ist das für jedes Polynom möglich? Hinweis: Nullstellen müssen Faktoren des konstanten Gliedes sein. (a) f(x) = x 2 2x 2 5x + 6 (b) f(x) = 2x + 2x 3 + 2x 2 + 2x Aufgabe 3. Lösen Sie die folgenden Gleichungen und prüfen Sie, für welche x sie definiert sind: (a) + 1 = 2x x 2 x 2 2(x+2) (b) 9 x2 + x x = 7 3

8 Aufgabe. Lösen Sie die Gleichungen mit dem Substutionsverfahren und prüfen Sie die Lösungen: (a) x 6 16x 3 = 6 (b) e x + e x = 2 (c) (ln x) 2 9 ln x = 20 Aufgabe 5. Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich von f(x), die Umkehrfunktion f 1 (x) und den Definitionsbereich von f 1 (x): (a) f(x) = 6x + 3 (b) f(x) = 1 25 x2 (c) f(x) = x 1 x+ Aufgabe 6. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der Ungleichungen und der Gleichung: (a) x + 2 < 5x 8 (b) (x 3) 2 < (c) x (d) x (e) x 2 2x = 1

9 HOCHSCHULE HANNOVER UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES AND ARTS Dipl.-Math. Xenia Bogomolec Brückenkurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Übungsblatt 5 (Differentialrechnung, Vektoren) Aufgabe 1. Differenzieren Sie f(x) nach der Summenregel: (a) f(x) = 3 x x3 5x + 8 (b) f(x) = ax 2bx 3 + cx 2 dx (c) f(x) = a sin x + b cos x + cx (d) f(x) = 2 x 5 5 x (e) f(x) = x 3 x 7 (f) f(x) = e x + e 3x ln x Aufgabe 2. Differenzieren Sie f(x) nach der Produktregel: (a) f(x) = sin x cos x (b) f(x) = x 3 ln x (c) f(x) = (x 3 2x + 1) (x 2 2x + 5) (d) f(x) = e 2x sin x Aufgabe 3. Differenzieren Sie f(x) nach der Quotientenregel: (a) f(x) = x x+1 (b) f(x) = ln x x (c) f(x) = cos x e 2x

10 Aufgabe. Differenzieren Sie f(x) nach der Kettenregel: (a) f(x) = 3(5x 2 + 2x + 3) (b) f(x) = sin(3x + 12) (c) f(x) = ln e 2x + x 2 (d) f(x) = e cos x Aufgabe 5. (Zusatzaufgabe) Differenzieren Sie geschickt: ln (sin x) (a) f(x) = e (b) f(x) = cos 2 (2x + 3) Aufgabe 6. Gegeben seien die Vektoren a = ( ) ( ) 3 c = und d 17 8 =. (a) Berechnen und zeichnen Sie (i) a + b + c (ii) b d + a (iii) 1 2 a b 3 d (c) f(x) = ln 1 x 2 + ln x+ x (d) f(x) = ln (tan x) ( ) 1, 3 b = ( 2 5 (b) Berechnen Sie jeweils den Winkel ϕ zwischen den Vektoren (i) a und b (ii) a und d (c) Wählen Sie zwei Vektoren in R 2 mit dem Zwischenwinkel ϕ = 5. Was ist der Wert von cos ϕ? Zeigen sie mit der Formel aus dem Brückenkurs, warum sich der Wert nicht verändert, wenn man die Vektoren mit unterschiedlichen Faktoren streckt. 2 Aufgabe 7. Berechnen Sie u v für u = 1 und v = 3. 7 Aufgabe 8. Berechnen Sie jeweils die Seitenlängen und den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A,B und C: (a) A = (1, 0), B = (3, 5), C = (5, 0) ),

11 (b) A = (3, 5), B = (, 1), C = (5, 6) Aufgabe 9. Berechnen Sie die Fläche des durch u und v aufgespannten Dreiecks und das Volumen des durch u, v und w aufgespannten Spates für 1 1 u = 1, v = 2 und w =