5 Haftreibung Technische Mechanik Haftreibung

Transkript

1 5 Haftreibung Haftreibung

2 1 Haftkraft kompakt: Spezielles Lager Kontaktkraft: Aufgrund der Rauhigkeit kann sowohl vertikale Kraft N als auch horizontale Kraft H übertragen werden Kraft N ist Druckkraft und normal zur Kontaktfläche Haftreibungskraft H ist unbekannt und tangential zur Kontaktfläche Anmerkung: Lagerung ähnlich einem zweiwertigen Festlager Ermittlung der Kontaktkraft (Reaktionskraft) s. Standard -Lagerreaktionen 1. Freikörperbild: Freischneiden und jeden Teilkörper befreien 2. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen 3. Lösen des linearen Gleichungssystems Haftreibung 1

3 1 Haftkraft kompakt: Spezielles Lager Beobachtung: Ab bestimmter Kraft F tritt Rutschen auf Kraft H ist somit beschränkt (Nebenbedingung H H max,h ) Für den Fall Rutschen gilt Tangentiale Haftreibungskraft wird zur Gleitreibungskraft R R=H max,r ; Richtung der Kraft entgegen der Bewegung Reaktionskraft wird somit zur eingeprägten Kraft (Haftung vs. Reibung)! Haftreibung 2

4 Coulombsche Reibungsgesetz (Modell) Anwendung: Trockene Reibung (infolge Rauhigkeit von Festkörpern) Experiment: Abrutschen bei Winkel Haftbedingung Haftreibungskoeffizient Haftreibungskoeffizient für verschiedene Werkstoffkombinationen Werkstoffe Haftreibungskoeff. (Gleit)-Reibungskoeff. Stahl / Stahl 0,15 0,5 0,1 0,4 Stahl / Teflon 0,04 0,04 Autoreifen / Straße 0,7 0,9 0,5 0,8 Holz / Holz 0,5 0,3 Haftreibung 3

5 Konventionen und Annahmen im Reibungsmodell Kommentare Wir tragen N per Konvention immer positiv als Druckkraft an (ansonsten müsste das negative Vorzeichen von N berücksichtig werden). Für Reibung muss natürlich Druck vorliegen, d.h. N > 0. Wir idealisieren den Flächenkontakt durch zwei Einzelkräfte N und H. Wir wissen aber gar nicht genau wie sich diese Kräfte über die Fläche aufteilen, nur dass Ihre Angriffspunkte im Rahmen unserer Theorie das Momentengleichgewicht erfüllen müssen. Darauf wollen wir hier aber nicht weiter eingehen. Haftreibung 4

6 Coulombsche Reibungsgesetz Haftreibungskoeffizient aus Experiment 1. Legen Sie Ihr Smartphone auf eine schiefe, rotierbare Unterlage (z.b. einen Klapptisch) und messen Sie mit der App PhyPhoX die drei Komponenten des Beschleunigungssensors. 2. Kippen Sie die Unterlage von der horizontalen Ausgangslage so weit bis Rutschen eintritt. 3. Notieren Sie die Beschleunigungskomponenten bei Rutschen (Punkt an dem durch beginnendes Rutschen Störsignale auftreten). 4. Bestimmen Sie aus den Komponenten den Haftreibungskoeffizienten. Haftreibung 5

7 Coulombsche Reibungsgesetz Haftreibungskoeffizient aus Experiment Haftreibung 6

8 Coulombsche Reibungsgesetz Haftreibungskoeffizient aus Experiment Gruppe Kommentar 1 0,57 mit Hülle 2 0,27 mit Hülle 3 0,55 mit Hülle 4 0,13 mit Hülle 5 0,3 mit Hülle 6 0,29 mit Hülle 7 1,08 mit Hülle 8 0,28 mit Hülle 9 0,61 mit Hülle 10 0, , , ,2 14 0, ,32 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 mit Hülle Haftreibung 7

9 1 Anwendungsbeispiel I Bis zu welcher Stelle kann der Mann steigen? Fall a: Boden rau, Wand glatt Fall b: Boden rau, Wand rau Freikörperbild mit Reibungskegel Fall a: glatte Wand Fall b: raue Wand Haftreibung 8

10 1 Anwendungsbeispiel I Fall a) Rauer Boden, glatte Wand Beobachtung: 3 Gleichgewichtsbedingungen 4 Unbekannte: Eine weitere Gleichung notw. Grenzzustand des Haftens durch Haftbedingung charakterisiert Relevante Richtung/Vorzeichen der Haftkraft für dieses Problem Haftreibung 9

11 1 Anwendungsbeispiel I Fall a) Rauer Boden, glatte Wand Grafische Interpretation und Lösung x durch Wirkungslinie von Q bekannt: die maximale Steighöhe ist nämlich dann erreicht, wenn Grenze des Reibungskegels für das Gleichgewicht des zentralen Kräftesystems erreicht ist. Aus den Verhältnissen von Längen und Kräften ergibt sich: Haftreibung 10

12 1 Anwendungsbeispiel I Fall b) Rauer Boden, raue Wand Beobachtung: 3 Gleichgewichtsbedingungen 5 Unbekannte: Zwei weitere Gleichung notw. Grenzzustand des Haftens durch Haftbedingung charakterisiert Relevante Lösung (für Richtung/Vorzeichen der Haftkraft) x grafisch durch Wirkungslinie von Q bekannt oder alternativ wieder über 3 GG + Annahme von maximal erreichbarer Haftkraft Haftreibung 11

13 1 Anwendungsbeispiel II Seilhaftung / Reibung Ein Seil ist hundert mal um einen Zylinder gewickelt. Nun wird das Seil noch ein weiteres mal herumgewickelt. Um welchen Faktor verändert sich die maximal aufnehmbare Kraft bevor Rutschen eintritt, bei Haftreibungskoeffizient µ 0 = 0,3? A x 1,01 B x 1,01*0,3 C x 0,3 D x 7,5 vote at Haftreibung 12

14 1 Anwendungsbeispiel II Seilhaftung / Reibung Ansatz aus der theoretischen Modellierung: Wir betrachten ein infinitesimal kleines Element und leiten die Gesetzmäßigkeiten her. Dies führt auf Differentialgleichungen, welche für ein spezielles System mit seinen Randbedingungen gelöst werden. In diesem Fall leiten wir die sogenannte Euler- Eytelwein-Formel her. Haftreibung 13

15 1 Anwendungsbeispiel II Seilhaftung / Reibung Kräftegleichgewicht Infinitesimale Winkel Linearisierung Kräftegleichgewicht Linearisierung 2 Gleichungen, 3 Unbekannte Haftreibung 14

16 Anwendungsbeispiel II Seilhaftung / Reibung Vervollständigung des Gleichungssystems Haftbedingung Elimination von H und N führt auf die Differentialgleichung Integration über Kontaktbereich Auflösen nach Seilkraft - Fallunterscheidung Haftbedingung Reibungsbedingung Beispiel: n Umschlingungen Antwort D Haftreibung 15

17 Zusammenfassung 1. Haften annehmen und Reaktionskräfte wie Lagerkräfte behandeln 2. Prüfen der Lösung Haftbedingung erfüllt? Richtung von H entgegengesetzt zur erzwungenen Relativbewegung? (nicht immer vorher ersichtlich, angenommene Richtung und Vorzeichen beachten) 3. Falls nein Dynamik: Gleitreibung als eingeprägte Kraft Haftreibung 16