Kapitel 8. Haftung und Reibung

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1 Kapitel 8 Haftung und Reibung 8

2 192 Haftung Haftung (Haftreibung) ufgrund der Oberflächenrauhigkeit bleibt ein Körper im leichgewicht, solange die Haftkraft H kleiner ist als der renzwert H 0.Der Wert H 0 ist proportional zur ormalkraft : H <H 0, H 0 = = Haftungskoeffizient. Die Haftungskraft ist eine Reaktionskraft; sie kann bei statisch bestimmten Systemen aus den leichgewichtsbedingungen bestimmt werden. Haftungswinkel: ür die Richtung der Resultierenden aus und H 0 (renzhaftkraft) gilt tan ρ 0 = = H0, ρ0 = Haftungswinkel. H Reibung (leitreibung) uf den bewegten Körper wirkt infolge der Oberflächenrauhigkeit die Reibkraft R. Die Reibkraft ist eine eingeprägte Kraft und proportional zur ormalkraft (Coulombsches Reibungsgesetz): Bewegungsrichtung R = μ ρ R μ = Reibungskoeffizient. Reibungswinkel: ür die Richtung der Resultierenden aus und R gilt: tan ρ = μ = R, ρ = Reibungswinkel.

3 und Reibung 193 Problemtypen: 1. Haftung: H< 2. Haftgrenzfall: H = 3. Reibung: R = μ nmerkungen: Die Reibkraft (Haftkraft) wirkt in der Berührungsebene der Körper. Die Richtung der Reibkraft (Haftkraft) ist entgegengesetzt zur Richtung der Relativbewegung (die entstände, wenn diese nicht durch Haftung verhindert würde). Die röße der Reibkraft (Haftkraft) ist unabhängig von der Berührungsfläche. Bei Haftung liegt die Resultierende aus und H innerhalb des Haftungskegels mit dem Öffnungswinkel ρ 0 ( <ρ 0). Der Haftungskoeffizient ist in der Regel größer als der Reibungskoeffizient. Haftungs-und Reibungskoeffizienten (ungefähr) für trockene Materialien: Material μ Stahl auf Stahl 0,15-0,5 0,1-0,4 Stahl auf Teflon 0,04 0,04 Holz auf Holz 0,5 0,3 Leder auf Metall 0,4 0,3 utoreifen auf Straße 0,7-0,9 0,5-0,8 Seilhaftung und Seilreibung: Haftung: S 1 S 2e φ φ S 2 Reibung: S 1 = S 2e μφ S 1 S 1 >S 2

4 194 Haftung 8.1 ufgabe 8.1 Ein Körper vom ewicht befindet sich auf einer rauhen schiefen Ebene. In welchen renzen muss die angreifende Kraft liegen, damit der Körper in Ruhe bleibt? Lösung us den leichgewichtsbedingungen : cos sin H =0, : sin cos + =0 folgen H H = cos sin, = sin + cos. Eine ufwärtsbewegung wird verhindert, wenn H< ist. Einsetzen liefert < sin + μ0 cos cos sin oder mit =tanρ 0 <tan( + ρ 0). und den dditionstheoremen Bei verhinderter bwärtsbewegung kehrt sich die Richtung von H um. In diesem all lautet die Haftbedingung H <. Hieraus ergibt sich sin μ0 cos > >tan( ρ 0). cos + sin Damit erhält man das Ergebnis tan( ρ 0) < < tan( + ρ0). nmerkung: Die beiden Haftbedingungen lassen sich zu H < zusammenfassen.

5 Haftung 195 ufgabe 8.2 Die Walze vom ewicht soll auf der unter dem Winkel geneigten Ebene ruhen. Wie groß müssen die Kraft und der Haftungskoeffizient sein? 8.2 Lösung us den leichgewichtsbedingungen : ( + )cos =0, : H ( + )sin =0, : r Hr =0 und der Haftbedingung H r H< ergeben sich = sin, μ0 > tan. 1 sin ufgabe 8.3 Wie groß muss die Kraft sein sein, damit die Walze vom ewicht in Bewegung gesetzt wird? Der Haftungskoeffizient sei an beiden Berührungspunkten gleich. 8.3 Lösung Die leichgewichtsbedingungen : H 1 =0, : + + =0, : H1r + r r =0 r H 1 und die Haftgrenzbedingungen H 1 =, = liefern = μ0(1 + μ0) 1+ +2μ 2. 0 Beachte: -Das System ist statisch unbestimmt, -Im Haftgrenzfall müssen die Kräfte H 1, entgegen der einsetzenden Bewegung eingezeichnet werden.

6 196 Haftung 8.4 ufgabe 8.4 Ein Spannexzenter mit den bmessungen l und r wird in der Lage mit der eigung durch die Kraft belastet. l Wie groß muss bei gegebener Haftungszahl die Exzentrizität e sein, damit im Berührungspunkt B die npreßkraft erreicht wird? r e B Lösung Wir skizzieren das reikörperbild: H V C B e C H us den leichgewichtsbedingungen : H + H + sin =0, : V + cos =0, C : (l e) He sin V e cos Hr =0 ergibt sich durch Elimination von H und V l ecos H = r e sin. Durch Einsetzen in die Haftbedingung folgt H < l ecos <(r e sin ). uflösen nach e liefert e> l μ0 r cos sin.

7 ufgabe 8.5 Ein Keil vom ewicht und dem Öffnungswinkel ruht auf einer horizontalen Ebene. uf dem Keil befindet sich eine kreiszylindrische Walze vom ewicht 2, die durch das Seil S gehalten wird. Wie groß müssen die Haftungskoeffizienten 1 (zwischen Keil und Ebene) und 2 (zwischen Walze und Keil) sein, damit an keiner Stelle Rutschen eintritt? Haftung S Lösung us den leichgewichtsbedingungen für die Walze : S + cos sin =0, : 2 + sin + cos =0, : Sr H2 r =0 r 2 S und den Keil : 1 + sin cos =0, : H 1 cos + sin =0 folgen die Kräfte an den Berührstellen sin = 2, = 2 1+cos, sin = 1 + 2, H 1 = 2 1+cos. Einsetzen in die Haftbedingungen H 2 1 H 1 H 1 <1, <2 liefert die erforderlichen Haftungskoeffizienten: 1 > 2 sin sin, μ02 > ( 1 + 2)(1 + cos ) 1+cos.

8 198 Haftung 8.6 ufgabe 8.6 Eine Kiste vom ewicht 2 wird auf einer glatten schiefen Ebene durch ein Seil gehalten. Zwischen Kiste und Ebene ist ein rauher Keil geschoben (Haftungskoeffizient ). a) Wie groß sind die Seilkraft S und die Kraft auf die schiefe Ebene? b) Wie groß muss der Haftungskoeffizient sein, damit das System in Ruhe bleibt? glatt Lösung a) Die leichgewichtsbedingungen für das esamtsystem liefern : S =( 1 + 2)sin, : =( 1 + 2)cos. 2 S b) us den leichgewichtsbedingungen für den Keil 1 : 1 sin 2 + sin =0, : 1 cos 2 + cos =0 folgt durch Einsetzen von : 1 = 1 sin 2 ( 1 + 2)sin cos = 1 (1 2)sin2, 2 =( 1 + 2)cos 2 1 cos 2 = 1 2 (1 + 2) 1 (1 2) cos 2. 2 us der Haftbedingung < ergibt sich damit der erforderliche Haftungskoeffizient > 1 2 sin ( 1 2) cos 2. nmerkung: Je nach Werten von 1, 2 und rutscht bei Verletzung dieser Bedingung der Keil nach unten oder nach oben.

9 Haftung 199 ufgabe 8.7 Eine Klemmvorrichtung besteht aus zwei festen, unter dem Winkel geneigten Klemmbacken, zwei losen Klemmrollen vom ewicht 1 und dem Klemmgut. lle Oberflächen seien rauh und haben den Haftungskoeffizient. Wie groß darf das ewicht 2 des Klemmgutes sein, damit kein Rutschen eintritt? Lösung Die leichgewichtsbedingungen für das Klemmgut : 2 2 =0 und für eine Klemmrolle : cos H 1 sin 1 =0, : sin + H 1 cos =0, : H2r H 1r =0 liefern H 1 = = 2 2, 2(1 + sin )+21 =, 2cos 2(1 + sin )+21 sin = 2cos Einsetzen in die Haftbedingungen. 2 1 H 1 r H 1 <, < ergibt 2 2 < cos (1 + sin ) 1, 2 < 2 sin cos (1 + sin ) 1. Wegen sin 1 folgt daraus 2 < 2 sin cos (1 + sin ) 1. nmerkung: ür = cos/(1 + sin ) geht die rechte Seite gegen Unendlich. Überschreitet diesen Wert, so liegt Selbsthemmung vor.

10 200 Haftung 8.8 ufgabe 8.8 Eine in gelagerte Stange (Länge l, ewicht Q) lehnt unter dem Winkel gegen eine Walze (ewicht, Radius r). Wie groß müssen die Haftungskoeffizienten 1 und 2 sein, damit das System im leichgewicht ist? l Q 1 r 2 Lösung Die leichgewichtsbedingungen für die Walze : H 1 + sin cos =0, : cos sin =0, B : H1r r =0 und für den Stab l : Q 2 cos 2 r cot 2 =0 liefern = + Q l 2r = Q l 2r cos cot (/2), cos cot (/2), H 1 = = Q l 2r V sin cot (/2) (1 + cos ). Einsetzen in die Haftbedingungen H r cot 2 /2 /2 Q B r r H 1 H 1 <1, <2 ergibt mit cot 2 = 1+cos sin die Ergebnisse >, μ 2r 02 > cot 2 cot (/2) cos. (/2) + cos cot (/2) Q l

11 Haftung 201 ufgabe 8.9 Durch einen Hebel vom ewicht H wird ein rauher Klotz an einer Wand eingeklemmt. Die Haftungskoeffizienten an den Berührungsstellen seien 1 bzw. 2. Wie groß darf das ewicht des Klotzes sein, damit er nicht rutscht? l H 1 μ Lösung us den leichgewichtsbedingungen für den Hebel und für den Klotz : l 1l sin H 1l cos H cos =0, 2 : H 1 + =0, : =0 und den Haftbedingungen H 1 H 1 H H 1 <1, <2 ergeben sich durch Eliminieren von H 1, und und der nnahme 1 < tan die beiden Ungleichungen H < 2(tan μ, 01) Hieraus folgt 2 + H 2(tan + 2) < H 2(tan + μ < H 02) 2(tan 1) bzw. < H tan 1. nmerkungen: ür 1 =tan verschwindet der enner. Dann kann beliebig groß werden. llgemein liegt für 1 tan unabhängig von H Selbsthemmung vor. Das System ist statisch unbestimmt. Daher können die Kräfte H i, i nicht bestimmt werden. Setzt man den Haftgrenzfall mit H 1 = 1 und = 2 voraus, so ist im Endergebnis das < -Zeichen durch das = -Zeichen zu ersetzen.

12 202 Haftung 8.10 ufgabe 8.10 Ein homogener Quader vom ewicht ruht auf einer rauhen schiefen Ebene. a Wie groß müssen die Kraft und der Haftungskoeffizient sein, damit die Bewegung in orm von Rutschen bzw. in orm von Kippen einsetzt? b Lösung us den leichgewichtsbedingungen : H sin =0, 1(a cos b sin ) 2 : cos =0, : (a cos b sin ) b c =0 2 H c ergibt sich für die Kräfte in der Kontaktfläche und für die Lage von H = + sin, = cos, c= 1 b (a b tan ) 2 cos. Damit Rutschen einsetzt, muss gelten H = H 0 =, c>0. Daraus folgen = ( cos sin ), < 1 2 ( a b +tan). Damit Kippen um den Punkt einsetzt, muss gelten c =0, H <. Dies liefert a cos b sin =, > 1 2b 2 ( a b +tan). D.h. Kippen erfolgt nur bei hinreichend rauher Unterlage.

13 Haftung 203 ufgabe 8.11 Zwischen zwei schiefen Ebenen ruhen zwei Würfel und eine Walze jeweils vom ewicht. n allen Berührungsflächen herrsche der Haftungskoeffizient. Wie groß ist die erforderliche Kraft, um die Walze nach oben herauszuziehen? Welcher Bedingung muss genügen, damit die Würfel dabei nicht kippen? =45 2a = Lösung Die leichgewichtsbedingungen lauten mit sin =cos = 2/2 unter Beachtung der Symmetrie : H1 =0, : H : H2 + : 2b a =0. B b 2 H 1 2 H1 1 =0, H1 + 1 =0, 2 H 1 1 H 1 Um die Haftung zu überwinden, muss gelten H 1 =, =. Damit ergibt sich aus den ersten drei leichgewichtsbedingungen =2 1+μ0 + μ2 0 1+μ 2 0. Die vierte leichgewichtsbedingung liefert b = a 1+μ0. 1 DamitkeinKippenumdenPunktB eintritt, muss b<2a sein. Daraus folgt 1+ 1 < 2 < 1 3. Beachte: Beim nheben verschwinden die Kontaktkräfte zwischen der Walze und den schiefen Ebenen. Die Haftkräfte müssen richtig (der einsetzenden Bewegung entgegengerichtet) eingezeichnet werden.

14 204 Haftung 8.12 ufgabe 8.12 Wie groß muss bei der Steinzange der Haftungskoeffizient sein, damit die Last gehalten werden kann? b c a d f e Lösung Die leichgewichtsbedingungen am esamtsystem : =0, am Punkt : 2S V =0, den Körper 1 : 2H =0 und den Körper 2 C 2 K H S V S H H S S V S H 1 S S H S V H C : d+ H(f e) SV (f a) S H(b + c) =0 ergeben mit S H = a S V b für die Kräfte H und : H = 2, = ac + be. 2 bd Einsetzen in die Haftbedingung H< liefert > bd ac + be.

15 Haftung 205 ufgabe 8.13 Ein Steigeisen ist an einem Mast eingeklemmt und wird durch die Kraft belastet. Wie groß muss sein, damit das Steigeisen nicht rutscht? b c a 8.13 Lösung us den leichgewichtsbedingungen : =0, : H 1 + =0, : a+ H1c b =0 H 1 folgen b =, H 1 = c a c, Einsetzen in die Haftbedingungen H2 = (1 + a c ) 1 b c. H 1 <, < liefert b c a bzw. < und < b + c c + a b c < b + cμ0 a c + a. uflösen ergibt für den erforderlichen Haftkoeffizienten > b c +2a. nmerkungen: Die Kräfte,, H 1, können nicht bestimmt werden, da das System statisch unbestimmt ist! Die ufgabe kann auch gelöst werden, indem man den Haftgrenzfall betrachtet. Die Ungleichungen werden dann zu leichungen, und die Lösung μ 0 ist die untere renze für den Haftkoeffizient.

16 206 Haftung 8.14 ufgabe 8.14 EinStabderLänge l und vom ewicht lehnt unter dem Winkel gegen eine rauhe Wand. m unteren Ende wird er durch ein Seil, das über einen rauhen Zapfen läuft, gehalten. In welchen renzen muss die Kraft liegen, damit das System im leichgewicht ist? l Lösung us den leichgewichtsbedingungen : S =0, : + =0, l 2 : 1l cos Sl sin l 2 ergeben sich cos =0 S S = 2 S tan, 2 = S. Einsetzen in die Haftbedingung <1 liefert je nach Richtung von 2 S tan <μ01s bzw. + S tan <μ01s. 2 Hieraus folgt 2 (tan + μ < S < 01) 2 (tan μ. 01) Seilhaftung am Zapfen liegt vor, wenn gilt Se 2π/2 < < Se +2π/2. Durch Einsetzen der unteren (oberen) Schranke von S in die linke (rechte) Seite folgt e 2π/2 2 (tan + 1) < < e +μ02π/2 2 (tan 1).

17 Haftung 207 ufgabe 8.15 Der Körper vom ewicht wird durch ein Seil gehalten. Zwischen dem Körper bzw. dem Seil und der läche herrsche der Haftungskoeffizient. In welchen renzen muss liegen, damit der Körper in Ruhe bleibt? 8.15 Lösung us den leichgewichtsbedingungen : cos =0, : H + S sin =0 ergeben sich = cos, H = sin S. H S S Einsetzen in die Haftbedingung H < liefert (sin cos ) < S < (sin + cos ). Mit der Haftbedingung für das Seil μ0 Se < < Se folgt e (sin cos ) < < e (sin + cos ). ufgabe 8.16 Welche Strecke x darf das schwere Seil der Länge l herunterhängen, ohne dass es rutscht? x 8.16 Lösung us den leichgewichtsbedingungen ergeben sich = l x, H = S = x l l. Einsetzen in die Haftbedingung H< liefert x l < μ0. 1+ H l x l x l S S

18 208 Haftung 8.17 ufgabe 8.17 Ein zwischen glatten Wänden befindlicher Block vom ewicht wird durch ein Seil gehalten, das über drei rauhe Bolzen geführt ist. 45 a Wie groß muss die Kraft sein, damit der Block nicht rutscht? Wie groß sind die Kräfte, die von den Wänden auf den Block ausgeübt werden? Lösung leichgewicht am esamtsystem 45 c S 3 b : S 3 =0, : =0. : 1 a + c S3c 2b =0 2 und die Haftbedingungen S 1 <e π/4, S 2 <S 1e π/2, S 3 <S 2e π/4 S 2 S 1 liefern > e π 1, a 2c 1 = 2 =. 2b 8.18 ufgabe 8.18 Wie groß muss die Kraft sein, damit der Körper vom ewicht mit gleichförmiger eschwindigkeit emporgezogen werden kann? Die Ebene und der Umlenkzapfen seien rauh. μ 1 μ 2 Lösung us den leichgewichtsbedingungen : cos =0, : S R sin =0 und den Reibgesetzen R = μ 1, = Se μ 2(+π/2) R S S + π 2 folgt = e μ 2(+π/2) (sin + μ 1 cos ).

19 und Reibung 209 ufgabe 8.19 Durch die Bandbremse soll auf eine sich drehende Welle das Bremsmoment M B ausgeübt werden. Wie groß ist die dazu erforderliche Kraft, wenn sich die Welle bei bekanntem Reibungskoeffizient μ a) rechtsherum oder b) linksherum dreht? r l μ 8.19 Lösung leichgewicht für den Hebel : S2 2r + l=0 liefert S 2 = l 2r. ür Rechtsdrehung lautet das Reibungsgesetz S 1 = S 2 e μπ, und das Bremsmoment wird M B = S 1 r S 2 r = S 2 r (e μπ 1). Einsetzen von S 2 ergibt R = 2M B l (e μπ 1). S 1 S 1 S 2 S 2 ür Linksdrehung folgt aus dem Reibungsgesetz S 2 = S 1 e μπ und dem Bremsmoment M B = S 2 r S 1 r = S 2 r (1 e μπ ) durch Einsetzen von S 2 L = 2MB eμπ l (e μπ 1). nmerkung: Wegen e μπ > 1 gilt bei gleichem M B für die Kräfte L > R!

20 210 Reibung 8.20 ufgabe 8.20 Durch Vorschieben des gewichtslosen Keils soll der Körper vom ewicht mit gleichförmiger eschwindigkeit angehoben werden. Wie groß ist die dafür benötigte Kraft, wenn an den Berührungsflächen des Keils der Reibungskoeffizient μ 1,andenBerührungspunkten des Stabes der Reibungskoeffizient μ 2 herrscht? μ 1 μ 2 μ 2 μ 1 l a Lösung us den leichgewichtsbedingungen für den Keil und den Stab 1 : R 1 R 2 cos sin =0, : cos + R 2 sin =0, 2 : sin + R 2 cos =0, 4 R 4 2 R 3 : cos R 2 sin R 3 R 4 =0, : 3a + 4(l + a) =0 und den Reibungsgesetzen 1 R 1 3 R 2 R 2 R 1 = μ 1, R 2 = μ 1, R 3 = μ 2 3, R 4 = μ 2 4 ergibt sich durch uflösen nach die benötigte Kraft μ 1(cos μ 1 sin )+(sin + μ 1 cos ) =. l +2a (cos μ 1 sin ) μ 2 (sin + μ 1 cos ) l nmerkungen: Die Reibkräfte müssen entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung eingezeichnet werden. Wenn der enner ull wird ( ), ist das System selbsthemmend.

21 Reibung 211 ufgabe 8.21 Eine rotierende rauhe Walze drückt durch ihr ewicht 1 auf ein keilförmiges Werkstück vom ewicht, das auf einer rauhen Unterlage ruht Wie groß muss bei gebenem Haftungskoeffizienten der Reibungskoeffizient μ mindestens sein, damit sich das Werkstück in Bewegung setzt? μ Lösung Da der Schwerpunkt der Welle in Ruhe (leichgewicht) ist, gelten für die Welle die Kräftegleichgewichtsbedingungen : sin R 1 cos =0, : cos + R 1 sin 1 =0. Mit dem Reibgesetz R 1 = μ folgen hieraus R = cos + μ sin, R1 = μ 1 cos + μ sin. Einsetzen in die leichgewichtsbedingungen für das Werkstück : R 1 cos sin =0, liefert : cos R 1 sin =0 μ cos sin = 1, 2 = 1 +. cos + μ sin Damit die Bewegung gerade einsetzt, muss die Haftgrenzbedingung = erfüllt sein. Einsetzen und uflösen nach μ ergibt schließlich μ = μ0(1 + /1)+tan 1 (1 + /. 1)tan nmerkungen: ür > cot /(1 + / 1) liegt Selbsthemmung vor. Das Werkstück setzt sich dann nicht in Bewegung. ür = 0 vereinfacht sich das Ergebnis zu μ = (1 + / 1). R 1

22 212 Reibung 8.22 ufgabe 8.22 Ein Körper vom ewicht liegt auf einer rauhen schiefen Ebene und wird über ein schräg gespanntes Seil (parallel zur schiefen Ebene) durch die Kraft belastet. β Wie groß muss der Haftungskoeffizient sein, damit der Körper in Ruhe bleibt? Lösung Wir führen ein geeignetes Koordinatensystem ein, skizzieren das reikörperbild und stellen die leichgewichtsbedingungen auf: x =0 : H x cos β =0, β y =0 : H y + sin β sin =0, z =0 : cos =0. H y z y x H x Darin sind H x und H y die Komponenten der Haftkraft H.ür sie und für erhält man H = x + y = = cos. 2 2sin sin β + 2 sin 2, Einsetzen in die Haftbedingung H < bzw. > H liefert die erforderliche röße von : 2 2sin sin β + > 2 sin 2. cos

23 Reibung 213 ufgabe 8.23 Ein starrer Balken (ewicht ) ist exzentrisch auf zwei Schienen aufgelegt und an einem Ende durch Kräfte belastet (das Lager B sei nur in x-richtung verschieblich). Bei welcher Belastung und an welchem Lager beginnt sich der Balken zu bewegen? egeben: x = y = z =, a = l, =2/3. z a y x l l/4 B a z x y 8.23 Lösung us den leichgewichtsbedingungen erhält man die Lagerreaktionen x =, y = 3 4, By = 7 4, z = , Bz = x y z B y B z Damit lauten die ormal- und die Haftkräfte bei und B = z = , H = 2 x + 2 y = 5 4, B = B z = , HB = By = 7 4. ehmen wir eine einsetzende Bewegung bei an, dann liefert die Haftgrenzbedingung H = 1 = μ0 = Entsprechend ergibt sich für eine einsetzende Bewegung bei B H B = B 2 = 3μ0 7(1 + μ = 6 0) 35. Wegen 1 < 2 setzt die Bewegung bei der Kraft 2 am Lager B ein.

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