Die beiden Glücksräder werden gedreht. Die Ergebnisse beider Glücksräder werden addiert. Es werden zwei Gewinnsituationen
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- Stephanie Sternberg
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1 7 Aufgaben im Dokument Aufgabe W4a/200 Ein Glücksrad mit den Mittelpunktswinkeln 60, 20 und 0 ist mit den Zahlen 20, 0 und 6 beschriftet. Es wird zweimal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der erhaltenen Zahlen genau 30 ergibt? Lösung:, % Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe größer als 2 ist? Lösung: 75 % Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe kleiner als 30? Lösung: 6, % Aufgabe W4a/2009 Zwei Spielwürfel werden geworfen. Die beiden gewürfelten Augenzahlen werden addiert (Augensumme). Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis "Augensumme kleiner als 5"? Lösung: 6,7 % Bei einem Pasch sind die Augenzahlen gleich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Pasch zu werfen? Lösung: 3,3 % Nennen Sie zwei Ereignisse, für die sich die Wahrscheinlichkeit ergibt. Lösung (z.b.): 4" ; #0" Aufgabe W4a/200 Die beiden Glücksräder werden gedreht. Die Ergebnisse beider Glücksräder werden addiert. Es werden zwei Gewinnsituationen angeboten: Gewinnsituation A: Summe ) oder * Gewinnsituation B: alle anderen Summen Für welche würden Sie sich entscheiden? Lösung: $ 50 %; & 50 % Anschließend wird das rechte Glücksrad so verändert, dass die Sektoren der Zahlen 4 und 5 jeweils den Mittelpunktswinkel 90 erhalten. Für welche Gewinnsituation würden Sie sich jetzt entscheiden? Lösung: $ 46,9 %; ( & 53, %
2 Aufgabe W4a/20 Die Abschlussklassen der Linden-Realschule organisieren zugunsten eines sozialen Projekts eine Tombola. Die Tabelle zeigt die Losverteilung und die damit jeweils verbundenen Gewinne. Anzahl der Lose Wert des Gewinns 50 Nieten Kein Gewinn 40 Kleingewinne Je 4,00 0 Hauptgewinne Je 20,00 Ein Los kostet 2,00. Berechnen Sie den Erwartungswert. Lösung:,-".0,20 Um den Gewinn für das soziale Projekt zu erhöhen, geben die Klassen 50 weitere Nieten in die Lostrommel. Welchen Betrag können die Abschlussklassen spenden, wenn alle Lose verkauft werden? Lösung:,-".0,56 ; / 40 Aufgabe W4a/202 Bei einer Wohltätigkeitsveranstaltung führt die Klasse 00 der Neckar-Realschule ein Glücksspiel durch. Die Sektoren des dafür verwendeten Glücksrades sind rot, gelb und blau gefärbt. Die Wahrscheinlichkeit für Rot beträgt 25 %, für Gelb. Das Glücksrad wird einmal gedreht. Folgender Gewinnplan ist vorgesehen: Farbe Gewinn Rot 4,00 Gelb,50 Blau 0,60 Pro Spiel werden 2,00 Einsatz verlangt. Berechnen Sie den Erwartungswert. Lösung:,-" 0,25 Die Klasse möchte ihren zu erwartenden Gewinn pro Spiel verdoppeln. Dabei sollen das Glücksrad und der Einsatz pro Spiel nicht verändert werden. Stellen Sie einen möglichen Gewinnplan auf. Lösung: Der Gewinnplan für Rot muss von 4 auf 3 geändert werden. Aufgabe W4a/203 Die beiden Netze zeigen die Augenzahlen zweier besonderer Spielwürfel. Beide Würfel werden gleichzeitig geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Sechs zu werfen? Lösung: 44,44 % Die beiden Würfel werden für ein Glücksspiel eingesetzt. Dazu wird nebenstehender Gewinnplan geprüft. Berechnen Sie den Erwartungswert. Lösung:,-.0,25
3 Der Veranstalter möchte beim Würfelnetz A die Fünf durch eine Sechs ersetzen. Der Gewinnplan soll gleichbleiben. Wäre dies für ihn vorteilhaft? Begründen Sie. Lösung: nicht vorteilhaft, da sich,- 0 ergibt. Aufgabe W4a/204 Acht gleich große Karten sind mit den Buchstaben, und 2 beschriftet. Die Karten liegen so auf dem Tisch, dass die Buchstaben nicht sichtbar sind. Es werden zwei Karten gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Karten mit verschiedenen Buchstaben zu ziehen? Die Karten sollen für ein Glücksspiel verwendet werden. Untenstehende Gewinnpläne werden geprüft. Für welchen Gewinnplan soll sich der Betreiber entscheiden? Begründen Sie Ihre Aussage. Ergebnis der Ziehung Gewinnplan Gewinnplan 2 Zwei gleiche Buchstaben 3,00 5,00 > >?? 3 > > > Der Buchstabe 3 ist gezogen 5,00 3,00 Restliche Möglichkeiten kein Gewinn kein Gewinn Einsatz pro Spiel: 2,50 Lösung: :6;<69: 9:70=" 60,7% Der Spielebetreiber sollte sich für Gewinnplan entscheiden.
4 Lösung W4a/200 Es handelt sich um Ziehen mit Zurücklegen. Aufstellung der Einzelwahrscheinlichkeit für die verschiedenen Zahlen. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Summe genau 30. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Summe größer als 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Summe kleiner als ;20,20;0 0;20 20;0 30 0;2020;0, % Die Summe größer als 2 hat das Gegenereignis Summe gleich ; % Die Summe kleiner als 30 hat das Gegenereignis Summe größer gleich 30. "30 # 30 40% "30 6, %
5 Lösung W4a/2009 Aufstellung einer 6-Zeilen-6-Spaltentabelle mit Eintragung der Elementarereignisse in die einzelnen Tabellenelemente. Ermittlung der gefragten Wahrscheinlichkeiten aus der Anzahl möglicher Elementarereignisse in der Tabelle. 2. Würfel/Wurf '. W ü r f e l ' ( ) * +, '' '( ') '* '+ ', ( (' (( () (* (+ (, ) )' )( )) )* )+ ), * *' *( *) ** *+ *, + +' +( +) +* ++ +,,,',(,),*,+,, -./0 "5 ;,:2,2;,2,2;,3,3, Die Wahrscheinlichkeit jedes Einzelelements der Tabelle beträgt ist -./0 " / /0 " / ,7 % 7 3,3 %, somit
6 Lösung W4a/200 Aufstellung der Einzelwahrscheinlichkeit für die verschiedenen Zahlen über die angegebenen Mittelpunkts-Winkel. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten - und : und Vergleich. Neuberechnung der Wahrscheinlichkeit für die Zahlen 4 und 5 über die neuen Mittelpunktswinkel. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten - und : und Vergleich ;5,2;6,3;6 : - 3;5 2;6 3;6-3;52;63;6 50 % : - 50% Es ist gleichgültig, für welche Gewinnsituation man sich entscheidet. Geänderter Mittelpunkts-Winkel für die 4 und die ;5-3;52;63;6 46,9 % : - < 53, % Man wird sich jetzt für Gewinnsituation : entscheiden. Lösung W4a/20 Aufgabe zum Erwartungswert. Aufstellen einer Tabelle aus drei Zeilen mit drei Spalten, die ersten zwei Spalten für die Gewinnsituationen, die dritte Spalte für die Niete. Eintragung der jeweiligen Gewinne abzüglich Lospreis in die ersten beiden Spalten der ersten Zeile. Eintragung des Lospreises mit negativem Vorzeichen in die dritte Spalte der ersten Zeile. Eintragung der Wahrscheinlichkeiten für die Gewinne in die ersten beiden Spalten der zweiten Zeile, Wahrscheinlichkeit für die Nieten in der dritten Spalte der zweiten Zeile. Spalten der Zeile eins und zwei vorzeichengerecht multiplizieren und in die Spalten der dritten Zeile eintragen. Vorzeichengerechte Addition der Spalteninhalte der dritten Zeile ergibt den Erwartungswert. Neuberechnung des Erwartungswertes mit erhöhter Losanzahl. Berechnung des Betrages, der gespendet werden kann über die Multiplikation von Anzahl der Lose mit dem Betrag des Erwartungswertes.
7 Berechnung der Erwartungswerte: 2 2, ,90 5 0,40 3 4,50 >? 0,90,40,50 0,20 Neuberechnung nach Erhöhung der Losanzahl: Berechnung der Erwartungswerte , , ,32 4 5,60 >? 0,720,32,60 0,56 Verkauf aller / >? 250 0,56 40 Die Schüler der Abschlussklasse können 40 spenden, wenn alle Lose verkauft werden. Lösung W4a/202 Aufgabe zum Erwartungswert. Aufstellen einer Tabelle aus drei Zeilen mit drei Spalten, ähnlich Aufgabe W4a/20. Da jedoch alle Farben gewinnen, wird keine Spalte für den Spieleinsatz eingetragen. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Farbe Blau über den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementereignisse eines Zufallsexperiments ist stets. Spalten der Zeile eins und zwei multiplizieren und in die Spalten der dritten Zeile eintragen. Vorzeichengerechte Addition der Spalteninhalte der dritten Zeile ergibt den Erwartungswert. Berechnung der Veränderung des Gewinnplans, damit der Gewinn pro Spiel verdoppelt wird. BCD.EF FE4 Berechnung der Erwartungswerte 4,50 0, ,00 0,50 0,25 >?,000,500,25,75 Gewinn pro >3/04DH>? 2,00,75 0,25
8 Verdoppelung des Gewinns: 2 0,25 0,50 2,00>? >?,50 Mit einer Veränderung des Gewinns von 4 auf 3 ergibt sich: >? 3,50 0,60 0,750,500,25,50 Der Gewinnplan muss von 4 auf 3 verändert werden, damit die Klasse den doppelten Gewinn macht. Lösung W4a/203 Wahrscheinlichkeit mindestens eine Sechs : Wir stellen die Wahrscheinlichkeit einer Sechs für Würfel - und Würfel : auf. Würfel - hat nur eine Sechs, also 6 J. Würfel : hat zwei Sechsen, also 6 K. Mindestens eine Sechs bedeutet eine Sechs oder zwei Sechsen. Am Wort mindestens erkennen wir, dass der schnellste Lösungsweg über das Gegenereignis führt, denn mindestens eine Sechs ist dasselbe wir keine Sechs. Keine Sechs bei Würfel - ist #6 J %, bei Würfel : jedoch #6 K%. Erwartungswert: Zunächst müssen wir die Einzelwahrscheinlichkeiten für die Ereignisse Pasch bestimmen. Aufgrund des Aufbaus der beiden Würfel sind nur die Ereignisse 5;5 und 6;6 möglich. 6 J und 6 K sind bereits bekannt, 5 J 5 K. Wir bestimmen nun den Erwartungswert über eine Tabelle. Ersatz der Fünf bei Würfel - durch eine Sechs : Durch den Ersatz ist nunmehr ein 5 er Pasch ausgeschlossen, es ist nur noch ein 6 er Pasch möglich, wobei jetzt 6 J 6 K ist. Wir berechnen den Erwartungswert neu und vergleichen diesen mit dem Vorwert. 6 J #6 J % 6 K #6 K % 3/L0D/ / ,4 % M Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Sechs zu werfen, beträgt 44,4 %.
9 Erwartungswert: ;5,6;6 5;56;6 5;5 Gewinn/Einsatz (? N ) 9? N? N 9? N >? Der Erwartungswert ist >? 0,25. Ersatz der Fünf bei Würfel - Es ist nur noch das Ereignis 6;6 möglich. 6 J 6 M,00, ,25 M M Gewinn/Einsatz,00,00 (? N ) 9? N 9 9? N 9? N 9 9 >? für den Veranstalter nicht vorteilhaft. Der Erwartungswer t nach Ersatz der Fünf bei Würfel - ist 0, d.h., das Spiel ist fair, das Ersetzen wäre Lösung W4a/204 Gleichzeitiges Ziehen von zwei Karten entspricht Ziehen von zwei Karten hintereinander ohne Zurücklegen. Die Wahrscheinlichkeit für zwei Karten mit unterschiedlichen Buchstaben ist die Wahrscheinlichkeit der Einzelereignisse -;:, :;-, :;O, O;:, -;O und O;-. Einfacher ist hier der Weg über das Gegenereignis, nämlich HG3.E356/ :560D4F/. Für die Prüfung der Gewinnpläne erstellen wir eine Tabelle zur Errechnung der Erwartungswerte.
10 -;- 7 ; :;: ; O;O 0 < < HG3 /DB0563LE356 :560D4F/ HG3.E356/:560D4F/ 60,7% Erwartungswerte: HG3.E356/:560D4F/ :560D4F O 30D.HC./ -;OO;-:;OO;: -;O, O;-, :;O, O;: < < < < :560D4F O 30D.HC./ 4 56 Gewinnplan.E356 :560D4F/ :560D4F O Einsatz Gewinn/Einsatz 0,50 2,50 2,50 (? N ) ? N ? N 9? N 0,20 0,62 0,9 >? 0,20 0,62 0,9 0,07 Gewinnplan 2.E356 :560D4F/ :560D4F O Einsatz Gewinn/Einsatz 2,50 0,50 2,50 (? N ) ? N ? N 9? N 0,9 0,2 0,9 >? 0,9 0,2 0,9 0,2 Der Spielebetreiber sollte sich für Gewinnplan entscheiden, da er hier auf lange Sicht gesehen einen Gewinn pro Spiel erzielt.
Realschulabschluss Zufall und Wahrscheinlichkeit (Wahlteil) Lösung W4a/2008 Lösungslogik Es handelt sich um Ziehen mit Zurücklegen. Aufstell
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=329 (Volumen der Pyramide) =7,0
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Aufgabe W2a/2012 =2 21. Das Dreieck und haben die Seite gemeinsam. Zeigen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte, dass gilt:
Aufgabe W1a/2012 Vom Trapez sind bekannt =9,2 =4,8 =4,0 =70 Ein Punkt liegt auf. ie Strecke halbiert die Trapezfläche. Berechnen Sie die Länge. Lösung =5,4 Aufgabe W1b/2012 as reieck und haben die Seite
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1,00 2,00 3,00 4,00 Bestimme den Gewinnerwartungswert. Entscheide, ob das Spiel fair ist.
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: /1 4 ; /1. : 40 (gleichschenkliges Dreieck )
Lösung W1a/2011 (einfach) Bestimmung von,, und. Berechnung von über den Sinussatz. Berechnung von über den Sinussatz. Berechnung von über den trigonometrischen Flächeninhalt. : 40 (gleichschenkliges Dreieck)
Level 1 Grundlagen Blatt 2
Level 1 Grundlagen Blatt 2 Dokument mit 1 Aufgaben Aufgabe A9 Ein Glücksrad besteht aus 3 Feldern, die folgendermaßen beschriftet sind: 1.Feld: 2,00 2. Feld: 5,00 3. Feld: 0,00 Das 1. Feld hat einen Mittelpunktswinkel
Aufgabe W1b/2013. Aufgabe W2a/2013 =3 (3+ 3) =3,4
Aufgabe W1a/2013 Im rechtwinkligen Dreieck liegt das gleichschenklige Dreieck. Es gilt =6,5 =51,2 = =3,5 Berechnen Sie den Winkel. Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks. Tipp Sinussatz für Lösung =32,4
Ereignis E: ist ein oder sind mehrere Ergebnisse zusammen genommen. Bsp. E = {2; 4; 6}
Laplace-Experimente Begriffsklärung am Beispiel eines Laplace-Würfel mit Augenzahlen (AZ) 1-6: Ergebnis: ist jeder Ausgang eines Zufallsexperimentes heißt ein Ergebnis ω dieses Zufallsexperimentes. Die
38 % Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den beiden gezogenen Kugeln eine rot und eine weiß ist? Lösung:
10 Aufgaben im Dokument Aufgabe P8/2008 In einem Behälter liegen fünf blaue, drei weiße und zwei rote Kugeln. Mona zieht eine Kugel, notiert die Farbe und legt die Kugel wieder zurück. Danach zieht sie
6,5 32,35 4,1165. = 3 : = 3 3,52,5964,116510,2125 Der Winkel ist 32,4 groß, der Umfang des Dreiecks beträgt 10,2 >.
Lösung W1a/2013 Berechnung im Dreieck über. Berechnung von im Dreieck über. Das Dreieck ist gleichschenklig, damit ist. Berechnung von über identisch mit ) Berechnung von im Dreieck über den. Berechnung
ω ) auftritt. Vervollständige den Satz, sodass eine mathematisch richtige Aussage entsteht. Wähle dazu die richtigen Satzteile aus.
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der unter exakt festgelegten Bedingungen abläuft, unter diesen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang ω Ω nicht eindeutig vorhersehbar ist.
'4% : '4% () trigonometrischer Flächeninhalt '4% 6,868 ()110,46 22,096
Aufgabe W1a/2014 Im Rechteck sind gegeben: =6,8 =4,2 =25,0 = Berechnen Sie die Länge. Lösung: =5,8 Tipp: Kosinussatz für. Aufgabe W1b/2014 Gegeben ist das Dreieck. ist der Mittelpunkt von. Weisen Sie ohne
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