Normalformen. Wie bei der Aussagenlogik lassen sich Formeln wieder in dazu äquivalente umwandeln, die eine bestimmte Form haben.

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1 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.5 Prädikatenlogik Normalformen 148 Normalformen Wie bei der Aussagenlogik lassen sich Formeln wieder in dazu äquivalente umwandeln, die eine bestimmte Form haben. Achtung: verschiedene Äquivalenzbegriffe möglich, z.b. starke Äquivalenz oder Erfüllbarkeitsäquivalenz sat Normalformen vereinfachen häufig Beweise hier: positive Normalform Pränex-Normalform Skolem-Normalform

2 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.5 Prädikatenlogik Normalformen 149 Positive Normalform Def.: Eine Formel ϕ ist in positiver Normalform, wenn das Negationssymbol in ihr nur unmittelbar vor atomaren Formeln der Form R(t 1,...,t n ) vorkommt. Als Operatoren sind nur,,, erlaubt. Theorem 18 Für jedes ϕ FO existiert ψ in positiver Normalform, so dass ϕ ψ und ψ = O( ϕ ). Beweis: Übung.

3 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.5 Prädikatenlogik Normalformen 150 Pränex-Normalform Def.: ϕ ist in Pränex-Normalform, falls ϕ = Q 1 x 1 Q 2 x 2...Q n x n χ wobei Q 1,...,Q n {, } und χ quantorenfrei. Theorem 19 Für jedes ϕ FO[=,τ] gibt es ψ in Pränex-Normalform, so dass ψ ϕ und ψ = O( ϕ ). Beweis: O.B.d.A. sei ϕ in positiver Normalform. Konstruktion von ψ per Induktion über den Aufbau von ϕ. Klar,fallsϕ atomar oder von der Form x ϕ oder x ϕ. Sei ϕ = ϕ 1 ϕ 2. Nach Hypothese gibt es ψ 1,ψ 2 in Pränex-Normalform, mit ϕ i ψ i.

4 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.5 Prädikatenlogik Normalformen 151 Seien Umwandlung in Pränex-Normalform ψ 1 = Q 1 x 1...Q n x n ψ 1 ψ 2 = Q 1y 1...Q my m ψ 2 Durch evtl. Umbenennen von gebundenen Variablen und Eliminieren von Quantoren über unbenutzten Variablen kann man erreichen, dass x i frei(ψ1 ) \ frei(ψ 2 ) für alle i =1,...,n, y i frei(ψ2 ) \ frei(ψ 1 ) für alle i =1,...,m. Durch sukzessives Anwenden der Äquivalenzen (Qx ϕ) ψ Qx (ϕ ψ) falls x frei(ψ) sieht man, dass z.b. ψ 1 ψ 2 Q 1 x 1...Q n x n Q 1y 1...Q my m ψ 1 ψ 2 Der Fall ϕ = ψ 1 ψ 2 ist analog.

5 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.5 Prädikatenlogik Normalformen 152 Skolem-Normalform Die obigen Normalformen beziehen sich auf echte Äquivalenz, die Skolem-Normalform jedoch nur auf Erfüllbarkeitsäquivalenz. Def.: ϕ ist in Skolem-Normalform, falls wobei ψ quantorenfrei ist. ϕ = x 1... x n ψ Def.: Mod(ϕ) :={(A,ϑ) A,ϑ = ϕ}, Mod(Φ) := {Mod(ϕ) ϕ Φ} Theorem 20 Zu jeder FO[=,τ]-Formel ϕ existiert eine FO[=,τ ]-Formel ψ in Skolem-Normalform mit τ τ, sodassϕ sat ψ, Mod(ψ) Mod(ϕ) und ψ = O( ϕ ).

6 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.5 Prädikatenlogik Normalformen 153 Konstruktion der Skolem-Normalform Beweis: O.B.d.A. sei ϕ in Pränex-Normalform. Falls kein im Quantorenpräfix vorkommt, dann ist ϕ bereits in Skolem-Normalform. Betrachte das äußerste. Sei also ϕ = x 1... x i 1 x i ψ Achtung: ψ ist nicht unbedingt quantoren-frei! Sei f ein Funktionssymbol, welches nicht in τ vorkommt. Definiere dieses als (i 1)-stellig und ϕ := x 1... x i 1 ψ[f (x 1,...,x i 1 )/x i ] Behauptung: ϕ erfüllbar gdw. ϕ erfüllbar (Übung). Dies wird solange iteriert, bis alle Existenzquantoren eliminiert sind.

7 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.5 Prädikatenlogik Normalformen 154 Skolem-Normalform von Formelmengen Formelmengen können auch skolemisiert werden Theorem 21 Für jede Menge Φ von FO[=,τ]-Formeln existiert τ τ und Menge Ψ von FO[=,τ ]-Formeln in Skolem-Normalform, so dass Ψ erfüllbar ist gdw. Φ erfüllbar ist und Mod(Ψ) Mod(Φ). Beweis: Übung. warum nicht einfach alle ϕ Φ einzeln skolemisieren? Def.: FO [=,τ] = Menge aller FO[=,τ]-Formeln in Skolem-Normalform Notation im Kontext von FO : x ψ für x 1... x n ψ und ψ quantoren-frei; ebenso ψ[ t/ x]