3.Inferenzsysteme 3.4 Logische Programme und Antwortmengensemantik

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1 Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen 3.Inferenzsysteme 3.4 Logische Programme und Antwortmengensemantik DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 1

2 Stratifizierte Programme (Whlg.) Sei P ein normales logisches Programm. Niveau-Abbildungen (level mappings) : H(P) N P heißt (lokal) stratifiziert ((locally) stratified), wenn es eine Niveau-Abbildung von P gibt, so dass für jede Regel r von P gilt: 1. für jedes A pos(r), und für H head(r) gilt A H ; 2. für jedes B neg(r), und für H head(r) gilt B < H. Theorem 1. [Apt, Blair & Walker, 1988] Ein stratifiziertes normales logisches Programm besitzt genau ein stabiles Modell. DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 2

3 Pinguin-Beispiel F (x) : x fliegt, P (x) : x ist ein Pinguin, V (x) : x ist ein Vogel, A(x) : x ist ein Ausnahmevogel (in Bezug auf Fliegen) P 4 : V (x) P (x)., A(x) P (x). F (x) V (x), not A(x). P (Tweety)., V (Polly). P 4 ist stratifiziert: F (Tweety) = F (Polly) = 1 A = 0 für alle anderen Grundatome A. S = {P (Tweety), V (Polly), V (Tweety), A(Tweety), F (Polly)} ist ein stabiles Modell (das einzige) von P 4. P 4 = stab V (Tweety), F (Tweety) P 4 = stab F (Polly), P (Polly) DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 3

4 Schwache und starke Negation Negation in normalen logischen Programmen durch CWA: negative Information wird nur implizit ausgedrückt kein Unterschied zwischen sicherem Nichtwissen und purer Unwissenheit Antwortmengensemantik: macht Unterscheidung möglich zwischen einer Anfrage, die fehlschlägt, weil sie nicht bewiesen werden kann, und einer Anfrage, die (in einem stärkeren Sinne) fehlschlägt, weil nämlich ihre Negation bewiesen werden kann. DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 4

5 Antwortmengen (answer sets) S ein Zustand; P ein erweitertes logisches Programm ohne Defaultnegation: S heißt Antwortmenge von P, wenn S eine minimale, unter P geschlossene Menge ist. mit Defaultnegation: S heißt Antwortmenge von P, wenn S Antwortmenge des Reduktes P S ist. DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 5

6 Antwortmengen Beispiel P 5 := { P (a) not Q(a)., P (b) not Q(b). Q(a). Q(a) not Q(a)., Q(b) not Q(b). } S = {Q(a), Q(b), P (b)} ist eine Antwortmenge zu P 5 : Konstruktion des Reduktes P S 5 : Q(a) S P (a)., Q(a). / P S 5 Q(b) / S P (b)., Q(b). P S 5 P S 5 = {Q(a)., P (b)., Q(b).} S ist trivialerweise Antwortmenge zu P S 5 und damit zu P 5. DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 6

7 Antwortmengensemantik S Antwortmenge, A Grundliteral A S : A ist wahr in S, A S : A ist falsch in S, A / S, A / S : Nichtwissen Inferenzrelation der Antwortmengensemantik (answer set semantics) P = as A gdw. (Literal) A wahr in allen Antwortmengen von P Antworten auf (literale) Anfragen Q an P: yes, wenn P = as Q; no, wenn P = as Q; unknown in allen anderen Fällen. DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 7

8 Anzahl von Antwortmengen Ein erweitertes logisches Programm P ohne Default-Negation besitzt wegen P S = P für jeden Zustand S höchstens eine Antwortmenge. Bei erweiterten logischen Programmen sind Stratifizierungen kein einfaches Hilfsmittel. Beispiel: {A., A.} hat keine Antwortmenge. DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 8

9 Bestimmung von Antwortmengen Proposition 1. Programms P. Sei S Antwortmenge eines erweiterten logischen 1. Sei r eine Regel von P. Ist pos(r) S und neg(r) S =, dann ist head(r) S. 2. Jedes Literal L S wird von P gestützt, d.h., es gibt eine Regel r P mit pos(r) S, neg(r) S =, und head(r) = L. Folgerungen: Jede Antwortmenge eines erweiterten logischen Programms P enthält alle Fakten von P. Antwortmengen von P können nur Literale enthalten, die als Kopf mindestens einer Regel in P auftreten. DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 9

10 Minimalität von Antwortmengen Proposition 2. Sei P ein erweitertes logisches Programm. Sind S 0 und S 1 Antwortmengen von P mit S 0 S 1, so gilt S 0 = S 1. DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 10

11 Pinguin-Beispiel (Forts.) P 6 : V (x) P (x). F (x) V (x), not F (x). F (x) P (x). P (Tweety). V (Polly). S 0 Antwortmenge von P 6 : P (Tweety), V (Polly) S 0 V (Tweety), F (Tweety) S 0 ; F (Polly) / S 0, denn es gibt keine Regel in P 6, die es stützen könnte; dann folgt F (Polly) S 0. DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 11

12 Pinguin-Beispiel (Forts.) S 0 = {P (Tweety), V (Polly), V (Tweety), F (Tweety), F (Polly)} Es ist P S 0 6 : V (x) P (x). F (x) P (x). P (Tweety). V (Polly). F (Polly) V (Polly). S 0 ist minimale, geschlossene Menge bezgl. P S 0 6 und damit Anwortmenge zu P 6. Jede Antwortmenge von P 6 enthält S 0 als Teilmenge, und aus Proposition 2 folgt, dass S 0 die einzige Antwortmenge von P 6 ist. P 6 = as V (Tweety), F (Tweety), F (Polly) DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 12

13 Pinguin-Beispiel mit Super-Tweety SP(x) x ist ein Super-Pinguin P 7 : V (x) P (x). F (x) V (x), not F (x). F (x) P (x), not F (x). P (x) SP(x)., F (x) SP(x). P (Tweety)., V (Polly). SP(Supertweety). Es gibt zwei Antwortmengen: S 1 = {P (Tweety), V (Polly), SP(Supertw.), V (Tweety), P (Supertw.), V (Supertw.), F (Supertw.), F (Polly), F (Tweety)} S 2 = {P (Tweety), V (Polly), SP(Supertw.), V (Tweety), P (Supertw.), V (Supertw.), F (Supertw.), F (Polly), F (Tweety)} DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 13

14 Constraints 1/2 Mittels Constraints kann man Antwortmengen mit unerwünschten Eigenschaften gezielt eliminieren. Beispiel: P 3 : P (a) not Q(a). Q(a) not P (a). P (c). P (a) R(a). Q(a) S 1 = {P (a), P (c)}, S 2 = {Q(a), P (c)} wird eliminiert DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 14

15 Constraints 1/2 Mittels Constraints kann man Antwortmengen mit unerwünschten Eigenschaften gezielt eliminieren. Beispiel: P 3 : P (a) not Q(a). Q(a) not P (a). P (c). P (a) R(a). Q(a) S 1 = {P (a), P (c)}, S 2 = {Q(a), P (c)} wird eliminiert DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 15

16 Constraints 2/2 Proposition 3. Sei P ein erweitertes logisches Programm, und sei P das aus P durch Hinzufügen des Constraints A 1,..., A n, not B 1,..., not B m. entstandene Programm. Ein Zustand S ist genau dann eine Antwortmenge von P, wenn S eine Antwortmenge von P ist derart, dass nicht gleichzeitig {A 1,..., A n } S und {B 1,..., B m } S = gilt. DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 16

17 Logische Programme Überblick logische Programme: klassische normale erweiterte Syntax Atome Atome Literale not (Defaultnegation) not (Defaultnegation) (logische Negation) Beispiele P (a). P (a) not Q(a). F (a) V (a), not F (a). P (b) P (c). Q(a). F (a) P (a). Semantik kleinstes stabile Modelle Antwortmengen Herbrandmodell (Atommengen) (Literalmengen) DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 17

18 Logische Programme Semantik Stabile Modelle und Antwortmengen basieren auf dem Begriff des minimalen, geschlossenen Zustands (Verallgemeinerung des kleinsten Herbrandmodells); werden definiert mittels des Gelfond-Lifschitz-Reduktes (logisches Programm ohne Default-Negation); Default-Negation ist verantwortlich für das Entstehen mehrerer Modelle. Antwortverhalten ist dreiwertig: yes, no und unknown; stabile Semantik benutzt CWA, Antwortmengensemantik berücksichtigt nur klassische Negation. DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 18

19 Vergleich der Semantiken Proposition 4. Ist P ein klassisches logisches Programm, so stimmt seine Antwortmenge mit seinem kleinsten Herbrandmodell überein. Ist P ein normales logisches Programm, so sind seine stabilen Modelle identisch mit seinen Antwortmengen. DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 19

20 Stabile Semantik und ASP-Semantik: Unterschied Stabile Modelle sind insbesondere Antwortmengen, aber: Wird eine (atomare) Anfrage Q an ein normales logisches Programm P unter der stabilen Semantik mit no beantwortet, so bedeutet das, dass Q in keinem stabilen Modell liegt; unter der Antwortmengensemantik lautet die Antwort auf dieselbe Anfrage daher unknown. Beispiel: P 0 : P (a) not Q(a). P (b) not Q(b). Q(a)., S = {Q(a), P (b)} Anfragen an P 0 : Q(a) Q(b) stabile Semantik: yes no Antwortmengensemantik: yes unknown DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 20

21 Stabile Semantik und ASP-Semantik: Syntaktische Verbindung 1/2 Normale logische Programme stellen eine Unterklasse der erweiterten logischen Programme dar. Jedes erweiterte logische Programm kann auf ein normales logisches Programm reduziert werden: Repräsentiere negierte Literale P (t 1,..., t n ) durch neue Atome P (t 1,..., t n ) (positive Form, ( P (t 1,..., t n )) + ); bilde positive Form P + von P durch Ersetzen der negierten Atome durch ihre positive Form und Hinzufügen der Constraints P (t 1,..., t n ), P (t 1,..., t n ) DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 21

22 Stabile Semantik und ASP-Semantik: Syntaktische Verbindung 2/2 P + ist ein normales logisches Programm, und die positiven Formen der Antwortmengen von P entsprechen gerade den Antwortmengen (stabilen Modellen) von P +. (s. [Baral & Gelfond, 1994], [Gelfond & Lifschitz, 1991]) DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 22

23 Stabile Semantik und ASP-Semantik: Semantische Verbindung P 0 = P (x) not Q(x)., Q(a). mit Antwortmenge S = {Q(a), P (b)} P 5 = P 0 { Q(a) not Q(a)., Q(b) not Q(b).} =: CWA Q (P 0 ) mit Antwortmenge S 1 = {Q(a), P (b), Q(b)} P 0 = as Q(a), P 0 = as Q(b), P 0 = stab Q(b) yes unknown no P 5 = as Q(a), P 5 = as Q(b) yes no DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 23

24 ASP, stabile Semantik und CWA 1/3 P Pred P normales logisches Programm Menge der Prädikate, die in P auftreten Wir formulieren für jedes dieser Prädikate die explizite closed world assumption und bilden die CWA-Erweiterung von P: CWA(P) := P { P (x 1,..., x n ) not P (x 1,..., x n ). P Pred P } CWA(P) ist ein erweitertes logisches Programm. DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 24

25 ASP, stabile Semantik und CWA 2/2 Die folgende Proposition stellt eine genaue Beziehung her zwischen den stabilen Modellen eines normalen logischen Programms P und den Antwortmengen seiner CWA-Erweiterung CWA(P). Proposition 1. [Baral & Gelfond, 1994] Sei P ein normales logisches Programm. Ist S ein stabiles Modell von P, so ist S { A A H(P)\S} (1) eine Antwortmenge von CWA(P), wobei H(P) die Herbrandbasis zu P ist. Umgekehrt lässt sich jede Antwortmenge von CWA(P) als Erweiterung der Form (1) eines stabilen Modells S von P darstellen. DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 25

26 ASP, stabile Semantik und CWA 3/3 Damit lassen sich nun auch stabile und Antwortmengensemantik normaler logischer Programme zueinander in Beziehung setzen. Proposition 5. Sei P ein normales logisches Programm. Für jedes Grundliteral L gilt: (s. [Baral & Gelfond, 1994]) P = stab L gdw. CWA(P) = as L Stabile Semantik = ASP + CWA DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 26

27 ASP Fixpunktsemantik Der Durchschnitt zweier geschlossener Zustände ist wieder geschlossen. Zu einem erweiterten logischen Programm P ohne Default- Negation gibt es also höchstens einen minimalen geschlossenen Zustand Cl (P). Definiere Operator γ P auf den Zuständen S durch γ P (S) = Cl (P S ) Dann ist S Antwortmenge von P genau dann, wenn gilt S = γ P (S) DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 27

28 Erweiterungen des ASP Disjunktive Information im Regelkopf Default-Negation im Regelkopf DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 28

29 Disjunktive logische Programme Ein disjunktives logisches Programm enthält Regeln der Form r : H 1 or... or H k A 1,..., A n, not B 1,..., not B m. mit Literalen A 1,..., A n, B 1,..., B m, H 1,..., H k. head(r) = {H 1,..., H k } Kopfliterale or epistemische Disjunktion A or B A B denn: A B = true A or B ist wahr A oder B ist wahr ist Agent glaubt, A sei wahr oder B sei wahr aber möglich: A A A or A nicht wahr DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 29

30 Geschlossene Zustände und Redukte (Erw.) P disjunktives logisches Programm ohne Default-Negation S Zustand S heißt geschlossen unter P, wenn für jede Regel r aus P gilt: Ist pos(r) S, so ist head(r) S. Redukt P S von P bzgl. S: P S :={H 1 or... or H k A 1,..., A n. H 1 or... or H k A 1,..., A n, not B 1,..., not B m. P, {B 1,..., B m } S = } DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 30

31 Antwortmengen disjunktiver logischer Programme S ein Zustand; P ein disjunktives logisches Programm ohne Defaultnegation: S heißt Antwortmenge von P, wenn S eine minimale, unter P geschlossene Menge ist mit Defaultnegation: S heißt Antwortmenge von P, wenn S Antwortmenge des Reduktes P S ist. DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 31

32 Bestimmung von Antwortmengen Proposition 6. Programms P. Sei S Antwortmenge eines disjunktiven logischen 1. Sei r eine Regel von P. Ist pos(r) S und neg(r) S =, dann ist head(r) S. 2. Jedes Literal L S wird von P gestützt, d.h., es gibt eine Regel r P mit pos(r) S, neg(r) S =, und head(r) S = {L}. (vgl. Proposition 1) DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 32

33 Disjunktives ASP Beispiel Die beiden mechanischen Arme a l und a r eines Roboters sind brauchbar, wenn man davon ausgehen kann, dass sie nicht gebrochen sind. Sind sie aber gebrochen, so sind sie definitiv unbrauchbar. Wir wissen, dass einer der Arme des Roboters NR-5 gebrochen ist, wir wissen jedoch nicht welcher. P 8 : usable(x) not broken(x). usable(x) broken(x). broken(a l ) or broken(a r ). S 1 = {broken(a r ), usable(a l ), usable(a r )} S 2 = {broken(a l ), usable(a r ), usable(a l )} DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 33

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