Logische Folgerung. Definition 2.11

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1 Logische Folgerung Definition 2.11 Sei 2A eine aussagenlogische Formel und F eine endliche Menge aussagenlogischer Formeln aus A. heißt logische Folgerung von F genau dann, wenn I ( ) =1für jedes Modell I von F ist. Wir schreiben F = und sprechen aus F folgt (logisch). Bemerkung: Statt von logischer Folgerung spricht man auch von semantischer Folgerung und sagt, dass aus F semantisch folgt. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 66 / 250

2 Beispiel 2.12 Aussagenlogik (i) Für F = {p, q} gilt F = p ^ q, dennfür jedes Modell I von F muss I(p) =1undI(q) = 1 gelten, damit gilt aber auch I (p ^ q) = 1. (ii) Für F = {p! q, q! r} gilt F = p! r, dennf besitzt die Modelle (1) I(p) =1 I(q) =1 I(r) =1 (2) I(p) =0 I(q) =1 I(r) =1 (3) I(p) =0 I(q) =0 I(r) =1 (4) I(p) =0 I(q) =0 I(r) =0 und für jedes dieser Modelle gilt I (p! r) = 1. (iii) Für F = {p! r, q _ r} gilt nicht F = p ^ r, denn die Belegung I(p) =0, I(q) =I(r) = 1 ist ein Modell von F, aberi (p ^ r) = 0. Bemerkung: Wenn aus F eine Formel nicht gefolgert werden kann, notieren wir dies auch in der Form F 6 =. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 67 / 250

3 Zusammenhang von logischer Folgerung und Unerfüllbarkeit Satz 2.13 Sei F = { 1, 2,..., n } eine Menge aussagenlogischer Formeln und 2A. Dann gilt F = genau dann, wenn { 1, 2,..., n, } unerfüllbar ist. Bemerkung: Dieser Satz ist wichtig für die Programmierung von automatischen Beweisern, die die Gültigkeit von Formeln nachweisen wollen. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 68 / 250

4 Beweis. Wir zeigen: (i) Wenn F = gilt, dann ist { 1, 2,..., n, } unerfüllbar. (ii) Wenn { 1, 2,..., n, } unerfüllbar ist, dann gilt F =. Zu (i): Sei I ein Modell für F. D. h. I ( i )=1für alle i. Wegen F = gilt dann auch I ( ) = 1. Daraus folgt I ( ) = 0. Somit gibt es keine Interpretation I mit I ( i )=1für alle i und I ( ) = 1. Also ist { 1, 2,..., n, } unerfüllbar. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 69 / 250

5 Fortsetzung Beweis. Zu (ii): Sei I ein beliebiges Modell für F. D. h. I ( i )=1für alle i. Da { 1, 2,..., n, } unerfüllbar ist, muss I ( ) = 0 gelten (ansonsten wäre die Menge erfüllbar). Damit gilt aber I ( )=1 und somit F =. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 70 / 250

6 Folgerung 2.14 (i) Eine Formel 2Aist eine Tautologie genau dann, wenn eine Kontradiktion ist. (ii) 2Aist eine Tautologie genau dann, wenn ; = gilt. (iii) Ist F eine unerfüllbare Formelmenge, dann gilt F = 2A. für jede Formel Bemerkungen: Statt ; = schreibt man üblicherweise =. Aussage (iii) bedeutet, dass man aus einer unerfüllbaren Formelmenge jede beliebige Formel folgern kann. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 71 / 250

7 Beweis. (i) Folgt unmittelbar aus Definition 2.8. (ii) Folgt aus Satz 2.13 mit F = ;. (iii) Wenn F = { 1,..., n } unerfüllbar ist, dann ist auch { 1,..., n, } unerfüllbar. Mit Satz 2.13 folgt F =. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 72 / 250

8 Deduktion und Modus Ponens Satz 2.15 (i) Für jede Menge F = { 1,..., n } aussagenlogischer Formeln und für alle, 2Agilt { 1,..., n, } = genau dann, wenn F =! gilt. (ii) Für alle Formeln, 2Agilt {,! } =. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 73 / 250

9 Beweis. (i) Es gilt { 1,..., n } =! (ii) Es gilt gdw. { 1,..., n, (! )} unerfüllbar ist gdw. { 1,..., n, ^ } unerfüllbar ist gdw. { 1,..., n,, } unerfüllbar ist gdw. { 1,..., n, } = gilt. {,! } = genau dann, wenn {,!, } unerfüllbar ist.. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 74 / 250

10 Satz 2.16 Es seien F eine Menge aussagenlogischer Formeln und 2A.Dann gelten die folgenden Aussagen: (i) Gilt F =, dannauchf[{ } = für alle Formeln 2A. (ii) Gilt F = und ist 2Aallgemeingültig, dann gilt F\{ } =. Bemerkung: F\{ } bedeutet, dass die Formel F entfernt wird. Beweis. Übungsaufgabe. aus der Formelmenge Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 75 / 250

11 Implikation Definition 2.17 Gilt für aussagenlogische Formeln 1, 2,..., n und Subjunktion ( 1 ^ 2 ^...^ n )!,dassdie eine Tautologie ist, dann heißt diese Subjunktion Implikation, und wir schreiben ( 1 ^ 2 ^...^ n ) ) und sprechen 1, 2,..., n implizieren. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 76 / 250

12 Beispiel 2.18 Es seien,, 2A, dann gelten die folgenden Implikationen. (i) Abschächung der Nachbedingung: ) ( _ ) (ii) Verschärfung der Vorbedingung: ( ^ ) ) (iii) Kettenschluss: (! ) ^ (! ) ) (! ) Überprüfung:. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 77 / 250

13 ! vs. ) Auf den ersten Blick scheinen die Symbole! und ) dasselbezu bedeuten. Dies ist aber nicht der Fall.! ist ein Symbol in der Sprache der Aussagenlogik. Es verknüpft zwei logische Formeln miteinander. Das Symbol ) verwenden wir dagegen metasprachlich, umeine Aussage über eine Eigenschaft aussagenlogischer Formeln zu machen. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 78 / 250

14 Äquivalenz der Folgerungsbegri e Satz 2.19 Für aussagenlogische Formeln 1, 2,..., n, gilt. { 1, 2,..., n } = genau dann, wenn ( 1 ^ 2 ^...^ n ) ) gilt Beweis. Wir setzen F = { 1, 2,..., n } und zeigen: (i) Wenn F = gilt, dann gilt auch ( 1 ^ 2 ^...^ n ) ). (ii) Wenn ( 1 ^ 2 ^...^ n ) ) gilt, dann gilt auch F =. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 79 / 250

15 Syntaktische Folgerung Syntaktische Folgerung heißt, dass eine Folgerung vorgenommen wird, ohne die Semantik der beteiligten Formeln zu berechnen. Die Folgerung geschieht, indem in einer Formel Teilformeln durch andere Formeln ersetzt werden. Diese Ersetzung von Formeln geschieht wiederum mithilfe sogenannter Inferenzregeln. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 80 / 250

16 Inferenzregel Definition 2.20 (i) Seien 1, 2,..., n, aussagenlogische Formeln, für die die Implikation ( 1 ^ 2 ^...^ n ) ) gilt. Dann heißt 1, 2,..., n Ableitungs- oder Inferenzregel. Die Formelmenge { 1, 2,..., n } heißt Prämisse und heißt Konklusion dieser Inferenzregel. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 81 / 250

17 Fortsetzung Definition. (ii) Sei I I I I I eine aussagenlogische Formel, F = { 1,..., n } eine Menge aussagenlogischer Formeln, { 1,..., k} irgendeine Auswahl von Formeln aus F und { 1,..., m} die Menge der nicht ausgewählten Formeln aus F sowie 1, 2,..., k eine Inferenzregel, dann heißt { 1, 2,..., m, } ableitbar aus F, undwirschreiben F`{ 1, 2,..., m, }. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 82 / 250

18 Fortsetzung Definition. (iii) Eine aussagenlogische Formel ist ableitbar aus einer Menge F von aussagenlogischen Formeln, falls es Mengen aussagenlogischer Formeln F 1, F 2,...,F r, r 0 gibt mit F`F 1 `F 2 ` `F r `{ }. Wir notieren dann F` und sagen, dass logisch aus F ableitbar ist. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 83 / 250

19 Beispiel 2.21 (i) Modus Ponens als Inferenzregel:,! (ii) Modus Tollens: (iii) Reduction ad absurdum:!, ( _ )!,( _ )! (iv) Kettenschluss:!,!! Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 84 / 250

20 Fortsetzung Beispiel. (v) Es gilt und damit {!,,! } ` {,! }`{ } {!,,! }`{ }. Die erste Ableitung erfolgt mithilfe des Modus Tollens, die zweite mithilfe des Modus Ponens. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 85 / 250

21 Kalkül Die logische Ableitung geschieht, indem eine Menge von aussagenlogischen Formeln aufgrund von Inferenzregeln oder bereits durchgeführten logischen Ableitungen verändert wird. Die Semantik der Formeln wird dabei niemals betrachtet. Die korrekte Semantik wird nur einmalig für die benutzten Inferenzregeln vorausgesetzt (Definition 2.20). Solche syntaktischen Ableitungssysteme nennt man Kalküle. Kalküle sind gut geeignet für die Programmierung von logischen Schlussfolgerungsmechanismen auf Rechnern, z. B. in der Künstlichen Intelligenz. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 86 / 250

22 Korrektheit und Vollständigkeit Kriterien für einen Kalkül: Widerspruchsfreiheit bzw. Korrektheit: Gilt F`, dann gilt auch F = Jede syntaktisch abgeleitete Formel ist semantisch korrekt. Vollständigkeit: Gilt F =, dann gilt auch F` Jede semantisch korrekte Formel lässt sich auch syntaktisch ableiten. Im übernächsten Abschnitt lernen Sie einen korrekten und vollständigen Kalkül für die Aussagenlogik kennen. Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester 2015/16 87 / 250

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