Fachmodul Ökologische Modellbildung

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1 1/ 28 Fachmodul Ökologische Modellbildung Mathematische Grundlagen II: Modelle und Logik B. Trancón y Widemann & M. Hauhs

2 2/ 28 Modellbegri Allgemeiner Modellbegri? Ein Modell ist ein System, das als Repräsentant eines komplizierten Originals auf Grund mit diesem gemeinsamer, für eine bestimmte Aufgabe wesentlicher Eigenschaften von einem dritten System benutzt, ausgewählt oder geschaen wird, um letzterem die Erfassung oder Beherrschung des Originals zu ermöglichen oder zu erleichtern, beziehungsweise um es zu ersetzen. K.D. Wüsteneck. Zur philosophischen Verallgemeinerung und Bestimmung des Modellbegris. Deutsche Zeitschrift für Philosophie (1963).

3 3/ 28 Modelle als Objekte der Anschauung Intuitive Eigenschaften

7 4/ 28 Modelle als Objekte der Sprache Logische Eigenschaften A Calabi-Yau manifold M of dimension n is a compact n- dimensional Kähler manifold satisfying one of the following equivalent conditions: The canonical bundle of M is trivial. M has a holomorphic n-form that vanishes nowhere. The structure group of M can be reduced from U(n) to SU(n) The rst integral Chern class c 1 (M) vanishes. M has a Kähler metric with global holonormy contained in SU(n). Wikipedia. Calabi-Yau manifold.

8 4/ 28 Modelle als Objekte der Sprache Logische Eigenschaften Ab einem Wasserstand von 1,20m (Brusthöhe) beginnt der Soldat selbständig mit Schwimmbewegungen. Die Gruÿpicht entfällt hierbei. Zentrale Dienstvorschrift der Bundeswehr.

9 5/ 28 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Aufbau funktionaler Modelle Hierarchische Abhängigkeit des Zustands des zusammengesetzten Systems aus den Zuständen der Bestandteile Teil-Ganzes-Beziehung fundiert durch atomare Bestandteile

10 5/ 28 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Aufbau funktionaler Modelle Hierarchische Abhängigkeit des Zustands des zusammengesetzten Systems aus den Zuständen der Bestandteile Teil-Ganzes-Beziehung fundiert durch atomare Bestandteile Logik funktionaler Modelle Regel was verschieden zusammengesetzt ist, ist verschieden Ausnahme bestimmte Zusammensetzungen sind gleichwertig Deutung Naturgesetze Format Gleichungen Schlussweise Kongruenz

11 6/ 28 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Das Kongruenzprinzip Schlussregel gleichförmige Zusammensetzungen aus gleichwertigen Bestandteilen sind wieder gleichwertig Schlagwort Ununterscheidbarkeit des Identischen (Descartes) Wirkung Umformen durch Einsetzen

12 7/ 28 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Schluss durch Kongruenz Kaiser(Karl, 5, HRDN) = König(Karl, 1, E) Sohn(König(Karl, 1, E), 1) = König(Philipp, 2, E)

13 7/ 28 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Schluss durch Kongruenz Kaiser(Karl, 5, HRDN) = König(Karl, 1, E) Sohn(König(Karl, 1, E), 1) = König(Philipp, 2, E) Sohn(Kaiser(Karl, 5, HRDN), 1) = König(Philipp, 2, E)

14 8/ 28 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Anwendung: Elastischer Stoÿ

15 9/ 28 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Newtons Mechanik-Modell Bestandteile Masse m Position x Geschwindigkeit v Massenpunkt B(m, x, v) Abgeleitete Gröÿen Energie E(B(m, x, v)) = 1 2 mv 2 Impuls p(b(m, x, v)) = mv

16 9/ 28 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Newtons Mechanik-Modell Systemzustand Vorher Nachher Kugel 1 B 1a = B(m 1, x 1a, v 1a ) B 1b = B(m 1, x 1b, v 1b ) Kugel 2 B 2a = B(m 2, x 2a, v 2a ) B 2b = B(m 2, x 2b, v 2b ) Dynamik v = dx dt Erhaltungsgesetze p(b 1a ) + p(b 2a ) = p(b 1b ) + p(b 2b ) E(B 1a ) + E(B 2a ) = E(B 1b ) + E(B 2b )

17 10/ 28 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Newtons Mechanik-Modell p(b 1a ) + p(b 2a ) = p(b 1b ) + p(b 2b ) E(B 1a ) + E(B 2a ) = E(B 1b ) + E(B 2b )

18 10/ 28 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Newtons Mechanik-Modell m 1 v 1a + m 2 v 2a = m 1 v 1b + m 2 v 2b 1 2 m 1v 2 1a m 2v 2 2a = 1 2 m 1v b 2 m 2v 2 2b

19 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Newtons Mechanik-Modell v 2b = v 2a + m 1 m 2 (v 1a v 1b ) m 1 v 2 1a + m 2 v 2 2a = m 1 v 2 1b + m 2v 2 2b 10/ 28

20 10/ 28 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Newtons Mechanik-Modell m 1 v 2 1a + m 2 v 2 2a = m 1 v 2 + m ( 1b 2 v2a + m 1 (v 1a v 1b ) ) 2 m 2

21 10/ 28 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Newtons Mechanik-Modell m 1 v 2 2 m 2 v 1a + v 2a 1b m 1 v 1b + ( m 1 m 2 1)v 2 1a + 2v 1a v 2a m m m = 0

22 10/ 28 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Newtons Mechanik-Modell v 1b = m 1 m 2 v 1a + v 2a m 1 m ± v 1a v 2a m 1 m 2 + 1

23 10/ 28 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Newtons Mechanik-Modell v 1b { v 1a, v 1a 2 v 1a v 2a m 1 m }

24 11/ 28 Logik und Modelltypen Funktionaler Typ Aufbau funktionaler Modelle Hierarchische Abhängigkeit des Zustands des zusammengesetzten Systems aus den Zuständen der Bestandteile Teil-Ganzes-Beziehung fundiert durch atomare Bestandteile Logik funktionaler Modelle Regel was verschieden zusammengesetzt ist, ist verschieden Ausnahme bestimmte Zusammensetzungen sind gleichwertig Deutung Naturgesetze Format Gleichungen Schlussweise Kongruenz

25 12/ 28 Logik und Modelltypen Interaktiver Typ Aufbau interaktiver Modelle Nicht hierarchische Abhängigkeiten des Verhaltens von Systemaspekten Aktiv-Passiv-Beziehung Selbstbezug (Rekursion), unendlicher Regress

26 12/ 28 Logik und Modelltypen Interaktiver Typ Aufbau interaktiver Modelle Nicht hierarchische Abhängigkeiten des Verhaltens von Systemaspekten Aktiv-Passiv-Beziehung Selbstbezug (Rekursion), unendlicher Regress Logik interaktiver Modelle Regel was verhaltensmäÿig beschreibbar ist, kommt vor Ausnahme bestimmte Verhaltensweisen sind ausgeschlossen Deutung Normen, Regeln, Bestrebungen, Randbedingungen Format Modalaussagen Schlussweise Bisimulation

27 13/ 28 Logik und Modelltypen Interaktiver Typ Das Bisimulationsprinzip Schlussregel durch fortgesetztes Beobachten von Verhalten ununterscheidbare Elemente sind gleichwertig Schlagwort Identität des Ununterscheidbaren (Leibniz) Wirkung Zustand nur indirekt als Ursache von Verhalten relevant

28 14/ 28 Logik und Modelltypen Interaktiver Typ Der Turing-Test für Intelligenz I believe that in about fty years' time it will be possible to programme computers, with a storage capacity of about 10 9, to make them play the imitation game so well that an average interrogator will not have more than 70 percent chance of making the right identication after ve minutes of questioning. I believe that at the end of the century the use of words and general educated opinion will have altered so much that one will be able to speak of machines thinking without expecting to be contradicted. A. Turing. Computing Machinery and Intelligence. Mind, 59 (236), 1950.

29 15/ 28 Logik und Modelltypen Interaktiver Typ Erklärung und Ursache (Aristoteles) Eine Ursache ist eine Antwort auf eine Warum?-Frage Vier verschiedene Arten: Material causa materialis Form causa formalis Wirkung causa eciens Zweck causa nalis Die Materialursache einer Bildsäule ist das Erz, aus dem sie besteht; die Formursache hingegen die Kunst des Bildhauers, der sie formt.... Der Vater ist die Wirkursache des Kindes; die Gesundheit ist die Zweckursache des Sportes. Aristoteles. Metaphysik.

30 16/ 28 Logik und Modelltypen Interaktiver Typ Nachhaltigkeit sustainable of, relating to, or being a method of harvesting or using a resource so that the resource is not depleted or permanently damaged MerriamWebster Online Dictionary. sustainable.

31 16/ 28 Logik und Modelltypen Interaktiver Typ Nachhaltigkeit sustainable of, relating to, or being a method of harvesting or using a resource so that the resource is not depleted or permanently damaged MerriamWebster Online Dictionary. sustainable. Welche Art von Ursachen sind use und damage?

32 16/ 28 Logik und Modelltypen Interaktiver Typ Nachhaltigkeit sustainable of, relating to, or being a method of harvesting or using a resource so that the resource is not depleted or permanently damaged MerriamWebster Online Dictionary. sustainable. Welche Art von Ursachen sind use und damage? Welche Art von Ursachen sind in der Physik zulässig?

33 17/ 28 Logik und Modelltypen Interaktiver Typ Logische Beschreibung von Verhalten möglich erlaubt bekannt beobachtet erwünscht vermutet geeignet typisch

34 18/ 28 Modallogik Modallogische Aussagen P P Q P Q P P P

35 18/ 28 Modallogik Modallogische Aussagen P P Q P Q P P P Alethische Kategorie P es ist wahr, dass P gilt P es ist notwendig, dass P gilt P es ist möglich, dass P gilt P P es ist kontingent, ob P gilt

36 18/ 28 Modallogik Modallogische Aussagen P P Q P Q P P P Deontische Kategorie P du tust P P du sollst P tun P du darfst P tun

37 18/ 28 Modallogik Modallogische Aussagen P P Q P Q P P P Epistemische Kategorie P ich weiss P P ich kann P nicht ausschliessen

38 18/ 28 Modallogik Modallogische Aussagen P P Q P Q P P P Doxastische Kategorie P ich glaube P P ich halte P für denkbar

39 18/ 28 Modallogik Modallogische Aussagen P P Q P Q P P P Temporale Kategorie (1) P P gilt jetzt P P gilt dauerhaft P P gilt irgendwann

40 18/ 28 Modallogik Modallogische Aussagen P P Q P Q P P P Temporale Kategorie (2) P P gilt jetzt P P gilt ab sofort immer P P gilt noch einmal

41 19/ 28 Modallogik Formalisierung durch Axiome Syntaktischer Ansatz: Axiome logische Naturgesetze an Beispielsätzen einzeln zu überprüfen Kategorie repräsentiert durch Auswahl

42 20/ 28 Modallogik Formalisierung durch Axiome Distributionsgesetz Testsätze (P Q) ( P Q) Deontisch Wenn gilt, wer A sagt muss auch B sagen, dann muss, wer A sagen muss, auch B sagen. (richtig) Temporal Wenn P Q dauerhaft implizert, dann impliziert dauerhaftes P auch dauerhaftes Q. (richtig)

43 21/ 28 Modallogik Formalisierung durch Axiome Reexivitätsgesetz P P Testsätze Alethisch Was notwendigerweise gilt, das gilt. Epistemisch Was ich weiss, das ist wahr. Deontisch Was du tun sollst, das tust du. Temporal Was dauerhaft gilt, gilt auch jetzt. (richtig) (unklar) (falsch) (richtig)

44 22/ 28 Modallogik Formalisierung durch Axiome Serialitätsgesetz Testsätze P P Alethisch Was notwendigerweise gilt, das gilt möglicherweise. (richtig) Epistemisch Was ich weiss, das kann ich nicht ausschliessen. (richtig) Deontisch Du darfst, was du sollst. Temporal Was dauerhaft gilt, gilt irgendwann. (unklar) (richtig)

45 23/ 28 Modallogik Formalisierung durch Axiome Barmherzigkeitsgesetz Testsätze P P Alethisch Was gilt, ist notwendigerweise möglich. (richtig) Epistemisch Ich weiss von allem, was wahr ist, dass ich es nicht ausschliessen kann. (unklar) Doxastisch Ich glaube, dass denkbar ist, was gilt. Deontisch Du sollst dürfen, was du tust. Temporal (1) Was jetzt gilt, gilt dauerhaft irgendwann. (richtig) (falsch) (richtig) Temporal (2) Was jetzt gilt, gilt ab sofort immer noch einmal. (falsch)

46 24/ 28 Modallogik Formalisierung durch Axiome Transitivitätsgesetz Testsätze P P Alethisch Was notwendig ist, ist notwendigerweise notwendig. (unklar) Epistemisch Ich weiss, dass ich weiss, was ich weiss. Doxastisch Ich glaube, dass ich glaube, was ich glaube. Deontisch Du sollst sollen, was du sollst. (unklar) (unklar) (unklar) Temporal Was dauerhaft gilt, gilt dauerhaft dauerhaft. (richtig)

47 25/ 28 Modallogik Formalisierung durch Modelle Semantischer Ansatz: Logische Modelle nicht verwechseln mit wissenschaftlichen Modellen! Interpretation von logischen Variablen als Eigenschaften mathematischer Objekte Welche Interpretationen sind wahrheitsgemäÿ? für klassische Logik: Boolesche Algebra (Wahrheitswerte) nicht direkt auf modale Logik übertragbar

48 25/ 28 Modallogik Formalisierung durch Modelle Semantischer Ansatz: Logische Modelle nicht verwechseln mit wissenschaftlichen Modellen! Interpretation von logischen Variablen als Eigenschaften mathematischer Objekte Welche Interpretationen sind wahrheitsgemäÿ? für klassische Logik: Boolesche Algebra (Wahrheitswerte) nicht direkt auf modale Logik übertragbar Zutat: Mögliche Welten von Leibniz eingeführt zur Unterscheidung von Vernunftwahrheiten (wahr in allen möglichen Welten) Tatsachenwahrheiten (wahr in dieser Welt) von Kripke mit logischen Modellen kombiniert

49 26/ 28 Modallogik Formalisierung durch Modelle Modale Modelle Menge von Welten Alethisch mögliche Welten Deontisch Tatbestände Temporal Zeitpunkte

50 26/ 28 Modallogik Formalisierung durch Modelle Modale Modelle Menge von Welten Zugänglichkeitsrelation Axiom relationale Eigenschaft Deontisch erlaubte Folgehandlungen Temporal (1) vorwärts & rückwärts in der Zeit Temporal (2) vorwärts in der Zeit

51 26/ 28 Modallogik Formalisierung durch Modelle Modale Modelle Menge von Welten Zugänglichkeitsrelation 2 Stufen von Gültigkeit kontingent w = P (P gilt in der Welt w) universell = P (P gilt in allen Welten)

52 26/ 28 Modallogik Formalisierung durch Modelle Modale Modelle Menge von Welten Zugänglichkeitsrelation 2 Stufen von Gültigkeit Interpretation von Modalität w = P falls u = P für alle von w zugänglichen Welten u w = P falls u = P für eine von w zugängliche Welt u

53 27/ 28 Animation Interaktiver Modelle Nachtrag Beispiel modaler Gesetze: Ampelkreuzung gruen ich (gruen ich gruen beide )

54 27/ 28 Animation Interaktiver Modelle Nachtrag Beispiel modaler Gesetze: Ampelkreuzung gruen ich (gruen ich gruen beide ) Temporale Deutung Ich habe immer die Aussicht, irgendwann Grün zu bekommen, aber ich habe niemals gleichzeitig mit anderen Grün.

55 27/ 28 Animation Interaktiver Modelle Nachtrag Beispiel modaler Gesetze: Ampelkreuzung gruen ich (gruen ich gruen beide ) Deontische Deutung Ich soll fahren dürfen, aber ich soll nicht kollidieren.

56 27/ 28 Animation Interaktiver Modelle Nachtrag Beispiel modaler Gesetze: Ampelkreuzung gruen ich (gruen ich gruen beide ) Doxastische Deutung Ich glaube dass es denkbar ist, dass ich Grün hätte, aber ich glaube auch, dass ich nicht gemeinsam mit anderen Grün habe.

57 Logik und Modelltypen Interaktiver Typ Nachhaltigkeit sustainable of, relating to, or being a method of harvesting or using a resource so that the resource is not depleted or permanently damaged Deutung in Modallogik use damage Temporallogik (2) nur die Zukunft zählt oder doch Deontik? typische Form auch von Anforderungen an Computersysteme Liveness und Safety 28/ 28