Theoretische Grundlagen des Software Engineering

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1 Theoretische Grundlagen des Software Engineering 7: Einführung Aussagenlogik

2 Logisches Schließen 2

3 gold +1000, 1 per step, Beispiel: Jage den Wumpus Performance measure death for using the arrow Sensors Stench in squares next to wumpus Breeze in squares adjacent to pit Glitter iff gold is in the same square Actuators Left turn Right turn Forward Shoot (kills wumpus if facing it) Grab (picks up gold if in same square) 3

4 Exploration der Wumpus- Welt 4

5 Exploration der Wumpus- Welt 4

6 Exploration der Wumpus- Welt 4

7 Exploration der Wumpus- Welt 4

8 Exploration der Wumpus- Welt 4

9 Exploration der Wumpus- Welt 4

10 Exploration der Wumpus- Welt 4

11 Exploration der Wumpus- Welt 4

12 Gewonnen! 5

13 Wumpus- Welt: Problematische Situationen Problem Breeze in (1,2) und (2,1) keine sichere Aktion 6

14 Wumpus- Welt: Problematische Situationen Problem Breeze in (1,2) und (2,1) keine sichere Aktion Möglicher Ansatz 8 Möglichkeiten haben gleiche Ausgangswahrscheinlichkeit 5 kompatibel mit Beobachtungen (2,2) hat Grube: Wahrscheinlichkeit p = 0, 8 (1,3) und (3,1) haben Gruben: Wahrscheinlichkeit je p = 0, 6 6

15 Wumpus- Welt: Problematische Situationen Problem Stench in (1,1) keine sicheres Feld 7

16 Wumpus- Welt: Problematische Situationen Problem Stench in (1,1) keine sicheres Feld Mögliche Lösung Schieße Pfeil Wumpus war da tot sicher Wumpus nicht da sicher 7

17 Wumpus- Welt: Problematische Situationen Strategien für problematische Situationen Aussagenlogik findet mögliche (sichere) Aktionen Problematische Situation, wenn keine der Aktionen sicher ist Lösungsstrategien basieren nicht auf Aussagenlogik 8

18 Wumpus- Welt: Problematische Situationen Strategien für problematische Situationen Aussagenlogik findet mögliche (sichere) Aktionen Problematische Situation, wenn keine der Aktionen sicher ist Lösungsstrategien basieren nicht auf Aussagenlogik Zunächst nicht weiter betrachtet 8

19 Formale Logik Syntax - Welche Formeln? Semantik - Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)? Deduktionsmechanismus - Ableitung neuer wahrer Formeln 9

20 Formale Logik Syntax - Welche Formeln? Semantik - Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)? Deduktionsmechanismus - Ableitung neuer wahrer Formeln Welche Formeln sollen ableitbar sein? 9

21 Logische Folgerung Definition: Logische Folgerung Formel A folgt logisch aus Formelmenge KB gdw. A ist wahr in allen Modellen, in denen KB wahr ist 10

22 Logische Folgerung Definition: Logische Folgerung Formel A folgt logisch aus Formelmenge KB gdw. A ist wahr in allen Modellen, in denen KB wahr ist Notation KB = A 10

23 Logische Folgerung Definition: Logische Folgerung Formel A folgt logisch aus Formelmenge KB gdw. A ist wahr in allen Modellen, in denen KB wahr ist Notation KB = A Anmerkung: Folgerbarkeit ist eine Beziehung zwischen Formeln (Syntax), die auf Semantik basiert 10

24 Logische Folgerung Beispiel Aus das Hemd ist grün und gestreift folgt logisch das Hemd ist grün 11

25 Logische Folgerung Beispiel Aus das Hemd ist grün und gestreift folgt logisch das Hemd ist grün Beispiel Aus den Axiomen der Arithmetik und x + y = 4 folgt logisch 4 = x + y 11

26 Modelle Intuition Modelle sind formale Strukturen, bzgl. derer die Wahrheit einer Formel ausgewertet werden kann 12

27 Modelle Intuition Modelle sind formale Strukturen, bzgl. derer die Wahrheit einer Formel ausgewertet werden kann Definition: Modell einer Formel m ist Modell einer Formel A, wenn A in m wahr ist 12

28 Modelle Intuition Modelle sind formale Strukturen, bzgl. derer die Wahrheit einer Formel ausgewertet werden kann Definition: Modell einer Formel m ist Modell einer Formel A, wenn A in m wahr ist Notation M(A) bezeichnet die Menge aller Modelle von A Also: KB = A gdw. M(KB) M(A) 12

29 Modelle: Beispiel M(KB) M(A) KB = Das Hemd ist grün und gestreift A = Das Hemd ist grün 13

30 Folgerungen in der Wumpus-Welt Situation nach nichts in [1,1], gehe rechts, Breeze in [2,1] Mögliche Modelle für? (betrachte nur Gruben) 3 boolesche Wahlmöglichkeiten 8 mögliche Modelle 14

31 Wumpus-Modelle 15

32 Wumpus-Modelle KB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen 15

33 Wumpus-Modelle KB = A 1 KB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen A 1 = [1,2] ist sicher 15

34 Wumpus-Modelle KB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen 15

35 Wumpus-Modelle KB = A 2 KB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen A 2 = [2,2] ist sicher 15

36 Ableitbarkeit Notation KB i A bedeutet Formel A kann aus KB mit Kalkül i abgeleitet werden 16

37 Ableitbarkeit Notation KB i A bedeutet Formel A kann aus KB mit Kalkül i abgeleitet werden Definition: Korrektheit (von i) Wenn KB i A, dann auch KB = A Definition: Vollständigkeit (von i) Wenn KB = A, dann auch KB i A 16

38 Syntax und Semantik der Aussagenlogik 17

39 Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen 1 Symbol für den Wahrheitswert wahr 0 Symbol für den Wahrheitswert falsch 18

40 Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen 1 Symbol für den Wahrheitswert wahr 0 Symbol für den Wahrheitswert falsch Negationssymbol ( nicht ) 18

41 Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen 1 Symbol für den Wahrheitswert wahr 0 Symbol für den Wahrheitswert falsch Negationssymbol ( nicht ) Konjunktionssymbol ( und ) Disjunktionssymbol ( oder ) Implikationssymbol ( wenn... dann ) Symbol für Äquivalenz ( genau dann, wenn ) 18

42 Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen 1 Symbol für den Wahrheitswert wahr 0 Symbol für den Wahrheitswert falsch Negationssymbol ( nicht ) Konjunktionssymbol ( und ) Disjunktionssymbol ( oder ) Implikationssymbol ( wenn... dann ) Symbol für Äquivalenz ( genau dann, wenn ) ( ) die beiden Klammern 18

43 Syntax der Aussagenlogik: Signatur Definition: Aussagenlogische Signatur Abzählbare Menge von Symbolen, etwa Σ = {P 0,..., P n } oder Σ = {P 0, P 1,...} 19

44 Syntax der Aussagenlogik: Signatur Definition: Aussagenlogische Signatur Abzählbare Menge von Symbolen, etwa oder Σ = {P 0,..., P n } Σ = {P 0, P 1,...} Bezeichnungen für Symbole in Σ atomare Aussagen Atome Aussagevariablen, aussagenlogische Variablen Propositionen 19

45 Formeln der Aussagenlogik Definition: Menge For0 Σ der Formeln über Σ Sei Σ eine Menge von Atomen. For0 Σ ist die kleinste Menge mit: 1 For0 Σ und 0 For0 Σ Σ For0 Σ Wenn A, B For0 Σ, dann sind auch A, (A B), (A B), (A B), (A B) Elemente von For0 Σ 20

46 Beispiel: Formeln aus der Wumpus-Welt Aussagenlogische Variablen P i,j bedeutet: B i,j bedeutet: Grube in [i, j] Luftzug in [i, j] P 1,1 B 1,1 B 2,1 21

47 Beispiel: Formeln aus der Wumpus-Welt Aussagenlogische Variablen P i,j bedeutet: B i,j bedeutet: Grube in [i, j] Luftzug in [i, j] P 1,1 B 1,1 B 2,1 Formeln Gruben bewirken Luftzug in angrenzenden Feldern P 1,2 (B 1,1 B 1,3 B 2,2 ) Luftzug in einem Feld gdw. es an eine Grube grenzt B 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) B 2,1 (P 1,1 P 2,2 P 3,1 ) 21

48 Semantik der Aussagenlogik Sei Σ eine aussagenlogische Signatur Definition: Aussagenlogische Interpretation Eine Interpretation ist eine beliebige Abbildung I : Σ {true, false} 22

49 Semantik der Aussagenlogik Sei Σ eine aussagenlogische Signatur Definition: Aussagenlogische Interpretation Eine Interpretation ist eine beliebige Abbildung I : Σ {true, false} Beispiel A B C true true false (Bei drei Symbolen gibt es 8 mögliche Interpretationen) 22

50 Semantik der Aussagenlogik Definition: Auswertung von Formeln unter einer Interpretation Eine Interpretation I wird fortgesetzt zu einer Auswertungsfunktion val I : For0 Σ {true, false} durch: val I (1) = true val I (0) = false val I (P) = I(P) für P Σ 23

51 Semantik der Aussagenlogik und: und: val I ( A) = { false falls vali (A) = true true falls val I (A) = false { true falls vali (A) = true und val val I (A B) = I (B) = true false sonst { true falls vali (A) = true oder val val I (A B) = I (B) = true false sonst 24

52 Semantik der Aussagenlogik und: { true falls vali (A) = false oder val val I (A B) = I (B) = true false sonst und: { true falls vali (A) = val val I (A B) = I (B) false sonst 25

53 Wahrheitstafel für die logischen Operatoren A B A A B A B A B A B false false true false false true true false true true false true true false true false false false true false false true true false true true true true 26

54 Materielle Implikation Ex falso, Quodlibet Aus einer falschen (widersprüchlichen) Annahme kann man alles folgern 27

55 Materielle Implikation Ex falso, Quodlibet Aus einer falschen (widersprüchlichen) Annahme kann man alles folgern 0 A ist immer gültig Wenn der Staatshaushalt ausgeglichen ist, werden wir die Steuern senken 27

56 Modell einer Formel(menge) Definition: Modell einer Formel Eine Interpretation I ist Modell einer Formel A For0 Σ, falls val I (A) = true 28

57 Modell einer Formel(menge) Definition: Modell einer Formel Eine Interpretation I ist Modell einer Formel A For0 Σ, falls val I (A) = true Definition: Modell einer Formelmenge Eine Interpretation I ist Modell einer Formelmenge M For0 Σ, falls val I (A) = true für alle A M 28

58 Logische Folgerung Definition: Logische Folgerung Formel A folgt logisch aus Formelmenge KB gdw. alle Modelle von KB sind auch Modell von A Notation KB = A 29

59 Allgemeingültigkeit Definition: Allgemeingültigkeit/Tautologie Eine Formel A ist allgemeingültig ( eine Tautologie ), wenn sie in allen Interpretationen wahr ist. Wir schreiben: = A 30

60 Allgemeingültigkeit Definition: Allgemeingültigkeit/Tautologie Eine Formel A ist allgemeingültig ( eine Tautologie ), wenn sie in allen Interpretationen wahr ist. Wir schreiben: = A A A A A (A (A B)) B 1 Beispiele 30

61 Unerfüllbarkeit Definition: Unerfüllbarkeit Eine Formel A ist unerfülbar ( widersprüchlich ), wenn sie in allen Interpretationen falsch ist. 31

62 Unerfüllbarkeit Definition: Unerfüllbarkeit Eine Formel A ist unerfülbar ( widersprüchlich ), wenn sie in allen Interpretationen falsch ist. Beispiele A A (A A) A (A (A B)) B 0 31

63 Logische Äquivalenz Definition: Logische Äquivalenz Zwei Formeln sind logisch äquivalent, wenn sie in den gleichen Modellen wahr sind, d.h. α = β und β = α 32

64 Logische Äquivalenz Definition: Logische Äquivalenz Zwei Formeln sind logisch äquivalent, wenn sie in den gleichen Modellen wahr sind, d.h. α = β und β = α Notation α β 32

65 Logische Äquivalenz Definition: Logische Äquivalenz Zwei Formeln sind logisch äquivalent, wenn sie in den gleichen Modellen wahr sind, d.h. α = β und β = α Notation α β Beispiel (A B) ( B A) (Kontraposition) 32

66 Uniforme Notation Konjunktive Formeln: Typ α A A B (A B) (A B) Disjunktive Formeln: Typ β (A B) A B A B Raymond Smullyan 33

67 Uniforme Notation Zuordnungsregeln Formeln / Unterformeln α α 1 α 2 A B A B (A B) A B (A B) A B A A A 34

68 Uniforme Notation Zuordnungsregeln Formeln / Unterformeln α α 1 α 2 A B A B (A B) A B (A B) A B A A A β β 1 β 2 (A B) A B A B A B A B A B 34

69 Uniforme Notation Zuordnungsregeln Formeln / Unterformeln α α 1 α 2 A B A B (A B) A B (A B) A B A A A α ist wahr, wenn α 1 und α 2 wahr sind β ist wahr, wenn β 1 und β 2 wahr sind β β 1 β 2 (A B) A B A B A B A B A B 34

70 Uniforme Notation: Beispiel der Anwendung Alternative Art der Definition von val I { true falls val I (α) = false sonst vali (α 1 ) = true und val I (α 2 ) = true { true falls val I (β) = false sonst vali (β 1 ) = true oder val I (β 2 ) = true 35

71 Uniforme Notation: Beispiel der Anwendung Alternative Art der Definition von val I { true falls val I (α) = false sonst vali (α 1 ) = true und val I (α 2 ) = true { true falls val I (β) = false sonst vali (β 1 ) = true oder val I (β 2 ) = true Umfasst Definition von val I für alle Operatoren außer: 1, 0,, 35

72 Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel α = A B KB = (A C) (B C) Überprüfen ob KB = α A B C A C B C KB α false false false false false true false true false false true true true false false true false true true true false true true true 36

73 Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel α = A B KB = (A C) (B C) Überprüfen ob KB = α A B C A C B C KB α false false false false false false true true false true false false false true true true true false false true true false true true true true false true true true true true 36

74 Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel α = A B KB = (A C) (B C) Überprüfen ob KB = α A B C A C B C KB α false false false false true false false true true false false true false false true false true true true true true false false true true true false true true false true true false true true true true true true true 36

75 Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel α = A B KB = (A C) (B C) Überprüfen ob KB = α A B C A C B C KB α false false false false true false false false true true false false false true false false true false false true true true true true true false false true true true true false true true false false true true false true true true true true true true true true 36

76 Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel α = A B KB = (A C) (B C) Überprüfen ob KB = α A B C A C B C KB α false false false false true false false false false true true false false false false true false false true false true false true true true true true true true false false true true true true true false true true false false true true true false true true true true true true true true true true true 36

77 Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel α = A B KB = (A C) (B C) Überprüfen ob KB = α A B C A C B C KB α false false false false true false false false false true true false false false false true false false true false true false true true true true true true true false false true true true true true false true true false false true true true false true true true true true true true true true true true 36

78 Zusammenfassung Beispiel: Wumpus-Welt Logische Folgerung Modelle Definition: Korrektheit und Vollständigkeit Aussagenlogik Syntax Semantik - Interpretationen Semantik - Modelle und Folgerung Uniforme Notation 37

79 Aufgaben Sei KB = {((a b) (a c)), (b ( b))} and A = ((b c) (b c)). Zeigen oder widelegen Sie: KB = A Geben Sie zu KB und A equivalente Formulierungen, die nicht und enthalten. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Warum? Wenn eine Formel nicht allgemeingültig ist, dann ist sie unerfüllbar. Die Negation einer Tautologie ist widersprüchlich Wenn I eine Interpretation von A ist, dann ist I eine Interpretation von (A ( A)) Wenn I ein Modell von A ist, dann ist I ein Modell von (A ( A)) Wenn I eine Interpretation von A ist, dann ist I ein Modell von (A ( A)) 38

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