Diskussion einzelner Funktionen

Transkript

1 Diskussion einzelner Funktionen. Wir betrachten die Funktion f mit f() = cos sin (a) Berechne f() für { π, π, π, π, } 5π und zeichne den Grafen von f im - Intervall [ π, ] 5π. Einheiten: cm auf der y-achse, π =cm auf der -Achse. (b) Beweise: f()d = sin sin +C (c) Berechne die Fläche, die von G f, der -Achse und den beiden Geraden = π und = 5π eingeschlossen wird. Lösung: (a) f() y π π π π 5π,0 0,7 0 0,7,0 0 π π π π 5π ( d sin ) d sin +C = cos cos cos {}}{ ( sin ) (b) sin = cos sin (c) Nullstelle von f bei 0 = π und f() < 0 für ]π, 5π ]: = cos sin A = π π f()d 5π π f()d = [ sin sin ]π π [ sin sin ]5π π = = + + ( ++) = + =. Wir betrachten die Funktion f mit der Gleichung f() =, e 8. Untersuche f zunächst auf Symmetrie, berechne dann die Nullstellen und die Grenzwerte für ± und ermittle die Koordinaten der relativen Etremwerte und der Wendepunkte. Zeichne den Grafen von f im Intervall [ ; ].

2 Lösung: f( ) = f() = Symmetrie zur y-achse f() = 0 = e 8 =, = 8 = ln, = ln, 0 = ± ln, ±,09 lim f() = ± f () = 40 e 8 f () = ) ( e f (0) = 0 und f (0) > 0 = Tiefpunkt bei T(0,) f () = 0 = = ± f () = ) 4 ( + e 8 = ) ( + e f (±) = 0 und f (±) 0 = Wendepunkte bei W, (±, ) e }{{},00 y Von der Funktion f ist bekannt: f () = + und f(0) = (a) Diskutiere f (Nullstellen, Grenzwerte, Etremwerte, Wendepunkte, Graf). (b) Zeige, dass sich der Graf von f für große beliebig nahe an den Grafen von g mitg() = +lnannähert.zeichnedengrafenvongindasschonvorhandene Diagramm ein. (c) Für welche unterscheidet sich g() um weniger als ein Hundertstel von f()? Lösung: (a) f() = f ()d = ( +) d = + ln( +)+C f(0) = C = = C = f() = ln( +)+

3 f() = 0 = 0 = ( e ) 0,98 Definitionsmenge: + > 0 = D f =] ;+ [ lim =, ( ) +f() lim f() = + f () = 0 = = 0 In ganz D f gilt f () 0, f ist also in ganz D f monoton steigend. Also Terrassenpunkt bei T(0 ). f () = 0 für = 0 und =. f () = ( +) ( +) = ( ) ( +) < < < < < f () + (b) AlsoVZWvonf bei und,d.h.wendepunktebeit(0 )undw ( ln+). f() g() = ln( + ) ln = ln( + ) ln = = ln + = (+ ln ) lim f() g() = (+ lim ln ) = ln = 0 y W T f g 4 5 (c) f() g() = ln ( + ) < 00 < e0,0 > e 0,0,

4 4. Die beiden Funktionen f und g mit f() = und g() = f(t)dt, D f = D g =R + schließen ein endliches Flächenstück mit dem Inhalt A ein. Diskutiere die beiden Funktionen, zeichne ihre Grafen und berechne A. Lösung: Diskussion von f: Nullstelle: f0 =, lim f() = lim ( ) lim = lim 0 +f() 0 + ( ) = (0 + ( )) = 0 = ((+ ) (+ )) = + f () = + =, f () = 0 = f = f () = 4 4 = 4 4, f () = 0 = f = f ( f ) = > 0 = Tiefpunkt bei ( ). g() = Diskussion von g: f () = = 4 5 f ( f ) = 4 0 = WP bei 8 ( t ) [ dt = ] t t lnt g() = ( ln) ln ( 8 ) 9 = ln++ln Untere Grenze der Integralfunktion ist Nullstelle: g0 =, lim g() = + lim = lim 0 +g() 0 + lim = lim 0 +ln [ ln 0 + ( ln) ( = lim 0 + +ln }{{} 0 = lim = )] = ( ( ln) ) 0 + = 4

5 g () = f() = g = f0 = y g ( g ) = f ( g ) = 8 < 0 = HP bei ( 0) g () = 0 = g = f = 0 g ( g ) = f () = 0 = WP bei ( ln) ( 0,9) f() = g() = = ( ln) ln Der erste Schnittpunkt ist die Nullstelle beider Funktionen: =. Zweite Nullstelle mit dem Newton-Verfahren: h() = g() f() = ( ln)+ ln = 0 n+ = n h( n) h ( n ) = n ( ln)+ ln + n+ = [ n n + n ( +ln n) ] n n X =,5 X =,5097 X =,54887 X 4 =,54888 = A = (( ln)+ ln ) d = (g() f())d = = [( ln)+ln+ ] (ln ) = = ( ln) +ln + (ln ) 4+ln = 0, Wir betrachten die Funktion f mit f() = +ln, D =R+ (a) Berechne lim f(). lim 0 +f() = + darf für das Weitere vorausgesetzt werden. 5

6 (b) Untersuche f auf Etremwerte und Wendepunkte und zeichne den Grafen von f im -Intervall ]0;5] (Einheit cm). (c) Eine weitere Funktion ist g mit g() = f(t)dt Schreibe g() in einer integralfreien Darstellung. Welche Nullstelle hat g? (d) A ist der Inhalt der Fläche, die von G f, der -Achse und den Geraden = und = eingeschlossen wird, A dagegen wird von G f, der -Achse und den Geraden = und = eingeschlossen. Berechne A und A mit Hilfe der Funktion g und berechne eakt das Verhältnis der beiden Flächeninhalte. Lösung: (a) lim f() = (0+ ) = + (b) f () = + = f () = 0 = = f () = = f () = 0 = = y f f () = > 0 = TP bei ( ) f () = 4 + = 4 A A f () = 8 0 = WP bei ( +ln) (,9) 0 (c) g() = ( ) t +lnt dt = [lnt+t(lnt )] = ln+(ln ) ln (ln ) g() = +(+)ln mit g() = 0 ( (d) A = ) g = + ln = ln = ln8 0,597 A = g() = +ln = ln8 = A = A A =. Wir betrachten die Funktion f mit f() = e, D =R (a) Berechne die Nullstelle von f und untersuche das Verhalten von f an den Rändern von D.

7 (b) Untersuche f auf Etremwerte und Wendepunkte und zeichne den Grafen von f im -Intervall ] ;5] (Einheit cm). [Nur zur Kontrolle: f () = ( )e, f () = ( )e ] (c) Eine weitere Funktion ist g mit Beweise: Welche Nullstelle hat g? g() = 0 f(t)dt g() = (+)e (d) Verwende bereits vorhandene Ergebnisse, um die Etremwerte und Wendepunkte von g zu bestimmen. Zeichne den Grafen von g im -Intervall ] ;5] (Einheit cm). (e) Berechne lim g(). Interpretiere das Ergebnis geometrisch, einmal bezüglich + des Grafen von f und einmal bezüglich des Grafen von g. Lösung: (a) f0 = 0, lim f() = ( ) = lim f() = lim (b) f () = e e = ( )e f () = 0 = f = f () = e +e = ( )e f () = 0 = f = f () = e < 0 = HP bei ( e ( ) e = = lim ) y e = 0+ f () = e e = ( )e f () = e 0 = WP bei ( ) e ( 0,7) (c) Zu zeigen ist g () = f() und g(0) = 0 (Untergrenze). g () = e (+)( e ) = e +e +e = e = f() (d) g () = f() = g = f0 = 0 g () = f () = g = f = g (0) = f (0) = > 0 = TP bei (0 0) g () = f () = e 0 = WP bei ( ) e 7 g(0) = (0+)e 0 = = 0 y

8 + (e) lim g() = lim + + e = 0 = Die Fläche zwischen G f und der -Achse im Intervall [0,+ [ ist. G g hat die waagrechte Asymptote y =. 7. Untersuche die Funktion f mit f() = 4 8, D f =R Nullstellen, Verhalten an den Rändern von D f, Monotonie, Etremwerte und Wendepunkte. Zeichne den Grafen von f im Intervall [ ; 4,5]. Für welche -Werte gilt f() =? Lösung: f() = 8 ( 4) = 0 = 0 = 0, 0 = 4 [ ] lim f() = lim 8 ( 4) = (( ) ( )) = + [ ] lim f() = lim ( 4) = ((+ ) (+ )) = + f () = = ( ), f () = = ( ) f () = 0 = = 0, =, f () = 0 = = 0, = f () > 0 für > und f () 0 für = f streng fallend in ] ;[ und f streng steigend in ];+ [. f ( ) = 0 und f ( ) = 9 > 0 = Tiefpunkt bei T( 7 8 f () = = ( ) f ( ) = 0 und f ( ) = 0 und f ( ) = 0 = Terrassenpunkt bei F(0 0) f ( ) = 0 und f ( ) = 0 = Wendepunkt bei W( ) f() = = g() = = 0, eine Lösung ist X =, die zweite Lösung findet man mit dem Newtonverfahren: n+ = n g( n) g ( n ) = n 4 n 4 n + 0 =,5 4 n n =,79877 X, ) =, =, =, =,

9 y 5 4 F 4 5 W T 8. Untersuche die Funktion f mit f() = 4 4, D f =R auf Symmetrie, Nullstellen, Verhalten an den Rändern von D f, Etremwerte und Wendepunkte. Zeichne den Grafen von f im Intervall [ ; ]. Für welche -Werte gilt f() =? Lösung: f( ) = f() = f symmetrisch zur y-achse f() = ( 8 ) = 0 = 0 = 0, 0 =, 0 = 4 [ lim f() = lim ( 8 ) ] = ((+ ) (+ )) = + ± ± 4 f () = 4 = ( 4 ), f () = 4, f () = f () = 0 = = 0, =, = f () = 0 = = 0, =, = f ( ) = 0 und f ( ) = 4 < 0 = Hochpunkt bei H(0 0) f ( ) = 0 und f ( ) = 8 > 0 = Tiefpunkte bei T, (± 4) f ( ) = 0 und f ( ) = 4 ( ) 0 = Wendepunkte bei W, ± 0 f() = = 4 8 = hat die vier Lösungen = ± 4±. 9

10 y H W W T 4 T 9. Untersuche die Funktion f mit f() = , D f =R auf Nullstellen, Verhalten an den Rändern von D f, Monotonie, Etremwerte und Wendepunkte. Zeichne den Grafen von f im Intervall [ ; ]. Lösung: f() = 0 = 0 = (durch Probieren) f() : ( ) = = 0, = 5 ± [ ( lim f() = lim ± ± )] }{{ = ± } f () = 4 7 +, f () = 7, f () = f () = 0 = =, = 4, f () = 0 = = 7 Da der Graf von f eine nach oben geöffnete Parabel ist, folgt f () > 0 für < und > 4, f () < 0 für < < 4 = ] f streng steigend in ; [ und ]4;+ [, f streng fallend in f ( ) = 0 und f ( ) = 5 < 0 = Hochpunkt bei H ( ] [ ;4. ) 44 7 f ( ) = 0 und f ( ) = 5 > 0 = Tiefpunkt bei T(4 ) 0

11 f ( ) = 0 und f ( ) = ( 7 0 = Wendepunkt bei W 7 ) 54 y H 4 5 W T 4 0. Untersuche die Funktion f mit f() = e, D f =R auf Symmetrie, Nullstellen, Verhalten an den Rändern von D f, Monotonie, Etremwerte und Terrassenpunkte. Zeichne den Grafen von f im Intervall [ ; ]. Lösung: Einzige Nullstelle bei 0 = 0. ( ) lim f() = 0 + = + ( ) lim f() = = lim + + f() = e ( ) e = = lim + f () = e e = ( )e = 0+ e f () = e e e + e = ( 4+ )e f () = e 4e +4e +e e = ( + )e f () = 0 = = 0, =, f () = 0 = =, = + Da der Graf von ( ) eine nach unten geöffnete Parabel ist, folgt f () < 0 für < 0 und >, f () > 0 für 0 < < = f streng fallend in ] ;0[ und ];+ [, f streng steigend in ]0;[. f ( ) = 0 und f ( ) = e > 0 = Tiefpunkt bei T(0 0) f ( ) = 0 und f ( ) = e < 0 = Hochpunkt bei T ( 4 ) e

12 Da der Graf von 4+ eine Parabel ist, liegt bei den Nullstellen von f ein Vorzeichenwechsel vor, d.h. Wendepunkte bei W ( ) }{{ } ( ) e + und W }{{} (+ ) }{{ } (+ ) e }{{} 0,59 0,5,4,04 Alternativ über dritte Ableitung: f ( ) = e + 0 und f ( ) = e 0 y 5 4 H W W T 4 5. Untersuche die Funktion f mit f() = 0ln, D f =R + auf Nullstellen, Verhalten an den Rändern von D f, Monotonie, Etremwerte und Wendepunkte. Zeichne die Grafen von f, f und f im Intervall [0,9;] in ein Diagramm. Veranschauliche die Zusammenhänge zwischen den Nullstellen der Ableitungsfunktionen und den besonderen Stellen im Grafen von f. Lösung: Einzige Nullstelle bei 0 =. ( ) lim 0 +f() = = 0 + ( ) lim f() = + 0 = lim + = lim 0 + = 0+ f () = 0( ln), f () = 0( 5+ln) 4, f () = 40( ln) 5 f () = 0 = 0 = e, f () > 0 = < e = f streng steigend in ]0; e[ und f streng fallend in ] e;+ [ = ( ) e 0 Hochpunkt bei H H(,5,8) e

13 f () = 0 = 0 = e 5, f () > 0 = > e 5 = f rechtsgekrümmt in ]0;e 5 [ und f linksgekrümmt in ]e 5 ;+ [ = ( ) Wendepunkt bei W e 5 50 e 5 H(,0,5) y4 WP f f f. Untersuche die Funktion f mit f() = 4+4 auf maimale Definitionsmenge, Nullstellen, Verhalten an den Rändern von D f, Etremwerte und Wendepunkte. Zeichne den Grafen von f und eventuelle Asymptoten im Intervall [ ; 7]. Lösung: f() = 4+4 = ( ), D f =R\{}, Nullstelle bei 0 = 4+ ( ) 4 lim f() = lim ± ± = ± lim ±f() = 0 ± = ± Polynomdivision = f() = + = Asymptote: a : f () = +8 ( ), f () = ( ) f () = 0 = =, = 4 f ( ) = < 0 = Hochpunkt bei H( 0) f ( ) = > 0 = Tiefpunkt bei T(4 4) Keine Nullstellen von f, keine Wendepunkte.

14 y T H Gegeben ist die Funktion f() = (4 0 +9). (a) Untersuchen Sie den Graphen der Funktion auf Symmetrie. (b) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt (?). Zeichnen sie die Tangente in ein Koordinatensystem mit [ 5; 5] und y [ ; ] ein. (c) Unter welchem Winkel schneidet die Tangente im Punkt (?) die -Achse? (d) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion. (e) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion. Wo liegen Etrema und Terrassenpunkte? (f) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion im Intervall [ 4; 4] in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe (b). Lösung: (a) f() = f( ), also achsensymmetrisch. (b) t() = 9 (c) α = 45,9 (d) N ( 0),N ( 0),N ( 0),N 4 ( 0) (e) Maimum bei P(0 9 ), Minima bei Q( 5 ) und bei R( 5 ) 4. Gegeben ist die Funktion f() = ( ). 4

15 (a) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie. (b) Bestimmen Sie die Lage der Etrema und Wendepunkte. (c) Untersuchen Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten. (d) Skizzieren Sie die Funktion. Lösung: (a) keine Symmetrie (b) Minimum bei ( 0), Maimum bei ( 4), Wendepunkt bei ( ) 5. Gegeben ist die Funktion g() = 0 ( ). (a) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie- und Monotonieverhalten. (b) Bestimmen Sie die Lage der Nullstellen. (c) Untersuchen Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten. Geben Sie die Lage der Etrema und Wendepunkte an. (d) Skizzieren Sie die Funktion. Lösung: (a) achsensymmetrisch (b) N ( 0), N ( 0), N ( 0 0), N 4 ( 0 0) (c) Maimum bei (0 4), Minima bei (± 5 ). Gegeben sind die Funktionen f + () = t+ 5 und f () = t 5. (a) Geben Sie den maimalen Definitionsbereich der Funktionen an. (b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen f + und f. (c) Zeigen Sie, dass zu jedem Punkt ( + y + ) auf dem Graphen von f + eine dazu punktsymmetrischen Punkt ( y ) auf dem Graphen von f gibt. (d) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f + und f und bestimmen sie Art und Lage der Etrema. (e) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten der Funktionen. (f) Zeichnen Sie f + () und f () für t =. (g) Stellen Sie mit einer geeigneten Software f + () und f () für verschiedene Werte von t graphisch dar. Lösung: (a) D ± = [ 5,5] (b) f + : ( 5 +t 0), f : ( 5 +t 0) (c) f () = f + () (d) f + : Maimum bei ( 5t +t 5 +t ) f : Minimum bei ( 5t +t 5 +t ) senkrechte Tangenten bei = ±5 5

16 (e) f +() < 0, also f + immer rechtsgekrümmt. f () > 0, also f immer linksgekrümmt. 7. Wir betrachten die Funktion f() = sin cos mit D f = [ π ; ] π. Berechnen Sie die Nullstellen und die Punkte mit waagrechter Tangente. Zeichnen Sie G f. Lösung: Nullstellen: π, π, π, 5π, π f () = cos+sin = 4 sin +sin+ = 0 = sin = 8 ± 8 Waagrechte Tangenten bei 0,0π, 0,9π, 0,8π und,0π. 8. Gegeben ist die Funktion f() = a +b + mit a > 0 und D =R. (a) Geben Sie die Nullstellen der Funktion an. Für welche Werte a erhält man drei, zwei bzw. eine Nullstelle? (b) Berechnen Sie die -Koordinaten der Punkte mit waagrechten Tangenten. Für welche Werte a erhält man zwei, einen bzw. keinen Punkt mit waagrechter Tangente? (c) Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte. (d) Berechnen Sie die Ortskurve der Wendepunkte für festes b und variables a. (e) Geben Sie für a = und b = die Funktionsgleichung, Lage der Etrema und 4 Wendepunkte an. (f) Zeichnen Sie die Funktion mit den Parameterwerten aus (e). Lösung: (a) = 0, / = a ( b± b 4a), eine Nullstelle, wenn / nicht eistiert, also wenn a > 4 b zwei Nullstellen, wenn =, also wenn a = 4 b drei Nullstellen, wenn und eistieren und verschieden sind, also wenn a < 4 b (b) f () = a +b+ = 0 4/5 = a ( b± b a) keine waagrechte Tangente, wenn 4/5 nicht eistieren, also wenn a > b eine waagrechte Tangente, wenn 4 = 5, also wenn a = b zwei waagrechte Tangenten, wenn 4 und 5 eistieren und verschieden sind, also wenn a < b (c) W = b a, y W = b 7a b a (d) y w = b w + w (e) f() = 4 + +, N (0 0), N ( 0), N ( 0), E ( 0,0 0,4), E (,48 0,47), W ( 0,89 0,) (f)

17 9. Gegeben ist die Funktion f() = (a) Diskutieren Sie qualitativ, wie der Graph von f() aussieht. (b) Bestimmen Sie Etrema und Wendepunkte der Funktion. (c) Skizzieren Sie den Graph der Funktion. (d) Bei Polynomen fünften Grades können die Nullstellen nicht mehr analytisch bestimmt werden. Ein Verfahren zur numerischen Nullstellenbestimmung ist das Newton-Verfahren: An den Graphen der Funktion wird in einem Punkt ( i y i ), in der Nähe einer Nullstelle, eine Tangente gelegt. Deren Schnittpunkt mir der -Achse liefert i+. Zu diesem Wert wird der zugehörige Funktionswert y i+ berechnet. Nun beginnt das Verfahren erneut. Die Folge,,... konvergiert gegen die Nullstelle, wenn f f/f < ist. Machen Sie sich dieses Verfahren der Nullstellenbestimmung anhand einer Skizze klar. (e) Zeichnen Sie den Graph der Funktion im Intervall[0,](Maßstab für -Richtung: ˆ=0cm) und bestimmen Sie in diesem Intervall graphisch die Nullstelle. (f) Leiten Sie eine Formel zur numerischen Iteration der Nullstelle her. (g) Wenden Sie die Formel auf obige Funktion an. Starten Sie bei = und rechnen Sie bis i=. Lösung: (a) Für gegen minus (plus) unendlich geht der Graph von f() gegen minus (plus) unendlich. Der Graph kann kein, zwei oder vier Etrema haben. Der Graph kann einen, zwei oder drei Wendepunkte haben. (b) f () = = 5 ( 4), f () = 0 0 = 0 ( ) Maimum bei H(0 ), Minimum bei T(4 55), Wendepunkt bei W( ) (c) (d) (e) (f) t i () = f ( i )( i )+f( i ) = 0 i+ = i y i f ( i ) (g) i+ = i 5 i 54 i i 0 i =, = 0,8, = 0, , 4 = 0, , 5 = 0,9404, = 0, Wir betrachten die Funktion f() = 8 mit der Nullstelle 0 =. (a) Berechnen Sie die restlichen Nullstellen von f und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern von D f. Schreiben Sie die vollständige Zerlegung von f in Linearfaktoren hin. (b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f und berechnen Sie die Koordinaten der relativen Etremwerte. 7

18 (c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von f und berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte. (d) Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [ 4; 5]. Lösung: (a) f() = 8 (+) ( 4), lim f() = ± ± (b) f () = 8 = 8 ( 4) f steigend in ] ; [ und in ];+ [, fallend in ] ; [. Relatives Maimum bei ( 0), relatives Minimum bei ( 4) (c) f () =. Rechtsgekrümmt in ] ; 0[, linksgekrümmt in ]0;+ [ 4 (d) Wendepunkt: (0 ). Wir betrachten die Funktion f() = (a) Berechnen Sie f () und die Koordinaten des Punktes mit waagrechter Tangente. (b) Zeichnen Sie die Graphen von f und f im -Intervall [0; ] in ein Koordinatensystem (Einheit auf der -Achse cm, auf der y-achse cm). Wertetabelle! (c) Beweisen Sie durch Rechnung, dass der Graph von f achsensymmetrisch ist. Die Achse ist der Zeichnung zu entnehmen! Lösung: (a) f () = 4( ) ( 4+5) waagrechte Tangente bei ( ). (c) f( h) = +h +h = f(+h) 8

19 . Wir betrachten die Funktion f() = (a) Berechnen Sie f () und die Koordinaten der Punkte mit waagrechter Tangente. (b) Erstellen Sie eine Wertetabelle und zeichnen Sie die Graphen von f und f im Intervall [ 5 ; ] (Einheit auf der -Achse cm, auf der y-achse cm). (c) Beweisen Sie durch Rechnung, dass der Graph von f punktsymmetrisch ist. Das Zentrum Z(z z ) ist der Zeichnung zu entnehmen. Lösung: (a) f () = ( +4+) ( +4+5) waagrechte Tangenten bei ( 0,5) und (,5). (c) f( h) = h +h = = f( +h). Wir betrachten die Funktion f mit der Gleichung f() = ( ) + (a) Wie lautet die maimale Definitionsmenge von f? Untersuchen Sie f auf Nullstellen. Berechnen Sie lim ± f(). (b) Zeigen Sie, dass der Graph von f zum Punkt Z(0 ) symmetrisch ist. (c) Berechnen Sie die Ableitung von f und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich. Suchen Sie die Koordinaten der Punkte mit waagrechter Tangente. (d) Zeichnen Sie den Graphen von f im -Intervall [ 4, 4]. Verwenden Sie auf der -Achse die Einheit cm und auf der y-achse die Einheit cm. (e) Berechnen Sie mit Hilfe des Ergebnisses von Teilaufgabe (c) die Ableitung der Funktiong mitdergleichungg() = f()undvereinfachen SiedasErgebnis. (f) Untersuchen Sie das Verhalten von g in der Umgebung von = und zeichnen Sie den Graphen von g in das schon vorhandene Koordinatensystem ein. Lösung: (a) D f =R, Nullstelle: 0 =, (b) lim ± f() = G f symmetrisch zu Z f( h) = f(h) f(h)+f( h) = ( h) +h + (+h) +h = = 9

20 (c) f () = ( ) (+ ) (d) waagrechte Tangente bei ( ) und bei ( 0) (e) g () = f () f() = ( )(+) (+ ) (f) lim ±g () = ± (Spitze von g bei = ) 4. Wir betrachten die Funktion f mit der Gleichung f() = cos π. (a) Wie lautet die Definitionsmenge von f? Berechnen Sie die Nullstellen von f im Intervall I = [ π, 4π]. (b) Weisen Sie nach, dass der Graph von f zur Achse = π symmetrisch ist. (c) Zeigen Sie, dass die Definitionslücke von f stetig geschlossen werden kann und schreiben Sie die stetige Fortsetzung f hin. (d) Berechnen Sie die Funktionswerte von f in der Mitte zwischen den Nullstellen und zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall I mit Kennzeichnung der Definitionslücke ( = π = cm, y = = 5cm). (e) Zeigen Sie, dass die Nullstellen von f der Gleichung cot = tan = π genügen. Bestimmen Sie graphisch die ungefähre Lage der Maima und Minima von f. { π Lösung: (a) D f =R\ } (b) f (c) lim π ( π ) h = cos( π h) h f() = cos π = ( 0 0 ) { f() für D f für = π Nullstellen: 5π, π, π, π, 5π, 7π = cos( π +h) ( π ) = f h +h de l Hospital sin = lim = π 0

21 (d) (e) Für die Nullstellen von f gilt rechts von π die Näherung k kπ, und zwar umso genauer, je größer ist. 5. Wir betrachten die Funktion f() = (a) Beweisen Sie, dass der Graph G f symmetrisch zur Achse = ist. (b) Zeichnen Sie G f in der Einheit cm im Intervall [ ;4]. Verwenden Sie das Ergebnis von (a)! (c) Berechnen Sie f () und die -Koordinate des Punktes mit waagrechter Tangente von G f. Lösung: (a) f(+h) = f( h) = h +7 h + (b) (c) f () = ( ) ( +) = waagrechte Tangente bei ( 7). Wir betrachten die Funktion f() = (a) Beweisen Sie, daß der Graph G f symmetrisch zur Achse = ist. (b) Zeichnen Sie G f in der Einheit cm im Intervall [ ;5]. Verwenden Sie das Ergebnis von (a)! (c) Berechnen Sie f () und die -Koordinate des Punktes mit waagrechter Tangente von G f. Lösung: (a) f(+h) = f( h) = h +4 h + (b) (c) f () = ( ) ( 4+5) = waagrechte Tangente bei ( 4)

22 7. Wir betrachten die Funktion f() = +. (a) Berechnen Sie die Definitionsmenge D f sowie die Grenzwerte von f() an den Rändern von D f. (b) Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitung die Monotoniebereiche sowie die Koordinaten der Punkte mit waagrechter Tangente von f. (c) Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [ ;4] (Einheit cm). (d) Beweisen Sie, dass G f zum Punkt Z( ) symmetrisch ist. Lösung: (a) D f =R\{ }, lim = ±, ( ) ± lim = ± ± (b) f () = + (+), waagrechte Tangenten bei (0 0) und ( 4) f streng steigend in ] ; [ und in ]0;+ [ f streng fallend in ] ; [ und in ] ;0[ (d) f( +h)+ = f( h) 8. Wir betrachten die Funktion f() =. (a) Berechnen Sie D f und untersuchen Sie das Verhalten von f am Rande von D f. (b) Berechnen Sie f () und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich. Berechnen Sie die notwendigen Grenzwerte von f und zeichnen Sie dann den Graphen von f (Einheit auf der -Achse 5cm ; Einheit auf der y-achse,5cm). Lösung: (a) D f =] ; [, (b) f () = (+), lim = +, ( ) +f() lim lim () =, ( ) +f = 0+ f() lim () = f 9. Wir betrachten die Funktion f() = 0 ( )(+). (a) Schreiben Sie die Definitionsmenge und die Nullstellen von f hin! Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern von D f. (b) Untersuchen Sie f auf Monotonie und Etremwerte. f ist als Produkt von Linearfaktoren darzustellen! (c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von f und berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte. (d) Zeichnen Sie den Graphen von f im Bereich,5 (Einheit cm). Lösung: (a) D f =R, Nullstellen von f: 0 =, 0 =, lim f() = + ± (b) f () = 5 (+) ( ), Nullstellen von f : =, = f () 0 in ] ; ], f () 0 in [; + [, rel. Min. bei (,7)

23 (c) f () = 5 (+)( ), Nullstellen von f : =, = f () > 0 in ] ; [ und in ]; + [, f () < 0 in ] ; [ Wendepunkte bei ( 0) (Terrassenpunkt) und bei (,) 0. Wir betrachten die Funktion f() = 50 (+)( )4. (a) Schreiben Sie die Definitionsmenge und die Nullstellen von f hin. Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern von D f. (b) Untersuchen Sie f auf Monotonie und Etremwerte. f ist als Produkt von Linearfaktoren darzustellen! (c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von f und berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte. (d) Zeichnen Sie den Graphen von f im Bereich,5 4,5 (Einheit cm). Lösung: (a) D f =R, Nullstellen von f: 0 =, 0 =, lim f() = ± ± (b) f () = 0 ( ) (+), Nullstellen von f : =, = f () 0 in ] ; ] und in [; + [, f () 0 in [ ; ] rel. Min. bei ( 0), rel. Ma. bei ( 5,) (c) f () = 5 ( ) (+), Nullstellen von f : =, = f () < 0 in ] ; [, f () > 0 in ] ; + [ Wendepunkt bei (,4), das Minimum bei ( 0) ist ein Flachpunkt.. Wir betrachten die Funktion f mit der Gleichung f() = ( ) (a) Wie lautet die maimale Definitionsmenge von f? Geben Sie eine betragsfreie Darstellung von f an und berechnen Sie die Nullstellen von f. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion an den Rändern von D f. (b) Untersuchen Sie f auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. (c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion und berechnen Sie die Koordinaten der Etrema. (d) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten der Funktion und berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte. (e) Berechnen Sie noch ein paar geeignete Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen von f im -Intervall [ ;] in der Einheit cm auf beiden Achsen. (f) Wie lauten die Gleichungen der Wendetangenten und wo schneiden sie sich?

24 Lösung: (a) D f =R { ( f() = ) = 9 + für 0 ( ) = 9 für > 0 ( 0 : 9 ) [ ( + = ) ] + = 0 4 ( > 0 : 9 ) [ ( = ) ] 5 = 0 4 Nullstellen bei 0 = 0 und 0 = (+ 5) 4,85 lim f() = + ± (b) f ist in ganzrstetig. { f () = + = [ ( ) + ] für 0 = [ ( ) 4 ] für > 0 lim () = lim () =, d.h. f ist in ganzrdifferenzierbar. 0 +f 0 f (c) f () < 0 für <, f () = 0, f () > 0 für > = relatives Minimum bei ( ) { (d) f () = + = ( ) für 0 = ( ) für > 0 f () > 0 für < 0 und für >, f () < 0 für 0 < < = Wendepunkte bei (0 0) und ( ) 9 (e) 4 5 f() 4,,44,44, 0,

25 (f) f (0) = = t () = f () = 4 = t () = 9 4 ( ) = Schnittpunkt von t und t bei ( ). Diskutieren Sie die Funktion f mit der Gleichung f() = 4 nach allen Regeln der Kunst und zeichnen Sie ihren Graphen. Lösung: NS: 0 =,9, 0 = 0, 0 = +,9 lim f() = + ± f () = f () = rel. Minimum bei ( ( 5) 9 8 ( +5 5 )) (,85,05) rel. Maimum bei (0 0) rel. Minimum bei ( (+ 5) 9 ( )) (4,85 7,) Wendepunkt bei ( ) = (,08) Wendepunkt bei ( ) 4 = ( 5,75). Wir betrachten die Funktion f mit der Gleichung f() = im maimalen Definitionsbereich D f =R. (a) Berechnen Sie die Nullstellen von f. (b) Untersuchen Sie f auf Monotonie und auf Etremwerte. (c) Ermitteln Sie das Krümmungsverhalten von f und die Wendepunkte. (d) Zeichnen Sie den Grafen von f im -Intervall [ 0,5;8] in der Einheit cm. Lösung: (a) f() = 8 ( + ) = 8 ( ) f() = 0 = 0 = 0, 0 = (b) f () = = 8 + ( 8+ ) f () = 0 = = =, =, f ist eine nach oben geöffnete Parabel = f } () > 0 und f streng steigend in ] ;[ und in ]; [ f = () < 0 und f streng fallend in ];[ 5 { rel. Ma. bei ( 4) rel. Min. bei ( 0)

26 (c) f () = 4 f () = 0 = = 4 = f } () < 0 und f rechtsgekrümmt in ] ;4[ f = Wendepunkt bei (4 ) () > 0 und f linksgekrümmt in ]4; [ (d) f() 0,5,4 0 0,5,75 5 0,5 7 0, f () -,5 +,5 8 4 f () 4 0,75 4 WP