Kapitel 4. Elektrizitätslehre. Vorversuche:

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1 Kapitel 4 Elektrizitätslehre Vorversuche: 4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände 4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators 4.3 Auf- und Entladung einer Spule Hauptversuche: 4.4 LC-Schwingkreise 4.5 gekoppelte Schwingungen Physikalische Grundlagen Ohmsches Gesetz, Kirchhoffsche egeln, Schaltungen von Widerständen, Kondensatoren, Spulen, Auf- bzw. Entladevorgänge, Schwingungen, gedämpfte Schwingungen, gekoppelte Schwingungen, Wechselströme, Wechselstromwiderstände, Verlustwiderstände 97

2 98 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE 4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände Versuchsbeschreibung: Es soll der Betrag der Ohmschen Widerstände bestimmt werden, die bei den folgenden Versuchsteilen zur Charakterisierung der Kondensatoren und der Spulen benutzt werden. Des weiteren sollen die Messfehler der Strom- und Spannungsmessungen bestimmt werden. Dazu werden zwei Messreihen benötigt: 1.) Es wird eine Gleichspannung eingestellt und der Spannungsabfall an dem Ohmschen Widerstand und der im Kreis fließende Strom gegen die Zeit gemessen. Aus der Häufigkeitsverteilung der Strom- bzw. Spannungsmessung wird der jeweilige Mittelwert, die Standardabweichung (Fehler des Einzelwertes) und der mittlere Fehler des Mittelwertes bestimmt. X = 1 n X i, σ X = 1 n (X i X) n i=1 n 1 2, σ X = σ X (4.1) i=1 n 2.) Die anliegende Gleichspannung wird variiert, der Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand und der fließende Strom gemessen. Die Fehler der Einzelmessungen wurden mit Messreihe 1.) vorher bestimmt. Mittels linearer egression wird die Steigung und damit der Wert des Ohmschen Widerstandes gemäß dem Ohmschen Gesetz bestimmt Versuchsaufbau = I Die verschiedenen Ohmschen Widerstände werden gemäß Abbildung 4.1 auf der astersteckplatte aufgebaut und an Spannung gelegt. Als Spannungsquelle dient die Gleichspannungsquelle S (0-16 V) des Sensor CASSY-Interface. Zur Strommessung wird das Amperemeter des Eingangs A und zur Spannungsmessung das Voltmeter des Eingangs B benutzt Versuchsdurchführung Messreihe 1 Die Spannungsquelle kann über das Menü Einstellungen CASSY automatisch bei Beginn der Messung eingeschaltet werden (Änderung des Zustands 0 auf 1). Die Messzeit wird im Menü Messparameter anzeigen (Abb. 4.1b) eingestellt, die Messgrößen werden als Momentanwerte (Intervall 10 µs) aufgezeichnet. Die an dem Ohmschen Widerstand abfallende Spannung wird mit dem Spannungsmessgerät des Eingangs B, der im Kreis fließende Strom wird mit dem Amperemeter des Eingangs A gemessen. Achtung: Auf Grenzwerte und Messbereiche achten! Messreihe 2 Die Spannungsquelle wird über das Menü Einstellungen CASSY eingeschaltet (Zustand 1). Die Messwertaufnahme wird in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer auf manuelle Aufnahme umgeschaltet (Abb. 4.1c). Es wird ein Messwert pro Start einer Messung

3 4.1. CHAAKTEISIENG DE OHMSCHEN WIDESTÄNDE 99 aufgezeichnet. Variiert wird manuell am Drehknopf die anliegende Spannung und es werden der Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand und der Strom aufgezeichnet in einem -I- Diagramm. Achtung: Auf Grenzwerte und Messbereiche achten! a) SENSO CASSY INPT A I INPT B 12 V S Benötigte Geräte: 1 Sensor-CASSY 1 CASSY Lab 1 astersteckplatte, DIN A4 1 STE Widerstand 100 Ω! 1 STE Widerstand 47 Ω 1 STE Widerstand 20 Ω 1 STE Widerstand 10 Ω 1 STE Widerstand 5,1 Ω 1 STE Widerstand 1 Ω 3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau b) c) Abbildung 4.1: a) Versuchsaufbau zur Charakterisierung des Ohmschen Widerstandes. b) Messreihe 1. c) Messreihe Versuchsauswertung Messreihe 1 Bestimmen Sie aus der Häufigkeitsverteilung der Strom- bzw. Spannungsmessung (Abb. 4.1b) den jeweiligen Mittelwert, die Standardabweichung (statistischer Fehler des Einzelwertes), den mittleren Fehler des Mittelwertes (Gleichungen 4.1) und berechnen sie den Ohmschen Widerstand

4 100 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE sowie den Fehler mittels Fehlerfortpflanzung. = I, σ ( ) 1 2 ( ) 2 = σ 2 + I I 2 σi, 2 (σ ) σ 2 ( = σi + I Variieren Sie die Anzahl der Messpunkte, wiederholen Sie die Messung und fassen Sie die Ergebnisse tabellarisch zusammen (Tabelle 4.1)! Berücksichtigen Sie ebenfalls den systematischen Fehler mittels Fehlerfortpflanzung: σ,sys = 0, 01 i + 0, 005 Bereichsendwert σ I,sys = 0, 02 I i + 0, 005 I Bereichsendwert ) 2 Messpunkte Messbereich I (A) σ I (A) σ I (A) Messbereich (V) σ (V) σ (V) ± stat ± sys (Ω) Tabelle 4.1: Beispiel einer Ergebnistabelle. Messreihe 2 Stellen Sie die Messreihe in einem -I-Diagramm dar und bestimmen Sie mittels linearer egression den Wert und Fehler des Ohmschen Widerstandes (Abb. 4.2). In die lineare egression gehen die statistischen Fehler der Strom- und Spannungsmessungen ein, die in Messreihe 1 bestimmt worden sind. m den systematischen Fehler in abzuschätzen, verschieben Sie die Messpunkte mit ihren statistischen Fehlern um die systematischen Fehlern, so dass der Einfluss auf die Steigung der Ausgleichsgeraden maximal wird (Abbildung 4.2). Systematische Verschiebungen: bzw.: i,verschoben = i (0, 01 i + 0, 005 Bereichsendwert ) I i,verschoben = I i + (0, 02 I i + 0, 005 I Bereichsendwert ) i,verschoben = i + (0, 01 i + 0, 005 Bereichsendwert ) I i,verschoben = I i (0, 02 I i + 0, 005 I Bereichsendwert ) Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an. Diskutieren Sie die Ergebnisse der beiden Messreihen und vergleichen Sie diese mit den Herstellerangaben (Tabelle 4.2).

5 4.2. AF- ND ENTLADNG EINES KONDENSATOS 101 Abbildung 4.2: Messreihe 2: Bestimmung des Ohmschen Widerstandes mittels linearer egression (rote, mittlere Kurve) und des systematischen Fehlers (blaue und grüne Kurven). Ohmscher Widerstand Belastbarkeit Toleranz 1 Ω 2 W 5 % 5,1 Ω 2 W 5 % 10 Ω 2 W 5 % 20 Ω 2 W 5 % 47 Ω 2 W 5 % 100 Ω 2 W 5 % Tabelle 4.2: Spezifikationen der Ohmschen Widerstände nach Herstellerangaben 4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators Versuchsbeschreibung Mit diesem Vorversuch sollen die Kapazitäten der Kondensatoren bestimmt werden, die später bei den Hauptversuchen der LC-Schwingkreise eingesetzt werden! Der bei diesem Vorversuch verwendete Ohmsche Widerstand muß im vorherigen Vorversuch charakterisiert worden sein! Wird ein Kondensator an eine Spannungsquelle angeschlossen (Abb. 4.3), so wird er geladen. Innerhalb einer gewissen Zeit fließen Ladungen auf die Platten (Ladestrom), bis der Kondensator die gleiche Spannung wie die Quelle hat. Wird dann die Spannungsquelle abgetrennt und die Kondensatorplatten leitend miteinander verbunden, so entlädt sich der Kondensator, im Kreis fließt dann für eine gewisse Zeit ein Entladestrom. Im folgenden wird ein Kondensator über einen Widerstand aufgeladen oder entladen. Es wird

6 102 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE der Spannungsabfall am Kondensator sowie der Lade- bzw. Entladestrom gemessen. Daraus kann die Zeitkonstante τ = C bestimmt werden. B A + 0 C C I Abbildung 4.3: Schaltung zur Aufnahme von Strom- und Spannungskennlinien bei Lade- und Entladevorgängen eines Kondensators Ladevorgang des Kondensators (Schalterstellung A): Der Ladevorgang beginnt beim Zeitpunkt t = 0, zu diesem Zeitpunkt fließt der maximale Strom I 0 = 0. Dann wird der Kondensator immer mehr geladen, die sich dabei aufbauende Spannung C wirkt als Gegenspannung zu 0, so daß der Ladestrom I immer kleiner wird. Wenn C = 0 geworden ist, kommt der Strom zum Erliegen (I = 0). Wird von einem beliebigen Punkt ausgehend der Kreis (Abb. 4.3) einmal vollständig umfahren, muß die Summe aller Spannungen Null ergeben gemäß der Kirchhoffschen Maschenregel. Eine andere Formulierung der Maschenregel lautet, daß die Summe der anliegenden Spannungen gleich der Summe der abfallenden Spannungen ist. Es gilt also zu jedem Zeitpunkt: Wegen C C = Q und I = dq dt 0 (t) C (t) = 0 0 C (t) = I(t) gilt dann: 0 C (t) = C d C (4.2) dt Die Differentialgleichung 4.2 wird integriert mit der andbedingung, daß beim Zeitpunkt t = 0 keine Ladung auf dem Kondensator ist und daher C (t = 0) = 0 ist. Für den Spannungsabfall am Kondensator zu einer beliebigen Zeit t gilt dann: C (t) 0 d C = 1 0 C C t 0 dt ln ( ) 0 C (t) 0 = t C C (t) = 0 ( 1 e t C ) (4.3) also steigt die Spannung am Kondensator exponentiell mit der Zeit auf 0 an. Damit ergibt sich für den Ladestrom: I(t) = dq dt = C d C dt = 0 t 0 e C = t e τ = I0 e t C (4.4)

7 4.2. AF- ND ENTLADNG EINES KONDENSATOS 103 mit der Zeitkonstanten des C-Kreises τ = C. Entladevorgang des Kondensators (Schalterstellung B): Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Spannungsquelle durch einen Leiter überbrückt, so daß keine Spannung mehr am Kreis anliegt und der Kondensator gemäß 0 aufgeladen ist. Dann liefert die Maschenregel: I(t) + C (t) = 0 Mit Q = C C und I = dq dt folgt die homogene Differentialgleichung: C d C(t) dt + C (t) = 0 (4.5) Die Lösung der Differentialgleichung 4.5 erfolgt durch Separation der Variablen unter Berücksichtigung der andbedingung (t = 0 C = 0 ): C 0 d C = 1 t dt ln C C 0 ( ) C 0 = t C und damit ergibt sich für den zeitabhängigen Spannungsabfall am Kondensator: Für den Stromverlauf ergibt sich bei der Entladung: I = dq dt = C d C dt Versuchsaufbau t C (t) = 0 e C = 0 e t τ (4.6) 1 = C 0 C t e C I(t) = 0 t e C (4.7) Der Kondensator und der Ohmsche Widerstand werden gemäß Abbildung 4.4 auf der astersteckplatte aufgebaut. Als Spannungsquelle dient die Gleichspannungsquelle S (0-16 V) des Sensor- CASSY-Interface. Zur Strommessung wird das Amperemeter des Eingangs A und zur Spannungsmessung das Voltmeter des Eingangs B benutzt. Zur Überbrückung der Spannungsquelle (Entladevorgang) wird ein Taster parallel zu dem Ohmschen Widerstand und dem Kondensator geschaltet. Bei dem Aufladevorgang des Kondensators wird die Spannungsquelle im Menü Einstellungen CASSY von AS (0) auf EIN (1) automatisch bei Beginn einer Messung umgeschaltet. Bei dem Entladevorgang bleibt die Spannungsquelle eingeschaltet (1), wird aber durch den Taster überbrückt, so das sich der Kondensator über den Widerstand entlädt.

8 104 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE INPT A I INPT B 12 V S + SENSO CASSY Benötigte Geräte: 1 Sensor-CASSY 1 CASSY Lab 1 astersteckplatte, DIN A4 1 STE Widerstand 100 Ω 1 Kondensator 10 µf 1 Kondensator 4,7 µf 1 Kondensator 2,2 µf 1 Kondensator 1 µf 1 Satz Brückenstecker 3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau 1 Taster Abbildung 4.4: Schaltbild zur Aufnahme einer Auf- oder Entladekurve eines Kondensators Versuchsdurchführung a) Aufladung Ladespannung 0 auf z.b. 5 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend einstellen und Ladespannung messen. Im Menü Einstellungen CASSY die automatische mschaltung der Spannungsquelle von AS (0) auf EIN (1) bei Start der Messung markieren Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die Anzahl auf 500 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 5ms Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf z.b. I A1 = 0, 04 A, fallende Tendenz einstellen! Aufladung mit F9 starten, Ladekurven gemäß Gleichungen 4.4, 4.3 und Abb. 4.5a aufnehmen b) Entladung Ladespannung 0 auf z.b. 6 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend einstellen und Ladespannung messen. Im Menü Einstellungen CASSY die Spannungsquelle auf EIN (1) stellen Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die Anzahl auf 1000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 10 ms Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf B1 = 5 V, fallende Tendenz einstellen! Messung mit F9 starten, Entladekurven gemäß Gleichungen 4.6, 4.7 und Abb. 4.5b aufnehmen Nach Meldung Triggersignal fehlt, den Taster zur Überbrückung der Spannungsquelle betätigen Achtung: Mögliche Nullpunktsschwankungen der Strom- oder Spannungsmessgeräte korrigieren im Menü Einstellungen CASSY!

9 4.2. AF- ND ENTLADNG EINES KONDENSATOS 105 a) b) Abbildung 4.5: a) Auf- bzw b) Entladekurve eines Kondensators

10 106 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE Versuchsauswertung Für die Bestimmung der Kapazität C werden die Strom- bzw. Spannungsmessreihen logarithmisch dargestellt. Die statistischen Fehler der Einzelmesswerte der Strom- und Spannungsmessungen wurden bereits im ersten Vorversuch ermittelt und müssen in die logarithmierte Darstellung transformiert werden. S = ln(x) σ S = ds dx σ X = σ X X An die jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittels linearer egression eine Gerade y = a t+b angepaßt. Für die Kapazität C und den Fehler σ C der Kapazität des Kondensators gilt dann: C = 1 a σ C C = (σa a ) 2 + ( σ ) 2 m den systematischen Fehler in C abzuschätzen, verschieben Sie die Messpunkte mit ihren statistischen Fehlern um die systematischen Fehlern. σ i,sys = 0, 01 i + 0, 005 Bereichsendwert σ Ii,sys = 0, 02 I i + 0, 005 I Bereichsendwert damit ergibt sich für die verschobenen Messwerte: i,+ = i + σ i,sys bzw. i, = i σ i,sys I i,+ = I i + σ Ii,sys bzw. I i, = I i σ Ii,sys An die nun jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittles linearer egression eine Gerade angepaßt und die Steigung (a + bzw. a ) bestimmt (Abbildung 4.6). Es gilt dann: σ sys,+ = a + a bzw. σ sys, = a a σ a,sys = σ sys,+ + σ sys, 2 Der systematische Fehler der Steigung und der des Ohmschen Widerstandes (erster Vorversuch) setzen sich wie folgt auf den Fehler der Kapazität fort: σ a C,sys = 1 a 2 σ a,sys σ C,sys = 1 a 2 σ,sys Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an: C ± σ C,stat ± σ a C,sys ± σ C,sys Bestimmen Sie dann aus den durch Auf- bzw. Entladung gewonnenen Kapazitäten und deren statistischen und systematischen Fehlern den Mittelwert und den Fehler der Kapazität mit dem Verfahren des gewichteten Mittelwertes: C = n i=1 n i=1 C i σ 2 i 1 σ 2 i σ C = Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit der Erwartung aufgrund der Herstellerangaben (Tabelle 4.3). 1 n i=1 1 σ 2 i

11 4.3. AF- ND ENTLADNG EINE SPLE (OPTIONAL) 107 Abbildung 4.6: Bestimmung der Kapazität mittels linearer egression (rote, mittlere) Kurve und des systematischen Fehlers (blaue und grüne Kurven) Kapazität max. zul. Spannung Toleranz 1 µf 100 V 5 % 2,2 µf 63 V 5 % 4,7 µf 63 V 5 % 10 µf 100 V 5 % Tabelle 4.3: Spezifikationen der Kondensatoren laut Herstellerangaben 4.3 Auf- und Entladung einer Spule (optional) Mit diesem Vorversuch sollen die Induktivität L und der innere Ohmsche Widerstand L der Spulen bestimmt werden, die später bei den Hauptversuchen der LC-Schwingkreise eingesetzt werden! Des weiteren soll der Innenwiderstand des Strommessgerätes ermittelt werden, da dieser später die Dämpfung der freien Schwingung beeinflussen wird Versuchsbeschreibung Eine Spule wird über einen Widerstand aufgeladen oder entladen. Es werden die Spannungsabfälle an der Spule sowie der Lade- oder Entladestrom gemessen. Daraus kann die Zeitkonstante τ = L, die Induktivität L und der innere Widerstand L der Spule bestimmt werden.

12 108 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE B A + 0 L L I Abbildung 4.7: Schaltung zur Aufnahme von Strom- und Spannungskennlinien bei Lade- und Entladevorgängen einer Spule Ladevorgang einer Spule (Abbildung 4.7, Schalterstellung A): Eine Spule wird über einen Ohmschen Widerstand aufgeladen. Bei der Änderung des Stromes im Kreis ändert sich das Magnetfeld und damit auch der magnetische Fluß im Querschnitt der Spule. Nach dem Induktionsgesetz wird dann in der Spule selbst eine Induktionsspannung i = L di dt induziert (Selbstinduktion). Für den bei Änderung des Stromes im Kreis durch Selbstinduktion auftretenden Spannungsabfall L an der Spule gilt: L = L di, mit dem Selbstinduktionskoeffizienten L (auch Induktivität genannt), der von der geometrischen Gestalt der Spule abhängt. dt Für die Induktivität L einer Spule vom Querschnitt A, der Länge l und mit N Windungen gilt annähernd: L = µ 0 µ r N 2 A l Nach dem Einschalten wächst I(t) von Null an, wird durch 0 angetrieben und durch i behindert. Die Spannung 0 kann einen maximalen Strom I 0 = 0 im Kreis erzeugen. Mit der Kirchhoffschen Maschenregel folgt eine inhomogene lineare Differentialgleichung (DGL) 1. Ordnung: 0 = L di dt + I di dt + L I = 0 L Die Lösung einer solchen DGL setzt sich zusammen aus der Summe einer allgemeinen homogenen Lösung mit einer beliebigen sog. partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung: I(t) = I h (t) + I p (t) Für Lösung I h der homogenen DGL ergibt sich: (4.8) di dt + L I = 0 I(t) 0 t di I = dt ln L 0 ( ) I(t) = I(0) L t I h(t) = I h (0) e L t

13 4.3. AF- ND ENTLADNG EINE SPLE (OPTIONAL) 109 I h (0) ist die Integrationskonstante, die durch die Anfangsbedingung festgelegt wird. Für die inhomogene Lösung I p folgt: L di dt + I = 0 I p = 0 Damit folgt für die Gesamtlösung: I(t) = I h (0) e L t + 0 Mit der Anfangsbedingung I(0) = 0 folgt: I(0) = I h (0) + 0 = 0 und damit I h(0) = 0 Der Ladestrom ist dann: I(t) = 0 ( 1 e t) L (4.9) Dabei ist τ = L die Zeitkonstante des Stromkreises. Für den zeitabhängigen Spannungsabfall L an der Spule folgt damit: L (t) = L di dt = 0 e L t (4.10) Entladevorgang einer Spule (Abbildung 4.7, Schalterstellung B): Zur Zeit t = 0 wird der Schalter von A nach B gelegt und dadurch die Spannungsquelle durch Überbrückung abgeschaltet. Im L-Kreis folgt dann aus der Maschenregel die homogene Differentialgleichung: mit der Lösung: L di dt + I = 0 di dt + L I = 0 (4.11) I h (t) = I h (0) e L t mit der Anfangsbedingung, daß zur Zeit t=0 der maximale Strom I(0) = 0. fließt, gilt dann: I(t) = 0 e L t (4.12) Für den Spannungsabfall an der Spule gilt: Versuchsaufbau L (t) = 0 e L t (4.13) Die Spule und der Ohmsche Widerstand werden gemäß Abbildung 4.8 auf der astersteckplatte aufgebaut. Die Strommessung erfolgt mit dem Amperemeter des Eingangs A und die Spannungsmessung mit dem Voltmeter des Eingangs B des Sensor-CASSY-Interface. Die Spannungsquelle S des Sensor-Cassy-Interface wird bei dem Ladevorgang im Menü Einstellungen CASSY auf AS (Zustand 0) gestellt und mit Beginn der Messung automatisch auf EIN (Zustand 1) geschaltet. Beim Entladevorgang wird die Spannungsquelle vom eingeschalteten Zustand 1 automatisch bei Beginn der Messung in den ausgeschalteten Zustand 0 umgeschaltet. Die Datenaufnahme erfolgt erst nach Erfüllung einer Triggerbedingung.

14 110 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE INPT A INPT A I I INPT B INPT B 12 V S + 12 V S + SENSO CASSY SENSO CASSY a) b) Benötigte Geräte: 1 Sensor-CASSY 1 CASSY Lab 1 astersteckplatte, DIN A4 1 STE Widerstand 100 Ω 1 Spule 250, 500 oder 1000 Windungen 1 Experimentierkabel, 50 cm, blau 3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau Abbildung 4.8: Schaltbild zur a) Aufnahme von Auf- und Entladekurven und Bestimmung des inneren Ohmschen Widerstandes L einer Spule und b) Bestimmung des inneren Ohmschen Widerstandes des Amperemeters Versuchsdurchführung a) Aufladung Ladespannung 0 auf etwa 5 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend einstellen und Ladespannung messen. Achtung: Grenzwerte beachten! Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die Anzahl auf 250 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 2.5 ms Spannungsquelle einschalten - dazu in Einstellungen CASSY, Spannungsquelle S die Eingabe von 0 nach 1 ändern durch automatische mschaltung bei Beginn der Messung. Aufladung mit F9 starten, Ladekurven gemäß Gleichungen 4.9,4.10 und Abb. 4.9a aufzeichnen.

15 4.3. AF- ND ENTLADNG EINE SPLE (OPTIONAL) 111 a) b) Abbildung 4.9: a) Auf- und b) Entladekurven einer Spule

16 112 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE b) Entladung Ladespannung 0 auf etwa 5 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend einstellen und Ladespannung messen. Achtung: Grenzwerte beachten! Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die Anzahl auf 250 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 2.5 ms. Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf z.b. B1 = 3 V, steigende Tendenz einstellen! Spannungsquelle bei Beginn der Messung ausschalten - dazu in Einstellungen Spannungsquelle S1 die Eingabe von 1 nach 0 ändern durch automatische mschaltung bei Beginn der Messung. Entladung mit F9 starten, Entladekurven gemäß Gleichungen 4.12, 4.13 und Abb. 4.9b aufzeichnen. c) Innerer Ohmscher Widerstand L der Spule (zusätzliche Widerstände entfernen) Spannungsquelle S über das Menü Einstellungen CASSY einschalten (Zustand 1). Messwertaufnahme in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer auf manuelle Aufnahme umschalten (Abb. 4.10a). Es wird ein Messwert pro Start einer Messung aufgezeichnet. Variation der anliegenden Spannung 0 (manuell am Drehknopf), Aufzeichnung des Spannungsabfalls an der Spule und des Stroms (Abb. 4.10a). d) Innenwiderstand des Amperemeters des Eingangs A Spannungsquelle S über das Menü Einstellungen CASSY einschalten (Zustand 1). Messwertaufnahme in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer auf manuelle Aufnahme umschalten. Es wird ein Messwert pro Start einer Messung aufgezeichnet. Variation der anliegenden Spannung 0 (manuell am Drehknopf), Aufzeichnung des Spannungsabfalls am Amperemeter und des Stroms (Abb. 4.8b und 4.10b).

17 4.3. AF- ND ENTLADNG EINE SPLE (OPTIONAL) 113 a) b) Abbildung 4.10: Bestimmung des inneren Ohmschen Widerstandes a) einer Spule, b) des Amperemeters mittels Ohmschen Gesetzes.

18 114 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE Versuchsauswertung Induktivität L: Für die Bestimmung der Zeitkonstanten τ = L werden die Strom- bzw. Spannungsmessreihen logarithmisch dargestellt. Die statistischen Fehler der Einzelmesswerte der Strom- und Spannungsmessungen wurden bereits im ersten Vorversuch ermittelt und müssen in die logarithmierte Darstellung transformiert werden. S = ln(x) σ S = ds dx σ X = σ X X An die jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittels linearer egression eine Gerade y = a t+b angepaßt. Damit ergibt sich für die Induktivität L und deren Fehler σ L : L = a, σ L L = (σa a ) 2 + ( σ ) 2 m den systematischen Fehler in L abzuschätzen, verschieben Sie die Messpunkte mit ihren statistischen Fehlern um die systematischen Fehlern. σ i,sys = 0, 01 i + 0, 005 Bereichsendwert σ Ii,sys = 0, 02 I i + 0, 005 I Bereichsendwert damit ergibt sich für die verschobenen Messwerte: i,+ = i + σ i,sys bzw. i, = i σ i,sys I i,+ = I i + σ Ii,sys bzw. I i, = I i σ Ii,sys An die nun jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittles linearer egression eine Gerade angepaßt und die Steigung (a + bzw. a ) bestimmt. Es gilt dann: σ sys,+ = a + a bzw. σ sys, = a a σ a,sys = σ sys,+ + σ sys, 2 Der systematische Fehler der Steigung und der des Ohmschen Widerstandes (erster Vorversuch) setzen sich wie folgt auf den Fehler der Induktivität fort: σ a L,sys = a 2 σ a,sys σ L,sys = 1 a σ,sys Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an L ± σ L,stat ± σ a L,sys ± σ L,sys. Bestimmen Sie dann aus den durch Auf- bzw. Entladung gewonnenen Induktivitäten und deren Fehlern (statistische und systematische) den Mittelwert und den Fehler der Induktivität mit dem Verfahren des gewichteten Mittelwertes: L = n i=1 n i=1 L i σ 2 i 1 σ 2 i σ L = Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit der Erwartung aufgrund der Herstellerangaben. 1 n i=1 1 σ 2 i

19 4.3. AF- ND ENTLADNG EINE SPLE (OPTIONAL) 115 Innerer Widerstand L der Spule Methode 1: Bei den Aufladekurven in Abbildung 4.9a fällt auf, daß der Spannungsabfall an der Spule nicht exponentiell mit der Zeit gegen Null, sondern gegen einen konstanten Anteil geht. Der Grund dafür ist der innere Ohmsche Widerstand L der Spule. Bestimmen Sie aus den Aufladekurven den Sättigungsstrom I 0 und den konstanten an der Spule abfallenden Gleichspannungsanteil L und berechnen Sie den inneren Ohmschen Widerstand der Spule: L = L I 0 ) σ L 2 ( σl = + L L ( ) 2 σi0 Methode 2: Stellen Sie die manuell aufgenommene Messreihe in einem -I-Diagramm dar und bestimmen Sie den Wert und Fehler des inneren Ohmschen Widerstandes L mittels linearer egression (Abb. 4.10a). In die lineare egression gehen die Fehler der Strom- und Spannungsmessungen ein, die im ersten Vorversuch, Messreihe 1, bestimmt worden sind. Diskutieren Sie die Ergebnisse der beiden Methoden mitsamt ihrer statistischen und systematischen Fehler und vergleichen Sie diese mit den Herstellerangaben. Innenwiderstand i des Amperemeters Stellen Sie die manuell aufgenommene Messreihe in einem -I-Diagramm dar und bestimmen Sie den Wert und Fehler des Innenwiderstandes des Amperemeters i mittels linearer egression (Abb. 4.10b). In die lineare egression gehen die Fehler der Strom- und Spannungsmessungen ein, die im ersten Vorversuch, Messreihe 1, bestimmt worden sind. Geben Sie das Ergebnis mit statistischen und systematischen Fehlern an. I 0

20 116 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE 4.4 Gedämpfter LC-Schwingkreis Versuchsbeschreibung + I L C Abbildung 4.11 LC-Schwingkreis Wird ein Kondensator C auf die Spannung 0 aufgeladen und über eine parallel geschaltete Spule entladen, so müssen zu jeder Zeit die Spannungen am Kondensator und an der Spule gleich groß sein, bzw. die Gesamtenergie bei einer freien, ungedämpften Schwingung muß konstant bleiben. Die Gesamtenergie ist gleich der Summe der elektrischen und magnetischen Feldenergien. Ein tatsächlich aufgebauter Schwingkreis besitzt neben einer Kapazität C und einer Induktivität L immer auch einen unvermeidlichen Ohmschen Widerstand. Kondensatoren und Spulen sind keine idealen Bauelemente, sondern weisen neben der Kapazität bzw. Induktivität auch Ohmschen Widerstände auf (siehe Anhang 4.6). Diese üben eine dämpfende Wirkung auf die Schwingung aus und am Gesamtwiderstand wird in der Zeit dt die Stromenergie de = I 2 dt in Wärme umgewandelt. Diese wird der Gesamtenergie des Kreises entzogen. Die elektrischen Schwingungen lassen sich anregen, indem man entweder den Kondensator entlädt oder auflädt. Sowohl Auf- wie Entladung werden durch Schwingungsgleichungen mit einem Dämpfungsterm beschrieben. Es hängt entscheidend vom Dämpfungsterm ab, wie der Einschwingvorgang auf die angelegte Spannung ( 0 bzw. Null) verläuft. Bei kleiner Dämpfung wird sich die Spannung nach einem Einschwingvorgang am Kondensator einstellen. Bei sehr starker Dämpfung kommt es zu keiner Schwingung und der Kondensator erreicht sehr langsam die angelegte Spannung. Zwischen diesen beiden Fällen gibt es einen Spezialfall, bei dem sich die Spannung ohne Schwingung nach kürzester Zeit auf den richtigen Wert einstellt. Diese Situationen entsprechen vollkommen den mechanischen freien Schwingungen. Analoge Beziehung bzw. Bezeichnungen mechanischer und elektromagnetischer Schwingungen sind in Tabelle 4.4 aufgezeigt.

21 4.4. GEDÄMPFTE LC-SCHWINGKEIS 117 Schwingungen mechanische elektromagnetische d 2 y dt 2 + b m dy dt + c m y = 0 Differentialgleichung DGL: d 2 Q dt 2 + L dq dt + 1 L C Q = 0 y Elongation Q elektrische Ladung m Masse L Induktivität b Dämpfungskonstante Ohmscher Widerstand c Federkonstante 1/C inverse Kapazität Geschwindigkeit: v = dy dt ω 0 = δ = b 2m = Stromstärke: I = dq dt Kreisfrequenz ohne Dämpfung: c/m ω 0 = 1/(LC) Abklingkoeffizient, Dämpfungskonstante: δ = 2L Kreisfrequenz: ω = c/m b 2 /(4m 2 ) = Dämpfungsgrad: ω 2 0 δ 2 1/(LC) 2 /(4L 2 ) D = δ ω 0 = b 2 1 mc Potentielle Energie: D = δ ω 0 = 2 C L Elektrostatische Energie: E pot = 1 2 cy2 E C = 1 Q 2 2 C Kinetische Energie: = 1 2 C 2 C Magnetische Energie: E kin = 1 2 mv2 E L = 1 2 LI2 Güte (wird meist auch mit Q bezeichnet): Q = 1 = mc/b Q = 1 = 1 L/C 2D 2D Tabelle 4.4: Analogien zwischen mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen

22 118 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE Differentialgleichung für freie elektrische Schwingung: An eine Gleichspannung 0 wird eine Serienschaltung von, L und C angeschlossen. Nach der Kirchhoffschen Maschenregel ist 0 gleich der Summe aller Spannungsabfälle an den Komponenten, L und C: 0 = + L + C = I + L di dt + Q C. Wegen I = dq/dt gilt dann für die elektrische Ladung: L d2 Q dt 2 + dq dt + Q C = 0. (4.14) Weil eine so aufgebaute Differentialgleichung (DGL) für alle freien gedämften Schwingungen gilt, bei denen die Schwingungsamplituden nicht so groß werden, dass nicht-lineare Terme berücksichtigt werden müssen, schreibt man: mit d 2 Q dt 2 δ = 2L + 2 δ dq dt + ω2 0 Q = 0 L. (4.15) und ω 0 = 1 LC (4.16) δ heißt Abklingkoeffizient, Dämpfungskonstante (in s 1 ) und ist ein Maß für die Dämpfung; ω 0 ist die Kreisfrequenz der ungedämpften freien Schwingung. Das Verhältnis von Abklingkoeffizient und Kreisfrequenz ist dimensionslos und heißt Dämpfungsgrad D der gedämpften Schwingung: D = δ ω 0 = 2 C L. d = 2 D ist der Verlustfaktor und das Inverse davon die Güte: Q = 1 2D = 1 L C. (4.17) Der gesamte Ohmsche Widerstand des Schwingkreises, in dem unter anderem auch der Ohmsche Widerstand der Spule enthalten ist, trägt zu Energieverlusten bei. Durch diese Dämpfung verringern sich die Kreisfrequenz und die Güte des Schwingkreises. Gleichung 4.15 ist eine inhomogene lineare DGL 2. Ordnung. Die allgemeine Lösung dieser DGL ist die Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen und einer beliebigen Lösung der inhomogenen Gleichung: Q(t) = Q h (t) + Q p (t). Q p (t) nennt man partikuläre Lösung. Die Gesamtlösung enthält zwei Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen des Schwingungsproblems bestimmt werden müssen.

23 4.4. GEDÄMPFTE LC-SCHWINGKEIS 119 Lösung der homogenen Differentialgleichung Die homogene Differentialgleichung wird gelöst durch den Ansatz: d 2 Q dt δ dq dt + ω2 0 Q = 0 (4.18) Q(t) = Q 0 e λt Q(t) = λ Q(t) Q(t) = λ2 Q(t) Einsetzen in die Differentialgleichung liefert: (λ 2 + 2δλ + ω 2 0) Q(t) = 0 λ 2 + 2δλ + ω 2 0 = 0 mit den Lösungen: λ 1,2 = δ ± δ 2 ω 2 0 = δ ± ω 2 = δ ± iω (4.19) mit ω 2 = ω0 2 δ 2. Die allgemeine Lösung der homogenen DGL orientiert sich daran, ob der Dämpfungsgrad D größer, gleich oder kleiner als 1 ist. Allgemein gilt: Q h (t) = A e λ 1t + B e λ 2t Die homogene DGL entspricht dem Fall, dass keine Spannung anliegt. Die Lösungen dieser Gleichung beschreiben folglich die Entladung eines bereits aufgeladenen Kondensators. Das muss bei den andbedingungen berücksichtigt werden. Für die drei folgenden Situationen haben die andbedingungen für die exakte Lösung immer die gleiche Form: Q h (0) = Q 0 = C 0 und dq h dt (0) = I(0) = 0 (4.20) Kriechfall (δ > ω 0, D > 1) Beim Kriechfall ist die Dämpfung so stark, dass der Kondensator sehr langsam entladen wird und nur asymptotisch seine Spannung verliert. Es findet keine Schwingung statt! Mit den beiden Integrationskonstanten folgt: ( ( δ+ δ Q h (t) = A e 2 ω0 )t ) 2 δ δ + B e 2 ω0 2 t Mit den andbedingungen ergibt sich für die Konstanten in Gleichung 4.21: A = C 0 δ + δ 2 ω0 2, B = C 0 δ + δ 2 ω0 2 2 δ 2 ω0 2 2 δ 2 ω0 2 (4.21) Abb zeigt für = 320 Ω, L = 9,0 mh und C = 2,2 µf den Spannungsabfall am Kondensator und den Strom I. Der Kondensator war zu Beginn geladen mit einer Spannung von 10 V. Beim Kriechfall stellt sich die Spannung nur sehr langsam und ohne überzuschwingen ein. Auch

24 120 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE Spannung (V) Aperiodischer Grenzfall Strom (A) Schwingfall 4 Kriechfall Kriechfall -6-8 Schwingfall -0.1 Aperiodischer Grenzfall Zeit (s) Zeit (s) Abbildung 4.11: Kondensatorspannung und Strom beim Entladen (Schwingfall, Kriechfall und Aperiodischer Grenzfall) der Entladestrom schwingt nicht über und bleibt relativ klein. Aperiodischer Grenzfall (δ = ω 0, D = 1) Beim aperiodischen Grenzfall wird die Dämpfung so gering, dass der Kondensator in der kürzesten Zeit entladen wird. Auch in diesem Fall kommt es zu keinen Schwingungen. Der Strom zeigt ebenfalls keine Schwingungen, ist aber wegen der kürzeren Entladungszeit größer als der im Kriechfall. Wegen δ = ω 0 verschwindet in Glg die Wurzel. Damit man für die einzustellenden Anfangsbedingungen wieder zwei Integrationskonstanten zur Verfügung hat, nimmt die Lösung folgende allgemeine Form an (mit den Anfangsbedingungen folgt: A = C 0 und B = δa): Q h (t) = e δt (A + Bt) Q h (t) = C 0 e δt (1 + δ t) (4.22) C (t) = 0 e δt (1 + δ t) und I(t) = δ 2 e δt C 0 t (4.23) Abb zeigt für den gleichen Schwingkreis neben dem Kriechfall auch den aperiodischen Grenzfall. Der Ohmsche Widerstand beträgt hier jedoch = 2 L/C = 127,9 Ω. Schwingfall (δ < ω 0, D < 1) Wenn die Dämpfung noch kleiner wird, stellt sich die Spannung am Kondensator erst nach einem Einschwingvorgang auf den endgültigen Wert ein. Die Wurzel im Exponenten von Glg wird jetzt rein imaginär. Die allgemeine Lösung nimmt dann die folgende Form an: Q h (t) = e δt ( A e iωt + B e iωt)

25 4.4. GEDÄMPFTE LC-SCHWINGKEIS 121 In dieser elation ist sowohl eal- wie auch Imaginärteil Lösung der DGL. Man kann daher mit anderen Integrationskonstanten schreiben: Q h (t) = e δt (A cos ωt + B sin ωt) Mit den bekannten Anfangsbedingungen (Glg. 4.20) findet man A = C 0 und B = Aδ/ω, also: (cos ωt + δω ) sin ωt Q h (t) = C 0 e δt (4.24) Abb zeigt für den gleichen Schwingkreis, jedoch mit einem kleineren Ohmschen Widerstand ( = 12, 8Ω) die Situation, bei der es deutlich zu einem Überschwingen kommt. Bei kleiner Dämpfung verläuft Q h (t) und damit auch C (t) annähernd wie ein Cosinus. Der Strom ergibt sich durch die Zeitableitung von Glg und hat die Form eines gedämpften Sinus: (cos ωt + δω ) sin ωt C (t) = 0 e δt I(t) = C 0 e δt ( ω + δ2 ω ) (4.25) sin ωt (4.26) Zwischen beiden hat man also ungefähr eine Phasenverschiebung von π/2. Der Strom eilt der Spannung voraus. Lösung der inhomogenen Differentialgleichung Wenn nicht die Entladung sondern die Aufladung des Kondensators in einem Schwingkreis untersucht wird, muss die inhomogene DGL 4.15 gelöst werden. Dies geschieht, indem man eine beliebige partikuläre Lösung dieser Glg. sucht. Da in diesem Fall der inhomogene Teil eine Konstante ist, erfüllt Q p = C 0 die DGL. Zu allen allgemeinen Lösungen der homogenen DGL tritt der partikuläre Teil additiv hinzu. Bei allen drei im folgenden aufgeführten Fällen sind die Anfangsbedingungen gegeben durch: Kriechfall (δ > ω 0, D > 1) Q(0) = 0 und dq(0) dt = I(0) = 0 Die allgemeine Lösung lautet: ( ( δ+ δ Q(t) = C 0 + A e 2 ω0 )t ) 2 δ δ + B e 2 ω0 2 t Mit den Anfangsbedingungen findet man für die Integrationskonstanten: A = C 0 δ + δ 2 ω0 2 2 δ 2 ω0 2 B = C 0 δ δ 2 ω0 2 2 δ 2 ω0 2

26 122 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE Spannung (V) Schwingfall Strom (A) Aperiodischer Grenzfall Kriechfall Kriechfall Aperiodischer Grenzfall Zeit (s) -0.1 Schwingfall Zeit (s) Abbildung 4.12: Kondensatorspannung und Strom beim Aufladen (Schwingfall, Kriechfall und Aperiodischer Grenzfall) Aperiodischer Grenzfall (δ = ω 0, D = 1) Allgemeine Lösung: Q(t) = C 0 + e δt (A + Bt) Mit den Integrationskonstanten A = C 0 und B = δa folgt für die Lösung: Schwingfall (δ < ω 0, D < 1) Allgemeine Lösung: Q(t) = C 0 [ 1 e δt (1 + δ t) ] Q(t) = C 0 + e δt (A cos ωt + B sin ωt) Mit den Anfangsbedingungen folgt für die Lösung: [ (cos ωt + δω )] sin ωt Q(t) = C 0 und damit für Spannung C und Strom I: C (t) = 0 [ 1 e δt 1 e δt I(t) = C 0 e δt ( (cos ωt + δω sin ωt )] ω + δ2 ω ) sin ωt

27 4.4. GEDÄMPFTE LC-SCHWINGKEIS 123 Elektrische und Magnetische Energie Der Energiesatz ist ein erstes Integral der zugrunde liegenden Bewegungsgleichung (Differentialgleichung). Daher kann man aus dem Energiesatz wieder die DGL herleiten. Wenn im Schwingkreis ein Strom fließt, sorgt der Ohmsche Widerstand für Verluste durch mwandlung der Energie in Wärme. Wenn E ges die zur Zeit t noch vorhandene Gesamtenergie ist, beträgt die Verlustleistung: deges = I dt = I 2 Die Gesamtenergie des Schwingkreises setzt sich zu jedem Zeitpunkt aus der Summe der magnetischen (Induktivität) und der elektrostatischen Energien (Kapazität) zusammen: E ges = 1 2 LI2 + 1 Q 2 2 C Mit der Verlustleistung und mit I = dq/dt folgt: d dt ( 1 2 LI Q 2 ) = I 2 L d2 Q C dt 2 Diese Gleichung ist identisch mit Glg dq dt + 1 C Q = 0 Während des Entladeprozesses, aber auch während des Aufladeprozesses, schwingt die Energie zwischen der magnetischen Feldenergie der Spule E magn = 1 2 LI2 und der elektrischen Feldenergie des Kondensators E el = 1 Q 2 hin und her. Bei sehr kleinem Dämpfungsgrad (D << 1 und 2 C ω 2 = ω0 2 δ 2 ω0) 2 gilt annähernd: I(t) = I 0 e δt sin ω 0 t Q(t) = Q 0 e δt cos ω 0 t C (t) = 0 e δt cos ω 0 t Im zeitlichen Mittel ist die magnetische gleich der elektrischen Energie (E magn = E el ), daraus folgt mit Q = C C : LI 2 0 = C 2 0. In diesem praktisch ungedämpften Fall sind der Strom und die Spannung gegeneinander um π/2 phasenverschoben. Für die Gesamtenergie folgt: E ges = 1 2 LI C C 2 = 1 2 LI2 0 e 2δt sin 2 ω 0 t + 1 ( 1 2 C 0 2 e 2δt cos 2 ω 0 t = 2 LI ) 2 C 0 2 e 2δt Die Gesamtenergie klingt (annähernd) exponentiell mit der Zeit ab! Zusammenfassung Bei diesem Versuch wird ein elektrischer Schwingkreis angeregt und die freie gedämpfte Schwingung aufgezeichnet. Die Dämpfung und die Phasendifferenz zwischen (t) und I(t) wird sichtbar. In der Auswertung werden die ermittelten Parameter Frequenz ω und Dämpfungsfaktor δ der Schwingung mit den Vorhersagen aufgrund der Vorversuche verglichen. Die Dämpfung soll mit verschiedenen zusätzlichen Ohmschen Widerständen variiert werden (z.b. aperiodischer Grenzfall und Kriechfall wenn möglich). Im gedämpften Schwingkreis gilt vereinfacht: I(t) = I 0 e δ t sin(ω t ϕ) und (t) = 0 e δ t sin(ω t) (4.27)

28 124 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE mit ω = 2π f = ω 2 0 δ 2, ω 0 = 1 und δ = L C 2 L (4.28) Wurde der Vorversuch zur Charakterisierung der Spulen nicht durchgeführt, müssen die Spulen mit Hilfe der Ergebnisse der Schwingungsversuche charakterisiert werden. Mit den Gleichungen 4.28 folgt: L = Versuchsaufbau 1 (ω 2 + δ 2 ) C und = 2δ (ω 2 + δ 2 ) C Der Schwingkreis wird gemäß Abbildung 4.13 auf der astersteckplatte aufgebaut. Der Strom fließt durch Eingang A des Sensor-CASSYs und die Kondensatorspannung wird an Eingang B gemessen. Zu Beginn des Experiments wird der Kondensator aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start der Schwingung wird der Taster gedrückt, welcher dabei die Spannungsquelle S kurzschließt. INPT A I INPT B 12 V S + SENSO CASSY Benötigte Geräte: 1 Sensor-CASSY 1 CASSY Lab 1 astersteckplatte, DIN A4 1 Kondensator 1 µf 1 Kondensator 2,2 µf 1 Kondensator 4,7 µf 1 Kondensator 10 µf 1 Spule 250 Windungen 1 Spule 500 Windungen 1 Spule 1000 Windungen 1 Satz Brückenstecker 3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau 1 Taster Abbildung 4.13: Schaltbild zur Aufnahme von freien, gedämpften Auflade- bzw. Entlade- Schwingungen Versuchsdurchführung Ladespannung 0 am Kondensator auf etwa 6 V einstellen - dazu Spannungsquelle S entsprechend einstellen Spannungsquelle S auf EIN (1) bei Messung Entladevorgang, auf AS (0) mit automatischer mschaltung auf EIN (1) bei Beginn der Messung des Ladevorgangs.

29 4.4. GEDÄMPFTE LC-SCHWINGKEIS 125 a) b) Abbildung 4.14: a) Auflade- bzw. b) Entlade-Schwingungen

30 126 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die Anzahl auf 2000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 20 ms Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf z.b. B1 = 5 V, fallende Tendenz (Entladevorgang) bzw. B1 = 0, 5 V, steigende Tendenz (Ladevorgang) einstellen! Messung mit F9 starten (wartet dann auf Triggersignal) Schwingkreis mit Taster schließen (erzeugt Triggersignal) Versuchsauswertung Zur Sichtbarmachung der Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung normiert man die beiden gemessenen Verläufe I(t) und C (t) und stellt sie graphisch in einem Diagramm dar oder vergleicht z.b. die Nulldurchgänge der Spannungsmesung mit der Lage der Maxima der Strommessung (Abbildung 4.14b). Die Frequenz f der Schwingung lässt sich am leichtesten im Frequenzspektrum ermitteln, welches mittels einer Fouriertransformation der gemessenen Kondensatorspannung B1 bzw. dem gemessenen Strom I A1 bestimmt werden kann und dann die Frequenz f z.b. mit der Peakschwerpunktsmethode oder mit der PeakfinderFanomethode berechnet wird (Abbildung 4.15a). Die Dämpfungskonstante δ ergibt sich aus der Anpassung einer Einhüllenden an die Messung C (t) (Abbildung 4.15b). Bestimmen Sie die Kreisfrequenz ω, die Dämpfungskonstante δ und vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit den Vorhersagen gemäß den Ergebnissen der Voruntersuchungen, eingesetzt in die Gleichungen Aufgrund der mpolarisierung des Dielektrikums des Kondensators und der mmagnetisierung des Spulenmaterials durch die Wechselspannung bzw. Wechselstrom der Schwingung treten zusätzliche Verlustwiderstände auf (siehe Anhang 4.6). Berücksichtigen Sie den Beitrag der Verlustwiderstände zu den Ergebnissen der Voruntersuchungen und vergleichen Sie dies mit ihren Ergebnissen. a) b) Abbildung 4.15: Beispielmessung einer freien, gedämpften Schwingung (C = 2, 2 µf, Spule mit 500 Windungen (L = 9 mh, L = 2, 2 Ω)). a) Frequenzspektrum mittels Fouriertransformation, Anpassung mittels Fanofunktion, b) Anpassung einer Einhüllenden an C (t)

31 4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKEISE Gekoppelte LC-Schwingkreise Versuchsbeschreibung Ein elektrischer Schwingkreis 1 kann induktiv mit einem zweiten erregten Schwingkreis 2 koppeln. Der Kreis 1 wird dadurch zu erzwungenen Schwingungen erregt. Die esonanz tritt auf, wenn ω 1 = ω 2 ist. Dann wird die Erscheinung der Schwebung beobachtet: Die Schwingungsenergie pendelt zwischen den Kreisen hin und her (gekoppelte Schwingungen). Bei diesem Versuch werden die Fundamentalschwingungen und die Schwebung der gekoppelten Schwingkreise aufgezeichnet. Dazu wird das Frequenzspektrum der gekoppelten Schwingkreise mit dem Spektrum eines ungekoppelten Schwingkreises verglichen. Das fouriertransformierte Signal der gekoppelten Schwingkreise zeigt die Aufspaltung in zwei symmetrisch um das ungekoppelte Signal liegende Verteilungen, deren Abstand von der Kopplung der Schwingkreise abhängt. Ausgehend von den Differentialgleichungen der gekoppelten Schwingkreise: Ï 1 + k Ï2 + I 1 L C = 0 (4.29) Ï 2 + k Ï1 + I 2 L C = 0 (4.30) mit Kopplung k (0 < k < 1) folgen die beiden Eigenfrequenzen ω + und ω zu ω k = ω + < ω 0 < ω = ω 0 1 k. Insbesondere ist die Schwingungsfrequenz des gekoppelten Systems gleich (für kleine k). ω + + ω 2 = ω 0 1 k 2 ω 0 k 1 = ( ω0 ω + ) 2 1, k 2 = 1 ( ω0 ω ) 2, σ k1/2 = ( 2ω0 ω +/ ) ) 2 ( σω0 + ω +/ ( ω0 ω +/ ) 2 ( ) 2 σω+/ Hinweis: Die Aufspaltung in zwei exakt gleich große Signale gelingt nur bei genau gleichen Schwingkreisen. Durch Toleranzen der Induktivitäten L und der Kapazitäten C ist das nicht immer genau gegeben. Es sollen die Kondensatoren und Spulen verwendet werden, die bei den Voruntersuchungen und den freien gedämpften Schwingungen charakterisiert worden sind. Die Kopplungen k 1 und k 2 werden aus den beiden Frequenzen der Fundamentalschwingungen (Moden) f 1 und f 2 berechnet und sollten innerhalb der Fehler den gleichen Zahlenwert für die Kopplung ergeben. Für die im weiteren Verlauf gezeigten Messungen trifft das zu, wenn σ ω0 σ ω+/ 10 Hz beträgt. Dann findet man k 1 = 0,109, k 2 = 0,133 und σ k = 0,029. ω +/

32 128 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE Analogie zu gekoppelten Pendeln in der Mechanik Die Situation der induktiv gekoppelten elektrischen Schwingkreise entspricht der von gekoppelten Pendeln (Teil I, Mechanik), mit dem nterschied, dass die Kopplung bei den Schwingkreisen durch Spannungen hervorgerufen wird, die in den Spulen induziert werden. In den Differentialgleichungen treten daher Terme der Form kl I auf. Die Konstante k gibt den Kopplungsgrad an. Das führt im Gegensatz zu gekoppelten Pendeln dazu, dass die Kopplungsstärke für beide Fundamentalschwingungen eine olle spielt. Bei Schwingkreisen, die mit identischen Komponenten aufgebaut werden, gelten die Differentialgleichungen (Summen der Spannungen verschwinden): I1 C dt + L I1 + kl I 2 = 0 (Schwingkreis 1) I2 C dt + L I2 + kl I 1 = 0 (Schwingkreis 2) Hier wurden Dämpfungsterme zunächst vernachlässigt. Differentiation nach der Zeit führt zu der Standardform der gekoppelten Differentialgleichungen (Gleichungen 4.29, 4.30). Addition der Gleichungen 4.29 und 4.30 ergibt: Durch mformung findet man: (Ï1 + Ï2) + 1 L C (I 1 + I 2 ) + k (Ï1 + Ï2) = 0 Ï LC (1 + k) I + = 0 wobei I + = I 1 + I 2 einer der beiden Fundamentalströme ist. Daraus erhält man die Kreisfrequenz dieser Fundamentalschwingung: ω + = 1 LC (1 + k) = ω 0 (4.31) 1 + k ω 0 = 1/ LC ist dabei die Kreisfrequenz jedes der Schwingkreise ohne Kopplung. Diese Fundamentalschwingung kann angeregt werden, wenn man in der Schaltung beide Kondensatoren in der Art auflädt, dass die Ströme I 1 und I 2 parallel durch die Spulen fließen (Abbildung 4.16a). In gleicher Weise ergibt Subtraktion der beiden Gleichungen: Ï + 1 LC (1 k) I = 0 wobei I = I 1 I 2 der zweite Fundamentalstrom ist. Diese Fundamentalschwingung hat die Kreisfrequenz: ω = 1 LC (1 k) = ω 0 (4.32) 1 k

33 4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKEISE 129 C1 C 1 L C L C2 C1 C 1 L C L C2 a) b) Abbildung 4.16: Fundamentalschwingungen zweier gekoppelter Schwingkreise a) gleichsinnige und b) gegensinnige Anregung Diese Schwingung kann angeregt werden, wenn man in der Schaltung die Kondensatoren entgegengesetzt aufgeladen werden, so dass die Ströme in entgegengesetzter ichtung durch die Spulen fließen (Abbildung 4.16b). Beide Fundamentalschwingungen zeigen, wie in der Mechanik, keine Schwebungserscheinungen sondern wegen der Dämpfung einen einfachen exponentiellen Abfall der maximalen Amplituden. Die Strom-Kombination I + entspricht dem Fall gleichsinnig ausgelenkter Pendel; dies führt zu einer kleinen Schwingungsfrequenz. I dagegen entspricht den gegensinnig ausgelenkten Pendeln (die Kopplung wirkt sich dann stärker aus) und führt zu einer größeren Schwingungsfrequenz. Wenn man die Frequenzen der Fundamentalschwingungen und vielleicht der nicht-gekoppelten Schwingkreise gemessen hat, kann man mit Hilfe der Gleichungen 4.31 und 4.32 den Kopplungsgrad der Schwingkreise bestimmen: k = f 2 f 2 + f 2 + f 2 + = ω2 + ω ω 2 0 ω 2 ω 2 + Wenn durch die Wahl der Anfangsbedingungen Schwebung eingestellt wird, ergibt sich wie in der Mechanik durch die Mittelung der Schwingungsfrequenzen f + unf f die Frequenz der gekoppelten Schwingung: f k = f + f + 2 f 0, und aus der halben Differenz erhält man die Frequenz der Schwebung: f schw = f f +. 2 Berücksichtigung der Dämpfung (einige wichtige elationen): Die Differentialgleichungen für die beiden Fundamentalschwingungen haben dann folgende Form: Mit den Definitionen Ï + + Ï + β ± = L(1 + k) I + + L(1 k) I + 2L(1 ± k), ω2 ±0 = 1 LC (1 + k) I + = 0 1 LC (1 k) I = 0 1 LC(1 ± k)

34 130 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE folgt: Die Lösungen der Gleichungen 4.33 sind: Ï ± + 2β ± I ± + ω 2 ±0 I ± = 0 (4.33) I ± = e β ±t (a ± sin ω ± t + b ± cos ω ± t) mit den Kreisfrequenzen ω± 2 = ω±0 2 β±. 2 Die Größen a ± und b ± sind vier Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden. Die messbaren Größen sind nicht die Kombinationen I ±, sondern die Ströme und z. B. Kondensatorspannungen in den beiden Schwingkreisen. Die Kondensatorspannungen sollen jetzt andeutungsweise berechnet werden. Die Ströme in den Schwingkreisen berechnen sich durch I 1 = (I + + I )/2 bzw. I 2 = (I + I )/2. Daraus lassen sich die gesuchten Spannungen (etwas aufwendig) berechnen: 1/2 = 1 C I 1/2 dt = 1 C e β +t ω 2 +0 ± 1 C e β t ω 2 0 { a + 2 ( β + sin ω + t ω + cos ω + t) + b + 2 ( β + cos ω + t + ω + sin ω + t)} { a 2 ( β sin ω t ω cos ω t) + b 2 ( β cos ω t + ω sin ω t)} Die Anfangsbedingungen werden meist so gewählt, dass die Kondensatoren für t = 0 durch Spannungen 10 und 20 aufgeladen sind und zunächst kein Strom fließt. Aus I 1 (0) = I 2 (0) = 0 folgt immer b + = b = 0. Für die Kondensatorspannungen für t = 0 findet man dann a + ω + 2ω 2 +0 a + ω + 2ω a ω 2ω 2 0 a ω 2ω 2 0 = 10 (0) C = 20 (0) C Damit ergeben sich folgende Lösungen für die Kondensatorspannungen: Gleichsinnige Aufladung: 10 = 20 = 0 : 1 = 2 = 0 e β +t ω + (β + sin ω + t + ω + cos ω + t) Abbildung 4.17a zeigt oben die Spannung am Kondensator 1 und 2. Gegensinnige Aufladung: 10 = 20 = 0 : 1 = 2 = 0 e β t ω (β sin ω t + ω cos ω t) Abbildung 4.17a zeigt unten die Spannung am Kondensator 1. Am 2. Kondensator ist die Spannung entgegengesetzt. Die Frequenz ist höher, als bei gleichsinniger Aufladung!

35 4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKEISE 131 a) Spannung (V) Spannung (V) x 10-2 t(s) x 10-2 t(s) b) Spannung (V) Spannung (V) t(s) t(s) Abbildung 4.17: a) Fundamentalschwingungen und b) Schwebung zweier gekoppelter Schwingkreise mit = 2, 5 Ω, L = 9 mh und C = 1, 0 µf Schwebung: 10 = 0 und 20 = 0: 1/2 = 0 [e β +t { 1 2ω + ( β + sin ω + t ω + cos ω + t)} ± e β t { 1 2ω ( β sin ω t ω cos ω t)}] Abbildung 4.17b zeigt oben die Spannung am Kondensator 1 und unten am Kondensator Versuchsaufbau Der erste Schwingkreis wird gemäß den Abbildungen 4.18 und 4.19 auf der astersteckplatte aufgebaut. Die Kondensatorspannung wird an Eingang B des Sensor CASSYs gemessen. Zu Beginn des Versuchs wird der Kondensator aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start der Schwingung wird der Taster gedrückt, welcher dabei die Spannungsquelle S kurzschließt. Der zweite Schwingkreis wird separat aufgebaut. Seine Spule wird für die Kopplung der Schwingkreise direkt neben die erste Spule gestellt. Es kann die Spannung am zweiten Kondensator an Eingang A des Sensor-CASSYs gemessen werden. Bei gleichsinniger bzw. gegensinniger Anregung wird ebenfalls der zweite Kondensator aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start der Schwingung wird der zweite Taster ebenfalls betätigt, welcher dabei die Spannungsquelle S kurzschließt.

36 132 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE INPT A I INPT B 12 V S + SENSO CASSY Benötigte Geräte: 1 Sensor-CASSY 1 CASSY Lab 1 astersteckplatte, DIN A4 2 Kondensator 1, 2,2, 4,7, 10 µf 2 Spulen 250, 500, 1000 Windungen 5 Paar Kabel, 50 cm rot/blau 1 Taster a) Abbildung 4.18: Schaltbild zur Aufnahme der Schwebung von gekoppelten Schwingungen INPT A INPT A I I INPT B INPT B 12 V S + 12 V S + SENSO CASSY SENSO CASSY a) b) Abbildung 4.19: Schaltbild zur Aufnahme von gekoppelten Schwingungen bei a) gleichsinniger und b) gegensinniger Anregung

37 4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKEISE Versuchsdurchführung Ladespannung 0 auf etwa 9 V einstellen - dazu Spannungsquelle S entsprechend einstellen, Spannungsquelle eingeschaltet lassen. Polung der an den Schwingkreisen anliegenden Spannungen bei gleichsinniger bzw. gegensinniger Anregung einstellen. Zur Beobachtung der Schwebung nur an einen Schwingkreis Spannung anlegen Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die Anzahl auf 2000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 20 ms Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf z.b. B1 = 5 V, fallende Tendenz einstellen! Messung mit F9 starten (wartet dann auf Triggersignal) Schwingkreis mit Taster schließen (erzeugt Triggersignal) Abstand der Spulen und damit die Kopplungsstärke variieren Versuchsauswertung Fall der Schwebung: Im ungekoppelten Fall ergibt sich eine gedämpfte harmonische Schwingung (Abbildung 4.20a). Die gekoppelte Schwingung besitzt die gleiche Einhüllende (Abbildung 4.20a). Im ungekoppelten Fall zeigt das Frequenzspektrum nur ein Signal, dessen Frequenz sich durch die Berechnung des Signalschwerpunkts ermitteln lässt (Abbildung 4.20b). Im gekoppelten Fall spaltet die Frequenz symmetrisch in zwei Frequenzen auf. Die Amplituden sind nur halb so groß wie im ungekoppelten Fall und der Abstand hängt von der Kopplung ab (Abbildung 4.20b). Die Abbildung 4.20c zeigt die gemessenen Spannungsabfälle an den beiden Kondensatoren für den Fall der Schwebung bei den gekoppelten Schwingungen. Die Abbildung 4.20d zeigt die ungekoppelte und die Fundamentalschwingungen der gekoppelten Schwingungen bei gleich- bzw. gegensinniger Anregung. Bestimmen Sie den Kopplungsgrad k aus diesen verschiedenen Messungen und geben Sie die Ergebnisse mit Fehlern an.

38 134 KAPITEL 4. ELEKTIZITÄTSLEHE a) b) c) d) Abbildung 4.20: a) ngekoppelter (grüner Verlauf) und gekoppelter Schwingkreis (Schwebung, blaue Linie), b) Frequenzspektren der ungekoppelten und der gekoppelten Schwingungen c) Spannungsabfälle an den beiden Kondensatoren im Fall der Schwebung, d) Fundamentalschwingungen bei gleich- bzw. gegensinniger Anregung