Lösungen zu Kapazitäten / Kondensatoren

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1 Ein- und Ausschaltvorgänge mit Kapazitäten A47: (869, 870) Ein Kondensator von µf wird über einen Widerstand von 3 MΩ auf eine Spannung von 50 V geladen. Welche Werte hat der Ladestrom a) 0,3 s, b), s, c),4 s, d) 6 s und e) 5 s nach dem Einschalten? Welche Spannung liegt zu diesen Zeitpunkten an dem Kondensator? geg: C = µf ges: i C, u C in a) bis e) R = 3 MΩ 0 = 50V = u C (nach Aufladevorgang also nach 5 ) verwendete Formeln: i = I 0 e t und u = 0 ( - e t ) fehlende, noch zu berechnende Größen in den Formeln: I 0 ist der Anfangsstrom im Einschaltmoment (Kondensator wirkt wie kurzgeschlossen) I 0 = R = 50 µa = R C = 6s a) b) c) d) e) t = 0,3s t =,s t =,4s t = 6s = t = 5s i C in µa 47,56 40,94 33,5 8,4 4, u C in V 7,3 7, 49,46 94,8 37,69 A48: (87) Ein auf 30 V geladener Kondensator von,5 µf wird über einen Widerstand von 80 kω entladen. Welche Werte hat die noch vorhandene Spannung nach: a) 0,006 s, b) 0,0 s, c) 0,06 s, d) 0, s und e) 0,36 s? geg: C =,5 µf ges: u C in a) bis e) R = 80 kω 0 = 30V = u C (nach Aufladevorgang) verwendete Formeln: u = 0 e t (Entladen) fehlende, noch zu berechnende Größen in den Formeln: = R C = 0,s = 0 ms a) b) c) d) e) t = 0,006 s t = 0,0 s t = 0,06 s t = 0, s t = 0,36 s u C in V 304,4 89,5 94, 7,7 5,9 A49: (87) Nach welcher Zeit sinkt der Ladestrom eines über einen Vorschaltwiderstand von,5 MΩ zu ladenden Kondensators von 0, µf auf die Hälfte seines Anfangswertes ab? geg: C = 0, µf ges: t wenn i C = ½ I 0 R =,5 MΩ verwendete Formeln: i = I 0 e (Aufladen) fehlende, noch zu berechnende Größen in den Formeln: = R C = 0,5s = 500 ms i C = I t 0 e ½ I 0 = I t 0 e ½ = e t umstellen nach t t = ln ½ (- t = 346,6 ms ) = -0, ms

2 A50: (873) Ein Kondensator von 3,5 µf soll mit einem Vorschaltwiderstand von 500 Ω eine Zeitkonstante von 0,00 s ergeben. Welche Kapazität ist noch parallel zu schalten? geg: C = 3,5 µf ges: C wenn ges = 0,00 s = ms R = 500 Ω = R C ges umstellen nach C Cges C = = 4 µf R da Parallelschaltung : C ges = C + C C = C ges - C = 4 µf - 3,5 µf C = 0,5 µf = 500 nf A5: (874) Es liegen zwei Kondensatoren von,8 µf bzw.,5 µf sowie ein Widerstand von 85 kω in Reihe. Welche Zeitkonstante hat das System? geg: C =,8 µf ges: C =,5 µf R = 85 kω ges = R C ges mit C ges = ges = R ges = 89 ms C C C + C = 85 kω,0465 µf C C C + C =,0465 µf ges A5: (875) Berechne formelmäßig den durch die nebenstehende Schaltung fließenden Ladestrom ( Teilströme) bei gegebener Spannung. Welche Werte hat der Strom zur Zeit t = 0 s und t = s? (Bild) geg: C, R, R ges: i C bei t = 0 s ic bei t 5 I ges = i C + IR mit IR = R bei t = 0 s : Kondensator wirkt wie kurzgeschlossen) i C = I 0 = R I ges = R R + R Parallelschaltung der Widerstände bei t = : Kondensator wirkt wie nterbrechung oder unendlich großer Widerstand i C = 0 A I ges = IR = R R

3 A53: (876) Wie viel Sekunden nach dem Einschalten sind die durch R und R fließenden Ströme gleich groß, wenn R = MΩ, R = 5 MΩ, C = µf und = 60 V betragen? (Bild) geg: R = MΩ ges: t wenn i C = IR R = 5 MΩ C = µf = 60 V = R C = 4 s i C = I t 0 e IR = I t 0 e R = e t umstellen nach t R t = ln R (- ) = -0,963 4 s R t = 3,66 s = e t R R A54: (877) Welchen Wert muss der Widerstand R haben, wenn der Strom durch R gleich dem halben Anfangswert des durch R fließenden Stromes sein soll (R = 0,5 MΩ, = 5 V, C = 0,8 µf)? (Bild) Wie viel Sekunden nach dem Einschalten sind die Ströme gleich groß? geg: R = 0,5 MΩ ges: R wenn I = ½ I C = 0,8 µf t wenn I = i C = 5 V a) 0 I = i C = I 0 I = = 500 µa R I = 0,5 I = 50 µa aus Stromteilerregel I I I R = R = 0,5 MΩ I = R R ist: R = 0,5 MΩ (doppelt so groß wie R weil I nur halb so groß wie I!) b) = R C = 0, s i C = I = I 0 t = ln ½ (- e t umstellen nach t t = 38,6 ms ) = -0,6935-0, s

4 A55: (878) Welche Kapazität muss der Kondensator haben, wenn,5 s nach dem Einschalten der Gesamtstrom die Hälfte des Gesamt-Anfangsstromes betragen soll? R = 50 kω, R = 80 kω, = 300V (Bild) geg: R = 50 kω ges: C wenn Iges = ½ Iges 0 bei t =,5 s R = 80 kω = 300V t =,5 s zum Zeitpunkt t = 0 s Parallelschaltung der Widerstände und Kondensator wirkt wie kurzgeschlossen Iges 0 = I = R R = + R R R R ges = 3,75 ma mit I ges = I + I 0 I 0 = Iges 0 - I = 6 ma zum Zeitpunkt t =,5 s Iges = ½ Iges 0 = 4,875 ma Iges = I + i C i C = Iges - I =,5 ma i C = I 0 = = 300V 0,035 ms = 9,75 ma e t erst umstellen nach weil dort der Kondensatorwert enthalten ist : t ln i C I 0 C = 7,9 µf = 0,896s mit = R C umstellen nach C A56: (E55) Ein Kondensator von 0 µf wird über einen Vorwiderstand R = MΩ an Gleichspannung von 0V aufgeladen. Berechnen Sie die Zeitkonstante und die Ladezeit! geg: R = MΩ ges: C = 0 µf = 0 V t wenn C aufgeladen = R C = MΩ 0 µf = 0s t = 5 = 50s A57: (E55) Ein Kondensator von 4,7 µf ist, anliegend an Gleichspannung von 0V, aufgeladen. Nun wird der Kondensator über einen Widerstand R e =,5 MΩ entladen. Berechnen Sie die Zeitkonstante und die Entladedauer! geg: R e =,5 MΩ ges: C = 4,7 µf = 0 V t wenn C entladen = R e C =,5 MΩ 4,7 µf = 7,05s t = 5 = 35,5s

5 A58: (E553) Eine Reihenschaltung besteht aus einem Widerstand R = 00 Ω und einem Kondensator. Nach einer Zeit von 0, ms fließt kein Strom mehr. Welche Kapazität hat der Kondensator? geg: R = 00 Ω ges: C t = 0, ms = 0, t = 0,0 ms mit = R e C umstellen nach C t = 5 erst umstellen nach weil dort der Kondensatorwert enthalten ist C = 0, µf A59: (E554) Aus Sicherheitsgründen muss nach DIN VDE ein Kompensationskondensator von 6 µf in 60s von = 30 V auf 50 V entladen sein: Berechnen Sie den Entladewiderstand! geg: t = 60 s ges: R C = 6 µf 0 = u C 50 V u C 0 ( - t u ln C 0 R 5,34 MΩ = 30 V = 35,7 V eff e t ) erst umstellen nach weil dort der Widerstandswert enthalten ist 3s mit R C umstellen nach R A60: (E555) Ein Kondensator wird im ungeladenen Zustand über einen Widerstand an eine Gleichspannung von = kv angelegt. Berechnen Sie die Kondensatorspannung nach 4! geg: 0 = kv ges: u C bei 4 t = 4 u C = ( - 0 u C = 98,7 V e t 4 ) = kv ( - e )

6 A6: (E553) Ermitteln Sie im nebenstehenden Bild bei gegebener Spannung = 0V und Kapazität C = µf: a) den Strom durch den Widerstand R =,5 kω wenn der Schalter S geschlossen und der Kondensator voll geladen ist b) die Zeitkonstante der Schaltung beim Entladen (Schalter geöffnet) c) die Spannung am Kondensator genau 8,4 ms nach dem Öffnen des Schalters S d) den Strom durch den Widerstand R 33,6 ms nach dem Öffnen des Schalters S e) die Energie des geladenen Kondensators! geg: 0 = 0 V ges: a) IR C = µf b) R =,5 kω c) u C bei 8,4 ms nach dem Öffnen tc = 8,4 ms d) i C bei 33,6 ms nach dem Öffnen td = 33,6 ms e) W des geladenen Kondensators a) bei t = : Kondensator wirkt wie nterbrechung oder unendlich großer Widerstand i C = 0 A IR = R = 46,7 ma b) = R C = 8 ms c) u C = 0 e t = 0V 0,67 u C = 38 V d) I 0 = R 0 = 46,7 ma i C = I 0 e t = -46,7 ma 0,546 i C =,7 ma (Strom entgegengesetzt zu Aufladen, Änderung der Schaltungsart von RC in parallel zu in Reihe) e) W = ½ Q = ½ C W = 0,9 Ws

7 A6: (E554) Die gemischte Schaltung aus den Widerständen R = 0 kω, R = 00 kω, C = 6,8 µf, C = 3 µf wird über den Schalter S an DC 0V geschaltet. Berechnen Sie: a) die Zeitkonstante für den Ladevorgang b) die maximale Stromstärke der Gesamtschaltung beim Laden c) die Stromstärke der Gesamtschaltung 30 ms nach dem Schließen des Schalters S d) die Spannung und die Energie an C und C nach Beenden des Ladevorgangs e) der Entladestrom nach 80 ms nach dem Öffnen des Schalters S! (Kondensatoren zuvor voll geladen)! geg: 0 = 0 V ges: a) C = 6,8 µf b) Iges 0 C = 3 µf c) Iges 30 ms nach dem Schließen R = 0 kω d) u C, W C, u C, W C R = 00 kω e) i C nach 80 ms nach dem Öffnen tc = 30 ms te = 80 ms a) Kondensatoren in Reihe Cges = = R Cges = 458 ms Iges 0 = C C C + C =,08 µf b) Parallelschaltung der Widerstände und Kondensatoren wirken wie kurzgeschlossen R = + R R R R ges = 0V 4,55 µs =,75 ma c) Iges 30 ms nach dem Schließen des Schalters Iges = I + i C = Iges =,6 ma d) bei t 5 + I0 e t = R + e t =, ma + 0,545 0,759 R R Cges = C C C + C =,08 µf Qges = Cges = 49,6 µas u C = u C = Q = 36,8 V WC = ½ Q u C = 4,6 mws C Q = 83, V WC = ½ Q u C = 0,4 mws C e) Entladestrom nach 80 ms = (R + R ) Cges = 666 ms I 0 = = R + R i C = I 0 e t = i C = i C = 86, µa R + R e t = 375 µa 0,763

8 A63: (E556) Eine Zeitverzögerung ist mit einem Relais K, dem Widerständen R = kω und einem Kondensator C = 800 µf wie im nebenstehenden Bild aufgebaut. Der Widerstand des Relais beträgt 570 Ω, die Abfallspannung 9V und die Betriebsspannung beträgt 4 V. Es ist zu berechnen: a) die Stromstärke im Einschaltmoment b) den Betriebstrom c) die Zeit, nach der das Relais abfällt nachdem die Betriebsspannung abgeschaltet wurde d) die Energie des Kondensators im Moment des Abfallens des Relais! geg: R = kω ges: a) Iges 0 RK = 570 Ω C = 800 µf = 4 V ab = 9 V a) Kondensator wirkt wie Kurzschluss (RK wird quasi überbrückt) Iges 0 = = 4 ma R b) Betriebsstrom, d.h. Kondensator ist aufgeladen und wirkt wie ein unendlich großer Widerstand (i C = 0 A) Rges = R + RK =,57 kω Iges = R ges = 5,3 ma c) Zeit nach Öffnen des Schalters bis Relais abfällt (bei u C = 9V) = RK C =,06 s u C = 0 e t 9V = 4V e t nach t umstellen t = ln t = s u C 0 (- ) = -0,98 -,06 s d) Energie des Kondensators im Moment des Abfallens des Relais W = ½ C u C = 7,9 mws

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