Kondensator an Gleichspannung

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1 Musrlösung Übungsbla Elkrochnisch Grundlagn, WS / Musrlösung Übungsbla 2 Prof. aiingr / ammr sprchung: 6..2 ufgab Spul an Glichspannung Ggbn is di Schalung nach bb. -. Di Spannung bräg V. Di Spul ha di Indukiviä mh. Dr Drahwidrsand si bnfalls bkann und hab dn Wr Ω. Zunächs sind bid Schalr göffn und di Spul is nich sromdurchflossn. S S 2 Mi dr nfangsbdingung I ( ) I () rgib sich disr linar Sromvrlauf: T 3 H ms V b) Sobald dr Spulnsrom I 2 rrich ha, wird dr Schalr S widr göffn und dr Schalr S 2 gschlossn. Slln Si nun di nu Diffrnialglichung auf und brchnn Si dn Srom I (). Gbn Si di Zikonsan an. Nun wird dr abklingnd Vorgang durch inn Widrsand gbrms. Es rgib sich in xponnill abklingndr Vrlauf ds Sroms I. I bbildung -: Spulnschalung a) Zum Zipunk wird dr Schalr S gschlossn. Ermiln Si dn zilichn Vrlauf ds Spulnsroms I () durch ufslln und ösn dr nsprchndn Diffrnialglichung (DG). Nach wlchr Zi T rrich dr Spulnsrom dn Wr 2? I us dr Glichung für di Spul läß sich di Diffrnialglichung aufslln. n dr Spul fäll di ganz Spannung ab und dr Spulnsrom I ha kinn ingschwungnn nil, wil in Widrsand fhl, dr dn Srom bgrnz. di d di d d I d I + cons Mi dr nfangsbdingung I ( ) I ( T ) 2 rgib sich: und rrchn sich zu: di I + mi T d I ( ) I + I f ( ) I di f I f + d di f I f lni f -- + cons cons -- I f ( ) -- I ( ) 2 I () 2 mh ms Ω T Si von 7 Si 2 von 7

2 Elkrochnisch Grundlagn, WS / Musrlösung Übungsbla c) Zichnn Si dn Sromvrlauf I () durch di Spul in in Schaubild in. Markirn Si di Zikonsan. rach wird zurs folgndr Til dr Schalung: I () 2 I bbildung 2-2: ufladn ds Kondnsaors [ms] Für dn Kondnsaor gil folgnd zihung zwischn dr Spannung und dm Srom: bbildung -2: Srom durch Spul d I d ufgab 2 Kondnsaor an Glichspannung us bb. 2-2 läß sich in Maschnglichung aufslln: Ggbn si di Schalung nach bb. 2-. S S 2 I d I + + d wird als di ddiion ds ingschwungnn- und ds flüchign nils dr Kondnsaorspannung gschribn: bbildung 2-: Kondnsaorschalung Dr Kondnsaor is am nfang ungladn. id Schalr sind göffn. a) Zum Zipunk wird dr Schalr S gschlossn. rchnn Si di Spannung () und dn Srom I (). () + f () f () sll dn Einschwingvorgang und dn ingschwungnn (saionärn) Zusand dar. kann man aus dr Glichsrombrachung hrlin. Hir fliß, nachdm dr Kondnsaor aufgladn is, kin Srom. Dshalb fäll di Spannung am Si 3 von 7 Si 4 von 7

3 Elkrochnisch Grundlagn, WS / Musrlösung Übungsbla Kondnsaor ab und s gil:. f () rgib sich durch ufslln und ösn dr Diffrnialglichung: Di Konsan wird durch Einszn dr nfangsbdingung rrchn. Hir is dr Kondnsaor anfangs ungladn, daraus folg: Dami rgib sich für dn Spannungsvrlauf am Kondnsaor: Dn Sromvrlauf rhäl man durch: d f + d f f d f f ln f f d f d d cons cons - () ( ) + f ( ) + () - d I () d - - b) Zum Zipunk 2 5 hab sich dr Kondnsaor auf di Vrsorungsspannung aufgladn. Jz wird dr Schalr S göffn und dr Schalr S 2 gschlossn. rchnn Si di Spannung () und dn Srom I (). Nun wird dr rch Til dr Schalung aus bb. 2- brach: I bbildung 2-3: Enladn ds Kondnsaors Gnau wi bim Einschwingvorgang gh man bi inm abklingndn Vorgang vor, nur rgbn sich hir andr Wr für dn ingschwungnn- und flüchign nil dr Kondnsaorspannung: f ( ) mi 2 f ( ) f ( 2 ) ( ) () d I ( ) d I ( ) ---- I () I () Si 5 von 7 Si 6 von 7

4 Elkrochnisch Grundlagn, WS / Musrlösung Übungsbla c) Skizzirn Si in inm Schaubild dn Spannungs- und Sromvrlauf () und I () im rich <. () ufgab 3 Übrlagrungssaz Ggbn si in Spannungsvrsorgungsgrä nach bb. 3- mi 5V, V, I 25m, k Ω, 2 2k Ω, 3 3k Ω und 4 4k Ω, das an dn nschlüssn und di Spannung lifr. i I () I 4 Spannungsvrsorgungsgrä Ersazspannungsqull 5 bbildung 3-: Spannungsvrsorgungsgrä mi Ersazspannungsqull a) Wandln Si das Spannungsvrsorgungsgrä in in äquivaln Ersazspannungsqull um, indm Si und i in bb. 3- brchnn. m in ggbn Spannungsqull in in Ersazspannungsqull umzuwandln, muss zunächs di rlaufspannung an dn bidn nschlüssn und mi Hilf ds Übrlagrungssazs brchn wrdn. im Übrlagrungssaz wird nachinandr immr gnau in Spannungsodr Sromqull brach wobi all übrign Spannungsqulln kurzgschlossn wrdn und all übrign Sromqulln aufgrnn wrdn: bbildung 2-4: uf- und Enladn ds Kondnsaors Si 7 von 7 Si 8 von 7

5 Elkrochnisch Grundlagn, WS / Musrlösung Übungsbla I) rachung von mi Kurzschluss von und ufrnnung von I : Es rgib sich di in bb. 3-2 auf dr linkn Si gzig Schalung, di sich noch zu dr rchs dargslln Schalung zusammnfassn läss. III) rachung von I mi Kurzschluss von und : I 3 3 4,I 2 4 I,III X I,III 2 Für di Paralllschalung dr Widrsänd 3 und 4 gil: , 74 kω Daraus läss sich,i brchnn: I bbildung 3-2: rachung von 3 4, V 363, II) rachung von mi Kurzschluss von und ufrnnung von I : 2 II 3 4 ( + 2 ) 4, ( + 2 ) 4 bbildung 3-3:, 88V,II 2 3, 636V ,I 3 4,II 2 bbildung 3-4: rachung von I ( x (( + 2 ) 3 ) + 2 ) kΩ, 4, 9kΩ 3 III, x I 27, 275V IV) Übrlagrung dr Spannungn:, I +, II +, III 32, 729V 32, 7V Di Spannung dr Ersazspannungsqull muss dnslbn Wr habn wi di rlaufspannung, d. h. 32,7V V) rchnung ds Innnwidrsands i : Für di rchnung ds Innwidrsands müssn all Spannungsqulln kurzgschlossn wrdn und all Sromqulln aufgrnn wrdn und anschlißnd dr Widrsand zwischn dn nschlüssn und bsimm wrdn. Das rsulirnd Widrsandsnzwrk rgib sich, wnn man aus bb. 3-4 noch di Sromqull nfrn. Dahr gil: i x, 9kΩ, 9kΩ b) Wi groß is dr Kurzschlusssrom I max, dn das Spannungsvrsorgungsgrä bim Kurzschluss dr nschlüss und lifr? Da di Ersazspannungsqull äquivaln zum Spannungsvrsorungsgrä is, kann si zur rchnung ds Kurzschlusssroms I max bnuz wrdn. I max m i Si 9 von 7 Si von 7

6 Elkrochnisch Grundlagn, WS / Musrlösung Übungsbla ufgab 4 Zigrdiagramm Ggbn si di Schalung nach bb. 4-, di mi dr Spannung u () ûsin( ω) bribn wird. Erslln Si in qualiaivs Zigrdiagramm für di Größn u, i, u, u, u, i und i. Spruch zum Mrkn dr Phasnvrschibungn: - m Kondnsaor il dr Srom vor. - n dn Indukiviän di Sröm sich vrspän. i i I u u i u u I bbildung 4-: Passiv Schalung Hir bginn man am bsn mi i als zugsgröß: I I bbildung 5-: Zigrdiagramm von Kondnsaor und Spul b) Ggbn si das Oszillogramm nach bb. 5-. Gbn Si di bidn rigonomrischn Funkionn für u() und i() an. n wlchm aulmn kann disr Srom-/Spannungsvrlauf gmssn wrdn? î û i() u() I bbildung 4-2: Zigrdiagram π 2π bbildung 5-2: Spannungs- und Sromvrlauf am auil ufgab 5 Passiv aulmn a) Zichnn Si das Zigrdiagramm inr idaln Spul und ins idaln Kondnsaors. Dr Srom il nach: Spul. u () û cos( ω) i () î sin( ω) Si von 7 Si 2 von 7

7 Elkrochnisch Grundlagn, WS / Musrlösung Übungsbla c) Tragn Si in inm Schaubild dn Wirkwidrsand ( ω) sowi di lindwidrsänd X ( ω) und X ( ω) in. Wlch passivn aulmn lassn hoh und wlch if Frqunzn bsondrs gu durch? X läß if f durch ufgab 6 Hoch- und Tifpass Ggbn sin di Schalungn nach bb. 6- mi folgndn Wrn: u () û sin( ω), û V, f Hz, Ω, µf und mh. unabhängig von f u u 2 u u 2 bbildung 5-3: Di Widrsänd dr passivn aulmn d) Ggbn sin folgnd Virpol: Hochpass Tifpass andpass andsprr. Skizzirn Si für dis Virpol di jwilig Übrragungsfunkion j in Schaubild. Markirn Si di Grnzfrqunzn. ω X ω g läß hoh f durch u a u ---- ( ω) in bbildung 6-: Virpol a) Zichnn Si das jwilig (lind-)widrsands-zigrdiagramm bi Hz. Di lindwidrsänd brchnn sich bi Hz wi folg: X 2 π f 63Ω, X Ω 2 π f X gs a Hochpass a Tifpass,7,7 ω g ω ω g ω a andpass a andsprr,7,7 X gs ω u ω r ω o ω ω u ω r ω o ω bbildung 6-2: Zigrdiagramm dr Virpol bbildung 5-4: Frqunzvrhaln von Virpoln Si 3 von 7 Si 4 von 7

8 Elkrochnisch Grundlagn, WS / Musrlösung Übungsbla b) simmn Si für bid Schalungn das Vrhälnis und brchnn Si dann als Funkion dr Frqunz f gs X X c) Ermiln Si jwils di Grnzfrqunz f g. Di Grnzfrqunz is durch folgnd Forml dfinir: Durch 2 inszn in di obrn Glichungn rhäl man: gs X X π f π f 2 2 π f g -- f g f g π f g f 2 π g π 59Hz f g 59Hz ) Handl s sich jwils um inn Hoch- odr Tifpass? i dr -Schalung handl s sich um inn Tifpass und di -Schalung sll inn Hochpass dar. Impulsbrib: Di ggbnn Schalungn nach bb. 6- wrdn jz mi folgndm chck- Signal gspis: 5V T T 2 bbildung 6-4: chcksignal f) rchnn Si jwils di Zikonsan für bid Schalungn. g) Zichnn Si dn Vrlauf bidr usgangspannungn u 2 () für T 5ms und ms (sih bb. 6-4). T 2 mh ms Ω µf ms Ω Für di usgangsspannung am -Glid rgib sich folgndr Vrlauf: d) Zichnn Si für bid Schalungn dn Funkionsvrlauf dr Spannung g( f) für dn Frqunzbrich f f f. Vrwndn Si inn g g logarihmischn Maßsab für di Frqunz f. u 2 5V V V [ms] 7 V 7 V bbildung 6-5: usgangssignal am -Glid V V, f g f g f g f, f g f g f g f bbildung 6-3: Spannungsvrlauf am Tif- und Hochpass Si 5 von 7 Si 6 von 7

9 Elkrochnisch Grundlagn, WS / Di usgangsspannung am -Glid vrläuf wi folg: u 2 5V [ms] -5V bbildung 6-6: usgangssignal am -Glid h) Ensprich das Vrhaln dr Schalungn jwils inm Diffrnirglid, ogarihmirglid, Ingrirglid, Diffrnzglid odr Muliplizirglid? Das -Glid zig das Vrhaln ins Ingrirglids und das -Glid vrhäl sich wi in Diffrnirglid. Si 7 von 7

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