Wechselspannung. Zeigerdiagramme

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1 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH D-0 Stand: ; 0 Wie bereits im Kapitel an,, beschrieben, ist die Darstellung von Wechselgrößen in reellen Organigrammen ein umständliches Verfahren. Aufgrund dessen greift man in der Elektrotechnik auf das einfachere Darstellen von symbolischen eigern zurück. Hier noch einmal eine kurze Wiederholung der drei Bauelemente und ihre Eigenschaften: m{ ;} e{ ;} Beim Widerstand sind Strom und Spannung in Phase m{ ;} e{ ;} Bei der nduktivität eilt die Spannung dem Strom um 90 vor m{ ;} e{ ;} Bei der Kapazität eilt der Strom der Spannung um 90 vor

2 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH D-0 Stand: ; 0 Bei einer -eihenschaltung werden Widerstand und nduktivität vom gleichen Strom durchflossen. Weil der Strom nicht explizit vorgegeben wurde, ist die Festlegung von Betrag und Phase willkürlich. Aus zeichentechnischen Gründen wird hier das andere DN-Symbol für die nduktivität verwendet. Es gilt: und Die Gesamtspannung ergibt sich aus der geometrischen Addition der Einzelspannungen (. Kirchhoffscher Satz: (, also Die einzelnen Beträge, d. h. die änge des eweiligen eigers, für die Spannung am Widerstand bzw. an der nduktivität errechnet man wie folgt: 90 ( es gilt : e Das dazugehörige eigerdiagramm sieht wie folgt aus: m{ ;} e{ ;}

3 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH D-03 Stand: ; 0 n Wirklichkeit beginnen alle Spannungen und Ströme im rsprung. Man verschiebt die Spannung einfach ans Ende von damit sie geometrisch addiert werden kann. m Schaltbild sieht man es am deutlichsten: Die Spannung beginnt dort, wo die Spannung aufhört. Deutlich ist ebenfalls zu erkennen, dass die Gesamtspannung die geometrische Addition aus und ist. m den Betrag der Gesamtspannung zu berechnen, quadriert man die einzelnen Beträge der Einzelspannungen, summiert diese und radiziert das Ergebnis (Satz des Pythagoras. Die Gleichung sieht wie folgt aus: Dafür müssen die einzelnen Beträge bekannt sein. Der Größe von kann auf eine andere Art berechnet werden: Man ersetzt einfach die einzelnen Beträge der Spannungen sowie und erhält nach einigen mformungen das Ergebnis für über das Produkt von Strom und mpedanz. ( 443 Der Phasenwinkel kann mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen ermittelt werden. Er gibt die Phasendifferenz zwischen Strom und Gesamtspannung an. sin( cos( tan( Weil die Spannungen proportional zur mpedanz sind gilt auch dementsprechend: m Kapitel an,, wurde gezeigt, dass auch die eistung proportional zur mpedanz ist. Daher auch: P S S P Allgemein gilt für die eistung: S P bzw. S P û î u eff ieff

4 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH D-04 Stand: ; 0 Bei einer -eihenschaltung werden Widerstand und Kapazität ebenfalls vom gleichen Strom durchflossen. Diesen wählt man wiederum als Bezugspunkt für das Erstellen des eigerbilds. Die Festlegung von Betrag und Phase erfolgt willkürlich. Es gilt: und Die Gesamtspannung ergibt sich aus der geometrischen Addition der Einzelspannungen (. Kirchhoffscher Satz: (, also Hinweis: Bei einer eihenschaltung werden die einzelnen Widerstände addiert. Durch den Phasenbezug von Strom und Spannung bei der Kapazität ergibt sich hier edoch eine Subtraktion. m daraus wieder eine Addition zu machen, muss der Blindwiderstand negativ sein. Dann gilt: ( Die einzelnen Beträge, d. h. die änge des eweiligen eigers, für die Spannung am Widerstand bzw. an der Kapazität errechnet man wie folgt: ( es gilt : e e [weil 0] <

5 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH D-05 Stand: ; 0 Das dazugehörige eigerdiagramm sieht wie folgt aus: m{ ;} e{ ;} Die Gesamtspannung ist die geometrische Addition aus und. Es gilt: ( 443

6 D-06 Stand: ; 0 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH Der Phasenwinkel wird wie gehabt berechnet: sin( cos( tan( S S P P

7 D-07 Stand: ; 0 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH Bei einer -Parallelschaltung fällt am Widerstand und an der nduktivität die gleiche Spannung ab. Diese wählt man daher als Bezug. Es ist aber auch möglich, dass eigerbild durch einen der beiden Ströme zu konstruieren. Die usammenhänge sind in allen Fällen gleich. Weil die Spannung nicht explizit vorgegeben wurde, ist die Festlegung von Betrag und Phase wiederum willkürlich. Es gilt: G und B Der Gesamtstrom ergibt sich aus der geometrischen Addition der Einzelströme (. Kirchhoffscher Satz:, also bzw. Die eweiligen Beträge, d. h. die änge des eweiligen eigers, für den Strom durch Widerstand bzw. durch die nduktivität errechnet man wie folgt:

8 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH D-08 Stand: ; 0 Das dazugehörige eigerdiagramm sieht wie folgt aus: m{ ;}. G B e{ ;} Dieses eigerbild ist eine Momentaufnahme; alle Spannungen und Ströme beginnen im rsprung und werden nur zur geometrischen Addition auf ihren Wirkungslinien verschoben. Weil sich alle eiger mit der Geschwindigkeit ω t entgegengesetzt dem hrzeigersinn drehen und der Strom der Spannung nacheilt, wird dieser nach rechts, bezogen auf, gezeichnet exakt 90 nacheilend. Der Betrag des Gesamtstroms wird wie folgt berechnet: Dafür müssen die einzelnen Beträge bekannt sein. Den Betrag von kann man auch auf eine andere Art und Weise berechnen:

9 D-09 Stand: ; 0 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH Für den Phasenwinkel ergeben sich folgende usammenhänge: sin( cos( tan( Weil die Ströme proportional zur Admittanz sind gilt auch dementsprechend: B G G B Für die eistungen gilt: S S P P

10 D-00 Stand: ; 0 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH Bei der -eihenschaltung gelten ähnliche egeln wie bei der -eihenschaltung, edoch eilt der Strom durch die Kapazität der daran abfallenden Spannung um 90 vor. Es gilt: G und B Der Gesamtstrom ergibt sich aus der geometrischen Addition der Einzelströme (. Kirchhoffscher Satz:, also bzw. Die einzelnen Beträge, d. h. die änge des eweiligen eigers, für den Strom durch Widerstand bzw. durch die Kapazität errechnet man wie folgt: HNWES: Der Blindwiderstand für die Kapazität wird negativ angegeben wird (z. B. 0Ω. Für die Berechnung des Stroms durch die Kapazität wird wie in der Formel für dargestellt der Betrag verwendet. Weil dies der positive ahlenwert für ist (also 0Ω, wird auch das Ergebnis für in edem Falle positiv.

11 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH D-0 Stand: ; 0 Das dazugehörige eigerbild sieht wie folgt aus: m{ ;} B e{ ;} G. Die Berechnung für erfolgt nach dem Satz des Pythagoras: Eine andere Möglichkeit zu berechnen ist die Division von durch :

12 D-0 Stand: ; 0 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH Für den Phasenwinkel ergeben sich folgende usammenhänge: sin( cos( tan( Weil die Ströme proportional zur Admittanz sind gilt auch dementsprechend: B G G B Für die eistungen gilt: S S P P

13 D-03 Stand: ; 0 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH -eihenschaltungen, besser bekannt als eihenschwingkreis, bestehen lediglich aus einer nduktivität und einer Kapazität. Der Widerstand, der zu den beiden Bauelementen in eihe liegt, resultiert einerseits aus dem Wickelwiderstand der nduktivität, sowie dem Widerstand der inneren uleitungen und Kontaktwiderständen zwischen Elektroden und Anschlussdrähten bei der Kapazität. Aus diesem Grund ist der Wirkwiderstand bei einem eihenschwingkreis sehr klein gegenüber den Blindwiderständen der nduktivität bzw. Kapazität. eihenschwingkreise sind Sonderfälle in der Elektrotechnik. Das liegt daran, dass die Spannung an dem eweiligen Bauelement betragsmäßig um einiges größer sein kann als die angelegte uellenspannung. Der Grund hierfür ist die Phasenlage der einzelnen Spannungen zum Strom, der bei allen Bauteilen gleich ist und deshalb als Bezugsgröße definiert wird. Es gilt:, und Die Gesamtspannung ergibt sich aus der geometrischen Addition der drei Einzelspannungen (. Kirchhoffscher Satz: ( 443, also ( 443 Die einzelnen Beträge, d. h. die änge des eweiligen eigers, für die Spannung am Widerstand, der nduktivität und der Kapazität errechnet man wie folgt:

14 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH D-04 Stand: ; 0 Daraus resultiert folgendes eigerdiagramm: m{ ;}. e{ ;} Die Spannung (hier gestrichelt dargestellt eilt dem Strom, und damit auch der Spannung, um 90 vor. Die Spannung eilt dem Strom um 90 nach. Dadurch ergibt sich eine Phasenverschiebung von zu um 80. Dies bedeutet, dass sich beide Spannungen auf ein und derselben Wirkungslinie befinden und einfach voneinander subtrahiert werden können. Auf diese Art und Weise erhält man die Spannung. Geometrisch betrachtet wird die Spannung durch eine Addition berechnet, die in Wirklichkeit eine Subtraktion ist, weil beide Spannungen in die entgegen gesetzte ichtung zeigen. Ganz deutlich wird dies bei der Berechnung des Blindwiderstands : ω ω ( ω ω

15 D-05 Stand: ; 0 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH Der Betrag der Gesamtspannung kann wiederum mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden. Allerdings ergibt sich der maginärteil aus den beiden Spannungen und : ( ( ( [ ] ( Des Weiteren können drei mögliche Fälle auftreten:. > : das bedeutet ein positives Vorzeichen für den Blindwiderstand, die resultierende Spannung eilt dem Strom 90 vor; induktives Verhalten.. < : das bedeutet ein negatives Vorzeichen für den Blindwiderstand, die resultierende Spannung eilt dem Strom 90 nach; kapazitives Verhalten (siehe Beispielschaltung. 3. : in diesem Fall liegt esonanz vor. Die beiden Spannungen an nduktivität und Kapazität sind gleich groß und heben sich auf. Sie können um ein vielfaches größer als die angelegte uellenspannung sein, die komplett am Widerstand abfällt. Für die ersten beiden Fälle gelten folgende Gesetzmäßigkeiten: sin( cos( tan( S S P P Die gesamte Blindleistung berechnet sich aus folgender Formel: eff eff eff eff u u i ω ω i

16 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH D-06 Stand: ; 0 Bei esonanz (3. Fall ergibt sich folgendes eigerdiagramm: m{ ;}. e{ ;} Für die Berechnung der mpedanz ergeben sich nun folgende usammenhänge: ( Damit ist auch die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung gleich Null. Die esonanzfrequenz wird aus der Gleichung für den Blindwiderstand heraus berechnet: ω ω ω f 0 ω π

17 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH D-07 Stand: ; 0 Die Konstruktion eines eigerdiagramms soll beispielhaft für die unten abgebildete Schaltung einmal durchgeführt werden: ges gegeben: ( 0,5 0Ω 5Ω 0Ω 8Ω A Maßstab: A ˆ 5cm V ˆ cm Gesucht ist eine zeichnerische ösung für den Betrag der uellenspannung sowie den uellenstrom ges. Ferner soll gezeigt werden, ob diese Schaltung die uelle induktiv, kapazitiv oder rein ohmsch belastet.

18 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH ösung: D-08 Stand: ; 0. Vorgegeben ist nur der Strom (schwarz gezeichnet. Das bedeutet, dass man erst alle Spannungen und Ströme in die Schaltung einzeichnen muss, damit eine saubere uordnung zu den berechneten Werten gewährleistet wird.. Die Phasenlage der einzelnen Spannungen und Ströme wird rechnerisch nicht benötigt. Sie ergibt sich aus dem Schaltbild und dem usammenhang zwischen Spannung und Strom an den drei passiven Bauelementen (siehe Seite. Berechnung aller möglichen Werte: e { } m{ } ( A ( 0,5A,A 0Ω,0V,A 8Ω 8,96V (,0V ( 8,96V 4,34V,43A 0Ω,5A,A 05,7V 4,34V 3. Aus den bis etzt berechneten Werten kann ein erstes eigerdiagramm erstellt werden (siehe Seite 9. Begonnen wird mit. Der Strom liegt A auf der reellen und 0,5A auf der imaginären Achse. Danach zeichnet man in Phase dazu. Die Spannung liegt 90 nacheilend zum Strom und wird deshalb nach rechts bezogen auf gezeichnet. Sie wird an das Ende von verschoben, damit sie zu dieser Spannung geometrisch addiert werden kann. Das Ergebnis ist die Spannung (. Kirchhoffscher Satz: 0. Der Strom liegt zur Spannung 90 nacheilend, wird daher um 90 nach rechts bezogen zu gezeichnet. Die geometrische Summe der beiden Ströme und ergibt den Gesamtstrom ges (. Kirchhoffscher Satz: ges 0 ges. Es ist zwar möglich diesen Gesamtstrom zu berechnen, edoch ist dieses Verfahren sehr umständlich. Daher wird der Betrag von ges also die änge des eigers gemessen. Damit kann man die letzte Größe berechnen, in diesem Falle die Spannung an. Sie liegt mit dem Gesamtstrom in Phase und wird an das Ende von gezeichnet. Das ist deshalb möglich, weil der Widerstand mit der Parallelschaltung in der eihenfolge vertauscht werden kann (Kommutativgesetz. An der Parallelschaltung fällt komplett die Spannung ab. Für die Gesamtspannung ist es unwichtig, ob man sie aus der Gleichung, oder aus der Gleichung berechnet. Die Spannung beginnt also dort, wo die Spannung der Parallelschaltung aufhört. Das muss man auch im eigerdiagramm berücksichtigen. Die geometrische Summe aller Spannungen ergibt ; der Betrag wird, genau wie bei ges, einfach gemessen.

19 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH m{ ;} 4. ges ges 5,7cm ˆ,4A ges ges 9,5cm ˆ 9,00V D-09 Stand: ; 0,4A 5Ω 5,70V. e{ ;} ges Der Phasenwinkel gibt die Phasenlage von ges zu an. Eilt die Gesamtspannung dem Gesamtstrom vor, dann belastet die Schaltung die uelle induktiv. Eilt die Gesamtspannung dem Gesamtstrom nach, so wird die uelle kapazitiv belastet. n diesem Beispiel liegt induktive ast vor. ur Kontrolle sollen die Gesamtspannung und der Gesamtstrom ges einmal berechnet werden. Eine Möglichkeit besteht darin, alle Spannungen und Ströme zu berechnen. Damit kann man ges nach der Formel ges und nach der Formel ermitteln: ( ( 0,5 A ( 0 8 Ω ( 4 3V ( 4 3 V 3V 4V ( 0,3,4A 0Ω 0Ω 0Ω Kontrolle: e{ } m{ } ( 0,3A (,4A,05A,43A ges ( 0,5 A ( 0,3,4 A ( 0,7 0,9A ges ges ges Kontrolle: e{ } m{ } ( 0,7A ( 0,9A,3A,4A

20 niversity of Applied Sciences ologne ampus Gummersbach Dipl.-ng. (FH Dipl.-Wirt. ng. (FH D-00 Stand: ; 0 ges ( 0,7 0,9 A 5Ω ( 3,5 4,5V ( 4 3 V ( 3,5 4,5 V ( 7,5 7,5V Kontrolle: e{ } m{ } ( 7,5V ( 7,5V 36,5V 9,04V Andere Möglichkeiten, die Beträge von und ges zu berechnen, werden hier nicht herangezogen.