Elektrotechnik III WS 04/05 Prof. Dr.-Ing. Schwarz, TU Dresden Mitschrift. Fabian Kurz

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1 Elektrotechnik III WS 04/05 Prof. Dr.-Ing. Schwarz, T Dresden Mitschrift Fabian Kurz Zuletzt aktualisiert: 3. März 005

2 Inhaltsverzeichnis 0 Dynamische Netzwerke 0. Problem Klemmenverhalten der Grundschaltelemente Netzwerk Differentialgleichung Lösung der Netzwerk-Differentialgleichung bei harmonischer Erregung Bestimmung der stationären Lösung Deutung von Gleichung () aus dem Netzwerk Netzwerke bei harmonischer Erregung 5. Harmonische Zeitfunktionen Zeigerdarstellung von harmonischen Funktionen a Komplexe Amplitude b Komplexer Effektivwert Lineare Operationen mit harmonischen Funktionen Verhalten der linearen Grundschaltelemente Netzwerkanalyse bei harmonischer Erregung a Lösungsprogramm Komplexe Zweipole. Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert a Lineare Zweipole bei harmonischer Erregung b Definitionen: c Zusammenhänge Impedanz und Admittanz der Blindschaltelemente d Bestimmung von Impedanz und Admittanz e Beispiel Ersatzschaltungen für komplexe Zweipole a Passiver Zweipol b Aktive Zweipole Leistung bei Wechselstrom 8 3. Leistungsbegriffe a Momentanleistung b Wirkleistung c Blindleistung d Scheinleistung Komplexe Leistung a Definition b Zusammenhang mit und I Leistungsübertragung im Grundstromkreis a (Wirk )Leistungsübertragung I

3 3.3.b Blindleistungskompensation c Modelle technischer Bauelemente d Kleinverbraucher am Netz Ortskurven 5 4. Grundbegriffe Einfache Ortskurven Inversion a Inversion eines Zeigers b Inversion von Ortskurven c Anwendungen Frequenzgänge Bode Diagramm Resonanzkreise 3 5. Impedanz und Admittanz Normierte Größen a Barkhausen-Verstimmung b 45 Frequenzen c Bandbreite Strom und Spannungsverläufe (Reihenschaltung) Lineare Zweitore Strom-Spannungsbeziehungen (Zweitorgleichungen) a Allgemeines b Widerstandsform der Zweitorgleichungen c mrechnung von Zweitorparametern Zusammenschaltung von Zweitoren Klassifikation von Zweitoren a mkehrbare Zweitore b Symmetrische Zweitore Ersatzschaltungen a Problem b Allgemeine Zweipole c Zweitore mit durchgehender Masse (Dreipole) Transformator (Übertrager) 4 7. Transformatorgleichungen und Ersatzschaltung Vereinfachte Ersatzschaltung Leistungsübertrager a Leerlaufversuch b Kurzschlußversuch Signalübertrager: Frequenzverhalten a Grenzfrequenzen Periodische Signale und Netzwerke bei periodischer Erregung Periodische Signale a Definition: periodisches Signal b Signalkenngrößen Spektraldarstellung periodischer Signale a Fourierentwicklung b Amplituden- und Phasenspektrum II

4 8..c Kenngrößen periodischer Signale im Frequenzbereich Reaktion von Netzwerken auf periodische Signale a Grundprinzip Schaltvorgänge 5 9. Zustandgleichungen a Algorithmus zur Ableitung der Zustandgleichungen aus einem Netzwerk b Anwendungsbeispiel: Transistorschalter mit induktiver Last III

5 Kapitel 0 Dynamische Netzwerke 0. Problem gegeben: gesucht: RCLM Netzwerk u(t) i(t) Ströme und Spannungen im Netzwerk Schreibweise: u = u(t), i = i(t). Kleine Buchstaben bezeichnen zeitveränderliche Größen (Signale). Netzwerkanalyse Kirchhoffsche Gleichungen Knotenspannungsanalyse Maschenstromanalyse u i Relationen der Zweige Netzwerkgleichungen gewöhnliche Differentialgleichungen 0. Klemmenverhalten der Grundschaltelemente R i u C i u L i u i M i u u u = R i i = C du dt u = L di dt u = L di dt + M di dt u = M di dt + L di dt

6 0.3 Netzwerk Differentialgleichung R u R u(t) C i u C Kirchhoffsche Gleichungen MS: u R + u C u = 0 KS: i R = i C = i gesucht: u C (t) I Relationen: u R = i R, i C = C du C dt i R + u C = u C } {{ R du C } dt τ + u C = u τ du C dt + u C = u(t) (τ = R C, u C (0) = C0 ) Spezialfälle für u(t) harmonische Funktion periodische Funktion Sprungform u(t + k T ) = u(t) { 0 t < 0 u = Û cos(t + ϕ u) u(t) = k = 0, ±, ±,... 0 t 0 Netzwerke bei harmonischer Erregung Netzwerk bei periodischer Erregung 0.4 Lösung der Netzwerk-Differentialgleichung bei harmonischer Erregung Schaltvorgänge τ du C dt { 0 t < 0 + u C = Û cos(t + ϕ u ) t 0 u C (0) = C0 u C (t) = v. Anfangsw. abh. { }} { C0 e t τ + von Erregung abhängig { }} { Û cos(ϕ u + ϕ) e t Û τ + cos(t + ϕ u + ϕ) + (τ) + (τ) } {{ } ϕ = arctan τ k e τ t 0 für t u } {{ } A cos(t+ϕ) u t transiente Lösung t stationäre Lösung

7 Verhalten stabiler linearer Netzwerke (SLN) ˆ Wird auf ein SLN eine harmonische Erregung geschaltet, so sind nach einem Übergangsvorgang alle Ströme und Spannungen harmonische Zeitfunktionen ˆ Ist in einem SLN ein Signal (Strom oder Spannung) harmonisch, so sind alle anderen Signale im stationären Zustand auch harmonisch ˆ Interessiert nur der statische Fall, so braucht die Netzwerk-DGL nicht gelöst zu werden (symbolische Analyse) 0.5 Bestimmung der stationären Lösung u R C u C τ du C dt + u C = Û cos(t + ϕ u) R C = τ gesucht: stationäre Lösung, u C (t) für große t Prinzipielle Form: u C (t) = Û cos(t + ϕ u C ). nbekannte: Û und ϕ u C Komplexe Differentialrechnung: τ du C dt + u C = Û (cos(t + ϕ u) + j sin(t + ϕ u )) = Û ej(t+ϕu) u C (t) = Re(u C (t)) τ du C dt + u C = Û } {{ ejϕu } e jt = Ûejt Û Ansatz: u C (t) = Û C e jt Û C = ÛC e jϕu C du C dt = Û C e jt j = j u } {{ } C u C einsetzen: τ j Û C e jt + Û C e jt = Û ejt τ j Û C + Û C = Û (jτ + ) Û C = Û e jt () in Ansatz einsetzen: Û C = u C (t) = Û C e jt = Û + jτ = Û ejϕu + jτ ejt Û + jτ ejt () 3

8 Reeller Anteil: ) (Û e jϕ C u C (t) = Re (u C (t)) = Re + jτ ejt + jτ = + (τ) e jϕ ϕ = arctan τ Im τ ϕ Re ( ) ( ) Û e jϕu u C (t) = Re + (τ) e Û jϕ ejt = Re + (τ) ej(t+ϕu ϕ) = Û + (τ) cos(t + ϕ u arctan τ) 0.6 Deutung von Gleichung () aus dem Netzwerk R Û jc Û C Û C = Û + jr C = jc R + Û jc Û C kann aus einem symbolischen Gleichstromnetzwerk berechnet werden. Aufstellen und Lösen der Netzwerk Differentialgleichung ist nicht erforderlich. 4

9 Kapitel Netzwerke bei harmonischer Erregung. Harmonische Zeitfunktionen y(t) = Ŷ cos(t + ϕ y) = Ŷ cos((t t y)) y(t) Ŷ Ŷ cos ϕ y t y ϕ y T t y T π ϕ y ϕ y t t ϕ y = t y ; t y = ϕy = ϕy π T Kenngrößen Wertkenngrößen Zeitkenngrößen Ŷ Spitzenwert, Amplitude T Periodendauer, Periode Y SS = Ŷ Spitze Spitze Wert f = T Frequenz Y = Ŷ Effektivwert = πf = π T Kreisfrequenz Phasenwinkel, Phase. Zeigerdarstellung von harmonischen Funktionen ϕ y Bei gegebener Frequenz (f bzw. T bzw. ) kann einer harmonischen Zeitfunktion ein Zeiger (Phasor) zugeordnet werden. 5

10 ..a Komplexe Amplitude y(t) Ŷ ϕy T t Im Ŷ ϕ y Re mkehrung: y(t) = Ŷ cos(t + ϕ y) Ŷ = Ŷ ejϕy = Ŷ (cos ϕ y + j sin ϕ y ) y(t) = Re (Ŷ ejt ) = Re (Ŷ ejϕy e jt ) geometrische Deutung von Re (Ŷ ejt ): Im t Ŷϕ y Re T t..b Komplexer Effektivwert Y = Ŷ = Ŷ e jϕy Definition komplexer Effektivert Wird nachfolgend verwendet! 6

11 .3 Lineare Operationen mit harmonischen Funktionen Motivation: In linearen Differentialgleichungen treten drei lineare Operationen auf:. Multiplikation mit konstantem Faktor dy τ + y = x }{{} }{{} dt }{{} O O 3O Zeitbereich K A cos( + ϕ) y(t) t Bildbereich K A = K A e jϕ Im K A A Re. Addition A cos(t + ϕ A ) + B cos(t + ϕ B ) A + B = A e jϕ A + B e jϕ B y(t) t Im A + B A B Re 3. Differentiation d (t dt (A cos(t + ϕ)) = A cos + ϕ + π ) j A = A e j(+π/) y(t) t ja Im A π Re 7

12 .4 Verhalten der linearen Grundschaltelemente R i u u = R i L i u u = L di dt C i u i = C du dt i(t) = Î cos(t + ϕ i) u(t) = R Î cos(t + ϕ i) u(t) = L Î cos ( t + ϕ i + π ) u(t) = C Î cos ( t + ϕ i π ) Û = R Î Û = L Î Û = C Î ϕ u = ϕ i ϕ u = ϕ i + π ϕ u = ϕ i π i u i u i u u und i in Phase u eilt i um π (90 ) vor u eilt i um π (90 ) nach R I jl I I jc = R I = jl I = jc I I = I e jϕ i = R I = L I = C I ϕ u = ϕ i ϕ u = ϕ i + π ϕ u = ϕ i π Im I ϕ ϕ u i Re Im I ϕ u ϕ i Re Im I ϕ i ϕ u Re 8

13 .5 Netzwerkanalyse bei harmonischer Erregung (Symbolische Methode, j Rechnung) gegeben: Netzwerk, harmonische Erregung gesucht: Ströme Spannungen im stationären Fall Beispiel: R i L u i 3 R C i Beispiel: gegeben: u(t) = Û cos(t + ϕ u), gesucht: i 3 = Î3 cos(t + ϕ i3 ).5.a Lösungsprogramm. Transformation des Netzwerkes in den Bildbereich Zeitbereich Bildbereich R i u R I = R I L i u jl I = jl I C i u I jc = jc I Ergebnis: Gleichstromnetzwerk mit komplexen Größen R I jl M I 3 R M I jc. Berechnen der gesuchten Größen im Bildbereich Analyse eines komplexen Gleichstromnetzwerkes (Maschensatz): M : (R + R ( + jl) I 3 ) + R I = M : R I 3 + R + jc I = 9

14 R + jc I 3 = R ( ) = (R + R + jl) R + jc R R +R jc jc + R R + R jl + L C I 3 = I 3 e jϕ i3 = A B A = jc, B = R + R jc + R R + R jl + L C I 3 e jϕ i3 = A ejϕ A B e jϕ B A = C, ϕ A = j = π B = (R R + L C ejϕu = A B } {{ } I 3 ) + ( LR R +R C j(ϕ e u+ϕ A ϕ B ) } {{ } ϕ i3 ), ϕb = arctan LR R +R C R R + L C I 3 = A B, ϕ i 3 = ϕ u + ϕ A ϕ B 3. Rücktransformation in den Zeitbereich ( ) i 3 (t) = Re I e jt = I 3 cos(t + ϕ } {{ } i3) Î 3 0

15 Kapitel Komplexe Zweipole. Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert..a Lineare Zweipole bei harmonischer Erregung Zeitbereich lineares Netzwerk (ZP aus R, C, L, M, gest. Quellen) Bildbereich komplexer Zweipol i(t) u(t) I u(t) = Û cos(t + ϕ u) = e jϕu, = Û i(t) = Î cos(t + ϕ i) I = I e jϕ i, I = Î..b Definitionen: Z = I Komplexer Widerstand (Impedanz) Z X ϕ Z R Kartesische Koordinaten Z = R + jx Wirkwiderstand, Resistanz X = Im (Z) = Z sin ϕ z Blindwiderstand, Reaktanz Polarkoordinaten Z = Z e jϕz Scheinwiderstand ϕ z = arg(z) = ϕ u ϕ i Phase der Impedanz Y = I Komplexer Leitwert (Admittanz) Y B ϕ Y G Kartesische Koordinaten Y = G + jb Wirkleitwert, Konduktanz Y = Im (Y ) = Y sin ϕ y Blindleitwert, Suszeptanz Polarkoordinaten Y = Y e jϕy Scheinleitwert ϕ y = arg(y ) = ϕ i ϕ u Phase der Admittanz

16 Wichtig: Die Bildung des Quotienten ist nur im Bildbereich sinnvoll. Im Zeitbereich sind die Quotienten u(t) i(t) und zeitabhängige Größen ohne Aussagekraft. i(t) u(t)..c Zusammenhänge Z = Y Y = Z Kartesische Koordinaten: Polarkoordinaten R + jx = R = G + jb = G = G + jb = G jb G + B = G G + B j B G + B G G + B X = B G + B R + jx = R jx R + X = R R + X j X R + Y R R + X B = X R + X Z = Z e jϕz Y = Y e jϕy Z = Y Z ejϕz = Y e jϕy = Y ejϕy Z = Y, ϕ z = ϕ y

17 Impedanz und Admittanz der Blindschaltelemente Schaltelement L i u C i u Impedanz Z = jl Z = jc = j C Betrag Z = L Z = C Phase ϕ Z = π Admittanz Y = jl = j L Betrag Y = L Phase ϕ Y = π ϕ Z = π Y = jc Y = C ϕ Y = π Re Z Re Y Zeigerbilder Y Im Z Im Frequenzgang des Betrages Z = L Y = L Y = C Z = C Frequenzgang in doppeltlogarithm. Darstellung log(z/z 0 ) log(y/y 0 ) log(/ 0 ) log(y/y 0 ) log(z/z 0 ) log(/ 0 )..d Bestimmung von Impedanz und Admittanz. Aus den Zeitverläufen von u und i Z = Z e jϕ = I = ejϕu I e jϕ i = I ej(ϕu ϕ i) Z = I, ϕ = ϕ u ϕ i 3

18 Betrag (Scheinleitwert, Scheinwiderstand): Durch Effektivwertmessung A u(t) dyn. V NW Z = I, Y = I Phase: Durch Zeitmessung (Oszilloskop) i(t) u(t) T v ϕ T t t T v = ϕ u ϕ i = ϕ π Tv ϕ = T = π f T v 360 Tv T = 360 f T v T v T = ϕ π in Radiant in Grad ϕ = ϕ u ϕ i, ϕ ist positiv, wenn u voreilt (induktiv), negativ, wenn i voreilt (kapazitiv). Phasenmessung mit Lissajous Figur: (x y Oszilloskop, x = u(t), y = i(t)) y c x sin ϕ = c c (komplette Herleitung: ge/student/materialien/et-iii/folien/lissajous.pdf) c..e Beispiel R C i u gegeben: R = 00 Ω, C = 00 nf, f = 5 khz gesucht: Z, Y in allen Formen R jc Z = R + I jc = R + jx R = 00 Ω X = C = s V π As = 38 Ω 38 Ω Im 00 Ω Re Z = 00 Ω j 38 Ω = = 376 Ω e j58 R + arctan ej RC (C) Re (Z) = 00 Ω, Im (Z) = 38 Ω, Z = 376 Ω, ϕ = 58 4

19 Leitwert: Y = Z = 376 Ω ej58 =,66 ms e j58 =,66 ms (cos 58 + j sin 58 ) =,4 ms + j, 6 ms Strom: Re (Y ) =,4 Ω, Im (Y ) =,6 Ω, Y =,66 Ω, ϕ Y = 58 I = Z = Y = Û,66 ms e j58 =,88 ma e j58 I =,88 ma, ϕ i = 58, Î = I =,66 ma, i(t) =,66 ma cos(t + 58 ). Ersatzschaltungen für komplexe Zweipole In Gleichstromnetzwerken: passiver Zweipol R i R = I = G I ZP aktiver Zweipol R i L R i IK..a Passiver Zweipol Z I Z = I = Y Z = R r + jx r Serienersatzschaltung R r jx r Y = G p + jb p Parallelersatzschaltung jx r R r X r < 0 X r > 0 jx r = jc r C r = X r jx r = jl r L r = Xr R r C r R r L r B p < 0 B p > 0 jb p = jl p jb p = jc p L p = B p C p = Bp G p G p L p C p 5

20 Beispiele. gegeben: Zweipol mit = 30 V, I = A, ϕ = ϕ u ϕ i = 5 = π Reihenersatzschaltung: Z = I = ejϕ = Z cos ϕ + jz sin ϕ = R r + jx r Z = I = 30 V A = 30 Ω R r = Z cos ϕ = 30 Ω cos π = Ω X r = Z sin ϕ = 30 Ω sin π = 59,5 Ω X r = L r L r = X r = Z sin ϕ = 89,5 mh πf Ω 89,5 mh Parallelersatzschaltung: Y = I = Y e jϕ = Y cos jy sin ϕ = G p + jb p Y = I = 4,35 ms G p = Y cos ϕ = 4,35 ms cos π = 4, ms = 38 Ω B p = Y sin ϕ = 4,35 ms sin π =, ms B p = L p L p = B p = 38 Ω πfy sin ϕ =,83 H,83 H. gesucht: Parallelersatzschaltung folgender Schaltung: R C gm I = R + jc + g m C = jc R + jc = ( ) jc I = + jrc + g m + jrc + jrc Y = I = jc + g m + jrc = (jc + g m) ( jrc + (RC) = (C) R + g m g m R + (RC) } {{ + jc + (RC) } } {{ } = = für g m R > R p jl p L p = C + (RC) g m R L p = C + (RC) g m R, R + (RC) p = R g m R + (RC) Zahlenwerte: R = kω, g m = 0 ms, C = µf, f = 500 Hz RC = π 500 s 0 3 V A 0 6 As V = π, g m R = 0 ms kω = 0 R p = 547 Ω, L p = mh 6

21 ..b Aktive Zweipole I akt. ZP Z i L Z i IK Beispiel: R I q jc Spannungsquellenersatzschaltung q = q e jϕuq Stromquellenersatzschaltung Z i I I L I K Z i L = = I=0 = = jc R + jc q + jrc q e jϕuq q arctan RC) ej(uq + (RC) I K = I = q =0 R = q R ejϕuq Z i = L bzw. Z i = I K I Quellen=0 Z i = jr R = R + jc = R + jrc = R arctan RC e j + (RC) 7

22 Kapitel 3 Leistung bei Wechselstrom Bei Gleichstrom: R I P = I = R = I R P 3. Leistungsbegriffe 3..a Momentanleistung i(t) u(t) p(t) = u(t) i(t) Def.: Momentanleistung i(t) u(t) ϕ T t u(t) = Û cos(t + ϕ) i(t) = Î cos(t) p(t) = u(t) i(t) = Û Î cos(t + ϕ) cos(t) Additionstheorem: cos α cos β = [cos(α + β) + cos(α β)] p(t) = Û Î [cos ϕ + cos(t + ϕ)] mit = Û und I = Î : p(t) = I [cos ϕ + cos(t + ϕ)] p(t) I cos ϕ t ˆ Sinusförmig, aber mit ˆ p(t) kann Negativ werden (schraffiert) ˆ weitere Zerlegung aufschlußreich 8

23 Additionstheorem: cos(t + ϕ) = cos t cos ϕ sin t sin ϕ p(t) = I cos ϕ ( + cos t) I sin ϕ sin t I cos ϕ T t Strom pulsierend in den Zweipol Mittelwert Amplitude } I cos ϕ Wirkleistung I sin ϕ T t Strom pendelt zwischen Erzeuger und Verbraucher Mittelwert: 0 Amplitude: I sin ϕ Blindleistung 3..b Wirkleistung P I Die Wirkleistung ist der zeitliche Mittelwert der Momentanleistung. π π kapazitiv induktiv P = I cos ϕ, [P ] = [] [I] = W Sie hängt vom Leistungsfaktor cos ϕ ab. Bei ϕ = π (reine Kapazität) und ϕ = π (reine Induktivität) beträgt die Wirkleistung Null. 3..c Blindleistung π I Q π Die Blindleistung ist die Amplitude der zwischen Erzeuger und Verbraucher periodisch ausgetauschten Leistung Q = I sin ϕ [Q] = var (Voltampere reaktiv) kapazitiv induktiv 3..d Scheinleistung Die Scheinleistung ist das Produkt der Effektivwerte von Strom und Spannung S = I [S] = VA 9

24 3. Komplexe Leistung 3..a Definition P = I cos ϕ, Q = I sin ϕ S = P + jq Definition komplexe Leistung S = I (cos ϕ + j sin ϕ) = I e jϕ = S e jϕ S = S = I = P + Q P = Re (S), Q = Im (S), ϕ = arg(s) = ϕ u ϕ i 3..b Zusammenhang mit und I I Z S = I e jϕ, = I e j(ϕu ϕi) = } {{ e jϕu } I e jϕ i } {{ } I ϕ = ϕ u ϕ i S = I Beispiel: I R C gegeben: R = Ω, C = mf, f = 50 Hz, I = A gesucht: S, S, P, Q S = I, = I Z = I Y = I G + jb, G = R, B = C S = P = I I G + jb = I G + jb = I G + jc = G I (G + (C) G G + (C) I = 0,77 W C Q = G + (C) I = 0,53 var S = I G + (C) = P + Q = 0,893 VA } {{ } P +j C I G + (C) } {{ } Q 3.3 Leistungsübertragung im Grundstromkreis 3.3.a L (Wirk )Leistungsübertragung Z i I Z a Problem: gegeben: Generator ( L, Z i ) gesucht: Z a so, daß P maximal wird. 0

25 P = Re (S) = Re ( I ) = Z a Z i + Z a L, I = L Z i + Z a S = I = Z a L L (Z i + Z a ) (Z i + Z a ) = Z a Z i + Z a L Z a = R a + jx a, Z i = R i + jx i P = Re (S) = R a L (R i + R a ) + (X i + X a ) maximal Maximum bei: X a = X i P = R a (R i + R a ) L R a = R i Z a = R i jx i = Z i 3.3.b Blindleistungskompensation I Y K I Verbraucher V I K I B I W Q B p G p Problem gegeben: Verbraucher am Netz, Y K = G p + jb p gesucht: Kompensationszweipol, so daß I maximal wird I = Y = (Y K + Y V ) = (G K + jb } {{ k + G } p + jb p ) } {{ } I K I V I = I = ( G }{{} K +G p ) + ( B K +B }{{} p ) min (G K, B K ) 0 0 Mininum bei G K = 0 I = G p + (B K + B p ) und B K = B p. Minimaler Strom: I = G p = I W Ergebnis: ˆ Verbraucher und Kompensationszweipol zusammen nehmen nur Wirkleistung auf ˆ Blindleistung wird zwischen Verbraucher und Kompensationszweipol ausgetauscht ˆ Verbraucher sind meistens induktiv Kompensationskapazität Beispiel: Leuchtstofflampe, gemessen: = 30 V, P = 60 W, I = 0,5 A Leistungen: S = I = 30 V 0,5 A = 0 VA P = I cos ϕ = S cos ϕ cos ϕ = P S Q = I sin ϕ = S P = 04 var = 0,5 V, ϕ = 60 Q K Q K S V ϕ P V

26 Kompensationskapazität: Q K = Q V = C C K = Q V = 6, µf Elemente der Ersatzschaltung: (Modell des Verbrauchers) P = G p G p = P =, ms = 909 Ω Q = B p B p = Q = ms = L p L p = B p =,7 H Schaltung / Ersatzschaltung Dr 0,5 A 0,5 A 0,5 A 0,43 A C K C K L p

27 3.3.c Modelle technischer Bauelemente Spulen L R Kondensatoren C R Z = R L + jx L, X L = L Y = G C + jb C, B C = C X L Z B C Y δ ϕ δ ϕ R L G C Komplexe Leistung: S = P + jq = I = I Z = Y P = I R L, Q = I X L P = G C, Q = B C Verlustfaktor d = Wirkleistung Blindleistung = P = tan δ, Q δ = Verlustwinkel d L = P Q = R L X L = R L L = tan δ L Güte Q = Blindleistung Wirkleistung = Q P = d d C = P Q = G C B C = G C C = tan δ C Q L = d L = X L R L = L R L Q C = d C = B C G C = C G C 3.3.d Kleinverbraucher am Netz Eine Lampe ( V, 0 W) ist am Netz (30 V) zu betreiben. I = P = 0 W V = 0,83 A Vorwiderstand R N P N R = L I = 8 V 0,83 A = 6 Ω P N = N I = 30 V 0,83 A = 9 W 3

28 Serienkondensator I KZ C L K N L I I L C = N L = C N C = =,5 µf N L C S = N I = 9 VA, P = 0 W, I KZ = P = 0 W 30 V = 0,043 A 4

29 Kapitel 4 Ortskurven 4. Grundbegriffe Im Eine Ortskurve ist der geometrische Ort aller Endpunkte des Zeigers F (λ) bei Änderung von λ. F (λ) λ F kann sein: Spannung, Strom, komplexe Leistung, Impedanz, Admittanz, Spannungsverhältnis, Stromverhältnis. Re λ kann sein: Frequenz, Widerstand, Kapazität, Induktivität Beispiel 3 R C I gegeben: R, C, I = I gesucht: Ortskurven von R, C,, Z in Abhängigkeit von = πf Im R I C Re R = I R = R (reell) C = I jc = j I C = I R j I C = I Z Z() = R j I C Im (Z) R Z() j C Re (Z) Beispiel I R C gegeben: R, C, = gesucht: Ortskurven von R, C, I in Abhängigkeit von = πf 5

30 Im I R C = C R R Re = R + C, R = I R, C = j I C Thaleskreis: Die Ortskurven von C, R sind Kreise! Formelausdruck: Z() = R j C I() = F (λ) = a + b f(λ) F (λ) = Z() = und I R jc b a + a f(λ) 4. Einfache Ortskurven Im x Im y y = F (x) Re Re Gerade Im a a 0 0 λ Re f(λ) = a 0 + a λ Spezialfall: a 0 = 0 f(λ) = a λ Gerade durch den rsprung Kreis um den rsprung Im λ a 0 0 f(λ) = a 0 + a λ + a λ Re f(λ) = a 0 e jϕ(λ) Kreis durch den rsprung Im λ 0 B B Re f(λ) = a 0 + a λ f(λ) = B ( + e jϕ(λ)) 6

31 Kreis in allgemeiner Lage Im A λ 0 B Re f(λ) = b 0 + b λ a 0 + a λ f(λ) = A + B e jϕ(λ) 4.3 Inversion Inversion einer komplexen Größe bedeutet die Bildung ihres Reziprokwertes. Y = Z, Y ejϕy = Z e jϕz Y = Z, ϕ y = ϕ z Der Zeiger Z aus der Z-Ebene wird auf den Zeiger Y der Y -Ebene abgebildet (konforme Abbildung) durch Y = Z. 4.3.a Inversion eines Zeigers Im B Z A C Z Z ϕ z 0 ϕ y Y Re. Betrag Die Dreiecke 0AB und 0BC sind ähnlich Z = Y. Phase ϕ y = ϕ z Spiegelung an der reellen Achse Maßstäbliche Konstruktion: Inversionsradius Z-Maßstab Y -Maßstab z = m z Z y = m y Y [m z ] = cm Ω [m y ] = cm S Z Y = = z m z r Radius des Inversionskreises, Inversionsradius y m y = z y = m z m y = r Beispiel Darzustellender Bereich Z =... 0 Ω Y = 0,... S gewählter Zeigermaßstab m z = cm Ω m y = 0 cm Ω r = m z m y = 0 cm = 3, cm 7

32 Im(Z) Im(Y ) X B Ω 0 S r 4. 0,4 0, G S 0,4 Re(Y ) 4 0 Re(Z) R Ω 4.3.b Inversion von Ortskurven Problem: gegeben: Ortskurve von F (λ) Verfahren: gesucht: Ortskurve von. Punktweise Inversion: für verschiedene λ Werte wird aus F (λ) durch Zeigerinversion bestimmt. F (λ). Anwendung von Inversionsregeln für einfache Ortskurven F (λ) Grundregel: Bei der Inversion gehen Kreise in Kreise über Die Inversion ist Kreistreu. Beweis: F (λ) = b 0 + b λ a 0 + a λ F (λ) = a 0 + a λ b 0 + b λ Wichtige Fälle. Gerade durch den rsprung Gerade durch den rpsrung Im F (λ) a Re λ a λ F (λ) F (λ) = a λ F (λ) = a λ = a f(λ). Gerade nicht durch den rsprung Kreis durch den rsprung Im F (λ) λ λ F (λ) λ λ Re F (λ) = a + b λ F (λ) = a + b λ λ : minimaler Betrag von F (λ) maximaler Betrag von F Radius 3. Kreis nicht durch den rsprung Kreis nicht durch den rsprung Im λ λ F (λ) λ λ F (λ) λ λ Re F (λ) = a 0 + a λ b 0 + b λ F (λ) = b 0 + b λ a 0 + a λ 8

33 4.3.c Anwendungen. Z- und Y -Ortskurven technischer Bauelemente in Abhängigkeit von L R L C R C Z() = R L + jl Z() = R C + jc = G + jc Im ϕ 45 Re Im 45 R L Re R L = 45 L, 45 = R L L Z = R L + (L), ϕ = arctan L R L Z = G C = 45 C, 45 = C R C, ϕ = arctan C R C + (C) G C Z ϕ π Z L π R L 4 45 Z R C Z C ϕ π. Ortskurve in Abhängigkeit von einem Parameter A R C B C R 45 C R R 45 Y AB Y CB R R R 0 gesucht: Ortskurven Z AB (R ), Y AB (R ) (Z AB, Y AB formelmäßig berechnen) Y CB = R + jc, R = 45 C, R = 45 C R in Serie zu Y CB invertieren der OK Z CB, R addieren Z AB, invertieren Y AB. C Z CB R Z AB R 9

34 4.4 Frequenzgänge Frequenzgänge sind die Darstellungen von Betrag und Phase einer komplexen Größe über die Frequenz. Beispiel: Spannungsverhältnis einer RC-Schaltung R C G(j) = jc R + jc A() = G(jC) = G(j) = A() = G(j) ϕ() = arg(g(j)) = + (Spannungs-)Übertragungsfaktor Amplituden(frequenz)gang Phasen(frequenz)gang + jcr = jτ = + j g für g ( g ) = ϕ() = arctan g, g = τ = RC für = g g für g Im G(j) τ Re A() g ϕ() π 4 π g 4.5 Bode Diagramm a() = 0 log G(j) db ϕ() a() = 0 log } dargestellt über log g. + ( g 0 db für g = 3 db für g = 0 log g db für g a() 0, g 0 3 log g ( ) db = 0 ( ) ) log + db g 0 db Steigung: 0 db/dekade 40 db 30

35 Ausgewählte Größenordnungen 0 0 a db

36 Kapitel 5 Resonanzkreise 5. Impedanz und Admittanz Reihenresonanzkreis Parallelresonanzkreis I R p R r C r L r C p L p Z r = R r + jl r + jc r ( = R r + j L r ) C } {{ r } X r() Impedanz Z p = = G p + jc p + jl p G p + j(c p L p ) Im(Z r ) Z r 45 R r 0 Im(Z p ) > 0 Re(Z r ) 45 R p 0 < 0 Re(Z p ) 45 < 0 Z p > 0 45 Y r = = R r + jl r + jc r R r + j(l r C r Admittanz Y p = G p + jc p + jl p = G p + j(c p L p 3

37 Im(Y r ) 45 < 0 R r 0 Y Re(Y r ) r > 0 45 Im(Y p ) Y p 45 G p 0 45 > 0 Re(Y p ) < 0 Scheinwiderstand ( Z = Z = R r + L r ) C r Scheinleitwert ( Y = Y = G p + C p ) L p ϕ z = arctan L r C r R r Phasenwinkel ϕ y = arctan C p L p G p Z r Y p R r L r Z r () X r() C r G p C r Z p () B p() L p < 0 > 0 > 0 < 0 kapazitiv induktiv induktiv kapazitiv ϕ z +90 b R r > 0 ϕ z +90 b G p > ideal (R r = 0) 90 ideal (G p = 0) Resonanzfrequenz 0 Blindwiderstand Blindleitwert X r ( 0 ) = 0 B p ( 0 ) = 0 0 L r = 0 C r, 0 = Lr C r 0 C p = 0 L p, 0 = Cp L p 33

38 Imaginärteil von Impedanz Admittanz verschwindet, Scheinwiderstand Scheinleitwert erreicht Minimum. = const. I Z Der Strom hat im spannungsgespeisten Resonanzkreis bei Resonanz Höchstwert. I = const. Y Die Spannung hat im stromgespeisten Resonanzkreis bei Resonanz Höchstwert. 5. Normierte Größen ϱ = Zwischen L und C pendelnde Blindleistung Wirkleistung Güte Reihenresonanzkreis ϱ r = I 0 L r I R r = = 0 L r R r 0 C r R r = R r L r C r Parallelresonanzkreis ϱ p = 0 C p R p = = 0 C p R p 0 L p cot G p = G p C p L p 5..a Barkhausen-Verstimmung v = 0 0 = Ω Ω Ω = 0 Näherung ) Näherung für 0 : mit = 0 + v = = + 0 = (Ω ) Ω Ω v (Ω ) Ω Ω Ω = = 0 0 = + 0, ( 0 ) für 0 34

39 5..b 45 Frequenzen Reihenresonanzkreis Parallelresonanzkreis ϕ z = ± π 4 ϱ r v 45 = ± ϕ y = ± π 4 ϱ p v 45 = ± v 45 = ± ϱ r v 45 = ± ϱ p ±45 = 0 ( + ( ) ) ± ( 0 ± ) ϱ ϱ ϱ für ϱ 5..c absolut: relativ: Z( 45 ) = R r Bandbreite b = b = 0 ϱ b = b 0 = b f f 0 = ϱ Y ( 45 ) = Y p b f = f +45 f 45 = b π b f = f 0 ϱ 5.3 Strom und Spannungsverläufe (Reihenschaltung) R C L I = R r C r L r Z = R + jl + jc = R( + jϱv) = v = 0 0 = Ω Ω Ω = 0 I = R + (ϱv) ϕ I = arctan(ϱv) L = jl R( + jϱv) = j 0 L 0 R( + jϱv) = jϱ Ω + jϱv = Ω j C = jc R( + jϱv) = 0 j 0 C R( + jϱv) = ϱ j ϱω Ω + jϱv = Ω j Ω ϱ L = ϱ Ω + (ϱv) ϕ L = π arctan(ϱv) L = max ϱ 4ϱ ( ϱ + ) 8ϱ bei Ω Lmax = + 4ϱ ϱ 35

40 C = ϱ Ω + (ϱv) ϕ L = π arctan(ϱv) C = max ϱ 4ϱ ( ϱ + ) 8ϱ bei Ω Cmax = + 4ϱ ϱ Ortskurven der Teilspannungen, ϱ = 3 Effektivwerte der Teilspannungen 3 3 L I C 3 C I L Ω 36

41 Kapitel 6 Lineare Zweitore 6. Strom-Spannungsbeziehungen (Zweitorgleichungen) 6..a Allgemeines I I I I Kettenpfeilsystem bei Kettenschaltung verwendet symmetrisches Pfeilsystem nachfolgend verwendet Beispiele: elektronische Bauelemente (Transistoren), Verstärker, Filter, Leitung Beschreibung: Von den 4 Klemmengrößen können zwei vorgegeben werden (unabhängige Variable), die anderen beiden ergeben sich daraus. 6 Möglichkeiten 6..b Widerstandsform der Zweitorgleichungen = Z I + Z I () = (Z) (I) = Z I + Z I (Z): Impedanzmatrix Z ij (i, j =, ): Z oder Widerstandsparameter des Zweipols Eingangsimpedanz Z = I I =0 Transimpedanz vorwärts Z = I I =0 Transimpedanz rückwärts Z = I I =0 Innenimpedanz vorwärts Z = I I =0 Bei Leerlauf am Ausgang (I = 0) Bei Leerlauf am Eingang (I = 0) 37

42 Bestimmung der Widerstandsparameter. Durch (Gesamt-)Netzwerkanalyse Z Z 3 I Z Z 4 = ( Z + Z + Z 3 +Z 4 ) I + I Z 4 Z + Z 3 + Z 4 I = Durch Koeffizientenvergleich: Z + Z 4 Z + Z 3 + Z 4 I + Z + I 4 Z +Z 3 Z = Z + Z (Z 3 + Z 4 ) Z + Z 3 + Z 4 Z = Z 4 Z Z + Z 3 + Z 4 Z = Z Z 4 Z Z + Z 3 + Z = Z 4 (Z + Z 3 ) 4 Z + Z 3 + Z 4. Aus den Definitionen der Zweitorparameter. I = 0: Z =, Z I = I. I = 0: Z = I I =0 I =0, Z = I I =0 I =0 I I Beispiel: gesucht: Y = 0 I Z Z Y = I =0 = Z = Z 6..c mrechnung von Zweitorparametern Zweitorparameter können ineinander umgerechnet werden. Beispiel : Z- Y -Parameter gegeben: (Z) = ( Z Z Z Z ) gesucht: (Y ) = ( Y Y Y Y ) 38

43 () = (Z) (I), ( (Y ) = (Z) = det(z) Z Z Z Z (I) = (Z) () ), det(z) = Z Z Z Z Beispiel : A ist aus den Z-Parametern zu berechnen. A = I =0 = Z Z = Z I + Z I = Z I = Z I + Z I = Z I 6. Zusammenschaltung von Zweitoren I () () I () () = I () I() () I () I () () = () I () I () = () () = () ( ()) ( () = ()) + ( = Z ()) (I ()) ( + } {{ } = (( Z ()) + (I) Z ()) ( Z ())) (I) (I ()) } {{ } (I) (I ()) ( (I) = I ()) + (( = Y ()) ( + Y ())) () 6.3 Klassifikation von Zweitoren Zweitore mkehrbare symmetrisch unsymmetrisch nicht mkehrbar 6.3.a mkehrbare Zweitore I =I 0 I 0 (Z) = I =I 0 (Z) I 0 für Y -Parameter: I I =0 = Z = Z = I Y det(y ) = Y det(y ) I =0 Y = Y 39

44 0 I (Z) = I (Z) 0 für A-Parameter: det(a) = Ein RLCM Zweitor ist immer umkehrbar. Ein nicht umkehrbares Zweitor enthält stets gesteuerte Quellen. Ein Zweitor mit gesteuerten Quellen kann umkehrbar sein. Beispiel I I b I a Wann ist dieses Zweitor umkehrbar? = a I = b I inverse Hybriddarstellung = a, I = b ( I ) A-Beschreibung: idealer Transformator 6.3.b det(a) = Symmetrische Zweitore ( a 0 0 b ) = b a = b = a Ein umkehrbares Zweitor heißt symmetrisch, wenn die Leerlauf-Eingangswiderstände an den Klemmenpaaren gleich sind. Z = Z Z = Z Z = Z Y = Y, A = A (Symmetriebedingungen) 6.4 Ersatzschaltungen 6.4.a Problem Netzwerk gegeben: Zweitor, das in ein Netzwerk eingeschaltet ist (z.b. Transistor in einer Schaltung) ZT gesucht: Ströme und Spannungen in der Gesamtschaltung Zur Netzwerkanalyse muß das Zweitor durch Netzwerkelemente ersetzt werden. Das leistet die Ersatzschaltung. Sie modelliert das Klemmenverhalten des Zweitores durch ein Netzwerk. 6.4.b Allgemeine Zweipole Aus jeder Darstellungsform der Zweitorgleichungen läßt sich eine Ersatzschaltung ableiten. 40

45 Prinzip. Eine Spannungsbilanz entspricht einer Serienschaltung (Maschensatz). Eine Strombilanz entspricht einer Parallelschaltung (Knotensatz) Beispiele. Y-Darstellung I Y Y Y Y Y Y I I = Y + Y Y I = Y + Y. Hybrid-Darstellung I H H I H I H = H I + H I H I H I = H I + H 6.4.c Zweitore mit durchgehender Masse (Dreipole) Widerstandsparameter (Z-Darstellung) Z Z Z4 I 3 I I I Z I Analyseergebnis = (Z + Z )I + Z I = (Z + Z 4 )I + (Z + Z 3 )I Koeffizientenvergleich Z-Darstellung = Z I + Z I = Z I + Z I Z + Z = Z Z = Z Z + Z 4 = Z Z + Z 3 = Z Z = Z Z Z = Z Z 3 = Z Z Z 4 = Z Z Ersatzschaltung I Z Z Z Z (Z Z )I I Z umkehrbarers ZT 4

46 Kapitel 7 Transformator (Übertrager) 7. Transformatorgleichungen und Ersatzschaltung L i L ww i u u R R i M i u L L u di u = i R + L dt + M di dt di u = i R + L dt + M di dt L Kenngröße: ü = = w wenn R m = R m L w M = k L L k = σ, σ = k k: Koppelfaktor σ: Streufaktor Transformation in das Komplexe (harmonische Zeitverläufe, eingeschwungener Zustand) = (R + jl } {{ } )I + jm I } {{ } Z Z = jm I } {{ } + (R + jl )I } {{ } Z Z Z-Darstellung Allgemeine Ersatzschaltung eines Transformators I Z Z { }} { R L M Z Z { }} { L M R I R F e Z = jm R F e modelliert die Eisenverluste Hysteresekurve durch Ellipse approximiert. 4

47 Nachteile:. Durchgehende Masse. Nur für k < ü < k positive Ersatzelemente Behebung durch Vereinfachte Ersatzschaltung i M i u L L u I R L αm α L α αm R αm I I idealer Übertrager = α I = α I α = = (R + jl )I + jm α I α = jm I + (R + jl ) α I = jm α I + (R + jl ) α I Durch geeignete Wahl von α unterschiedliche Ersatzschaltbilder. Symmetrisches Ersatzschaltbild L αm = α L α M α = L L = ü L α M = L σ L L k L L = ( k) L = ( σ) L L } {{ } σ. Nur eine Längsinduktivität α L αm = 0 α = M L = k L L L = k L α M = L k L L L = k ü L k L L = L ( k ) = σl 43

48 7.3 Leistungsübertrager Bestimmung der Elemente der Ersatzschaltung 7.3.a Leerlaufversuch W A B V I L R σ L B P L = k L R F e Messung: B = 30 V, = 040 V, I = I L = 0,83 A, P L = 8 W Bei Leerlauf: P L P F e B R F e B = 450 Ω R F e Scheinleistung: S L = I = 00 VA Blindleistung: Q L = S L P L = 6 var B L = B Q L =, H Spannungsübersetzung: ü = B = 0, = 8,9 X M P L = B L Im Leerlaufversuch werden die Elemente des Querzweiges bestimmt. 7.3.b Kurzschlußversuch W A I B V R I B K σ L P K = σ L R I Messung: I B = 5 A, K = 4,5 V, P = 07 W, I =,66 A P K P Cu = I K (R + R ) R + R = P K I K = P K I K = 0,5 Ω Bei gleichem Wickelraum gilt R = R = 0,5 Ω (gemessen: 0,9 Ω) R = R ü = 8,9 Ω (gemessen: 4,5 Ω) Stromübersetzung: ü = I I B = 0, = 9,0 Scheinleistung: S K = K I B = 4,5 V 5 A = 8 VA 44

49 Blindleistung: Q K = S K P K = 90 var Q K I B X σ = I B σl X σ = Q K I B = 0,84 Ω σl = Q K I B =,7 mh Im Kurzschlußversuch werden die Elemente des Längszweiges bestimmt. L =, H, L = L ü = 83 H, M = L = 9,6 H, ü σl =,7 mh σ =,5 0 3 k = σ = 0, Signalübertrager: Frequenzverhalten R M R jσl k ü I G G jk L R R verlustfrei Annahme: R = R = (k ü) R (Anpassung) gesucht: Frequenzgänge und Ortskurve von G G(j) = = = G kü G kü = kü Koeffizientenvergleich A( + jϱv) = kü O 0 : A = + σ k O : R jk L R + jσl + R jk = L kü ( ( )) A + jϱ 0 0 σl R O 3O: A ϱ = σ k = σ ϱ = σ σ A σ 3O O : 0 = R k σl = R ( σ)σl R σl Ortskurve + σ k + jσl R + R jk L = Aϱ 0 3O : R k L = A ϱ 0 σ ϱ = Re (G(j)) u 0 Re (G(j)) ob 45

50 7.4.a Grenzfrequenzen u und ob liegen weit auseinander. Näherung. untere Grenzfrequenz u obere Grenzfrequenz ob R u k L ob σl R u = R L ob = R σl R R L G k L R = R G R = R bestimmt durch Querglied bestimmt durch Längsglied ob u = R σl = 0 ob u = 4 σ 46

51 Kapitel 8 Periodische Signale und Netzwerke bei periodischer Erregung 8. Periodische Signale 8..a Definition: periodisches Signal y(t) T Für alle t < t < t + T gilt T t y(t + kt ) = y(t), k = 0, ±, ±,... T : Periodendauer, f = T, = πf Bezeichnung: t +T t y(t) dt = T 0 y(t) dt = (T ) y(t) dt, unabhängig von t. 8..b Signalkenngrößen. (arithmetischer) Mittelwert, Gleichanteil Messung: Y 0 = y(t) = y(t) dt (a) Multimeter mit Einstellung DC T (T ) (b) Tiefpassfilter. Signalleistung i(t) u(t) p(t) = i(t) u(t) = u (t) R = i (t) R mittlere Leistung: P = p(t) dt = p(t) = u (t) dt = R T R T T (T ) (T ) (T ) i (t) dt 47

52 Verallgemeinerung: T (T ) y (t) dt = y (t) = P Def.: Signalleistung { V wenn y(t) = u(t) quadratischer Mittelwert (mean squared value): [P ] = A wenn y(t) = i(t) Messung: y(t) y (t) TP P = y (t) 3. Effektivwert (Root mean square value, RMS) Effektivwert = Wert einer leistungsäquivalenten Größe i R = R i (t) dt i = T T (T ) Y = y (t) = T (T ) i (t) dt (T ) i (t) dt Def.: Effektivwert Messung: (True RMS-value measurement) y(t) y (t) TP y (t) y (t) 4. Gleichrichtwert Y Gl = y(t) = T y(t) dt y(t) y(t) TP y(t) (T ) Meßgerät mit Meßgleichrichter 8. Spektraldarstellung periodischer Signale 8..a Fourierentwicklung N N y(t) = Y 0 + Ŷ n cos(n 0 t + ϕ n ) = Y 0 + A n cos nt + B n cos nt + e(t) n= n= Ŷ n e jϕn = A n jb n Approximationsproblem: Fehler: E N = e (t) dt min(a n, b n, Y 0, n =,,..., N) T (T ) 48

53 Y 0 = T y(t) dt, A n = T y(t) cos n 0 t dt, B n = T y(t) sin n 0 t dt (T ) (T ) (T ) 8..b Amplituden- und Phasenspektrum Ŷ n ϕ n ϕ ϕ 3 ϕ 4 Ŷ 0 Ŷ Ŷ Ŷ 3 Ŷ 4 ϕ n Amplitudenspektrum n ϕ Phasenspektrum 8..c Kenngrößen periodischer Signale im Frequenzbereich. Mittelwert Y 0 = y(t) dt T (T ). Signalleistung P = T = T T (T ) (T ) (T ) y (t) dt = T n= (T ) ( Y 0 + ) ( Ŷ n cos n( 0 t + ϕ n ) Y 0 + n= Y 0 + Y 0 Ŷ n cos(n 0 t + ϕ n ) + cos(n 0 t + ϕ n ) dt = 0, T (T ) P = Y 0 + n= m= ) Ŷ m cos m( 0 t + ϕ m ) dt m= Ŷ n Ŷ m cos(n 0 t + ϕ n ) cos(m 0 t + ϕ m )) dt { 0 n m cos(n 0 t + ϕ n ) cos(m 0 t + ϕ m ) dt = n = m n= Ŷ n = Y 0 + n= Y n Signalleistung = Gleichleistung + Leistung der Harmonischen 3. Effektivwert Y = P = y (t) = Y0 + n= Y n 49

54 4. Klirrfaktor k = n= k Effektivwert der Summe der Oberwellen Effektivwert Y n Y n n= = Y Y Y Y = Y n = Y n Y 8.3 Reaktion von Netzwerken auf periodische Signale 8.3.a Grundprinzip Die Reaktionen des Netzwerkes auf die einzelnen Harmonischen überlagern sich bei linearen Netzwerken ohne gegenseitige Beeinflussung. Rechenverfahren. Zerlegung des Signals in Harmonische (Fourier-Analyse). Berechnung der Netzwerkreaktion auf jede Harmonische 3. Addition der Teilreaktionen aus.. Beispiel n= R u (t) C. Fourierreihe für u (t) u (t) = Û u (t) u (t) Û T t ( + ( cos t cos 3 t + cos 5 )) t + π 3 5. Berechnung der Netzwerkreaktion auf jede Harmonische = π T (a) Übertragungsfaktor des Filters G(j) = = (b) Berechnung der Teilreaktionen + jτ = + (τ) ejϕ, ϕ() = arctan τ τ = RC u (t) = Û + Û cos t π G(0) G(j ) u (t) = Û + Û π + ( τ) cos( t + ϕ( )) Û 3π cos 3 t + 3) Û 3π + (3 τ) cos(3 t + ϕ(3 )) 50

55 Kapitel 9 Schaltvorgänge 9. Zustandgleichungen Die Zustandsgleichungen eines Netzwerkes sind ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Variablen in den Differentialgleichungen (Zustandsvariablen) sind die Ströme durch die Induktivitäten und die Spannungen an den Kapazitäten des Netzwerkes. Es gibt so viele Zustandsgleichungen, wie das Netzwerk unabhängige Energiespeicher (L, C) enthält. 9..a Algorithmus zur Ableitung der Zustandgleichungen aus einem Netzwerk gegeben: Netzwerk gesucht: DGLn für alle Ströme durch die Induktivitäten und Spannungen an den Kapazitäten (Zustandsgleichungen) i L L u L i(t) C R L i C u C R C. Schritt Ersetzen aller ˆ Induktivitäten durch Stromquellen und ˆ Kapazitäten durch Spannunsgquellen Ergebnis: Gleichstromnetzwerk i L i u C L i(t) u C R L R C. Schritt Berechnung der Spannungen an den Induktivitäten und Ströme durch die Kapazitäten durch Gleichstromanalyse Ergebnis: Algebraisches Gleichungssystem 3. Schritt Einführung der u-i-relationen i c = C du C dt und u L = L di L dt für alle L und C auf den linken Seiten der Gleichungen Ergebnis: DGL-System u L = i L R L + u C () i C = i L u C R C + i () L di L dt = i L R L + u C () C du C dt = i L u C R C + i () 5

56 9..b Anwendungsbeispiel: Transistorschalter mit induktiver Last 0 L R Ersatzschaltung: i L i(t) u(t) ur 0 gegeben: i(t) = { I0 0 t T 0 sonst = I 0 (s(t) s(t T )), gesucht: u(t) I(s) = I 0 s ( e st ), u L = u R = i R R, i R = i i L u L = (i i R ) R L di L dt = (i i L) R L di L dt + i L R = i R, mit τ = L R : τ di L dt + i L = i mit i L (0) = 0 L τ(i L s i L (0)) + I L = I = I 0 s ( e st ) ( sτ) I L = I 0 s ( e st ) I L (s) = I 0 s(+sτ) I 0 s(+sτ) e st i L (t) = I 0 ( e t τ L ) ( ) I 0 e t T τ s(t T ) 0 ) t < 0 i L (t) = I 0 ( e t τ 0 < t < T i 0 (e T ) τ e t τ T t 0 t < 0 L I 0 u L (t) = τ e t τ ( ) 0 t < T e T τ e t τ T t L I 0 τ u(t) = 0 u L (t) 5