2 Geometrie L 32. Thema: Ballspiele Üben Wiederholen Test

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1 2 Geometrie Übersicht 1 Kreis 2 Winkel 3 Achsensymmetrie 4 Punktsymmetrie Thema: Kirchenfenster 5 Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks (Wiederholung) Thema: Ballspiele Üben Wiederholen Test Aufbau und Intentionen des Kapitels Das Kapitel 2 Geometrie bezieht sich schwerpunktmäßig auf den Bereich Geometrie. Es behandelt Lerninhalte für den Kompetenzerwerb in den Bereichen: das Grundprinzip des Messens nutzen, insbesondere bei der Winkelmessung Winkel schätzen, messen und zeichnen Figuren und Muster zeichnen Formen in der Umwelt und in der Kunst entdecken, identifizieren und klassifizieren Viele im Kernlehrplan aufgeführte didaktische Hinweise und Prinzipien werden im Kapitel 2 Geometrie berücksichtigt: Neben der Vermittlung grundlegender Kenntnisse und Zeichenfertigkeiten über Kreise, Winkel und Kongruenzabbildungen lernen die Schülerinnen und Schüler neue Messinstrumente kennen und nutzen. Die gesamte Lerneinheit bietet sich zur Förderung der ästhetischen und kreativen Seiten der Mathematik an. Der Zugang zum Thema kann immer wieder über Phänomene der Natur, Kunst oder Technik gewählt werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen immer wieder über Mathematik ins Gespräch kommen, ihre Ideen selbst entwickeln und austauschen sowie Problemstellungen kooperativ bearbeiten. Um die Größenvorstellungen weiter auszubauen, werden die Kinder immer wieder vor dem Messen zum Schätzen aufgefordert. Aus der Grundschule ist den Kindern der Kreis bekannt, sie haben den Kreis von anderen Figuren unterschieden, ihn ggf. mithilfe eines Tellers oder mit einem Faden gezeichnet. Außerdem haben die Schülerinnen und Schüler Figuren durch Falten oder mithilfe eines Spiegels auf Achsensymmetrie überprüft und einfache achsensymmetrische Figuren gezeichnet. Die Drehsymmetrie kann als Anwendung des Winkelmessens betrachtet werden, da das Winkelmessen dabei geübt und angewendet wird. Werkzeugkasten Für die Bearbeitung dieses Kapitels sollte jede Schülerin und jeder Schüler ein Geodreieck, einen funktionierenden Zirkel und eine Schere in der Schultasche haben. Außerdem werden ein Tafelgeodreieck und ein Tafelzirkel benötigt. Für alle Kinder sollte farbiges Papier und Transparentpapier zur Verfügung stehen. Ein Spiegel kann für die achsensymmetrischen Figuren hilfreich sein. L 32

2 Rund um den Sport Denkt man an die Begriffe Sport und rund, so kommen einem immer zuerst Bälle in den Sinn. Sofort denkt man an Handball, Fußball, Basketball, Tennis, Wasserball, den Puck beim Eishockey usw. In diesem Kapitel geht es jedoch nicht um Körper, Kugeln und Bälle, sondern um Kreise im Sport. Auf die Frage, wo Kreise im Sport vorkommen, haben die meisten Schülerinnen und Schüler sofort eine Antwort: Auf dem Fußball-, dem Handball- und dem Eishockeyfeld, als Löcher einer Torwand, als Ringe des Basketballkorbs, als Reifen beim Turnen und olympische Ringe auf der Fahne usw. Sucht man Teile vom Kreis, sogenannte Winkelfelder, wird es gleich schwieriger. Diese Wurfsektoren findet man z. B. bei Wurfsportarten, bei denen die Weite gemessen wird. Der Abwurfbereich beim Hammerwerfen ist ein Winkelfeld, der Bereich, in dem das Wurfgeschoss landet, kann wie bei der Speerwurfanlage auf Seite 32 oben, mit einem Winkel und den Wurfweiten angegeben werden. Beispiele hierfür findet man auf den Auftaktseiten. Neben dem Speerwerfen haben auch das Hammer-, das Diskuswerfen und das Kugelstoßen solche Wurfsektoren. Letzteres ist den Schülerinnen und Schülern von den Bundesjugendspielen bekannt. Weiteres Angebot: Bunte Kreise Auch ohne Kreise mit dem Zirkel zeichnen zu können und sich mit Achsen- und Drehsymmetrie genau auszukennen, kann man mit den Kindern einige Übungen vorweg durchführen. Jede Schülerin und jeder Schüler erhält vier gleich große Kreise zum Ausschneiden auf unterschiedlich farbigem Papier, z. B. in blau, gelb, rot und grün. Damit die Kreise gut handhabbar sind, sollten die Durchmesser mindestens 12 cm groß sein. Nun werden die Kinder aufgefordert, die Kreise durch Falten zu teilen: den blauen Kreis in Viertelkreise, den roten in Achtel, den gelben und grünen Kreis in Sechstel. Aus diesen Kreisteilen sollen die Kinder nun wieder bunte Kreise zusammensetzen. a) Bilde Kreise mit zwei Farben. b) Bilde Kreise mit drei Farben. c) Bilde Kreise mit allen Farben. Lösung: Wer die Möglichkeit hat, kann die Schülerinnen und Schüler die Wurfanlagen ausmessen und eine Skizze dazu zeichnen lassen. Eine Skizze für eine Hammerwurfanlage kann so aussehen: m 35 m 40 m 45 m 50 m max. 70 m 55 m 60 m 65 m 70 m Bei dieser Aufgabe stellen die Kinder fest, dass sich nicht beliebige Kreisteile für einen Kreis verwenden SE _G_K02_037_02.eps lassen. Außerdem setzen sie die Sechstelkreise häufig zu achsen- oder drehsymmetrischen Kreisen zusammen. Auf diese Kreise und ihre Eigenschaften kann man während des Kapitels immer wieder zu sprechen kommen. SE _G_K02_037_01.eps L 33

3 1 Kreis In dieser Lerneinheit lernen die Schülerinnen und Schüler die Begriffe Radius, Durchmesser, Kreis und Kreislinie kennen. Sie lernen außerdem den richtigen Umgang mit dem Zirkel und die Bedeutung des Kreises in der Umwelt. Einstieg Die meisten Schülerinnen und Schüler kennen eine Torwand aus dem Sportunterricht oder ihrer Freizeit. Im Unterrichtsgespräch werden die Balldurchmesser und der Lochdurchmesser in der Torwand verglichen. Impulse Ein Klassenzimmer ist etwa 7 m bis 10 m breit bzw. lang. Mithilfe der Tafel und des Abstandes vom Schützen zur Tafel können sich die Kinder die Größe einer solchen Torwand gut vorstellen. Die Torwand ist etwas breiter als die nicht aufgeklappte Tafel und fast doppelt so hoch. Bei diesem Impuls wird bereits mit den ersten Begriffen gearbeitet. Die Kinder fragen sich, ob der Umfang, der Durchmesser oder der Radius gemeint ist. Wie kann der Durchmesser ohne dass der Mittelpunkt bekannt ist bei einem Loch bzw. einem Kreis gefunden werden? (Dafür kann man zwei möglichst lange sich schneidende Strecken in einen Kreis zeichnen oder ein kreisförmiges Blatt Papier zweimal zur Hälfte falten.) Wichtig ist, dass die Kinder die Gelegenheit erhalten, ihre Vermutungen zu äußern und ihre Behauptungen zu erläutern. Misst man den Durchmesser der Torwand, so können nur Bälle mit einem Durchmesser kleiner als 1 cm durchpassen, also der Tennis-, der Volley- und der Fußball. Normale Fußbälle haben einen Durchmesser von 22 cm (Größe 5), Jugendfußbälle 21 cm (Größe 4). Um die Größenvorstellungen zu schulen, erstellen die Schülerinnen und Schüler zunächst eine Skizze des Torwandlochs und eines Fußballs. Anschließend wird ein Fußball auf Karton in Gruppen skizziert, wobei das Problem des Durchmessers und des Mittelpunktes auftritt. Die Schülerinnen und Schüler sind verblüfft, wie viel Platz der Fußball im Torwandloch hat, obwohl es so schwierig ist, das Loch zu treffen. Merkkasten Hier sind die wichtigen Grundbegriffe rund um den Kreis aufgeführt. Es ist darauf zu achten, dass die Kreisfläche und die Kreislinie bzw. der Radius und der Durchmesser nicht verwechselt werden. Es ist hilfreich, bei jedem gezeichneten Kreis den Mittelpunkt zu markieren, da dies häufig vergessen wird. Mit Kreis ist die Kreisfläche gemeint. Weiter geht s Die Kreise haben einen Durchmesser von 2 cm und 3 cm. Der Radius beträgt jeweils 1 cm und 1,5 cm, also die Hälfte. Wichtig ist zu versprachlichen, was ein Radius ausdrückt: Alle unendlich vielen Punkte auf der Kreislinie sind gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Dieser Abstand ist der Radius. Auf diesen Abstand müssen die Kinder ihren Zirkel beim Zeichnen einstellen. Hier ist Kreativität gefragt: Wie findet man bei einem Kreis, der ohne Zirkel gezeichnet wurde, überhaupt den Mittelpunkt? Man kann den Kreis ausschneiden und zweimal zur Hälfte falten oder man zeichnet zwei sich schneidende Durchmesser ein. Der Schnittpunkt stellt jeweils den Mittelpunkt dar. Hat man den Mittelpunkt gefunden, zeichnet man Radius und Durchmesser ein, dabei werden die Begriffe gefestigt. Der Kreis ist eine sehr harmonische Form und stellt für viele das Idealbild einer Figur dar. Der Kreis kommt in nahezu allen Lebensbereichen vor. Die Schülerinnen und Schüler entdecken Kreise auch an verschiedenen Körpern. Die Beschreibung könnte lauten: Einen Kreis zeige ich, indem ich ein Glas umfahre. Um Kreise zu finden, kann man viele Dinge betrachten: Glasbehälter wie Becher und Flasche, Blumentopf, Teller, Schlüssel, Ohrring, Ring und Armreif Kreise in der Technik: Zifferblatt einer Uhr, Rad, Schraube, Unterlegscheibe oder Rohr, Verkehrszeichen, Fenster, Tisch, Teppich und Kreisverkehr. Kreise im Sport: Ball; Diskus; Ringe, auf dem Fußball-, Handball- oder Basketballfeld und am Basketballkorb. L 34

4 Aufgaben 1 Bei dieser Aufgabe müssen die Schülerinnen und Schüler gut zusammenarbeiten, um einen Kreis zu erhalten, der wirklich rund ist und überall den gleichen Radius hat. Sobald die Spannung vom Mittelpunkt zur Kreislinie nachlässt, stimmt der Radius nicht mehr. Im Sinne des entdeckenden Lernens sollte der Arbeitsauftrag zunächst ohne Blick in das Schülerbuch erteilt werden, damit die Kinder selbst überlegen, wie sie Kreise herstellen können. Ein geeigneter Radius ist 1 m. 2 Beim ersten Zeichnen von Kreisen mit dem Zirkel ist auf das vorherige Markieren des Mittelpunktes durch ein Kreuzchen zu achten. Die Schülerinnen und Schüler sollen auch hier ausformulieren, dass der Durchmesser eines Kreises doppelt so lang ist wie sein Radius. Die Kinder halten im Heft fest, welche Kreise sie leicht zeichnen konnten und welche schwer zu zeichnen sind. Stehen die Zirkelschenkel sehr nah zusammen oder sehr weit auseinander, so fällt das Zeichnen schwer. 6 Um die Kreise unterscheiden zu können, sind die Kinder gezwungen, verschieden große Kreise zu zeichnen. Auch hier können die Kinder versuchen ein schönes Muster zu zeichnen, dabei sind häufig die Radien gleichmäßig um 1 cm oder 2 cm erhöht. 7 a) Bei dieser Zeichnung ist es hilfreich, den Kreisen zunächst ihre Mittelpunkte zuzuordnen. b) Diese Zeichenübung ist schwieriger, da nicht alle Kreismittelpunkte auf den Gitterpunkten des Karos liegen und manche Kreise unvollständig sind. c) Zu den individuellen Ergebnissen der Kinder können auch die lustigen Gesichter von Aufgabe 4 für die Ausstellung verwendet werden. 8 Randspalte Beim Zeichnen eines Kreises wird der Radius mithilfe des Geodreiecks eingestellt. Beide Zirkelschenkel stehen senkrecht zum Papier und sind nicht abgeknickt. Mine und Nadel haben die gleiche Länge, die abgeschrägte Seite der Mine zeigt nach außen. 3 a) Die Kinder können die Qualität ihrer Zeichnung selbst beurteilen, da der Kreis die Gitterpunkte des Heftkaros je viermal schneiden sollte. b) Der Durchmesser des großen Kreises beträgt 4 cm (Radius = 2 cm). Der Durchmesser des kleinen Kreises beträgt 3 cm (Radius = 1,5 cm). 4 Es sollte auf weißes Papier gezeichnet werden. Bei dieser Übung ist der kreative Umgang mit dem Zirkel gefragt. Da beim Zeichnen des Gesichts Symmetrien vorteilhaft sind, hilft es manchen Kindern das Gesicht in der Mitte zu falten und den Zirkel durch das Papier zu stechen. So liegen die Mittelpunkte z. B. beider Augen auf einer Höhe. Schnellere Schülerinnen und Schüler können ihr Gesicht ausschmücken. SE _G_K02_039_01.eps 9 a) Der Radius des Kreises ist kleiner als 3,5 cm. b) Der Radius des Kreises ist so groß wie eine halbe Diagonale des Quadrats, also knapp 5 cm. Der Mittelpunkt wird vom Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats gebildet. c) Der Mittelpunkt dieses Kreises ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats, der Radius beträgt 3,5 cm. d) Die Teilaufgaben a) und b) sind lösbar. Teilaufgabe c) ist nicht lösbar, da sich kein Punkt finden lässt, der zu allen Seiten des Recktecks den gleichen Abstand hat. 5 Auf eine Darstellung wird aus Platzgründen verzichtet. Den Schülerinnen und Schülern fällt auf, dass der erste Kreis der Teilaufgabe a) und der zweite Kreis der Teilaufgabe b) gleich groß sind. L 35

5 10 Radius r Durchmesser d a) 9 cm 18 cm b) 4,3 cm 8,6 cm c) 1,25 cm 2,5 cm d) 0,5 km 1 km e) 2 1_ 2 cm 5 cm 11 a) und b) c) w Die Schülerinnen und Schüler können in Sachbüchern oder Lexika nachschlagen oder mittels einer SE _G_K02_040_01.eps Suchmaschine wie im Internet recherchieren. Das olympische Symbol wurde 1913 von Pierre de Coubertin entworfen. Das Symbol besteht aus fünf verschlungenen Ringen in den Farben Blau, Gelb, Schwarz, Grün und Rot (von links nach rechts). Die sechste Farbe ist Weiß für den Hintergrund. Dieses Olympiasymbol steht für die fünf Erdteile, die in der olympischen Bewegung vereint sind. Die sechs Farben entsprechen denen Farben, die für alle heutigen Nationalflaggen verwendet werden. Die Farben der Ringe stehen nicht für die Kontinente, sondern für mindestens eine Farbe der Nationalflagge aller teilnehmenden Nationen. 12 Die offiziellen Angaben für die Durchmesser der Euromünzen lauten: Münze Durchmesser Radius 2 25,75 mm ca. 13 mm 1 23,25 mm ca. 11,5 mm 50 ct 24,25 mm ca. 12 mm 20 ct 22,25 mm ca. 11 mm 10 ct 19,75 mm ca. 10 mm 5 ct 21,25 mm ca. 10,5 mm 2 ct 18,75 mm ca. 9,5 mm 1 ct 16,25 mm ca. 8 mm 13 Wenn die Erde durch einen Kreis mit dem Durchmesser 2 cm dargestellt wird, muss der Saturn ein Kreis mit 18 cm Durchmesser sein. 14 a) und b) Die Kreismittelpunkte sind vorgegeben; dies hilft den Schülerinnen und Schülern die Kreismuster zu zeichnen. Beim Einstellen der Zirkel verwechseln die Kinder immer wieder Radius und Durchmesser. c) Zur Orientierung kann hier zunächst ein Quadrat mit der Seitenlänge 6 cm gezeichnet werden. Die oberen zwei Eckpunkte dieses Quadrats bilden die Mittelpunkte der zwei Dreiviertelkreise und die unteren Eckpunkte bilden die Mittelpunkte der zwei Viertelkreise. d) Diese Aufgabe erfordert einiges Konstruktionsgeschick. Zunächst wird ein Dreieck mit den vier markierten Punkten gezeichnet. Um den mittleren rechten Punkt wird ein Halbkreis mit dem Radius 2 cm gezeichnet und auf dem mittleren Punkt links ein Viertelkreis mit dem Radius 1 cm, der die Endpunkte der verlängerten Dreieckseiten verbindet. Die beiden Teilkreise um den obersten und den untersten Punkt haben den Radius 4 cm; sie schließen das Ei. Trainingsmatte Die Trainingsmatte wiederholt die Inhalte von Kapitel 1 Dezimalzahlen. 1 Schreib- und Sprechweisen werden geübt. 2 Bei Teilaufgabe b) wird eine der Maßeinheiten vor dem Vergleichen umgewandelt. 3 Beim Runden ist die Unterscheidung zwischen der Stelle, auf die gerundet wird hier die Hunderterstelle und der Stelle rechts davon wichtig. 4 Die Zahlen werden am Komma ausgerichtet. Die Lösungen zur Trainingsmatte findet man im Schülerbuch auf der Seite 135. L 36

6 2 Winkel In dieser Lerneinheit lernen die Kinder die Begriffe Winkel, Schenkel und Scheitelpunkt kennen. Außerdem lernen sie das Messen und Zeichnen von Winkeln, verschiedene Winkelarten sowie die Winkelscheibe als Messinstrument kennen. Dabei steht immer der direkte Bezug zur Umwelt, Handlungsorientierung und die Entwicklung einer Vorstellung für Winkelgrößen im Vordergrund. Einstieg Kugelstoßen kennen die Schülerinnen und Schüler aus dem eigenen Sportunterricht und aus dem Fernsehen. Unter dem Begriff Stoßkreis können sich nicht alle Kinder etwas vorstellen. Mithilfe des Fotos und der Grafik auf der Randspalte wird im Unterrichtsgespräch erarbeitet, was ein Stoßkreis ist und wo man einen Winkel von 65 Grad (65 ) finden kann. Impulse Die Schultasche eines Kindes sollte 1 _ 10 seines Körpergewichtes nicht überschreiten, also leichter als 7,257 kg sein. Es ist leider häufig festzustellen, dass viele der Taschen 7 kg oder mehr wiegen. Die Schülerinnen und Schüler staunen, dass ein so schwerer Gegenstand so weit gestoßen werden kann. (Der aktuelle Weltrekord von Randy Barnes, USA liegt immer noch bei 23,12 m, die er am gestoßen hat. Stand Sommer 2006.) Die Begrenzungslinien des Stoßfeldes entsprechen den Schenkeln eines Winkels. Sie beginnen im markierten Mittelpunkt des Kreises auf der Randspalte, also im Scheitelpunkt. Randspalte Üblich ist die Bezeichnung der Winkel mit griechischen Buchstaben. Merkkasten Die beiden Schenkel eines Winkels entsprechen zwei Halbgeraden. Bei einem Winkel kann man das innere von den Schenkeln eingeschlossene und das äußere Winkelfeld betrachten. Zusammen ergeben beide Winkel 360. Eine erste Erkenntnis ist, dass die Winkelgröße von der Schenkellänge unabhängig ist. Zur Verdeutlichung dient ein Zollstock, bei ihm können die Winkelschenkel verlängert werden, ohne die Winkelgröße zu verändern. Man unterscheidet den dynamischen und den statischen Winkel: Beim dynamischen Winkelbegriff entsteht der Winkel durch die Drehung eines frei beweglichen Strahls um den Scheitelpunkt. Die vom Strahl überschrittene Fläche ist das Winkelfeld, dessen Drehbetrag die Größe in Grad angibt. Der Drehsinn ist für die Auswahl der richtigen Skala auf dem Geodreieck entscheidend. Beim statischen Winkelbegriff entstehen Winkel durch das Schneiden zweier Geraden. Jeweils zwei Geradenabschnitte begrenzen einen Winkel. Diese Auffassung hat für die Schülerinnen und Schüler größere Bedeutung, da sie häufiger in der Anwendungsund Konstruktionsphase vorkommt. Weiter geht s Es entstehen vier paarweise gleich große Winkel, die alle zusammen 360 groß sind (statischer Winkelbegriff ). Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, beliebige Winkel zu falten. Um vier gleich große Winkel zu falten, muss man vier rechte Winkel falten, da 360 : 4 = 90. Die Schülerinnen und Schüler können die Winkel zur Übung mit griechischen Buchstaben bezeichnen. Mit zwei Stiften als Schenkel können unendlich viele Winkel gelegt werden (dynamischer Winkelbegriff ). Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass die Winkelgröße nicht von der Schenkellänge abhängt. Immer wenn zwei Flächen aneinander stoßen, entstehen Winkel, z. B. bei Möbeln, Wänden, Lampen, Heften und Büchern. Schwierig ist es, Winkel zu finden, die keine rechten Winkel sind. SE _G_K02_041_01.eps L 37

7 Aufgaben Randspalte Mit einem Zollstock oder einem selbstgebauten Winkelmesser aus Papier können Winkel verglichen werden. Ist der zweitgemessene Winkel größer als der erste, müssen die Schenkel auseinander gezogen werden. Dabei ist die Länge der Schenkel für die Winkelgröße unerheblich. 6 Beim Vorlesen dieser Aufgabe werden auch die Begriffe für die Winkelbezeichnungen geübt. a) a < b b) a < c c) b = c d) b < d e) c < d f) d > a 7 Färbt man die Winkel über die Teilaufgaben hinweg einheitlich, so benötigt man sieben verschiedene Farben, da es acht verschieden große Winkel gibt. 1 Wichtig ist die Erkenntnis, dass dort wo zwei Flächen aufeinander treffen Winkel entstehen. Die Kinder legen beide Schenkel der Winkel nach und verwenden dabei die Begriffe Scheitelpunkt und Schenkel. Haben die Kinder erkannt, dass der Winkel, der am häufigsten auftaucht, der 90 -Winkel der rechte Winkel ist, können sie Winkel suchen, die von ihm abweichen. 2 Die Kinder vergleichen die abgebildeten Winkel mit dem rechten Winkel eines Blatts. Papier mit runden Ecken ist hier daher ungeeignet. Die Winkel a und c sind kleiner als 90, der Winkel b ist größer als 90 und d ist ein rechter Winkel. 3 Viele Kinder vermuten, dass auch gleich große Winkel in unterschiedlichen Lagen verschieden groß sind, z. B. alle Winkel sind 30 groß. SE _G_K02_042_02.eps 8 Bei dieser Aufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass die Größe des Winkels mit zunehmender Zeitdauer steigt. Dies kann sehr leicht an einer Uhr oder mittels einer Winkelscheibe verdeutlicht werden. _ a) Der Winkel für 1 2 Stunde beträgt 180 und ist somit größer. b) Die Zeitspanne von Uhr bis 0.15 Uhr beträgt 40 Minuten, der Winkel beträgt 240. Daher ist der _ Winkel 270 für eine 3 4 Stunde größer. 9 Der Winkel mit dem Scheitelpunkt D ist größer. 4 Der größte Winkel ist a = 124, es folgen die Winkel d = 107 ; c = 66 und b = SE _G_K02_042_01.eps Die Zeiger gehen von einem Scheitelpunkt aus, der am Schnittpunkt der beiden Schenkel liegt und bilden den Winkel. Da die Schenkel sehr klein sind, kann man sie zum Ablesen mithilfe eines angelegten Blatt Papiers verlängern. Den kleinsten Winkel bildet der Tankanzeiger mit 62, gefolgt von Drehzahlmesser mit 101 und dem Tachometer mit 148. SE _G_K02_042_03.eps L 38

8 Information Messen von Winkeln Es ist aus didaktischer Sicht sinnvoll, zunächst Winkel zu messen und sie dann zu zeichnen. Erfahrungsgemäß haben die Schülerinnen und Schüler mit beidem Probleme, die häufigsten Fehler sind: Das falsche Winkelfeld wird betrachet. Die falsche Skala auf dem Geodreieck wird verwendet. Die Größe eines Winkels wird in Abhängigkeit zur Schenkellänge interpretiert. Entscheidend beim Messen und Zeichnen ist, dass der Nullpunkt des Geodreiecks immer auf dem Scheitelpunkt des Winkels und die Zentimeterskala auf einem der Schenkel liegt. Wird der Winkel vom Geodreieck so bedeckt, kann er bis 180 sofort abgelesen werden. Häufig muss dafür der zweite Schenkel verlängert werden, weil er nicht über das Geodreieck hinausragt. Winkel, die größer als 180 sind, werden hier nicht betrachtet, können aber trotzdem erwähnt werden. 10 Winkel a = 28 ; Winkel b = Zur Schulung von Größenvorstellungen schätzen die Partner zunächst die Größe der von ihnen gezeichneten Winkel. Wer am besten schätzt, erhält einen Punkt. So erhält die Aufgabe zusätzlich einen spielerischen Charakter. Beim Zeichnen und Vergleichen soll über beide Mess- und Zeichenvarianten gesprochen werden. Die Kinder üben das exakte Messen von Winkeln und diskutieren, wer richtig misst. Eine anschließende Übung könnte sein: Wer zeichnet einen 60 -Winkel mit dem Lineal ohne die Skala des Geodreiecks am genauesten? 12 a) Bei dieser Aufgabe werden die Winkelgrößen mithilfe der Kästchen geschätzt. Die Tatsache, dass b in die entgegengesetzte Richtung gezeichnet ist, ist für viele Kinder verwirrend. Schülerinnen und Schüler lassen sich durch die Veränderung der Lage von Winkeln leicht verunsichern. Diese unterschiedlichen Darstellungformen sollten immer wieder vorkommen. b) a ist halb so groß wie ein rechter Winkel, a = 45 ; b liegt zwischen a und 90, gemessen ist b = a) a = 82 ; b = 82 ; c = 98 ; d = 98 b) a = 23 ; b = 82 ; c = 75 Beim Zeichnen kann das Geodreieck auch bis zur entsprechenden Winkelgröße gedreht werden, um den SE _G_K02_043_01.eps Winkel in einem Schritt zu zeichnen. Dies sollten die Kinder durch Ausprobieren selbst erkennen. Wer im Umgang mit dem Geodreieck sicher ist, wird alle Winkel richtig messen und zeichnen. Im heutigen Vermessungswesen wird der Vollwinkel mit 400 Gon (statt Grad) gemessen und damit an das Dezimalsystem angepasst. Ein rechter Winkel hat also entsprechend 100 Gon. 14 Auf eine Darstellung wird aus Platzgründen verzichtet. Auch hier kann zunächst eine Winkelskizze als Schätzübung gefordert werden. Zur Kontrolle können die Winkel ausgeschnitten und verglichen werden. Z. B. durch Falten eines 60 -Winkels erhält man einen 30 -Winkel, oder = Bei den letzten Teilaufgaben e) und f) erkennen die Kinder, dass der Minutenzeiger in einer Stunde, also in 60 Minuten, einen Vollwinkel, also 360, bildet. Werden 360 durch 60 geteilt, erkennt man, dass der Zeiger in einer Minute 6 überschreitet. Da diese Aufgabe ein Beispiel für den dynamischen Winkelbegriff ist (vgl. auch Seite L 37), bietet sich ein Uhrenmodell an. Mithilfe des Modells können die Begriffe Scheitelpunkt, Schenkel und Winkelfeld wiederholt werden. a) 90 b) 180 c) 30 d) 60 e) 360 f) 6 L 39

9 Winkelscheibe Basteln Die Winkelscheibe ist ähnlich wie eine Bruchscheibe aufgebaut und wird den Schülerinnen und Schülern daher bekannt bzw. leicht verständlich sein. Der Radius sollte wie angegeben 9 cm betragen, da so die Schenkel hinter dem Geodreieck herausschauen und das Ablesen des Winkels erleichtern. Der Radius der Gradskala beträgt auf den meisten Geodreiecken 5 cm. Die Winkelscheiben sind zusammen mit dem Geodreieck hervorragende Mess- und Kontrollinstrumente für das Schätzen, Messen und Vergleichen von Winkelgrößen. Da das Schätzen und das anschließende Überprüfen einer Winkelgröße von großer Bedeutung ist, sollten die Schülerinnen und Schüler über einen Zeitraum von zwei Wochen täglich einen Winkel nach Gradvorgabe mithilfe der Winkelscheibe einstellen oder einen eingestellten Winkel schätzen. 1 Bei dieser Aufgabe erfolgt die Kontrolle gegenseitig, oder alle halten ihre eingestellten Winkel hoch und vergleichen dann im Klassenverband. 16 a) Die drei Winkel dieser Teilaufgabe werden nacheinander ohne Winkelmesser gezeichnet, bevor sie nachgemessen werden. So erkennen die Schülerinnen und Schüler Beziehungen zwischen Winkelgrößen. Dabei entwickeln sie Strategien, z. B. 30 sind ein Drittel von 90. Man könnte auf die Idee kommen, den Winkel einer Papierecke zu dritteln. Um 60 zu erhalten, wird dieser verdoppelt. Der 100 -Winkel ist etwas größer als der rechte Winkel. b) Die Kinder sollen erkennen, dass es hier mehrere sogar unendlich viele mögliche Winkel gibt. c) Bei dieser Teilaufgabe geht es darum, Winkelgrößen möglichst genau zu schätzen. Dabei dienen die bekannten Winkel 90 und 45 als Vergleichsgröße. 17 Für das Lösen der Aufgabe ist unliniertes Papier notwendig, da sonst entlang der Kästchen oder Linien gezeichnet wird. Da den Kindern aus dem letzten Schuljahr parallele Linien bekannt sind, können sie die Genauigkeit ihrer Zeichnung mithilfe der Parallelität überprüfen. 2 Die von der Schätzung gemessene Abweichung kann als Punktzahl gesehen werden. Das heißt, wenn ein Schüler 25 schätzt, der Winkel jedoch 40 beträgt, so erhält der Schüler 15 Minuspunkte. Wer nach zehn Schätzungen die wenigsten Punkte hat, hat gewonnen. 3 Die Gradeinteilung eines Kreises bis 360 vorzunehmen ist eine sinnvolle Übung, sie fällt manchen Kindern allerdings sehr schwer. Daher sollte insbesondere für die schwachen Kinder eine Kreisskala zum Ausschneiden als Kopiervorlage zur Verfügung stehen. Den Kindern muss die Gelegenheit gegeben werden, mit den hergestellten Winkelmessern Winkel in ihrer Umgebung (Möbel, Türen, Fenster usw.) zu schätzen und anschließend durch Messen zu prüfen. So werden die Größenvorstellungen über Winkel weiter ausgebaut, vertieft und mittels Selbstkontrolle überprüft. Der Winkelmesser in Form eines Vollwinkels ist auch im Zusammenhang mit der symbolischen Darstellung eines Ganzen und prozentualen Darstellungen am Kreis in späteren Jahren hilfreich. Zur Differenzierung können weitere Winkel wie 45 oder SE _G_K02_044_01.eps 105 vorgegeben werden. 18 a) Die Sonne steht im Sommer und im Winter um Uhr höher als um Uhr. Mittels einer Skizze oder einem praktischen Versuch erkennen die Kinder: Je höher die Sonne steht, desto kürzer ist der Schatten und umgekehrt. w Im Internet findet man entsprechende Diagramme und Informationen unter Dort wird die gewünschte Stadt eingegeben und man erfährt unter aktueller Sonnenstand die genauen Sonnendaten der genannten Stadt. b) Im Sommer: 61 ; im Winter: 24. c) Das Schulhaus ist 8 m hoch. d) Die Kinder erkennen, dass sie die Schattenlängen ihrer Mitschüler voraussagen können, nachdem mehrere Schattenlängen genannt wurden. L 40

10 Information Winkelarten Winkel werden in sechs Arten eingeteilt und benannt, da diese Fachausdrücke im weiteren Verlauf des Mathematikunterrichts die Versprachlichung von geometrischen Sachverhalten erleichtern. Der überstumpfe Winkel und der Vollwinkel kommen seltener vor als die anderen vier Arten. Das Messen von überstumpfen Winkeln ist besonders schwierig, da es in zwei Schritten erfolgt. Entweder wird wie in der Skizze der Ergänzungswinkel a 1 gemessen und von dem Vollwinkel 360 abgezogen, d. h. a = 360 a 1. Oder es wird ein Schenkel über den Scheitel hinaus verlängert und der den gestreckten SE _G_K02_045_01.eps Winkel übersteigende Winkelbereich gemessen, d. h. a = a a) Das Geodreieck hat einen rechten Winkel und zwei gleich große spitze Winkel mit je 45. b) spitze, rechte, stumpfe und gestreckte Winkel c) Quadrat und Rechteck 20 Der rechte Winkel kommt am häufigsten vor. Er ist einfacher herzustellen als andere Winkel und kommt bei Fenstern, Türen, Wänden, Tischen usw. vor. 21 a) Alle vier Winkel sind rechte Winkel. b) a= 45 ; b = 100 ; c = 35. Zur Kontrolle werden die gemessenen Winkel addiert. (180 ) 22 a) Die Größe der Winkel ist individuell, sie sind allerdings paarweise gleich groß, was beim Nachmessen auffällt. Bei senkrecht stehenden Geraden gilt a = b = c = d = 90. b) Bei dieser Aufgabe gibt es viel zu entdecken: Zwei benachbarte Winkel bilden einen gestreckten Winkel von 180. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Alle Winkel bilden zusammen einen Vollwinkel. c) Der gegenüberliegende Winkel beträgt 160, die benachbarten Winkel haben beide a) Quadrat und Rechteck b) Raute, Parallelogramm, Trapez, Drachen, allgem. Viereck c) Drachen können einen spitzen und drei stumpfe oder einen spitzen, einen rechten und zwei stumpfe Winkel haben. Weiteres Angebot: Haus der Vierecke Im Sinne des kumulativen Lernens bietet es sich an, das Haus der Vierecke zu wiederholen und alle Vierecke nach ihren Winkeln zu ordnen. Tipp: Die Winkelsumme im Viereck beträgt immer 360. Quadrat: vier rechte Winkel Raute: zwei Paar Gegenwinkel, d. h. gleich große gegenüberliegende Winkel Rechteck: vier rechte Winkel Drachen: ein Paar Gegenwinkel Parallelogramm: zwei Paar Gegenwinkel Gleichschenkliges Trapez: zwei Paar Nachbarwinkel, d. h. benachbarte gleich große Winkel Allgemeines Trapez: vier unterschiedliche Winkel Allgemeines Viereck: vier unterschiedliche Winkel 24 a) Wichtig bei dieser Aufgabe ist, dass die Kinder ins Gespräch kommen und selbst versuchen, überstumpfe Winkel zu zeichnen. Unter Informationen Winkelarten sind zwei Möglichkeiten zum Zeichnen überstumpfer Winkel dargestellt. 25 SE _G_K02_045_02.eps a) Die Ursache für die verschiedenen Gesichtsfelder ist die unterschiedliche Stellung der Augen. b) Das Gesichtsfeld des Menschen beträgt 180. SE _G_K02_045_03.eps w Gibt man bei einer Suchmaschine wie z. B. das Stichwort Gesichtsfeld des Menschen ein, wird man schnell fündig. L 41

11 3 Achsensymmetrie In dieser Lerneinheit lernen die Schülerinnen und Schüler die wichtigsten Merkmale der Achsen- und Drehsymmetrie kennen. Das Geodreieck dient als Kontrollmöglichkeit. Achsen- und drehsymmetrische Figuren werden hergestellt und untersucht. b Kunst, Religion Beim Thema Kirchenfenster im Anschluss an diese Lerneinheit werden zeichnerische Fertigkeiten geübt und Zusammenhänge zwischen Mathematik, Kunst und Religion hergestellt. Einstieg Ausgehend von Symmetrien in der unmittelbaren Umwelt sollen die Schülerinnen und Schüler neugierig gemacht werden, diese zu entdecken und zu untersuchen. Es können Fotos und Bilder von zu Hause mitgebracht sowie in Büchern oder im Internet gesucht werden. Impulse Obwohl die Natur wenig perfekte symmetrische Dinge bietet, können die wichtigsten Symmetrieeigenschaften an diesem Beispiel beschrieben werden. Der rechte Flügel des Schmetterlings sieht, bis auf kleine Abweichungen, aus wie das Spiegelbild des linken Flügels. Nur der Tannenbaum und das Herz können so gefaltet werden, dass sie deckungsgleich sind. Die untere Figur ist drehsymmetrisch. Merkkasten Im Vordergrund der ersten Hälfte dieser Lerneinheit stehen achsensymmetrische Figuren, also Figuren, deren Hälften durch einmaliges Falten entlang ihrer Spiegelachse (oder Symmetrieachse) zur Deckung gebracht werden können. Bei der Spiegelung einer beliebigen Figur an einer Achse gilt, dass die Hälften geraden-, parallelen-, verhältnis-, winkel- und längentreu sind. Die Achsenspiegelung als Kongruenzabbildung einer beliebigen Figur wird hier bewusst nicht thematisiert. Es werden nur achsensymmetrische Figuren betrachtet, die durch Abzählen der Kästchen im Karogitter oder durch Falten erzeugt werden. Trotzdem können die Kinder zur Überprüfung mit dem Geodreieck arbeiten. Weiter geht s Klecksbilder sind aus der Grundschule bekannt. Die Kinder erkennen, dass die Faltlinie immer die Symmetrieachse der Figur ist. Die Symmetrien in der Natur haben in der Regel kleine Abweichungen. Exakte symmetrische Abbildungen sind meist künstlich vom Menschen oder mittels Maschinen geschaffen. Symmetrische Bilder wirken wohltuend auf unsere Augen, während uns unsymmetrische Bilder unharmonisch, oder aber spannend erscheinen. Vertikale Spiegelachsen sind leichter erkennbar, da das Auge Links-rechts-Bewegungen den Oben-unten-Bewegungen vorzieht. Hier sind der Kreativität keine Grenzen gesetzt: Gebäude Buchstaben, z. B. H, I, D Landschaft, die sich im Wasser spiegelt, Blatt, Zange, bestimmte Verkehrsschilder usw. Die äußeren Figuren sind achsensymmetrisch. Weiteres SE _G_K02_050_01.eps Angebot: gespiegeltes Obst Schneidet vor dem Pausenfrühstück euer Obst, also Apfel, Kiwi oder Orange, mit dem Messer durch. Malt die Schnittflächen des Obstes ins Heft. Welche Schnittflächen haben eine, zwei oder mehr Symmetrieachsen? Lösung SE _G_K02_050_02.eps Viele Pflanzen sind fast achsensymmetrisch. Eine Überprüfung mit dem Spiegel zeigt die Ungenauigkeiten. In der Mathematik werden häufig ideale Modelle verwendet. L 42

12 Aufgaben 1 Die halbe Figur wird mit der Spiegelachse auf ein Blatt gezeichnet, anschließend entlang der Achse gefaltet und die Eckpunkte mit einer Nadel durchstochen. Die Löcher werden miteinander verbunden. Es entsteht eine Tulpe, die durch die Spiegelachse in zwei deckungsgleiche Hälften geteilt wird. 2 Dies ist eine weitere Aufgabe mit konkreter Handlungsaufforderung, wodurch die Schülerinnen und Schüler Muster und Regelmäßigkeiten in der Natur entdecken. Entscheidend ist, dass die Kinder miteinander über die Eigenschaften der Achsensymmetrie kommunizieren. Dinge aus der Natur sind nicht ganz symmetrisch. 3 Das Herstellen achsensymmetrischer Figuren fördert das Verständnis für die Merkmale der Achsensymmetrie sowie die Kreativität der Schülerinnen und Schüler. Außerdem ermöglicht es den gegenseitigen Austauch unter Einbeziehung der bisherigen Erfahrungen. 4 Bei den Teilaufgaben a) bis c) bieten die Karokästchen Orientierung. Bei Teilaufgabe d) muss beachtet werden, dass die Spiegelachse diagonal verläuft. Wer damit Schwierigkeiten hat, kann die Zeichnung auf ein Blatt übertragen. Die untere Hälfte der Zeichnung wird ausgeschnitten und das Trapez entlang der Spiegelachse umgeklappt, um zu beobachten, wohin die Figur gespiegelt wird. 5 Ab Teilaufgabe c) sind es mehrere Symmetrieachsen. f) Beim Kreis ist jeder eingezeichnete Durchmesser SE _G_K02_051_02.eps eine Symmetrieachse, es gibt unendlich viele. 6 Hier soll das Geodreieck gezielt zum Spiegeln eingesetzt werden, es lässt sich auch als Spiegel benutzen. 7 Die Spielkarte hat zwei Symmetrieachsen, die Deutschlandfahne und das Kleeblatt je eine. 8 SE _G_K02_051_03.eps b) Die Ziffern 0; 3; 8 und z. B. die Zahl 803 sind achsensymmetrisch. Die Zahl 4 ist fast symmetrisch. Die Zahl 1 ist digital (I) achsensymmetrisch. c) SE _G_K02_051_04.eps OTTO, HEXE, EHE, DIEB d) Das Wort UHU ist achsensymmetrisch, die Wörter ANNA und LAGERREGAL nicht. Man kann sie rückwärts lesen, sie heißen Palindrome. SE _G_K02_051_01.eps L 43

13 9 MAX UND MORITZ 10 Es gibt verschiedene Spiegelschriften, je nach Lage der Spiegelachse und der Schreibrichtung. Die Schülerinnen SE _G_K02_052_01.eps und Schüler können folgenden Fragen nachgehen: Hängt eine Spiegelschrift von der Lage des Spiegels ab? Ist eine auf dem Kopf stehende Schrift eine Spiegelschrift? Wie funktioniert ein Stempel? Auf durchsichtige Folien geschrieben, kann man die Wörter von der Rückseite lesen. 11 Individuelle Lösungen Die Schülerinnen und Schüler können die Genauigkeit ihrer Zeichnung mithilfe des Geodreiecks überprüfen. Erfahrungsgemäß erkennt man Fehler in der Symmetrie auf einen Blick, da die falsch gespiegelte Figur schief wirkt SE _G_K02_052_03.eps a) 0 b) 800 c) 3003 d) 808 e) 1441 f) 88 Alle Ergebniszahlen bis auf die Zahl 1441 sind achsensymmetrisch, die Zahlen 0; 3003; 808; 1441 und 88 sind Palindrome. Information Drehsymmetrie Die Drehsymmetrie ist ebenfalls eine Kongruenzabbildung, da bei ihr Längen, Winkel, Verhältnisse, Geraden und Parallelen erhalten bleiben. Es ist wichtig, Drehungen konkret an realen Gegenständen durchzuführen. Drehsymmetrische Formen haben z. B. Ventilatoren, Räder oder Uhren. Beim Drehen ist darauf zu achten, dass der zu drehende Teil genau definiert wird, so ist klar, was zu beobachten ist. Eine Drehung lässt sich gut auf Styropor mit einer Nadel oder auch mit einem Zeichenprogramm am Computer durchführen. Bei drehsymmetrischen Figuren ist der Mittelpunkt der Figur der Drehpunkt oder das Drehzentrum. Bei einer Drehung bewegen sich alle Punkte, außer dem Drehzentrum auf Kreisen nach links oder rechts. Der Drehwinkel bestimmt, nach wie viel Grad die Figur wieder mit sich selbst zur Deckung kommt. Im Beispiel ist dies immer nach einer Drehung um Um Figuren auf Drehsymmetrie untersuchen zu können, ist es wichtig, festzulegen, wo sich das Drehzentrum der Figur befindet. Anschließend legt man fest, um wie viel Grad die Figur gedreht werden kann, oder wie oft man die Figur drehen kann, um sie in die Ausgangslage zurückzubringen. Teilt man 360 durch die Anzahl der Drehungen, erhält man die Gradzahl. a) Das Vorfahrtsschild und das Halteverbotsschild werden nach 90 mit sich selbst zur Deckung gebracht. Das Schild Gegenverkehr Vorrang gewähren hat wegen der Farben keine Drehsymmetrie. b) Hierzu sollten die Schülerinnen und Schüler eine Übersicht gängiger Verkehrsschilder erhalten. Diese können dann systematisch oder in Gruppen untersucht werden. w Im Internet findet man Verkehrsschilder leicht, indem man in eine Suchmaschine das Stichwort Verkehrsschild eingibt. 15 Individuelle Lösungen: Windräder, Windmühlen, Rotorblätter vom Flugzeug oder vom Hubschrauber, Blumen, gebastelte Sterne, Felgen usw. 16 Auch hier müssen die Kinder die ungefähre Lage des Drehpunkts anzeigen können. Beim Quadrat beträgt der Drehwinkel 90, den Drehpunkt findet man als Schnittpunkt der Diagonalen. Beim gleichseitigen Dreieck beträgt der Drehwinkel 120. Den exakten Drehpunkt findet man über die Winkel- oder die Seitenhalbierenden, die die Kinder jedoch noch nicht kennen. L 44

14 17 Die Schülerinnen und Schüler müssen erkennen, dass man den Drehwinkel durch die Überlegung: Wie oft kommt die Figur während einer Volldrehung mit sich selbst zur Deckung? erhält. Man muss dann 360 durch die Anzahl der Drehungen teilen, um den Drehwinkel zu erhalten. Figur a) b) c) Mögliche Drehwinkel Man kann die Schülerinnen und Schüler alle Winkel zwischen 0 und 360 suchen lassen. 18 a) (1) Das Rad hat sechs Speichen. 360 : 6 = 60. Der kleinste Drehwinkel beträgt 60. (2) Das Rad hat fünf Speichen. 360 : 5 = 72. Der kleinste Drehwinkel beträgt 72. b) (1) 60 ; 120 ; 180 ; 240 ; 300 ; 360 (2) 72 ; 144 ; 216 ; 288 ; 360 c) Sobald man eine Speiche entfernt, ändert sich der Drehwinkel. Bei Figur (2) geht er ganz verloren. Bei (1) kann man zwei, drei oder vier Speichen entfernen: 20 Zur Übung sollte die Zeichnung zunächst abgezeichnet und das Drehzentrum und die Mittelpunkte der Kreise eingezeichnet werden. Hier ist Kreativität gefragt. Die Figuren können durch die unterschiedliche Färbung verschiedene Drehwinkel erhalten. 21 Maurits Cornelius Escher hat faszinierende Bilder gemalt, in denen immer wieder Kunst und Mathematik in enge Verbindung treten. Er arbeitet häufig mit optischen Täuschungen, die das Auge verwirren. Bei dem Bild Kreislimit IV aus dem Jahr 1960 scheinen die fledermausartigen Teufel und die Engel bis ins Unendliche verkleinert zu sein. w Im Internet findet man weitere Bilder des Künstlers, indem man den Künstlernamen in eine Suchmaschine eingibt. Diese Bilder sind für den Mathematikunterricht immer Gewinn bringend, da sie Kinder faszinieren und zum Staunen anregen. Das Bild ist dreifach achsen- und drehsymmetrisch. Es können drei Symmetrieachsen eingezeichnet werden. Der Drehwinkel beträgt 120. Streichholzfiguren 1 Knobeln SE _G_K02_053_01.eps 19 Individuelle Lösungen Am einfachsten ist es, einen Kreis zu zeichnen und diesen a) zu halbieren, b) zu dritteln, c) in fünf gleich große Teile zu teilen, d) in sechs gleich große Teile zu teilen, da 360 : 60 = 6 (Anzahl der Drehungen). Sterne mit entsprechend vielen Zacken sind auch geeignet. SE _G_K02_053_02.eps 2 Die Kinder müssen aufgefordert werden, mehrere Lösungen zu suchen. a) Auf das Dreieck kommen die Kinder schnell, es gibt aber noch mehr Möglichkeiten, z. B. ein dreizackiger Stern oder nur drei der Linien eines Sechsecks. b) z. B. Quadrat, Raute, vierzackiger Stern c) z. B. regelmäßiges Fünfeck, fünfzackiger Stern d) Die Anzahl der Seiten der Figur oder die Zacken des Sterns werden immer um eins vergrößert. e) Individuelle Lösungen L 45

15 4 Punktsymmetrie Einstieg Die Einstiegsituation verfolgt das Ziel, die Schülerinnen und Schüler zum Thema Punktsymmetrie hinzuführen. Die meisten Kinder der 6. Klasse sind mit Spielkarten vertraut, so dass an bekanntes Vorwissen angeknüpft werden kann. Impulse Es gibt sicherlich unzählige verschiedene Kartenspiele. Einige populäre Vertreter sind beispielsweise Skat, Romme, Mau-Mau, Uno, Memory oder Quartett. Hier können die Kinder Karten mitbringen und im Unterricht vorstellen. Die eingezeichnete Achse ist keine Symmetrieachse. Bei näherem Hinsehen ist zu erkennen, dass die obere Hälfte gedreht wurde. Die abgebildeten Karten sind punktsymmetrisch zum Mittelpunkt der Karten. Weiter geht s Punktsymmetrisch sind: Andreaskreuz (Dem Schienenverkehr Vorfahrt gewähren!), rot umrandeter Kreis (Verbot für Fahrzeuge aller Art), weißer Kreis mit schwarzen Streifen (alle Streckenverbote enden hier), gelbes Quadrat mit weißem Rand (Vorfahrtsstraße). Achsensymmetrisch sind alle abgebildeten Verkehrszeichen. Die Punkte A, B, C und D wurden am Symmetriepunkt Z gespiegelt. Das gleiche Ergebnis erhält man bei einer halben Drehung des Fünfecks ABCDZ um Z. Zu beachten ist, dass die Länge der Strecke AZ genau der Länge der Strecke A Z, die Länge der Strecke BZ genau der Länge der Strecke B Z, die Länge der Strecke CZ genau der Länge der Strecke C Z und die Länge der Strecke DZ genau der Länge der Strecke D Z entspricht. Merkkasten Im Gegensatz zur Achsensymmetrie ist bei der Punktsymmetrie keine Spiegelachse ausfindig zu machen, sondern ein Spiegelpunkt. Es fällt den Schülerinnen und Schülern erfahrungsgemäß leichter, wenn man anstelle einer Erklärung mit Spiegelpunkt die Punktsymmetrie erst intuitiv als halbe Drehung in sich selbst einführt. Es ist sinnvoll bei der Neueinführung des Begriffs der Punktsymmetrie den Unterschied zur Achsensymmetrie nochmals systematisch herauszuarbeiten. L 46

16 Aufgaben a) Herz König, Karo Zehn b) Pik Ass c) Karo Ass Bei den Ässern liegt genau genommen keine Symmetrie vor, da der Buchstabe A nicht symmetrisch ist. Dies wurde hier außer Acht gelassen. 3 a) Der zweite und der vierte Stern ist punktsymmetrisch. b) Sterne mit gerader Anzahl von Strahlen, die sich vom Mittelpunkt aus gesehen gegenüber liegen, sind punktsymmetrisch. Figuren färben Knobeln Bei diesen Aufgaben gibt es viele verschiedene Lösungen. Die Schülerinnen und Schüler können hier ganz individuelle Lösungen präsentieren. Dies bietet gerade auch leistungsschwächeren Kindern die Möglichkeit, aktiv am Unterricht teilzunehmen und durch das Beisteuern von eigenen Lösungen ihr Interesse und Selbstvertrauen zu stärken. 4 a) H, I, N, O, S, X, Z sind punktsymmetrische Großbuchstaben. o, s, x und z sind punktsymmetrische Kleinbuchstaben. b) 8 und 0 sind punktsymmetrisch L 47

17 Thema: Kirchenfenster b Kunst, Religion Auf diesen Themenseiten wird die Verbindung der Mathematik zu Kunst und Religion hergestellt. Im Mittelpunkt steht das zeichnerische Üben und das Erkennen symmetrischer Eigenschaften an Kunstwerken. Es geht auch darum, die Umgebung bewusster wahrzunehmen und die vielfältigen Einflüsse der Mathematik in ihrer Umwelt zu erkennen. Alle Inhalte der vorangegangenen Lerneinheiten werden hier im Zusammenhang wiederholt. Die Gotik ist ein Kunststil, der vom 12. bis zum 15. Jahrhundert praktiziert wurde. Aufgaben 1 Die Schülerinnen und Schüler suchen zu Hause, in Büchern oder im Internet Bildmaterial zusammen. Diese Bilder können, ähnlich wie die Bilder von M. C. Escher, auf Symmetrien untersucht werden. Es bietet sich auch ein Besuch einer nahe gelegenen Kirche unter diesem Gesichtspunkt an. Dies sollte vorher geprüft werden. Hier können vereinfachte Fensterbilder vor Ort gezeichnet werden. Beim Betrachten der Bilder dieser Seite erkennen die Schülerinnen und Schüler, dass bei der großen Fenster-Rosette oben sowohl Dreh- als auch Achsensymmetrie vorliegt. Da immer sechszehn Formen regelmäßig im Kreis angeordnet sind, kommt die Rosette bei einer Volldrehung 16-mal mit sich selbst zur Deckung. Mögliche Drehwinkel sind daher 0 ; 22,5 ; 45 ; 67,5 ; 90 ; ; 337,5; 360. Entsprechend könnten sechzehn verschiedene Symmetrieachsen eingezeichnet werden. Allerdings müssen hierbei die farbig ausgemalten Teilfiguren unberücksichtigt bleiben und nur deren Umrisse betrachtet werden, denn die gemalten Bilder sind nicht zueinander symmetrisch. Die linke der Rosetten auf den kleineren Bildern ist 10-fach, die mittlere 8-fach und die rechte 4-fach drehsymmetrisch. Die kleinsten Drehwinkel sind: links: 36 ; mitte 45 und rechts Erfahrungsgemäß zeichnen die Schülerinnen und Schüler gerne mit Zirkel und Geodreieck. Im Unterricht muss hierfür genügend Zeit berücksichtigt werden. Einfacher werden die Zeichnungen von Aufgabe 2, wenn sie in ein 1-cm-Raster gezeichnet werden und damit nicht mehr so filigran sind. Die Zeichnungen von Aufgabe 2 sind noch anspruchsvoller, wenn sie auf weißem Papier gemacht werden. Die fertigen Zeichnungen können im Klassenzimmer ausgestellt werden. Um vor Ort in einer Kirche zu arbeiten, müssen geeignete Zeichenunterlagen und gute Sitzplätze zur Verfügung stehen. Nachdem die Zeichnungen von Aufgabe 2 nachgezeichnet wurden, werden die Kirchenfenster vor Ort skizziert. Es ist denkbar, dass die Schülerinnen und Schüler grobe Skizzen der Fenster von Hand zeichnen und diese als Hausaufgabe oder im Unterricht mit dem Zirkel ausarbeiten. Bei solchen Skizzen werden auch Notizen zu Drehwinkeln gemacht, damit das Ergebnis möglichst genau gezeichnet werden kann. Das in der Lerneinheit Erlernte können sich die Kinder dabei zu Nutze machen: Ist der Drehwinkel erkannt, genügt es bei einem drehsymmetrischen Fensterbild einen Ausschnitt zu skizzieren, der entsprechend dem Drehwinkel dupliziert wird. Bei einer achsenymmetrischen Vorlage genügt es eine Hälfte des Bildes zu skizzieren. Die zweite Hälfte kann mithilfe der Achsenspiegelung gezeichnet werden. Weiteres Angebot: Hintergrundwissen Da auch die steinernen Verzierungen der Fenster mit Zirkel und Lineal sorgfältig entworfen und gemessen wurden, nennt man sie Maßwerk. In der Frühgotik wurden die Fenster meist mit einem einfachen, strengen Rundpass gefüllt. Später wurden diese schlichten Gebilde durch unterteilte Passformen und Nasen bereichert (Dreipass, Vierpass usw.). Die Spätgotik verwendete frei gezeichnete Formen wie Fischblasen oder auch flammenartige Muster (siehe auch Seite 49). w Benutzt man die Bildersuche einer Suchmaschine im Internet und gibt Kirchenfenster ein, so findet man viele verschiedene Fenster. Unter diesen sind mit Sicherheit auch solche, die den Konstruktionen entsprechen. L 48

18 3 Der Unterschied in den Zeichnungen liegt beim Radius und der Lage der Mittelpunkte der Innenkreise. SE _G_K02_055_01.eps 4 Zunächst wird das gleichseitige Dreieck gezeichnet: Dazu wird eine Strecke von 8 cm gezeichnet, diese halbiert und eine Senkrechte darauf gezeichnet. rägt man nun rechts und links den Winkel von 60 ab, so erhält man das gleichseitige Dreieck. Bei a) werden die Dreiecksseiten halbiert und ein Kreisbogen von 4 cm über die Mitte jeder Seite geschlagen. Bei b) werden Kreise mit r = 3 cm um die Ecke gezogen. Verbindet man jede Seitenmitte des Dreiecks mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt, so erhält man den Mittelpunkt des großen Kreises. 6 a) Die Fischblasenfenster sind alle drehsymmetrisch, der Drehwinkel hängt von der Anzahl der Fischblasen ab. (1) Drehwinkel 180 (2) Drehwinkel 120 (3) Drehwinkel 90 (4) Drehwinkel 60 b) Beim Zeichnen werden häufig Durchmesser und Radius verwechselt. Der Radius des großen Kreises beträgt 5 cm, der Radius jeder Fischblase 2,5 cm. c) Von (1) nach (4) werden die Radien immer kleiner, da die Fischblasen auch immer kleiner werden. Die Mittelpunkte der Kreise sitzen auf einer (1) Linie, (2) einem Dreieck, (3) einem Quadrat, (4) einem Sechseck. Vereinfacht gesehen sitzen sie jeweils auf einem immer größer werdenden Kreis. d) Falls die Kinder mit der kleinen Zeichnung Schwierigkeiten haben, kann man ihnen Papier mit 1-cm-Raster austeilen Um die Vierblattfenster zu zeichnen, muss man sich überlegen, wo die Mittelpunkte der Kreise liegen. Randspalte SE _G_K02_055_03.eps Das Foto des Hasenfensters aus dem Dom zu Paderborn basiert auf einem Fischblasenfenster mit drei Blasen und hat eine Drehsymmetrie mit einem Drehwinkel von 120. Zu diesem Hasenfenster, das eines der Wahrzeichen von Paderborn ist, gibt es ein Sprüchlein: Der Hasen und der Löffel drei, und doch hat jeder zwei. Übrigens bilden diese Löffel ein gleichseitiges Dreieck. SE _G_K02_055_02.eps L 49

19 5 Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken wurden bereits in Band 5 behandelt. Da die Begriffe häufig verwechselt werden, ist es notwendig den Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang wiederholt zu erläutern und anschaulich zu erklären. Die Fläche eines Rechtecks wird durch ihre Länge und ihre Breite beschrieben und ihre Größe wird mit Flächenmaßen berechnet. Beim Umfang wird die Begrenzung einer Fläche gemessen. Es handelt sich um Strecken, die mit Längenmaßen gemessen und addiert werden. Das Umwandeln von Längen- und Flächenmaßen in größere und kleinere Einheiten mit zugehöriger Umrechnungszahl ist für diese Einheit ebenfalls von Bedeutung. Einstieg Die meisten Fahnen, wie hier die von Borussia Mönchengladbach, sind rechteckig. Das hängt damit zusammen, dass Stoffe in Bahnen geliefert werden und diese eine rechteckige Form haben. Impulse Als Vergleichsgröße können die abgebildeten Personen betrachtet werden. Die Fahne ist etwa 25 m breit und 40 m lang und die Fläche etwa 1000 m 2 groß. Es könnten z. B. Streifen von 2 m Breite sein. Ein Streifen ist dann 2 m 40 m = 80 m 2 groß. Statt Packpapier kann man auch Stoff verwenden. Kauft man den Stoff für eine Fahne selbst ein, ist er meist 1,40 m oder 1,60 m breit. Das heißt, die Streifen sind dann 1,40 m breit. Ein 5 m breiter Streifen hat eine Fläche von 7 m 2. Will man mit der Klasse selbst Fahnen herstellen, so ist es am einfachsten diese aus Packpapier zu basteln. Will man eine Fahne nähen, wird in der Regel eine Stoffbreite von 1,40 m verwendet. Weiter geht s Flächeninhalt von A: 5 cm 1,5 cm = 7,5 cm 2 Flächeninhalt von B: 2 cm 2 cm = 4 cm 2 Die Fläche B ist ein Quadrat, da beide Seiten gleich lang sind. Um die Formel herauszufinden, können die Kinder weitere Rechtecke und Quadrate zeichnen und deren Flächeninhalt bestimmen. Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge a: A Q = a a Randspalte Beim Zeichnen auf kariertem Papier sind 1 cm 2, 0,5 cm 2 oder 0,25 cm 2 leicht herzustellen. Aufgaben 1 Die Flächen können zunächst ins Heft übertragen werden. A: 3 cm 2 ; B: 6 cm 2 ; C: 6,25 cm 2 ; D: 5,25 cm 2 Das Karogitter ist eine gute Orientierungshilfe. Die Quadratzentimeter können auch abgezählt werden. 2 A: 4,5 cm 2 ; B: 6,25 cm 2 ; C: 4,6 cm 2 ; D: 4,2 cm 2 Ohne Karogitter müssen vor dem Rechnen die Längen der Strecken genau gemessen werden. Eine Folie mit Millimeterpapier oder Karogitter kann auf die Flächen gelegt werden. Weiteres Angebot: Steckbrett im Einsatz Auf kariertem Papier oder dem Steckbrett, das aus Band 5 bekannt ist, werden Figuren konstruiert. a) Suche möglichst viele Flächen, die 4 oder 5 Flächeneinheiten (Kästchen) haben. b) Suche möglichst viele Flächen, die einen Umfang von 12 Längeneinheiten haben. Lösung Merkkasten Die Längenmaße sind vor dem Rechnen in die gleiche Einheit umzuwandeln. Die Maßzahlen werden multipliziert. Die Einheit ist dann die dazugehörende Flächeneinheit. SE _G_K04_090_01.eps L 50

20 3 a) Die Schülerinnen und Schüler bevorzugen beim Zeichnen ganze Zentimeter. Zur Differenzierung kann man dazu auffordern, dass auch Komma- oder Brucheinheiten verwendet werden. Beispiele: A = 3 cm 4 cm = 12 cm 2 A = 3,5 cm 5,1 cm = 17,85 cm 2 _ A = cm 4 _ 1 2 cm = 24,75 cm2 b) Beispiel: A = 24 cm a = 8 cm; b = 3 cm oder a = 6 cm; b = 4 cm oder a = 2,4 cm; b = 10 cm 4 Zur Überprüfung der gezeichneten Rechtecke kann jeweils die Diagonale gemessen werden. Länge Breite Flächeninhalt Diagonale a) 3,5 cm 4,0 cm 14 cm 2 5,3 cm b) 2,5 cm 3,5 cm 8,75 cm 2 4,3 cm c) 4,5 cm 7,8 cm 35,1 cm 2 9,0 cm 5 Vor dem Rechnen müssen Länge und Breite in die gleiche Maßeinheit umgewandelt werden. Länge Breite Flächeninhalt a) 50 cm 15 cm 750 cm 2 b) 33 dm 15 dm 495 dm² c) 275 cm 75 cm cm 2 d) 180 mm 5 mm 900 mm 2 = 9 cm 2 6 Länge Breite Flächeninhalt a) 2,5 cm 3,25 cm 8,125 cm 2 b) 1,4 dm 2,7 dm 3,78 dm 2 c) 2,5 m 2 m 5 m 2 7 Zum Lösen müssen die Flächenmaße vor dem Rechnen in die kleinste Einheit umgewandelt werden. Hinweis für die Kinder: 100 cm 2 = 1 dm 2 ; 100 dm 2 = 1 m 2 ; 100 m 2 = 1 a Breite Flächeninhalt Länge a) 3 m 60 m 2 20 m b) 60 m 300 m 2 5 m c) 5 dm 500 dm dm d) 5 cm cm cm 8 Der Flächeninhalt des chinesischen Geldscheins beträgt 752,4 cm 2 ; der des Scheins 131,2 cm 2. Der chinesische Geldschein ist fast 6-mal so groß wie der Schein. 9 Der Flächeninhalt der bemalten Außenwand beträgt 3900 m 2. Pro m 2 _ wurden etwa ø Schiffslack verwendet. 10 Die Flächen können ins Heft übertragen werden. Zur Berechnung werden diese dann in Teilflächen zerlegt. Bei Fläche b) kann auch das Quadrat mit a = 3 cm berechnet und davon die fehlende Fläche subtrahiert werden. a) 10 cm 2 ; b) 7 cm 2 Zur Differenzierung werden von den Kindern Flächen mit rechten Winkeln auf unliniertes Papier gezeichnet und an Mitschülerinnen und Mitschüler weitergegeben. Anwenden können die Kinder ihr Wissen bei der Berechnung von Grundflächen, z. B. einzelner Räume oder Flächen auf dem Schulgelände. 11 a) Die nicht bezeichnete Fläche muss den Flächeninhalt 3 cm² haben. Die Gesamtfläche des großen Vierecks beträgt dann 72 cm 2. b) Länge: 4 cm + 1 cm + 4 cm = 9 cm; Breite: 4 cm + 1 cm + 3 cm = 8 cm Ähnliche Aufgaben können in Partner- oder Gruppenarbeit entwickelt oder mit Kreide auf dem Schulhof aufgezeichnet werden. Zum Zeichnen der Strecken benötigt man Straßenkreide, das Tafel-Geodreieck, ein Maßband und eine lange Latte. Weiteres Angebot: Flächen zeichnen Viele Kinder haben eine gute Vorstellung von Längenmaßen. Aber das Vorstellungsvermögen von Flächen ist oft sehr schlecht. Eine gute Übung ist es, Flächen auf dem Schulhof aufzuzeichnen oder auf einem Rasen abzustecken: Malt oder steckt zusammen mit einem Partner fünf verschiedene Flächen ab, die alle eine Fläche von 16 m 2 haben. Lösung Eine Lösung finden die Kinder schnell. Fünf verschiedene Lösungen können sein: 1 m 16 m; 2 m 8 m; 4 m 4 m; 5 m 3,2 m; 10 m 1,6 m. L 51

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