Lösungen - 3. Klasse / 3. Schulstufe

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1 3. Klasse / 3. Schulstufe Lösungen - 3. Klasse / 3. Schulstufe 1. Anna hat nur 2-er, 3-er, 4-er und 5-er Taler Münzen. Von jeder dieser Münzen hat sie entweder ein Stück oder zwei Stück. Anna hat insgesamt 19 Taler. Wie viele Münzen kann sie insgesamt haben? Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 5 eine Lösung ist. Tatsächlich: = 19. In Teil 2 zeigen wir, dass 6 eine Lösung ist. Tatsächlich: = 19. In Teil 3 zeigen wir, dass es keine weiteren Lösungen gibt. Begründung: Anna hat von allen Münzen mindestens eine. Dies bedeutet: Sie hat mindestens = 14 Taler. Um 19 Taler zu haben, braucht sie noch 5 (19 4) Taler zusätzlich. Die 5 kann auf zwei Arten zu Stande kommen: Entweder durch eine zusätzliche 5-er Münze (dann hat sie insgesamt 5 Münzen, siehe Teil 1) oder durch je eine zusätzliche 2-er und 3-er Münze (dann hat sie insgesamt 6 Münzen, siehe Teil 2). Andere Möglichkeiten gibt es keine. Die richtige(n) Antwort(en): B, C 2. Eva schreibt alle zweistelligen Zahlen auf, bei denen die Zehnerziffer dreimal so groß ist, wie die Einerziffer. Welche der unten aufgeführten Zahlen kann in einer von Evas Zahlen die Zehnerziffer sein? (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10 Lösung: Wir finden alle zweistelligen Zahlen heraus, die Eva aufgeschrieben hat. Wenn die Einerziffer 1 ist, muss die Zehnerziffer 3 sein (3 mal 1 ist 3). Die Zahl ist 31. Wenn die Einerziffer 2 ist, muss die Zehnerziffer 6 sein (3 mal 2 ist 6). Die Zahl ist 62. Wenn die Einerziffer 3 ist, muss die Zehnerziffer 9 sein (3 mal 3 ist 9). Die Zahl ist 93. Wenn die Einerziffer 4 wäre, müsste die Zehnerziffer 12 sein (3 mal 4 ist 12). Dies geht jedoch nicht, denn 12 ist keine Ziffer. Ähnlich kann man prüfen, dass die Einerziffern 5, 6, 7, 8 und 9 ebenfalls nicht in Frage kommen. Von den aufgeführten Zahlen kamen nur 6 und 9 als Zehnerziffern vor. Die richtige(n) Antwort(en): A, D 3. Jonas würfelt zweimal mit einem Spielwürfel und notiert sich die zwei Zahlen, die gefallen sind. Er stellt fest: Wenn er diese zwei Zahlen multipliziert (also mal nimmt), erhält er 6. Nun rechnet er die zwei notierten Zahlen zusammen. Was kann er dabei als Ergebnis erhalten? Bemerkung: Auf dem Spielwürfel kommen die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 vor. (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

2 Lösungen der Aufgaben Lösung: Es gibt nur zwei Möglichkeiten, als Produkt 6 zu erhalten: 6 = 6 1 oder 6 = 3 2. Bei 6 = 6 1 sind die zwei gewürfelten Zahlen die 6 und die 1. Deren Summe ist = 7. Bei 6 = 3 2 sind die zwei gewürfelten Zahlen die 3 und die 2. Deren Summe ist 3 + 2=5. Beachte: Auf die Reihenfolge kommt es nicht an. Z. B. für 6 = 2 3 ist die Summe ebenfalls 5. Die richtige(n) Antwort(en): C, E 4. Jonas, Fabian und Peter besiegten nach einem langen Kampf einen Drachen mit sieben Köpfen. Anschließend sagten die drei Kämpfer: Jonas: Fabian hat den letzten Kopf des Drachens abgeschnitten. Fabian: Peter hat den letzten Kopf des Drachens abgeschnitten. Peter: Ich habe den letzten Kopf des Drachens abgeschnitten. Allerdings: Nur einer der drei Kämpfer sagt die Wahrheit. Die anderen zwei lügen. Die Frage: Wer hat den letzten Kopf des Drachens abgeschnitten? (A) Jonas (B) Fabian (C) Peter (D) Weder Jonas noch Fabian noch Peter. (E) Keine dieser Antworten. Lösung: Von den drei Kämpfern sagt nur einer die Wahrheit. Wir untersuchen nun, welcher Kämpfer den letzten Kopf des Drachens wohl abgeschnitten hat. 1. Versuch: Jonas war es. Dann haben alle drei gelogen. 2. Versuch: Fabian war es. Dann hat Jonas die Wahrheit gesagt, Fabian und Peter haben gelogen. 3. Versuch: Peter war es. Dann hat Jonas gelogen, Fabian und Peter haben die Wahrheit gesagt. Der einzige Versuch, bei dem genau ein Kämpfer die Wahrheit sagt, ist der 2. Versuch. Also muss es Fabian gewesen sein. Die richtige(n) Antwort(en): B 5. Im Wunderland wächst ein Wunderbaum. Seine Höhe verdoppelt sich täglich. Übermorgen wird der Baum 64 m hoch sein. Wie hoch war der Baum vorgestern? (A) 1 m (B) 2 m (C) 4 m (D) 8 m (E) 16 m Lösung: Wir werden rückwärts denken. Wenn der Baum übermorgen 64 m hoch sein wird, dann wird er morgen 32 m hoch sein (2 32 = 64). Wenn der Baum morgen 32 m hoch sein wird, dann ist er heute 16 m hoch (2 16 = 32). Wenn der Baum heute 16 m hoch ist, dann war er gestern 8 m hoch (2 8 = 16). Schließlich, wenn der Baum gestern 8 m hoch war, dann war er vorgestern 4 m hoch (2 4 = 8). Die richtige(n) Antwort(en): C

3 3. Klasse / 3. Schulstufe 6. Thomas zählt einige aufeinanderfolgende natürliche Zahlen zusammen und erhält als Ergebnis 45. Wie viele Zahlen konnte Thomas insgesamt zusammengezählt haben? Bemerkung: Die natürlichen Zahlen sind: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 und so weiter. (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 2, 3, 5 und 6 Lösungen sind. Dazu geben wir je ein Beispiel an: 2 aufeinanderfolgende Zahlen: = 45 3 aufeinanderfolgende Zahlen: = 45 5 aufeinanderfolgende Zahlen: = 45 6 aufeinanderfolgende Zahlen: = 45. In Teil 2 zeigen wir, dass 4 keine Lösung ist. Wir versuchen es auf mehrere Arten: = 42 ist noch zu klein, = 46 ist aber bereits zu groß. Daraus folgt: 4 ist keine Lösung. Die richtige(n) Antwort(en): A, B, D, E 7. Anna, Bea und Claudia basteln je eine Perlenkette. Sie benutzen dabei gleich lange Perlenschnüre. Annas fertige Kette besteht nur aus roten Perlen, und zwar genau 12 Stück. Beas fertige Kette besteht nur aus weißen Perlen, und zwar genau 18 Stück. Claudias fertige Kette besteht nur aus grünen Perlen, und zwar genau 36 Stück. Nun möchte auch Kathrin eine Perlenkette basteln. Ihre Perlenschnur ist gleich lang wie die anderen. Sie verwendet unterschiedliche Farben in der folgenden Reihenfolge: rot, weiß, grün, rot, weiß, grün und so geht es weiter. Die Frage: Aus insgesamt wie vielen Perlen besteht Kathrins Perlenkette? Bemerkung: Alle vier Perlenschnüre sind voll mit Perlen besetzt. (A) 15 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) 21 Lösung: In Teil 1 entdecken wir einiges. Dabei wenden wir an, dass alle Perlenschnüre gleich lang sind. 18 weiße Perlen sind so lang, wie 36 grüne Perlen. Auf 1 weiße Perle kommen also 2 grüne Perlen. Kurz geschrieben: 1W = 2G (Aha!) 12 rote Perlen sind so lang, wie 36 grüne Perlen. Auf 1 rote Perle kommen also 3 grüne Perlen. Kurz geschrieben: 1R = 3G (Ah, so!) In Teil 2 beschäftigen wir uns mit Kathrins Perlenkette. Sie sieht so aus: R,W,G,R,W,G, usw. (R steht für rot, W für weiß und G für grün). Die Gruppen R,W,G wiederholen sich. Mit Hilfe von (Aha!) und (Ah, so!) folgt: R,W,G braucht genau so viel Platz wie 3G, 2G, G. Eine Gruppe R W G braucht also genau so viel Platz wie 6 grüne Perlen. Claudias fertige Kette besteht aus

4 Lösungen der Aufgaben 36 grünen Perlen. Je 6 grüne Perlen brauchen genau so viel Platz, wie eine Gruppe R,W,G. Dies bedeutet: Auf Kathrins Perlenkette passen genau 6 Gruppen der Form R,W,G. Denn: 36 : 6 = 6. In jeder dieser Gruppen R,W,G gibt es genau 3 Perlen. Daraus folgt: Kathrins Perlenkette besteht aus insgesamt 18 Perlen (6 mal 3). Die richtige(n) Antwort(en): C 8. Julia trägt in jedes kleine Quadrat der nebenstehenden Figur eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ein. In allen drei Reihen, in allen drei Spalten und in der Diagonale ist die Summe der eingetragenen Zahlen gleich. Welche Zahl kann im schraffierten Feld stehen? Bemerkungen: Jede der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 wird genau einmal eingetragen. In jedem Quadrat steht genau eine Zahl. Die Diagonale besteht aus folgenden drei Quadraten: oberes linkes Feld, schraffiertes Feld und unteres rechtes Feld. Summe bedeutet, dass man die Zahlen zusammenzählt. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Lösung: In Teil 1 berechnen wir die Summe der acht Zahlen: = 36. In Teil 2 ermitteln wir, wie viel die Summe der Zahlen in einer Reihe betragen muss. Es gibt drei Reihen. Daraus folgt: Die Summe in jeder Reihe ist 12 (ein Drittel von 36). Ähnlich folgt: Die Summe in jeder Spalte ist 12. In Teil 3 füllen wir die Quadrate aus. Unser Ansatz ist das Ergebnis 12 aus Teil 2. Durch Probieren erhalten wir: Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4 Probe: = 12, = 12, = 12, = 12, = 12, = 12, = 12 usw. In Teil 4 begründen wir, dass es keine weiteren Lösungen gibt. Unser Ansatz ist: Die Zahl 8 muss entweder wie in Figur 5 oder wie in Figur 6 stehen. Tatsächlich, wenn die 8 z. B. im Feld oben links stünde (siehe Figur 7), so müsste die Summe der drei Zahlen sowohl in der ersten Spalte als auch in der Diagonale 12 betragen. Die einzige Möglichkeit 12 zu erhalten ist, 1 und 3 zur 8 zu addieren. So aber kämen die 1 und die 3 je zweimal vor (wie in Figur 8), was aber nicht geht. Dies bedeutet: Außer Figur 1, Figur 2, Figur 3 und Figur 4 gibt es keine weitere Lösung.

5 Klasse / 3. Schulstufe Figur 5 Figur 6 Figur 7 Figur 8 Die richtige(n) Antwort(en): A, C 9. Der Schneider des Königs hat einen Stoffballen, von dem er insgesamt 14 Meter Stoff abschneiden kann. Jeden Tag schneidet er 2 m Stoff ab. Er fängt damit am Freitag an. An welchem Tag schneidet er das letzte Stück ab? (A) am Montag (B) am Mittwoch (C) am Donnerstag (D) am Freitag (E) am Samstag Lösung: Wir veranschaulichen den ausgerollten Stoff und zerlegen ihn in 2 m lange Stücke. Der erste Schnitt erfolgte am Freitag am rechten Rand. Der zweite Schnitt war am Samstag, der dritte am Sonntag, der vierte am Montag, der fünfte am Dienstag. Jetzt sind noch 4 m Stoff übrig. Mit dem sechsten Schnitt am Mittwoch zerfallen diese letzten 4 m in zwei Teile von je 2 m. Damit wurde am Mittwoch sowohl das vorletzte als auch das letzte Stück abgeschnitten. letzter Schnitt (6. Schnitt) 1. Schnitt 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m Mi. Di. Mo. So. Sa. Fr. Die richtige(n) Antwort(en): B 10. Andrea beobachtet regelmäßig einen Rosenbusch. Manchmal sind nur Spinnen auf dem Busch, manchmal sind nur Bienen darauf. Einige Male sind sowohl Bienen als auch Spinnen auf dem Busch. Bei einer Gelegenheit zählt Andrea insgesamt 56 Beine auf dem Busch. Eine Biene hat 6 Beine, eine Spinne 8 Beine. Die Frage: Welche der folgenden Sätze können zutreffen? (A) Es waren nur Bienen auf dem Busch. (B) Es waren nur Spinnen auf dem Busch. (C) Außer Bienen gab es nur eine Spinne auf dem Busch. (D) Außer Spinnen gab es nur eine Biene auf dem Busch. (E) Es gab genauso viele Bienen wie Spinnen auf dem Busch.

6 Lösungen der Aufgaben Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass (B) eine Lösung ist. Tatsächlich, wenn es auf dem Busch nur 7 Spinnen gab, dann gilt: = 56 Beine. In Teil 2 zeigen wir, dass (C) eine Lösung ist. Tatsächlich, für 1 Spinne und 8 Bienen gilt: = 56 Beine. In Teil 3 zeigen wir, dass (E) eine Lösung ist. Denn für 4 Spinnen und 4 Bienen gilt: = 56 Beine. In Teil 4 zeigen wir, dass (A) keine Lösung ist. 9 Bienen haben insgesamt 9 6 = 54 Beine, was zu wenig ist. 10 Bienen hingegen haben insgesamt 10 6 = 60 Beine, was zu viel ist. Die Rechnung geht nicht auf. In Teil 5 zeigen wir, dass (D) keine Lösung ist. Begründung: = 54 ist zu wenig, = 62 ist zu viel. Die Rechnung geht nicht auf. Die richtige(n) Antwort(en): B, C, E 11. Max schreibt in jedes Feld der 3 4 Tabelle eine Ziffer (aber nicht 0). Anschließend zählt er die Ziffern in jeder Zeile zusammen und notiert die Ergebnisse neben den Zeilen. Dann zählt er die Ziffern in jeder Spalte zusammen und notiert die Ergebnisse unter den Spalten. Leider floss Tinte auf das Blatt, so dass nur noch einige der Ergebnisse zu erkennen sind (siehe Figur). Die Frage: Welche Ziffer könnte im Feld mit dem Fragezeichen stehen? Bemerkung: Die Ziffern (ohne die 0) sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und die 9. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Lösung: In Teil 1 ermitteln wir die Summe aller Ziffern aus der Tabelle. Dazu reicht es, wenn wir die drei Summen für die drei Reihen zusammenzählen: = 47 In Teil 2 ermitteln wir die Summe aller Ziffern aus der dritten Spalte. Zunächst zählen wir die Summen der drei bekannten Spalten zusammen: = 43. Bis 47 fehlt noch 4. Dies muss die Summe für die 3. Spalte sein. In Teil 3 ermitteln wir, für welche Zahl das? stehen könnte. 4 ist die Summe dreier Ziffern (ungleich 0). Die einzigen Möglichkeiten sind (von oben nach unten): 4 = oder 4 = oder 4 = In Frage kommen somit nur die Ziffern 2 und 1. In Teil 4 zeigen wir, dass sowohl 2 als auch 1 Lösungen sind. Dazu geben wir je ein passendes Beispiel an.

7 3. Klasse / 3. Schulstufe Die richtige(n) Antwort(en): A, B 12. In der Mitte einer einsamen, ebenen Insel steht ein Baum. Ein Seeräuber ging von diesem Baum los, um einen Schatz zu vergraben. Dabei ging er zunächst 100 m in eine der vier Himmelsrichtungen (nach Norden oder nach Westen oder nach Süden oder nach Osten). Anschließend ging er weitere 100 m in eine der obigen vier Richtungen. Dort begrub er den Schatz. Charly erfährt wie auch immer um welche Insel es geht und kennt die obigen Informationen (aber auch nicht mehr). Charly geht auf Schatzsuche und fängt an zu graben. Die Frage: Wie viele Versuche braucht Charly beim Graben im schlimmsten Fall, um den Schatz zu finden (also, wenn er sehr viel Pech beim Graben hat)? Bemerkung: Charly stellt sich beim Graben schlau an. (A) 4 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 12 Lösung: Der Baum wird durch den grauen Kreis dargestellt. Nach den ersten 100 m befindet sich der Seeräuber an einer der vier Stellen A, B, C oder D (siehe Figur 1). Nach den weiteren 100 m befindet sich der Seeräuber an einer der acht mit Weiß markierten Kreisen oder am Baum (siehe Figur 2). Es gibt also insgesamt 9 Stellen, an denen der Schatz vergraben sein kann: am Baum oder an einem der acht weißen Kreise. Wenn Charly sehr viel Pech hat, muss er 9 mal graben. Er braucht also im schlimmsten Fall 9 Versuche, um den Schatz zu finden. Weniger als 9 reichen nicht aus (dann müsste Charly Glück haben). Figur 1 Figur 2 Die richtige(n) Antwort(en): C

8 Lösungen der Aufgaben 13. Sophie zeichnete die nebenstehende Figur auf ein Blatt Papier. In wie viele Stücke kann diese Figur mit zwei geraden Schnitten zerlegt werden? Bemerkung: Nach dem ersten Schnitt dürfen die entstandenen Stücke nicht bewegt werden. (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 3, 4, 5 und 6 Lösungen sind. Dazu geben wir je ein passendes Beispiel an. 3 Stücke 4 Stücke 5 Stücke 6 Stücke In Teil 2 zeigen wir, dass 7 keine Lösung darstellt. Begründung: Durch einen geraden Schnitt kann die Figur in höchstens drei Stücke zerlegt werden (siehe dazu die Figuren mit 4, 5 und 6 Stücken). Mit zwei geraden Schnitten kann die Figur in höchstens 6 (2 3) Stücke zerlegt werden. 7 ist daher keine Lösung. Die richtige(n) Antwort(en): A, B, C, D Aufgabe zur detaillierten Ausarbeitung: 14. Übertragt die nebenstehende Tabelle aufs Blatt. Euer Auftrag besteht darin, in alle leeren Quadrate eine der Zahlen 1, 2, 3 oder 4 einzutragen, so dass in jeder Zeile und in jeder Spalte alle vier Zahlen vorkommen. Wenn ihr mehrere Möglichkeiten findet, die Tabelle auszufüllen, so zeichnet bitte für jede Möglichkeit eine eigene Figur. Lösung: Es gibt folgende zwei Lösungen: Pro korrekte Tabelle gibt es je 8 Punkte. Wenn nur so viel entdeckt wurde, dass in das Feld oben links die 4 und in das Feld unten links die 1 kommt, so gibt es dafür nur 2 Punkte (je ein Punkt). (maximal 16 Punkte).