Jeder Käufer der Zeitschrift darf auszugsweise Kopien für den eigenen Unterricht anfertigen.

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1 Mthemtikiformtio Vom Potezreche zum Logrithmus Nr. Zweite korrigierte Auflge. Jur 00 ISSN -9 Mthemtikiformtio ist eie Zeitschrift vo Begbteförderug Mthemtik e.v.

2 Herusgbe ud Redktio: Professor Dr. Hrld Löwe, Techische Uiversität Bruschweig Dr. Krlhorst Meer, Kffhäuserstrße 0, 879 Neubiberg Professor Dr. Christ Polczek, Fchhochschule Ache Professor Dr. Thoms Sor, Techische Uiversität Bruschweig Mthemtikiformtio vermittelt Curricul ud Hitergrudtheorie zur Förderug vo Mthemtik iteressierte Schülerie ud Schüler uter Berücksichtigug des Alltgsuterrichts. Mthemtikiformtio erscheit zweiml jährlich. Der Preis dieses Heftes beträgt 8 zuzüglich Porto. Die Mitgliedschft i Begbteförderug Mthemtik e. V. (Jhresbeitrg bzw. 0 für Körperschfte) umfsst de kostefreie Bezug der Mthemtikiformtio. Ds Jhresboemet für die Mthemtikiformtio eischließlich Versd beträgt 8. Homepge: Zhluge möge uf ds Koto der Dresder Bk i Müche BLZ zuguste vo Begbteförderug Mthemtik e. V. Neubiberg erfolge. Autore ud Herusgeber rbeite ehremtlich ohe Aufwdsetschädigug. Uufgefordert eigereichte Muskripte werde icht zurückgesdt. Jeder Käufer der Zeitschrift drf uszugsweise Kopie für de eigee Uterricht fertige. Vereisdresse: Begbteförderug Mthemtik e. V., Vorsitzeder Dr. Krlhorst Meer, Kffhäuserstrße 0, 879 Neubiberg Ihlt der Nummer : Krlhorst Meer: Vom Potezreche zum Logrithmus Mthemtikiformtio ISSN -9 Nr. wurde der Uiversität Gesmthochschule Kssel gedruckt. Mthemtikiformtio Nr. erschie m. Jur 98 ls Husiformtio des Gmsiums Strberg. Alle Hefte köe der Uiversitätsbibliothek Göttige usgeliehe werde. Eie Übersicht über die Ihlte der frühere Hefte fidet m uter Mthemtikiformtio Nr.

3 Krlhorst Meer Vom Potezreche zum Logrithmus. Vorussetzuge Um de Logrithmus ud die Epoetilfuktio i Jhrggsstufe 0 im Uterricht utersuche zu köe, muss der Umgg mit Epoete sicher sei. Leider muss hierbei isbesodere im Zusmmehg mit der Reduktio vo G9 uf G8 eie eorme Kürzug der Uterrichtszeit festgestellt werde. So weist z. B. der berische Lehrpl ( vor Behdlug der Epoetilfuktio i Klsse 0 ur och c. Stude zur Eiführug der Potezschreibweise bei türliche Epoete i Klsse uter M.. ( Begriff der Potez, Drstellug großer Zhle mithilfe vo Zeherpoteze ) ud weitere Stude i Klsse 9 uter M9. zur Eiführug rtioler Epoete us ( Die Schüler verllgemeier ihre Ketisse über Qudrtwurzel ud übertrge die us de vorherige Jhrggsstufe bekte Recheregel uf Poteze mit rtiole Epoete, wobei sie uch Grudlge für die Beschäftigug mit Epoetilfuktioe erwerbe: llgemeie Wurzel, Recheregel für Poteze mit rtiole Epoete ). De fcto sid lso für die Eiführug der Epoetilfuktio i Jhrggsstufe 0 keie Vorussetzuge mehr gegebe. Es stehe zwr eie gze Reihe vo Stude für Zustzuterricht bereit, doch wird es trotz dieser Zeit icht möglich sei, die so herbeigeführte Lücke i Wisse ud Fähigkeite zu schließe, d uch i dere Bereiche der Schulmthemtik Aloges zu beobchte ist. Als Außesteheder bekommt m de Eidruck, dss die Lobb der Nchhilfelehrer, Puker u. ä. uedlich groß geworde ist; de ll die Lehrplreduktioe etlste itelligete Kider icht, soder erschwere selbst de Hochbegbte de Schulbesuch. D. h. Mitteleurop brucht driged Istitute, i dee Herwchsede die Möglichkeite bekomme, ihre Schulbesuch dhigehed zu ergäze, dss sie eie Chce bekomme, mit Erfolg Igeieurwese, Nturwisseschfte bis hi zu Medizi i eier gemessee Zeit zu studiere. Es wird deshlb im Folgede versucht, eie Vorschlg für eie Biedifferezierug des Normluterrichts dhigehed zu uterbreite, dss für gute Schülerie ud Schüler Arbeitsblätter zum Selbststudium vorbereitet werde. Alles, ws im Rhme eier Biedifferezierug im Normluterricht gelehrt werde k, wird ußerhlb der Arbeitsblätter kursiv geschriebe. Der übrige Tet k zu eiem Ergäzugsuterricht oder uch zum Selbststudium beutzt werde.. Jhrggsstufe Scho i Klsse erfhre die Schüler de Umgg mit türliche Epoete ud lere eie bgekürzte Schreibweise für ei Produkt us gleiche Fktore: Defiitio..: :... mit Fktore N N { 0}. 0 Stz..: Vielleicht fidet m durch Probiere die folgede Recheregel: m + m P P m m :, flls dies lösbr ist. P ( ) b b P ( ) : b : b, flls dies lösbr ist. m m P ( ) P Mootoiegesetze:, b, ud m sid türliche Zhle; d gelte:. < b geu d, we < b.. < m geu d, we <. Uter Umstäde wird bereits hier Defiitio.. wege P ergäzt: 0 Defiitio..: : für lle Zhle 0. m Mthemtikiformtio Nr.

4 Arbeitsbltt.: Potezschreibweise. Begrüde mit :... die folgede Formel: P P m m + m m :, flls dies lösbr ist. P ( ) b b P ( ) : b : b, flls dies lösbr ist. m m P ( ) P Mootoiegesetze:, b, ud m sid türliche Zhle; d gelte:. < b geu d, we < b.. < m geu d, we m <.. Fide Beispiele, die zeige, dss. Für welche ist? Es folge Aufgbe us MEYER U. A. [] Bd, Seite 77 79:. Zhle, die oder geschriebe werde köe, heiße Qudrt- bzw. Kubikzhle. Lere die Qudrtzhle für bis bzw. die Kubikzhle für bis 0 uswedig.. Schreibe ls Poteze möglichst vieler Fktore: ) b) 8 c) 0 d) 8 e) 00 f) 000 g) h) i) j) ( ) k) 7 l) m) 79. Schreibe ls Produkt us Poteze; ee eie Regel, wie m mehrfche Schreibweise vermeide k: ) b) 8 c) 8 d) e) 9 f) 777 g). Beispiel: T + H + Z + E Schreibe wie im Beispiel: 0, 0000, M k jede türliche Zhl icht ur im Dezimlsstem, soder uch im Dulsstem schreibe: deziml usw. dul Im Dulsstem ist lso jede Zhl geschriebe ls Summe vo Zweier-Poteze. Computer beutze ds Hedezimlsstem, bei dem lle Zhle ls Summe vo er-poteze geschriebe werde. ) Erstelle eie Übersetzugstbelle für ds Hedezimlsstem; wie viele Ziffer brucht m hier? b) Übersetze die im Dulsstem geschriebee Zhle is Deziml- ud Hedezimlsstem. 0, 0, 0, 0000, 000. c) Die Ziffer im Hedezimlsstem seie 0,,,9, A, B, C, D, E, F. Übersetze is Dezimlsstem: F0A, 9A8B7C, AA00, BAE, BABA. d) Fide eie Regel, wie m eie im Dezimlsstem geschriebee Zhl is Hedezimlsstem übersetze k, ud prüfe die Regel für die Dezimlzhl Bestimme durch gezieltes Eisetze die Lösugsmege: ) b) c) z d) u e) < f) 9. Weshlb wird die Multipliktio im Dulsstem wie im Dezimlsstem usgeführt? 0. Georg legt i der erste Woche Cet i seie Sprbüchse. I jeder druf folgede Woche zhlt er doppelt so viel wie i der vorhergehede Woche ei. ) Wie viele Cet legt er i der 0. Woche i seie Sprbüchse? b) Wie viel Geld ht er ch Mote gesprt? c) Gib llgemei, wie sich der Sprbetrg i der -te Woche bereche lässt. Lösuge siehe Seite. Mthemtikiformtio Nr.

5 . Jhrggsstufe I Klsse oder 7 werde die Potezgesetze uf egtive Bse durch de folgede Stz erweitert:, flls ugerde ist; Stz..: ( ), flls 0 ist;, flls gerde ist. Zum Beweis: ( ) ( )... ( ) mit Fktore usw. M k zeige, dss dmit die i. gegebee Potezgesetze weiterhi lle gelte (Permezprizip). Auch gute Schülerie ud Schüler muss m hier eie Beweis für eie Fll vo Stz.. vorführe, dmit ds Wort Permezprizip verstde wird, z. B.: Stz..: P gilt für egtive ud türliche. Beweis: b b... b b ;dmit erhält m: : b; d ist ( ) ( ) ( ) ( ) m m + m + m + m + m ( b) ( b) ( ) b ( b) Eie zweite Erweiterug der Defiitio vo Poteze ist hisichtlich der Brüche otwedig: r Wege P gilt für jede Bruch mit türliche r ud s: s Stz..: r s r s für türliche, r ud s 0. Jeder Bruch ist ei Quotiet, desse Wert m durch Divisio ermittel k. Brüche lsse sich lso ls Dezimlzhle drstelle. Die Dezimlzhldrstellug ist stets uedlich, we m etw im Fll eier edliche Dezimlzhl beliebig viele Nchkommulle ergäzt. Gerudete Dezimlzhle sid eigetlich Itervlle, wie z. B., [,0;,[ {:,0 <,}. M uterscheidet offee Itervlle (bei ihe gehöre die Greze icht dzu), z. B. (;b) {: < < b} oder bgeschlossee Itervlle (bei ihe gehöre die Greze dzu), z. B. [;b] {: b}. Je ch Bedrf beutzt m uch liks oder rechts hlboffee Itervlle. So befidet sich z. B. die Zhl, zwische de Zhle, ud,7 oder m sgt uch, liegt im Itervll [,;,7]. Eie Zhl k i mehrere Itervlle liege, z. B.:, [,0;,) [,;,] [,;, ] [,;,7]; diese Itervlle sid geschchtelt. Diese Vorgg k m beliebig lg fortsetze ud erhält eie llgemeie Dezimlzhl (mit eier uedliche Läge). Jede Dezimlzhl ht so geu eie Pltz uf der Zhlegerde ud umgekehrt etspricht jeder Pukt der Zhlegerde geu eier Dezimlzhl. Dezimlzhle sid lso Itervllschchteluge, d. h. sie liege i uedlich viele ieider geschchtelte Itervlle, dere Läge gege ull strebe. Uter diese gibt es periodische Dezimlzhle, die geu die Brüche sid. Die icht periodische Dezimlzhle heiße irrtiol. Die Mege ller Dezimlzhle heißt Mege der reelle Zhle (siehe KRÄMER-MEYER [8]). I der Oberstufe lert m, dss m i dieser Mege wie gewoht eie Additio ud eie Multipliktio ht. Mthemtikiformtio Nr.

6 Arbeitsbltt.: Potezgesetze. Beweise für Brüche die i Stz.. ufgeführte Potezgesetze. Weshlb muss m sich b jetzt ds Gesetz P icht mehr merke?. Weshlb ist die Defiitio..: 0 verträglich mit de Potezgesetze?. Bereche ls Dezimlzhl die im Dulsstem gegebee Zhl 0,00. Bereche ls Dezimlzhl die im Hedezimlsstem gegebee Zhl AF,09C.. Verwdle die Dezimlzhl,97 i ds Hedezimlsstem. Gib eie Regel für die Nchkommstelle im Hedezimlsstem.. Jhrggsstufe 7 I de Jhrggsstufe 7 ud 8 werde die Potezgesetze im Buchstbereche beutzt. Mche Kollegie ud Kollege lehre i Klsse 7 ds PASCALsche Dreieck. M k ber i dieser Klsse im Rhme vo Biedifferezierug geuso gut uch uf die Polomdivisio bzw. de Huptstz der Algebr i eifche Fälle zu spreche komme: Defiitio..: Für reelle i, 0 ud türlichem heißt ei Polom -te Grdes mit de Koeffiziete i. Beim Divisioslgorithmus subtrhiert m de Divisor immer wieder vom Dividede ud fsst zusmme, wie oft dies z. B. hudertfch, zehfch ud eifch geht; z. B.: 7 : oder usführlich Selbstverstädlich muss ds Verfhre icht ufgehe. We dies ber der Fll ist, lehrt ds Distributivgesetz, dss ds Ergebis stimmt : Durch Eisetze der eizele Zeile fidet m: lso 7 - ( ) 0 d. h. 7-0 lso 7 oder 7:. Ersetzt m die Stufezhle durch Zeherpoteze, so erhält m: ( ):( ) I Alogie zum Bisherige setzt m 0 ud erhält ei erstes Beispiel eier so gete Polomdivisio: ( ):( + 0 ) () Für 0 ist diese Formel sicher richtig. Gilt sie ber uch für dere? Durch Ausmultipliziere ( ) ( + 0 ) () stellt m fest: Die Formel gilt für lle. Alogieschlüsse sid gefährlich, solge sie icht bewiese sid (siehe Arbeitsbltt 7..). Bechte: Geht eie Polomdivisio uf, so gilt sie für lle. K m die Polomdivisio ur für eiige usführe, so muss sie icht für lle usführbr sei. Aus der Gültigkeit vo () ud + 0 schließt m, dss für, die Gleichug () de Wert 0 erhält, Lösuge siehe Seite 7. Mthemtikiformtio Nr.

7 7, lso eie Nullstelle des Ausggspoloms ist, lso, Lösug der Gleichug ist. Ht m eie Nullstelle eies Poloms p () gefude, so gilt für lle die folgede Fktorzerlegug P () ( )p - () mit eiem Polom p - () vom Grd, wobei p - () durch Polomdivisio gefude werde k. Arbeitsbltt 7.: Potezgesetze. Fide eie Divisio für Zhle, die icht i der beschriebee Form zu eier Polomdivisio erweitert werde k.. Bereche: ) ( + ) : ( ) b) ( ) : ( ) c) ( + ) : ( + + ) d) (z 8z + 9z z z ) : (z ). I de folgede Aufgbe ist etweder eie Lösug eier Gleichug gegebe oder m k sie rte; fide weitere Lösuge bzw. reduziere de Grd des Problems: 7 ) ud 0 b) ud + 0 c) 0 d) + 0 e) f) g) Die folgede Aufgbe sid zum Teil us MEYER U. A. []:. Fülle die Lücke us: ) + b + ( + ) b) v vw + ( + ). Multipliziere vollstädig us ud fsse soweit wie möglich zusmme: ) ( z) b) + z c) ( + b + c + d ). Multipliziert m ei Biom ( + b) us ud fsst zusmme, so bezeichet m die Koeffiziete bei k k b mit, gesproche über k, ud et diese Biomilkoeffiziete. Durch die Multipli- k ktio ( ) ( ) ( ) + b + b + b erhält m eie Zusmmehg zwische de Biomilkoeffiziete ud k. Fide diese. Schreibe schließed diese Koeffiziete begied mit utereider ud utze die gefudee Regel us. Es etsteht ds so gete k PASCALsche Dreieck. 7. Bestimme die Lösugsmege: ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( + ) 0 0 b) ( 7 ) ( + ) ( ) + ( ) + 7 ( + 9) 8 c) z + < 0 d) 7 7 e) ( + ) 0 < 0 f) ( + ) ( ) (, ) > g) ( z ) < h) ( + ) ( + ) ( ) > 0 i) ( 0 + ) ( 9) 0. Jhrggsstufe 8 Es werde jetzt egtive Epoete zugelsse: Defiitio..: : für lle bekte Zhle 0 ud eiem türliche. Lösuge siehe Seite 8. Mthemtikiformtio Nr.

8 8 m m I Stz.. fidet m P :, flls dies lösbr ist, d. h. es muss 0 ud m sei. Gilt letzteres icht, ist lso z. B. 0 ud m > 0, so ist die ebe getroffee Defiitio eie sivolle Ergäzug des Bisherige. P k jetzt gz etflle (siehe Arbeitsbltt 8. Aufgbe.). Arbeitsbltt 8.: Potezgesetze. Weshlb beötigt m b jetzt P icht mehr?. Beweise für rtiole die Potezgesetze P, P ud P.. Vereifche möglichst elegt ud beschreibe die Vorgehesweise: ) c b c c m + : : b) b 9 b b : + m m+ 7 b b. Beimischuge werde icht ur i Prozet oder Promille gemesse, soder dk verbesserter Alse- ud Messmethode uch i kleiere Ateile drgestellt: ppm (prt per millio) bedeutet Teil vo Millio Teile. ppb (prt per billio) bedeutet Teil vo Billio Teile, ppt (prt per trillio) bedeutet Teil vo Trillio Teile usw. Gibt m eie Zuckerwürfel vo, g i eie viertel Liter Wsser, so ht m eie Kozetrtio vo %. Welche Kozetrtioe ergebe sich, we m Zuckerwürfel ) i eie mit Wsser gefüllte Tkzug vo 000 l, b) i eie 7, Millioe Liter fssede Abschitt eies Kls, c) i de zur Hälfte gefüllte Wupperstusee, der eie mimle Sturum vo Millioe m ht, d) i de Strberger See mit eiem Volume vo, km ht? e) Weshlb ist ei Teil der Frge silos?. Jhrggsstufe 9 Der folgede Aufbu ist geleht MEYER U. A. [] bzw. []. Die Beispiele ud Aufgbe sid zum größte Teil der etsprechede Literturstelle etomme. Dem Schüler ist bekt ( ). Die Umkehropertio des Qudrieres wird Wurzelziehe get. Um Verwirrug zu vermeide, werde i. Allg. i der westliche Welt Wurzel ur us icht egtive Zhle gezoge (siehe uch AVERBOUKH, GÜNTHER []). Defiitio..: Ht m für 0 die Gleichug, so ist die Qudrtwurzel Lösug der Gleichug. die positve Stz..: Die rei qudrtische Gleichug ht ls Lösugsmege L, flls < 0, L {0}, flls 0, L {, }, flls > 0. Für 0 gilt ( ). Die Lösuge schreibt m uch ls I ller Regel brigt der Normluterricht, oder ±,. ls Beispiel eier irrtiole Zhl. Stz..: Für Qudrtwurzel gelte die folgede Recheregel: Lösuge siehe Seite 9. Mthemtikiformtio Nr.

9 9 W W W b b mit 0 ud b 0. mit 0 ud b > 0. b b mit beliebigem. Beweis zu W: ud b erfülle die Gleichuge b. M multipliziert die beide Gleichuge ud erhält icht egtive Lösug b bzw.. Nch de Potezgesetze ist dies gleichwertig mit ( ) b. Hierus folgt die b. Adererseits ist ber ch Vorussetzug b. Also gilt W. Die weitere Wurzelgesetze werde ls Aufgbe gestellt; siehe Arbeitsbltt 9.. Im Arbeitsbltt 9. werde Techike ds Uter-die-Wurzel-ziehe, ds Teilweise-Wurzelziehe ud ds Rtiolmche-des-Neers vermittelt. Im Momet sieht es so us, ls wollte m im Lehrpl m Kpitel Qudrtfuktio im bisherige Umfg festhlte. Im Hiblick ber uf ds Ziel Epoetilfuktio ud Logrithmus ist die Behdlug der Wurzelfuktio ebeflls uerlässlich, zumidest ber Them vo eiige Stude i eiem Ergäzugskurs. Im Folgede hdelt es sich um die eischlägige Drstellug us MEYER U. A. []Seite 77: beschreibt eie Fuktio, die jedem reelle geu ei icht egtives zugeordet. Kehre wir diese Zusmmehg um, so werde jedem icht egtive geu zwei zugeordet, ämlich ud. Also ist dies keie Fuktio, es sei de, wir beschräke die Ausggsmege dhigehed, dss wir us fgs uf icht egtive beschräke. Jetzt ist die Umkehrug eie Fuktio. Leider uterscheidet sich der Grph vo für icht egtive icht vom Grphe vo für icht egtive. Um hier für die Umkehrug eie eigee Grphe zu bekomme, vertuscht m die Vrible ud, d. h. spiegelt ud mcht so uch bei der Umkehrfuktio zur ubhägige ud zur bhägige Vrible. Ds lles wird im Uterricht hd vo Grphe ud Wertetbelle etwickelt (vgl. MEYER U. A.[], Seite 77). Im Hiblick uf de spätere Uterricht sollte m hd vo Skizze useider setze, iwiefer icht streg mootoe Fuktioe icht umkehrbr sid. D i viele Nturwisseschfte grphische Lösuge üblich sid, sollte m z. B. eiige qudrtische Gleichuge grphisch löse (siehe MEYER U. A. [] Seite 8ff): Beispiel..: Löse Lösug: M zeichet für die Fuktio + eie Grphe ud sucht die Nullstelle. Die grphisch gefudee Nullstelle köe durch gezieltes Eisetze i eie Wertetbelle verbessert werde.. Lösug: M formt ds Beispiel um zu + ud führt die Utersuchug hierfür us, um eie Schbloe zum Zeiche der Prbel zu utze. Hierzu beötigt m de Scheitel der Prbel, de m über eie qudrtische Ergäzug fidet.. Lösug: Um bermls die Prbelschbloe zu utze, zerlegt m ds Problem + 0 i ds Auffide der Schittpukte der Grphe ud +. Siehe ds Aufgbebltt 9. Alle bisherige Verfhre zum Löse vo Gleichuge führte ur zu Lösuge. Bei Wurzelgleichuge werde Umformuge beutzt, die keie Äquivlezumformuge sid ud Ergebisse liefer, die sich d u. U. icht ls Lösuge herusstelle. Dies ist für Schüler eie wichtige Erfhrug: Die Probe wird Bestdteil des Lösugsverfhres: Mthemtikiformtio Nr.

10 0 Beispiel..: Löse. Lösug: Um Wurzelgleichuge zu löse, muss zuächst eie Wurzel frei gestellt werde ud d die Gleichug qudriert; ds ist keie Äquivlezumformug, de eie dere Ausggsgleichug ergibt dieselbe Formel: ; umgestellt zu ; qudriert zu +. M bechte: Auch die Gleichug ergibt diese Zeile. M erhält + 0 ud vermutet die Lösuge ud. Probe für : Like Seite ; rechte Seite: D die like Seite mit der rechte Seite übereistimmt, ist Lösug der Ausggsgleichug. Alog fidet m: erfüllt die Probe icht, d. h. ist keie Lösug. Akzeptiert m die Asicht, i Jhrggsstufe 9 seie die reelle Zhle defiiert (z. B. ls isomorph zu de Pukte der Zhlegerde), d k m ds Bisherige zuächst uf rtiole Epoete verllgemeier. Leider ist dies wie i AVERBOUKH, GÜNTHER [] gezeigt uf verschiedee Arte möglich; deshlb muss Stz..7 bewiese werde, ws sicher ur i eiem Ergäzugsuterricht geschehe k. r m Defiitio..: ( ) :, wobei eie reelle Zhl mit 0 ud r eie rtiole Zhl mit der gekürzte Form r ist; im Fll 0 setzt m drüber hius vorus, dss r > 0 gilt. m r m m Stz..7: Uter de Eischräkuge vo Defiitio.. gilt ( ) : r r. Für gebroche rtiole Epoete gelte die Potezgesetze P, P ud P. Für de Beweis siehe AVERBOUKH, GÜNTHER []. Hierbei ht m uch egtive reelle im Fll m ugerde zugelsse; llerdigs hbe sich dort eiige Schreibfehler uf Seite 8 eigeschliche, uf die hier icht äher eigegge werde k, d m i diesem Bereich sicherer rechet, we m die Probleme im Komplee löst (siehe MEYER [7]). lim r r Ergäzed sollte m de gute Schüler useidersetze: D jede reelle Zhl r ls Grezwert eier Zhlefolge rtioler Zhle ufgefsst werde k, lso lim, ht m Poteze für reelle Epoete, flls die Bsis positiv ist. r Beispiel..8: Kostruiere zu eie Itervllschchtelug ud zeige, dss hierdurch eie Itervllschchtelug für defiiert ist. Lösug: Itervll. für Begrüdug log für Begrüdug [ ; ] [ ; ] [, ;, ],, [, ;, ],, [, ;, ],, [, ;, ],, [,;,],, [, ;, ],, usw. usw. usw. usw. Ohe Probleme erket m: Die jeweils liks stehede Folge ist streg mooto wchsed, währed die rechts stehede streg mooto fällt. Die Itervllläge wird lufed kleier ud strebt gege ull. Es hdelt sich lso i beide Fälle um Itervllschchteluge. Dmit sid Poteze für reelle Epoete erklärt, flls die Bsis positiv ist. Mthemtikiformtio Nr.

11 Arbeitsbltt 9.: Wurzelgesetze Die folgede Aufgbe sid zum Teil us MEYER U. A. [].. Bereche ohe Tscherecher: ) ( ) 0 b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( 9) e) 0, 000 f) 0000 g) 0,09 0, 9 h) + i) 0, j) 0000 k) l) m) 0, Bestimme ohe Tscherecher die Lösugsmege der folgede Gleichuge: ) b) + 0 c) 0 d) + e) 00 0 f) 9 0 g) ( + 9)( ) 0 h) + 0 i) ( + 7) + ( 7) 9. Bestimme die Defiitiosmege vo.. Wrum sid die folgede Gleichuge für keie rtiole Zhl lösbr? ) + 0 b) c) + 0. Beweise die Regel W ud W.. Schreibe uter eie Wurzel:) b) c) 7 ( 7) : ( + b + b )( b ) 7. Forme i kürzere Terme um: ) ( + b) ( b) b) + b + b + b c) ( ) 9 + d) r + s + r s e) 9 b f) r r 8. Mche de Neer rtiol ud verkürze de Term: + ) b) + c) + 9. Löse durch Eistz vo Grphe Löse grphisch.. Bestimme die Lösugsmege. Welche Bediguge muss erfülle, dmit eie Lösug eistiert? + ) + 0 b) Bestimme die Lösugsmege: ) b) + +. Verbide eie beliebige Pukt P der Gerde mit dem Urspug O des Koorditesstems. ) Bereche de Abstd d(p, O) i Abhägigkeit der -Koordite vo P. b) Für welche Belegug vo wird d(p, O) m kleiste? Wie groß ist d d(p, O)? c) Wo wird die Etferug des Puktes P vom Ursprug geu,00 cm? Lösuge siehe Seite 0. Mthemtikiformtio Nr.

12 . Folge ud Reihe Beispiel..: Auf ei erstes Feld legt m Reiskörer; uf jedes folgede Feld ds Doppelte des vorusgeggee. Jedes Feld mit der Nummer erhält so Körer, wobei der Wert eier Fuktio f: N R ist. Defiitio..: Eie Fuktio f: N R heißt Zhlefolge oder Folge. M et die reelle Zhl f() ds -te Glied der Folge. O. B. d. Allg. sei stets d 0. Defiitio..: Eie Zhlefolge, bei der jeweils die Differez d zweier ufeider folgeder Glieder + d für lle türliche kostt ist, heißt rithmetische Zhlefolge { }. Beispiel..: Die Mege N der türliche Zhle stellt eie rithmetische Zhlefolge mit d dr. Stz..: { } sei eie rithmetische Zhlefolge; d ist + ( )d. Beispiel.. ist offesichtlich ddurch chrkterisiert, dss + : q kostt ist für lle. Defiitio..: Eie Zhlefolge, bei der der Quotiet je zweier ufeider folgeder Glieder kostt q ist, heißt geometrische Folge. O. B. d. A. sei stets q. Stz..7: { } sei eie geometrische Zhlefolge mit dem Quotiete q, d ist q -. Defiitio..8: M schreibt: i ud liest: Summe der i vo bis. Σ heißt Summtioszeiche, i der Summtioside. Defiitio..9: Zu jeder Folge { } gibt es eie zweite Folge {S } get Reihe der, we gilt: S : i Ist { } uedlich, d schreibt m lim S. Defiitio..0: Die Reihe eier rithmetische Folge heißt rithmetische Reihe, die eier geometrische Folge geometrische Reihe. Stz.. Ds -te Glied der rithmetische Reihe lutet S ( + ( i ) d ) ( ) + ( )d i Ds -te Glied der geometrische Reihe lutet i q S q für q. q i +. Beweis: ) M schreibt S der rithmetische Reihe mit de ufsteigede Summde i über die gleiche Reihe mit bsteigede Summde ud zählt zuächst jeweils die übereider stehede Summde zusmme. Isgesmt erhält m S ( + + ( ) d ) ud dmit S ( + ). b) M subtrhiert vo S ds q-fche hiervo ud erhält: S qs q Für q folgt hierus die Behuptug. Mthemtikiformtio Nr.

13 Arbeitsbltt 9.: Folge ud Reihe. Bestimme ds -te Glied der Folge der gerde bzw. ugerde Zhle.. Begrüde, weshlb bei eier rithmetische Zhlefolge jedes Glied jeweils ds rithmetische Mittel seier Nchbrglieder ist. Stimmt der Stz für lle?. Addiere lle türliche Zhle vo bis Wie groß ist die Summe ller dreistellige Zhle?. Bestimme die Summe ller zwei- ud dreistellige ugerde Zhle.. I eier rithmetische Zhlefolge mit dem Afgsglied ud d ist ds -te Glied 80. Ds wie vielte Glied der Folge ist ds? 7. Ab welchem überschreitet bei Beispiel... de Wert 000? 8. Bei je drei ufeider folgede Glieder eier geometrische Folge ist jeweils ds mittlere Glied ds geometrische Mittel der beide äußere, d. h Im Folgede werde kogruete Röhre verwedet. I der uterste Schicht liege Röhre dicht ebeeider. I der druf liegede Schicht wird jeweils eie Röhre geu i der Mitte zweier Röhre gelegt. ) Wie viele derrtige Röhre köe i 8 Schichte gelgert werde? b) Wie viele Schichte k m lege ud wie viele Röhre sid es d? 0. Zeige, wie us der Summeformel der geometrische Reihe eie biomische Formel folgt.. Eie geometrische Folge ht ds Afgsglied / ud de Quotiete q. Bereche ds sechste Glied.. I eiem reguläre Achteck der Seiteläge s 8 wird über die Mitte jeder Seite jeweils ei Qudrt mit der hlbe Achteckseiteläge ch ie gezeichet; lle diese Qudrte wird jeweils ei Qudrt der hlbe Läge des vorhergehede Qudrts jeweils i dieselbe Richtug wie vorher gehägt usw. Wie groß ist der Flächeihlt ller Qudrte ch Schritte? K m de Prozess beliebig fortsetze oder stößt m eie Greze?. Ziseszis: Ds Kpitl K brigt bei eier eijährige Alge bei eiem jährliche Zisstz vo p eie Zis pk. Lässt m diese Zis uf der Bk, d wird im kommede Jhr ds Kpitl K ( + p) K q verzist, we m setzt q + p. I de folgede Jhre ht m d ls Kpitl K K q, K K q K q usw. ) Wie hoch ist ds Kpitl mitsmt dem Ziseszis ch Jhre, we es mit p jährlich verzist wird? b) Es wird bei eiem uf Ziseszis gelegte Kpitl zu Begi eies jede Jhres ei fester Betrg eigezhlt. Welche Wert ht ds Guthbe m Ede des -te Jhres, we die Eilge jährlich um p verzist werde? c) Für ei Drlehe fordert eie Bk jährlich eie Zisstz p. Mit der Bk wird eie Rückzhlugsregelug vereibrt: Die jährlich gleich bleibede Rte r umfsse Zis ud Tilgug. Bestimme de Drlehesrest m Ede des -te Jhres.. Bei der rithmetisch-degressive Abschreibug werde die Abschreibugsbeträge i vo Jhr zu Jhr um eie bestimmte Betrg d kleier. ) Gib eie Term für die -te Abschreibug. b) Die Summe der Abschreibugsbeträge ergibt die Differez zwische Neuwert K 0 ud Restwert K. ( ( K0 K )) Zeige, dss für die Vermiderugsgröße d gilt: d ( ) Lösuge siehe Seite. Mthemtikiformtio Nr.

14 c) Welche Ugleichug muss zwische der. Abschreibug ud dem bzuschreibede Betrg K0 K gelte, dmit die Vermiderugsgröße d positiv wird? d) Ei Neuwert vo soll i siebe Jhre uf 0% seies Wertes bgeschriebe werde. Der erste Abschreibugsbetrg soll 000 betrge. Erstelle de Abschreibugspl: Jhr, Wert zu Afg, Abschreibug, Restwert.. Die geometrisch-degressive Abschreibug wird ch eiem uveräderliche Prozetstz vom Restwert vorgeomme. ) Gib de Restwert K i llgemei, we der Aschffugswert K 0 im Lufe vo Jhre bei p% jährlich degressiv bgeschriebe wird. b) Eie Mschie mit Aschffugswert vo, Millioe Euro soll jährlich mit 8% vom Restwert bgeschriebe werde. Wie groß ist der Restwert ch 9 Jhre? c) Wie lge müsste midestes bgeschriebe werde, we bei b) mit Schrottwert gerechet wird?. Eie Hpothek vo ist mit 8% verzist ud soll ierhlb vo 8 Jhre durch gleich große Rte getilgt werde. Erstelle de Tilgugspl: Jhr, Schulde m Afg, Zise, Tilgug ud Auität. 7. A eiem Qudrt der Kteläge wird über der Mitte jeder Seite jeweils ei Qudrt der hlbe Kteläge ch uße gezeichet. Im Weitere wird jeweils jeder freie Seite dieser Qudrte ei weiteres Qudrt eier Seiteläge, die die Hälfte der Seiteläge des vorhergehede Qudrts ist, ch uße gezeichet usw. ) Wie groß ist der Flächeihlt ller Qudrte ch Schritte? b) Um wie viel Prozet ht der Flächeihlt bei ) bezüglich des Ausggsqudrts zugeomme? c) Wie oft muss m Qudrte füge, dmit der Zuwchs mehr ls % beträgt? d) Fide durch Probiere, welche mimle Zuwchs die gefügte Qudrte erreiche köe.. Potez- ud Wurzelfuktioe. Prbel Wiederholug Eie Fuktio f bildet jedes us der Defiitiosmege D(f) eideutig i die Wertemege W(f) b. Es ist lso keiem us D(f) mehr ls ei us W(f) zugeordet. Nehme mit wchsede die Fuktioswerte streg zu, et m die Fuktio streg mooto wchsed ud de Grphe hier streg mooto steiged. Alog erklärt m streg mooto behmed bzw. streg mooto flled. M et eie Fuktio f smmetrisch zur -Achse, we f() f( ) für lle der Defiitiosmege gilt. Der Grph zu f heißt puktsmmetrisch zum Ursprug, we f() f( ) für lle der Defiitiosmege gilt. Eie Fuktio f: p für lle D( f ) ud eiem feste p R heißt Potezfuktio. Zuächst werde die Grphe vo Potezfuktioe Grphe heiße Prbel p-ter Ordug. p für p N 0 ud reelle 0 utersucht. Diese Für p 0 ud p sid ds Gerde durch de Ursprug oder Prllele zur -Achse. Für p ergebe sich die bereits bekte Prbel der Ordug ; sie hbe die folgede Eigeschfte: Die -Achse ist Smmetriechse. D R ud W R + 0 bzw. W R - 0, weil gilt: Für > 0 fällt der Grph i ] ;0] streg mooto, i [ 0 ; [ steigt er streg mooto. Für > 0 ist die Prbel zu ch obe geöffet, für < 0 ist sie ch ute geöffet. Mthemtikiformtio Nr.

15 Zuächst werde uf hudertstel gerudete Wertetbelle zu für 0 ud { ;;;; } erstellt: 0 0, 0,0,00,0,00, ,,00.,00, 0 0,0 0,,00.8 8,00, 0 0,00 0,0,00,0,00 9,0 0 0,00 0,0,00 7,9,00 97,70 Hierus werde die dzugehörige Grphe gezeichet ud die Grphe zu [ 0; ] ute fidet. Aus de Abbilduge erket m: W(f) R 0 + I ] ;[ I ] ; [ vergrößert, wie m dies 0 verlufe die Grphe um so äher der -Achse, je größer der Epoet ist. verlufe die Grphe um so weiter weg vo der -Achse, je größer der Epoet ist. Für < 0 erhält m wege ( ) ( ) für gerde. : für ugerde 8 0 Für gerde gilt f( ) f(); d. h. der Grph ist smmetrisch zur -Achse, die Fuktio heißt gerde. Für ugerde gilt f( ) f(); d. h. der Grph ist smmetrisch zum Ursprug, die Fuktio heißt ugerde. Mthemtikiformtio Nr.

16 Zusmmefssug: Prbel + () D(f) R ud W(f) R o gerder Ordug Prbel () D(f) R ud W(f) R ugerder Ordug () Gemeisme Pukte sid ( ), (0 0), ( ). () Gemeisme Pukte sid ( ), (0 0), ( ). () Der Grph ist smmetrisch zur -Achse. () Der Grph ist smmetrisch zum Ursprug. () I ] ;0] ist der Grph streg mooto flled, i [ 0 ; [ ist er streg mooto steiged. () Der Grph ist i D(f) streg mooto steiged. () I [ ; ] verlufe die Grphe umso äher der -Achse, je größer der Epoet ist. I R\ [ ; ] verlufe die Grphe umso weiter weg vo der -Achse, je größer der Epoet ist. () Eie weitere Eigeschft für de Grphe vo mit 0: Für > 0 bleibe die Eigeschfte () bis () erhlte. Für < 0 kommt och eie Spiegelug der -Achse dzu. Arbeitsbltt 0.: Prbel -ter Ordug 7. Welche Pukte sid lle Grphe zu mit N gemeism, we gilt: ) > 0 ud gerde b) < 0 ud ugerde c) 0. ) Welches Mootoieverhlte hbe lle Grphe zu mit < 0 für ugerde? b) I welche Itervlle sid die Grphe zu mit < 0 ud ugerdem streg mooto flled, i welche streg mooto steiged? c) Welche besodere Grphe ht die Potezfuktio 0? Welcher Pukt ist icht erfsst (Begrüdug!)?. Zeige Sie recherisch, dss der Grph zu 0, chsesmmetrisch zur -Achse ist.. Gegebe ist die Fuktio f ( ) mit R. ) Erstelle Sie eie Wertetbelle für die -Werte,,,.., ud zeiche Sie de Grphe mit de Eiheite cm. b) Wie geht der Grph zu f us dem Grphe zu z hervor? c) Weiter ist u die Fuktio g ( ) + 7 mit D R gegebe. Forme Sie die Fuktiosgleichug wie i b) um. d) Durch welche geometrische Abbilduge k m de Grphe vo f i de vo g überführe?. Alle Pukte eies Kreises um M(0 0) mit Rdius cm geüge der Gleichug +. ) Bereche Sie die Koordite der Schittpukte der Prbel mit der Gleichug + mit dem Kreis. b) Zeiche Sie eie Kreis um de Ursprug mit Rdius cm ud skizziere Sie für eiige R die Prbel zu +. Stelle Sie die Azhl der Schittpukte der Prbel mit dem Kreis i Abhägigkeit vo fest.. Gegebe ist die Fuktio zu mit dem Defiitiosbereich R. ) Bestimme Sie die Nullstelle. b) Zeiche Sie de Grphe durch Superpositio der Grphe zu ud für mit Lägeeiheit cm uf beide Achse. c) Beweise Sie, dss die Fuktio zu ugerde ist. d) Gebe Sie uf Grud der Zeichug ds Mootoieverhlte i de etsprechede Itervlle. + 7 Lösuge Seite Mthemtikiformtio Nr.

17 7 7. Gegebe ist die Fuktio zu mit der Defiitiosmege R. ) Bestimme Sie die Schittpukte des Grphe mit de Koorditechse. b) Zeiche Sie de Grphe durch Superpositio (Eiheit cm uf beide Achse). c) Bestimme Sie mit Hilfe der Zeichug die Itervlle, i dee die Fuktio streg mooto zuehmed bzw. streg mooto behmed ist. d) Beweise Sie, dss die Fuktio gerde ist. e) Bereche Sie die Schittpukte des Grphe mit der Gerde zu. 8. Die folgede Wertetbelle gehört zu der Fuktio mit der Gleichug f ( ) 0, + 9 : , 8,7, 0,7 8 Die Gerde zu m + t ist durch Pukte, die Prbel zu + b + c ist durch Pukte festgelegt, wobei m die Prmeter m, t bzw., b, c jeweils durch ei Gleichugssstem bestimmt. ) Wie heiße diejeige Prbel, durch die m de Grphe zu f i [ 0 ;] bzw. i [ ;8] pproimiere k? 7 ;8. b) Ersetze Sie f durch eie liere Fuktio i [ ] 9. Gegebe ist eie Fuktio durch die folgede Werte: so, dss diese Fuktio obige Wer- ) Fertige Sie eie Skizze. b) Bestimme Sie die Prmeter vo + b + c + d + e tetbelle erfüllt.. Hperbel Die Grphe zu mit D R\{0} ud N bezeichet m ls Hperbel der Ordug : 0, 0,0,00,0,00,0,00,00,00,00 0,7 0,0 0,0 0,,00,00,00 0, 0, 0, 0,,00 8,00,00 0,0 0, 0,0 0,0,00,00,00 0,0 0,0 0,0 0, , Mthemtikiformtio Nr.

18 8 Dmit erket m für > 0: W(f) R + \{0} I ] ; [ I ] [ I ] [ 0 flle die Grphe streg mooto. 0 ; verlufe die Grphe umso äher der -Achse, je größer der Epoet ist. ; verlufe die Grphe umso äher der -Achse, je kleier der Epoet ist. Für < 0 erhält m wege ( ) ( ) für gerde. für ugerde gerde ugerde ( ) Asmptote - - Asmptote Asmptote (- ) ( ) Asmptote - - (- - ) - Für gerde gilt f ( ) f ( ) ; d. h. der Grph ist smmetrisch zur -Achse. Für ugerde gilt f ( ) f ( ) ; d. h. der Grph ist smmetrisch zum Ursprug. Der Grph kommt der -Achse ud der -Achse beliebig he, ohe sie ber zu scheide; m et deshlb die Achse Asmptote des Grphe. Zusmmefssug: Hperbel gerder Ordug Hperbel ugerder Ordug () D(f) R\{0} ud W(f) R + \{0} () D(f) R\{0} ud W(f) R\{0} () Gemeisme Pukte sid ( ), ( ) () Gemeisme Pukte sid ( ), ( ) () Der Grph ist smmetrisch zur -Achse. () Der Grph ist smmetrisch zum Ursprug. () I ] ;0] ist der Grph streg mooto steiged, i [ 0 ; [ ist er streg mooto flled. () Die -Achse ud die -Achse sid Asmptote. () Der Grph ist i D(f) streg mooto flled. Aufgbebltt 0.: Hperbel 8. Welche Pukte sid lle Grphe zu mit N gemeism, we gilt: ) > 0 ud gerde b) > 0 ud ugerde c) < 0 ud gerde d) < 0 ud ugerde e) 0. Gegebe ist die Hperbelfuktio zu ) Erstelle Sie eie Wertetbelle für f ( ). 8; ; ; ; ; ;. b) Zeiche Sie uter Ausutzug der Smmetrie de Grphe für 8. c) Etehme Sie der Zeichug diejeige -Werte, für die f ( ), gilt. d) Bereche Sie dejeige -Wert, für de f ( ) 0, gilt. 8 Lösuge Seite 7. Mthemtikiformtio Nr.

19 9. Gegebe ist die Fuktio zu + mit R\{0}. ) Skizziere Sie de Grphe für. b) Wie lute die Gleichuge der Asmptote? c) Welcher -Wert wird vo der Fuktio uf bgebildet?. Gegebe ist eie Fuktio mit der Gleichug ( ) + +. ) Gebe Sie de mimle Defiitiosbereich. b) Zeige Sie durch lgebrische Umformuge, dss sich die gegebee Fuktiosgleichug uch i + der Form schreibe lässt. + c) Skizziere Sie de Grphe. d) Wie lute die Gleichuge der Asmptote? e) Bestimme Sie recherisch die Schittpukte des Grphe mit de Koorditechse.. Die folgede Fuktio ist gegebe durch 0,( ) für R\{}. ) Erstelle Sie für [0;] eie Wertetbelle ud zeiche Sie de Grphe mit der Eiheit cm uf beide Achse. b) Gebe Sie die Gleichuge der Asmptote. c) Bestimme Sie die Schittpukte mit de Koorditechse recherisch. d) Durch welche geometrische Abbilduge erhält m de Grphe us dem, der zu gehört?. Bestimme Sie die Schittpukte der beide durch ihre Fuktiosgleichuge gegebee Grphe: ) 0, ud b) ud c c) mit 0 ud 7. Bestimme Sie lle Schittpukte zwische de Grphe zu + ud. 8. Gegebe ist ei Kreis durch + r ud eie Hperbel durch c. Für r ud c hbe Kreis ud Hperbel keie Pukt gemeism. M k u Schittpukte ddurch erzwige, dss m de Rdius r oder de Prmeter c verädert. ) Wie muss m bei c de Rdius r wähle, dmit m geu zwei Schittpukte erhält? Für welche r erhält m keie Schittpukt, für welche r vier Schittpukte? b) Wie muss c gewählt werde, dmit sich der Kreis mit Rdius ud die Hperbel geu zweiml treffe? 9. Gegebe ist eie Hperbel mit ud die Pukte A( ), B( ) ud D( ). ) Zeiche Sie die Hperbel ud die Pukte A, B ud D i ei Koorditesstem mit Eiheit cm uf beide Achse ei. b) Die Pukte C (0, ), C (, ) ud C ( ) liege uf eiem Hperbelst. Breche Sie die fehlede Koordite. c) Zeiche Sie ds Viereck ABC D ei ud bereche Sie de Flächeihlt A. Zerlege Sie hier ds Viereck durch eie Prllele zur -Achse durch C i ei Dreieck ud i ei Trpez. d) Für welche Pukte C( ) mit > 0 uf der Hperbel erhält der Flächeihlt A vo c) de Wert A( ) (, + 7, + ) cm? Zeiche Sie die beide Dreiecke i ds Koorditesstem ei.. Mootoiegesetze für Poteze Die Gesetze P leite sich us de folgede Gesetze eier Aordug b: A: Für je zwei Elemete, b steht fest, ob b oder b. Für b schreibt m uch b. A: Es gilt stets ; m sgt: ist refleiv. A: Aus b ud b c folgt stets c; m sgt: ist trsitiv. A: Aus b ud b folgt b; m sgt: ist tismmetrisch. A: Für lle, b, c mit b gilt + c b + c. A: Für lle, b mit b ud c > 0 gilt c bc. Mthemtikiformtio Nr.

20 0 Nu k m jede Multipliktio mit c < 0 zusmmesetze us eier Multipliktio mit c ud eier mit ( ). Erstere wird durch A erfsst. Bei letzterer weiß m, dss sich uf beide Seite der Ugleichug die Gegezhle ergebe; dmit ht m die erste Behuptug des folgede Stzes: Stz..: ) Für lle, b mit b ud c < 0 gilt c bc. b) Für lle, b gilt 0 < < b geu d, we >. b c) Für lle positive, b ud türliche gilt < b geu d, we < b erfüllt ist. b b b Beweis zu b) mit A: Aus 0 < < b folgt > 0 ud dmit < b, lso <. Die Umkehrug geht geuso. b b b b Beweis zu c): Aus 0 < < b folgt mit A < b < b. Durch wiederholte Awedug dieser Multipliktio folgt < b. Geht m vo < b us ud immt < b sei flsch, d muss etweder b oder > b sei. Aus erstere folgt > b ud dmit bermls der Widerspruch b, lso ei Widerspruch; us dem zweite würde folge b mit der Vorussetzug ch A. Wege Stz..c ud der Wurzeldefiitio sid die folgede Aussge für positive Zhle ud b bzw. türliche äquivlet: < b ( ) < ( b ) < b Stz..c) gilt d ber uch für positive rtiole Epoete r m, weil die folgede Aussge ebeflls äquivlet sid: r < b r m < b m m < b m < b Für egtive rtiole Epoete r s sid d wege Stz..b) die folgede Aussge äquivlet s s s s r r < b < b > > b > b. s s b Isgesmt ht m lso uter Eibeziehug der Überlegug mit de Itervllschchteluge gefude : Stz..: Für reelle Zhle, b ud p gilt ds. Mootoiegesetz für Poteze: Für p > 0 gilt 0 < < b geu d, we p < b p erfüllt ist. Für p < 0 gilt 0 < < b geu d, we p > b p erfüllt ist. I Kpitel. ht m erfhre, dss für positive beim Kurveverluf zwische > ud < uterschiede werde muss. Hierbei spielt keie Rolle, ob der Epoet der Potezfuktio positiv oder egtiv ist. Der Aschuug etehme wir: Stz.. (. Mootoiegesetz für Poteze): Für reelle Zhle, p ud q mit 0 < gilt p < q geu d, we ) p > q, flls 0 < < bzw. b) p < q, flls < bzw. c) p q, flls. Ds Kpitel. wird m seie gute Schüler i ller Regel icht so ebeher im Uterricht useidersetze köe. M wird sich wohl etschließe müsse, dies i eier Zustzstude für Iteressierte zu lehre. Mthemtikiformtio Nr.

21 Arbeitsbltt 0.: Potezfuktioe, Mootoiegesetze für Poteze 9 Die Aufgbe sid zum große Teil dem Etwurf vo MEYER U. A. [], Seite 7 9 etomme.. Zeige Sie, dss der Grph vo g ( ). f ( ) für > äher der -Achse verläuft ls der Grph vo. Ws wird us der Ugleichug, <, we m ) uf beide Seite der Ugleichug 0 subtrhiert, b) beide Seite der Ugleichug mit 8 bzw. multipliziert, c) uf beide Seite der Ugleichug durch dividiert, d) uf beide Seite der Ugleichug jeweils de Kehrwert bildet, e) beide Seite mit bzw. poteziert?. Fide Sie ohe Tscherecher Ugleichuge zwische de folgede Terme; begrüde Sie: ), ud, b), ud, c), ud, d), ud, e), ud,8 f), ud,8 0, g) ( ) 0, 70 ud ( ) h) ( 0,), 0, 7 ud ( 0,8 ). Orde Sie die folgede Poteze ohe Tscherecher zu eier steigede Ugleichugskette: ), ;, ;,9 b) 0,, ; 0,,9 ; 0,,9 c) ; ; ;. Bestimme Sie bei ), b) ud c) mit dem Tscherecher, bei e) ohe Tscherecher, diejeige türliche Zhle, die jeweils der folgede Doppelugleichug geüge: ) b) ( ) e) ( ) ; ( ) ( ) < + c) 0 < < 7 d) < 0 ; ; gebe Sie, wie oft die kleiere Zhl i der größere Zhl ethlte ist.. Bestimme Sie die Lösugsmege der folgede Doppelugleichug: ( + ) 8 < ( ). Wurzelfuktioe Wiederholug zur Jhrggsstufe 9: Bei de Qudrtwurzel wurde ds Folgede scho eiml useidergesetzt: Mit der Schreibweise f: D(f) W(f) bezeichet m eie Fuktio; sie bildet jedes us D(f) eideutig i W(f) b, d. h. jedem us D(f) wird durch f geu ei us W(f) zugeordet: f : f ( ) Ist f : f ( ) eie Fuktio, so et m die Zuordug f : * eie Umkehrug f* vo f. Ist f* wieder eie Fuktio, so et m diese die Umkehrfuktio vo f. Ds Ncheiderusführe zweier Fuktioe f ud g et m eie Verkettug; i Zeiche: f D( f ) W( f ) D( g) W( g) oder f D( f ) go W( g) g go f, die m g ch f liest ; m bechte uch, dss i. Allg. M bechte die Schreibweise volle ursprügliche Wertemege W(g) ergibt. M schreibt uch f ( ) z g( ) g( f ( )) oder z go f ( ) g( f ( )). go f icht die 9 Lösuge siehe Seite 0. Mthemtikiformtio Nr.

22 Ht die Fuktio f eie Umkehrfuktio f*, so gilt f o f * f * o f id, wobei id die idetische Abbildug ist, lso diejeige Abbildug, die gz D uverädert lässt, lso für lle us D gilt. Sie hbe diese Abbildug scho bei de liere Fuktioe bzw. bei de Achsespiegeluge S kee gelert; für letztere gilt S o S S id. Die Fuktio mit der Gleichug mit R ht keie Umkehrfuktio, weil zu jedem des Wertebereichs zwei der Defiitiosmege gehöre. M k ber die Defiitiosmege etw uf D R + 0 eischräke ud d ht die Fuktio mit us D R + 0 eie Umkehrfuktio mit us W R + 0. Eistiert lso eie Umkehrfuktio f* zu f, so ht sie die ursprügliche Wertemege ls Defiitiosmege ud umgekehrt. M sgt: Die umkehrbre Fuktioe sid eieideutig oder umkehrbr eideutig. Gibt es zu eie zweite Umkehrfuktio? Begrüde Sie! Will m log dem Bisherige eie Fuktio smt ihrer Umkehrug grphisch dokumetiere, so hbe beide deselbe Grphe {( ): für lle us R 0 + } {( ): für lle us R 0 + }. Um hier eie eigee Grphe für die Umkehrfuktio zu bekomme, vertuscht m mit, ws im Koorditesstem eier Spiegelug der Gerde etspricht. M stellt lso die Fuktio mit us D R + 0 ist d icht mehr die Umkehrug vo Schließlich sei och bemerkt: Jede Fuktio zweite Grdes k uf die Scheitelform ( s) + t dr. M möge bechte: mit us D R + 0. mit dem Scheitel (s t) gebrcht werde. Der Scheitel tret die (beide) Bereiche, i dee die Fuktio ei uterschiedliches Mootoieverhlte ht. I jedem der Teile k die qudrtische Fuktio umgekehrt werde. Stz..: Jede Potezfuktio Beweis: Die Potezfuktio. Ahme: Für < us D gelte p p mit D R ht dort eie Umkehrfuktio, wo sie streg mooto ist. sei für lle us D streg mooto ud ehme hier geu lle Werte us W p p. Ds ist ei Widerspruch zum. Mootoiegesetz für Poteze (siehe..): Aus < folgt < oder p p >. Deshlb gibt es zu jedem us W geu ei us D mit p p ; d. h. ht eie Umkehrfuktio. Bechte Sie: Eistiert eie Umkehrfuktio, dere Term m durch lgebrische Umformuge icht bestimme k, so gibt m der Umkehrfuktio ei eigees Smbol; z. B.: mit us R + 0 ht die Umkehrfuktio mit us R + 0. Allgemei: p mit us R + 0 ud p us N ht die Umkehrfuktio p mit us R + 0. Beispiel..: Bestimme Sie zu 0,, R 0 de Fuktiosterm der Umkehrfuktio. Lösug:. 0,, D(f) R 0, W [ ; [ + 0, ( + ) ± ( + ). *: ( + ) f wege D(f) R 0. Bechte Sie: Die Verfhresschritte. ud. köe vertuscht werde. Verfhre:. Löse Sie die Fuktiosgleichug mit lgebrische Umformuge ch uf.. Vertusche Sie die Vrible ud. p p Mthemtikiformtio Nr.

23 Beispiel..: Gegebe ist die Fuktio f ( ) ( + ) + i D [ ; [. ) Bestimme Sie die Mootoie (Begrüdug). b) Bestimme Sie die Umkehrfuktio. Lösug: ) Mit < us D folgt: + < + Mootoiegesetz der Additio ( ) ( ). Mootoiegesetz für Poteze ( + 0 ) + < + + ( + ) + < ( + ) Mootoiegesetz der Additio D. h. f ist streg mooto zuehmed. ;. b) D(f*) W(f) ud W(f*) D(f) [ [. ( + ) + ( + ) f mit D(f*) [ ; [. *( ) > Arbeitsbltt 0.: Umkehrfuktioe Wurzelfuktioe 0 mit R die Umkehrfuktio. b) Wie heißt die Umkehrug zu? Welche besodere Lge ehme Fuktio ud Umkehrfuktio im Koorditesstem zueider ei? c) Wrum gibt es zur Gerde keie Umkehrfuktio?. ) Bestimme Sie zu ( ). Gegebe ist die Fuktio f ( ) + mit eiem mimle Defiitiosbereich. ) Schreibe Sie die Fuktio betrgsfrei. b) Zeiche Sie de Grphe. c) Utersuche Sie ds Mootoieverhlte der Fuktio. d) Welche Umkehrfuktioe k m hierzu defiiere?. Gegebe ist die Fuktio f : 0, + mit D(f) R. ) Zerlege Sie D(f) i zwei Itervlle so, dss f jeweils im Teilitervll ls f bzw. f umkehrbr wird. Bestimme Sie die dzugehörige Umkehrfuktioe. b) Bereche Sie die Schittpute vo f mit der Wikelhlbierede im. ud. Qudrte des Koorditesstems. c) Ws folgt us b) für die Schittpukte vo f * mit der Wikelhlbierede? d) Skizziere Sie lle Grphe i ei Koorditesstem.. Gegebe sid i R die Fuktioe f ( ) + ud f ( ) + +. ) Gebe Sie jeweils die Defitiosmege ls Itervll. b) Bestimme Sie die dzugehörige Umkehrfuktioe. c) Skizziere Sie lle Grphe. + 0, für ] ;]. Gegebe ist die bschittsweise defiierte Fuktio f:. 0, + für [ ; [ ) Zeige Sie, dss f eie Umkehrfuktio besitzt. b) Bestimme Sie die Umkehrfuktio f*. c) Zeiche Sie die Grphe vo f ud f* für [ ; ]. d) Zwische de Grphe vo f ud f* wird eie Fläche eigeschlosse. I welchem Verhältis teilt die Gerde zu diese Fläche (Begrüdug). 0 Lösuge siehe Seite 0. Mthemtikiformtio Nr.

24 . Gegebe ist die Fuktio +, mit D R. ) Bestimme Sie so, dss f i eiem möglichst große Itervll [;] umkehrbr ist. b) Bestimme Sie die Umkehrfuktio Gegebe ist die Fuktio f ( ) mit D R. ) Forme Sie de Fuktiosterm so um, dss m de Grphe ls Superpositio us eier Gerde ud us eier Hperbel erhält. b) Bestimme Sie, wo f streg mooto ist ud bestimme Sie d f*. c) Bestimme Sie die Schittpukte des Grphe zu f mit der Gerde zu. Zeige Sie durch Polomdivisio, dss es keie weitere Schittpukte ußer dem im zweite Qudrte gibt. d) Zeiche Sie beide Grphe i eiem Koorditesstem. 8. Bestimme Sie i de gegebee Itervlle jeweils die Umkehrfuktioe. Der Nchweis der strege Mootoie brucht icht usgeführt zu werde. ) + i R \{0}. b) 0, + i R. c) ;. i [ [ 9. Bestimme Sie diejeige türliche Zhle, die folgede Doppelugleichuge erfülle: ) 00 < < 0 b) 99 < ( + ) 9 9 c) 8 (z ) < d) z + e) Welche Eigeschfte der Potezfuktio verwedet m beim Löse dieser Ugleichuge? 0. Gegebe ist die Fuktio f ( ) mit D R. ) Skizziere Sie de Grphe. Wie etsteht er us dem Grphe zu mit us R 0? b) Bestimme Sie jeweils ch Eischräkug vo D(f) die Umkehrfuktio.. Gegebe ist die Fuktio f : f ( ) mit D(f) R. Bestimme ud begrüde Sie die Mootoie ud bereche Sie f* bei evetueller Eischräkug der Defiitiosmege: ) ( ) b) ( ) c) ( + ) d) 9 + e) ( ) b für reelle ud b (Flluterscheidug). M k die Gleichug 0 durch Itertio löse: D < 0 < ist, liegt die Lösug i [;]. Mit der erste Lösug wählt m eie bessere Wert + h mit h us ]0;[: ( + h) + h + h + h + 7h, weil m die höhere Poteze vo h verchlässige k, weil h < ist. Aus + 7h 0 berechet m h. Also ist + eie bessere Näherugslösug. Wie- derholt m ds Verfhre mit, so erhält m + h ud drus + h' 0. Bereche Sie ud ud überprüfe Sie Ihr Ergebis mit dem Tscherecher.. Epoetilfuktio. Vergleich zwische lierem ud epoetiellem Wchstum Beispiel..: I eiem vo Hugerktstrophe heimgesuchte Etwicklugsld mit 0,0 Millioe Eiwoher im Jhr 0 wurde i füf ufeider folgede Jhre durch Etwicklugsmßhme i der Ldwirtschft bechtliche Leistugssteigeruge erzielt. Jhr Weizeerträge i 000 Toe Aufbu ud Aufgbe ch MEYER U. A. []. Mthemtikiformtio Nr.

25 Ldwirtschftseperte glubte, dss uf Grud der vorhdee Ressource i de ächste Jhre ähliche Steigeruge erreicht werde köe, ud hoffte deshlb uf eie duerhfte Lösug der Erährugsprobleme des Ldes. Nmhfte Demogrphe wiese jedoch druf hi, dss durch bessere Erährug u.. mit eier durchschittliche jährliche Wchstumsrte der Bevölkerug vo,8% zu reche sei, ddurch würde die Versorgug mit Weize bld schlechter sei ls zu Afg. Wer htte Recht? Betworte Sie die Frge ohe Berücksichtigug weiterer Fktore. Bechte Sie: Rechuge, wie im Beispiel gefordert, et m Hochrechuge. Diese berücksichtige i. Allg. icht lle für ei Problem wichtige Fktore ud sid deshlb ur i eiem beschräkte Umfg wedbr. Je weiter i die Zukuft Vorhersge gemcht werde, um so uzuverlässiger werde die meiste. Lösug:. Die Messwerte, die zu de Erträge der Jhre bis gehöre, liege äherd uf eier Gerde durch A(00) ud B(00). Demetspreched erhält m ls Zwei-Pukte-Form der Gerde: w , wobei w der Weizeertrg i 000 Toe ud t die Zeit i Jhre sid. t Hierus fidet m: w 00 t Für die Bevölkerugszhle E pro Jhr erhält m de folgede Zusmmehg: Jhr Eiwoherzhl E ch t Jhre i Millioe 0,0 + 0,0 0,08 0,0, 08 0,0,08 + ( 0,0,08), 08 t 0,0,08 usw. 0,0,08 t Jhr w i 000 Toe E i Millioe 09,7 0, 0, 0, 09, 0, 98 7,0 0,7 0 8,9 0, ,8 0, ,8 0, ,8 0, ,9 0, , 0, 00 8, 0, 00 8, 0, 00 8,9 0, 00 88, 9, ,8 9, 00 9, 9, ,9 9, , 9, , 8, Weize pro Mill. Eiwoher i 000 t. Durch Eisetze erhlte wir schließlich ebestehede Werte, wobei Progose uterlegt sid.. Zeiche Sie die dzugehörige Grphe. Atwort: Aus der letzte Splte k m ersehe, dss bei uveräderte Wchstumsbediguge der Weizeertrg bezoge uf Millio Eiwoher bereits ch Jhre stgiert, ch 9 Jhre deutlich bimmt ud ch Jhre sehr schell uter de Std des. Jhres bsikt. Die Demogrphe htte lso Recht. Hiweise:. Ist ds Wchstum z. B. des Weizeertrgs lier, so spricht m vo eiem liere Wchstum. Kezeiche: Zu gleiche Zeitbstäde gehört immer eie Zuhme um de gleiche Betrg.. Hägt ds Wchstum wie bei der Bevölkerugsetwicklug vo eier Vrible im Epoete b, so spricht m vo eiem epoetielle Wchstum. Kezeiche: I gleiche Zeitbstäde erfolgt eie Vervielfchug um jeweils deselbe Fktor.. Wchstumsvorgäge köe uch hd derer Fuktioe verlufe. Viele Aweduge ber zeige, dss lieres ud epoetielles Wchstum die wichtigste Awedugsbereiche bdecke.. D die Folge eies epoetielle Wchstums häufig icht leicht sichtbr sid (beim Beispiel mcht sich die Bevölkerugsetwicklug erst ch 9 Jhre bemerkbr), ist es sivoll, Fuktioe mit vrible Epoete mthemtisch geuer zu utersuche (siehe..).. Bei epoetielle Zusmmehäge muss m oft mehrfch mit demselbe Fktor multipliziere. Bei fst lle Tscherecher muss m dbei icht jedes Ml de Fktor eu eigebe. Durch mehrmliges Tippe der Istgleichtste wird immer mit derselbe Zhl multipliziert. Ob der kostte Fktor ls erste oder zweite Zhl eigegebe werde muss, ist bei de verschiedee Modelle uterschiedlich. Mche Recher hbe für die mehrfche Multipliktio mit eier Kostte eie Kosttetste. Mthemtikiformtio Nr.

26 Arbeitsbltt 0.: Epoetilfuktio. Liegt bei de folgede Tbelle lieres oder epoetielles Wchstum vor? Weshlb k m ur u. U. etscheide? ) b) c) , 7, d) Bestimme Sie lle türliche Zhle, für die gilt, > Bestimme Sie diejeige türliche Zhl so, dss etweder 0, >, oder > für lle >.. 87 verkufte Russld Alsk für 7, Millioe Dollr die USA. Wie viel köte m heute bhebe, we m diese Betrg mit Ziseszis zu % uf eiem Koto gelegt hätte?. Ei Uterehme will die Preise für ei Produkt icht veräder. Eie Mrktlse vermutet, dss so jährlich % Umstzsteigerug erzielt werde k, wobei die jährliche Kostesteigerug uf durchschittlich 7,% geschätzt wird. Derzeit beträgt der Betriebsumstz Millioe Euro ud die Koste belufe sich uf 0, Millioe Euro. Bereche Sie de Umstz, die fllede Koste ud de Gewi für die ächste füf Jhre. Wie verädert sich der Gewi im Lufe der Jhre?. Derzeit lebe etw 7,0 Millirde Mesche uf der Erde ud m rechet mit eier jährliche Wchstumsrte vo,8%. Mit wie viele Mesche müsste m bei gleichem Wchstum i, 0, 0, 0 Jhre reche? I welchem Zeitrum würde sich die Meschheit ochmls verdoppel? 7. Schätze mit Hilfe der Geburte- ud Sterberte pro 000 Eiwoher us dem Jhr 988 die Bevölkerugsetwicklug der gegebe Läder bis 00: Großbritie Jp Pkist Togo Geburterte 0 Sterberte 7 Eiwoher , 0 USA Brsilie Süd-Kore Meiko Geburterte 8 8 Sterberte 9 8 Eiwoher Epoetilfuktio Ds Wchstum us. wr durch die Fuktio b t mit t N defiiert, flls b > 0. Über die Wurzelgesetze ist z z ber diese Fuktio uch für rtiole t mit z N, N erklärt: b So k m sich zwr de Wert vo,,,,,, usw. erkläre icht ber vo π. I der Alsis ht m Grezwerte vo Folge, z. B. für die Folge { } {;,;,;,;..}. M schreibt lim π ud π lim erklärt d π ls : lim. Hierbei ist och zu kläre, w der Grezwert solche Veräderuge wie hier Vertusche vo Grezwertprozesse usgesetzt werde k ud weshlb dies hier möglich ist. Utersucht m hier diese logische Lücke icht geuer, so k m hiermit die Epoetilfuktio für beliebige reelle Epoete defiiere: Lösuge siehe Seite. Mthemtikiformtio Nr.