Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer.

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer."

Transkript

1 Mathematik 1 Prof Dr K Melzer Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen mit Matrizen/Vektoren Gleichheit, Addition, Subtraktion, S-Multiplikation Skalarprodukt Produkt einer Matrix mit einem Vektor Matrixmultiplikation 5 14 Determinanten Determinante einer (2x2)-Matrix Determinante einer (3x3)-Matrix 5 15 Inverse Matrix 6 2 Lineare Gleichungssysteme 6 21 Begrie 6 22 Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen 7 23 Lösen von LGS I: Gauÿ-Algorithmus Grundidee des Gauÿ-Algorithmus Erlaubte Umformungen beim Gauÿ-Algorithmus Matrixschreibweise Pivotelement, Pivotzeile Rechnerische Durchführung des Gauÿ-Algorithmus Bestimmen der Lösungsmenge Allgemeine Lösbarkeitskriterien mit Determinanten Lösen von LGS II: Cramersche Regel Cramersche Regel für (2x2)-Matrizen Cramersche Regel allgemein 13 1

2 1 MATRIZENRECHNUNG 2 1 Matrizenrechnung 11 Matrixbegri Beispiel 1: Betrachtet werden zwei lineare Gleichungen (Lineares Gleichungssystem /LGS) 5x 1 + 2x 2 + x 3 = y 1 x 1 6x 3 = y 2 Die Zuordnung der x-werte zu den y-werten (lineare Abbildung) wird eindeutig beschrieben durch das Koezientenschema ( ) A = (Matrix) x 1 ( ) Mit x = x 2 y1 und y = (Vektoren) lässt sich das Gleichungssystem in der Form y 2 x 3 ( ) x 1 x 2 x 3 = ( y1 y 2 ) A x = y schreiben Denition: Matrix oder (m n)-matrix A = A m,n : rechteckiges Zahlenschema von m Zeilen und n Spalten a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = A m,n = a m1 a m2 a mn Schreibweisen/Bezeichnungen: A = A = A m,n = [a ik ] = (a ik ), Matrix a ik IR Elemente der Matrix i Zeilenindex k Spaltenindex i = 1,, m (Indexbereich der Zeilen) k = 1,, n (Indexbereich der Spalten) Denition Vektoren: Matrizen mit nur einer Spalte oder einer Zeile A 1,n = ( ) a 11 a 12 a 1n n-dimensionaler Zeilenvektor oder a 11 a 21 A m,1 m-dimensionaler Spaltenvektor a m1 Schreibweise für Vektoren idr a, b, c, Matrixschreibweise nur in Ausnahmefällen

3 1 MATRIZENRECHNUNG 3 12 Spezielle Matrizen Quadratische Matrix Transponierte Matrix A T Symmetrische Matrix (n n)-matrix, d h # Zeilen = # Spalten Vertausche bei A Zeilen und Spalten Bei quadratischen Matrizen: Spiegelung an Diagonalen Es gilt: ( A T ) T = A A T = A (ändert sich beim Transponieren nicht) Diagonalmatrix Alle Elemente auÿerhalb der Diagonalen sind null r 11 r 12 r 1n 0 r 22 r 2n obere Dreiecksmatrix R = 0 0 r nn l l untere Dreiecksmatrix L = 21 l 22 0 l n1 l n2 l nn Nullmatrix 0 = (Alle Elemente haben den Wert Null) später: A + 0 = A (neutrales Element bzgl Addition) Einheitsmatrix E n = (Nur Einsen auf der Diagonalen, Rest Nullen) später: A E = A bzw E A = A (neutrales Element bzgl Multiplikation)

4 1 MATRIZENRECHNUNG 4 13 Rechnen mit Matrizen/Vektoren 131 Gleichheit, Addition, Subtraktion, S-Multiplikation Diese Operationen sind bei Vektoren und Matrizen analog deniert Vektoren a 1 a 2 a =, b 2 b = a n b 1 b n Gleichheit: a 1 = b 1 a = a 2 = b 2 b a n = b n Addition/Subtraktion: a 1 + b 1 a + a 2 + b 2 b = a n + b n Multiplikation mit einem Skalar/S-Multiplikation: λa 1 λa 2 λ a =, λa n λ IR Matrizen a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2n A =, B = a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn A = B wenn a ik = b ik für alle i und für alle k elementweise Dimension muss gleich sein a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n A + B = a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn elementweise Dimension muss gleich sein λa 11 λa 12 λa 1n λa 21 λa 22 λa 2n λ A = λa m1 λa m2 λa mn elementweise 132 Skalarprodukt a b Multiplikation zweier Vektoren gleicher Länge; das Ergebnis ist ein Skalar (dh eine reelle Zahl) a 2 b 2 Skalarprodukt in Koordinatendarstellung: a b = = a 1b 1 +a 2 b 2 + +a n b n = Eigenschaften/Rechenregeln für das Skalarprodukt: a b = b a (Symmetrie, Kommutativgesetz) ( a + b) c = a c + b c (Linearität, Distributivgesetze) a ( b + c) = a b + a c λ a b = (λ a) b = λ( a b) = a (λ b) (Assoziativgesetz) a a 0 und (positiv denit) a a = 0 a = 0 a 1 a n b 1 b n n a i b i i=1

5 1 MATRIZENRECHNUNG Produkt einer Matrix mit einem Vektor A x Multiplikation einer (m n)-matrix mit einem Vektor der Länge n; das Ergebnis ist ein Vektor der Länge m n a 1k x k k=1 a 11 a 12 a 1n x 1 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n n a 21 a 22 a 2n x 2 A x = = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = a 2k x k k=1 a m1 a m2 a mn x n a m1 x 1 + a m2 x a mn x n n a mk x k Der Eintrag in der i-ten Zeile ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile der Matrix mit dem Vektor x 134 Matrixmultiplikation AB Matrixprodukt ist vergleichbar mit Skalarprodukt Deniere Multiplikation so, dass ein lineares Gleichungssystem möglichst einfach mit Matrizen dargestellt werden kann Beispiel 2: 1 2 ( ) 1 1 x1 x = M(3 2) M(2 1) = M(3 1) 1 x x 2 = 1 1 x 1 1 x 2 = 2 2 x 1 3 x 2 = 0 Dimension: Das Produkt zweier Matrizen A B ist nur deniert, wenn die Gröÿe der Matrizen passt: # Spalten von A! = # Zeilen von B A B = C M(m p) M(p n) = M(m n) M(2 4) M(4 7) = M(2 7) (Beispiel) mit c ik = Skalarprodukt aus i-ter Zeile der 1 Matrix und k-ter Spalte der 2 Matrix Eigenschaften/Rechenregeln für Matrizen: Seien A, B, C Matrizen und E die Einheitsmatrix sowie λ IR Wenn die folgenden Summen und Produkte deniert sind, dann gilt: A(BC) = (AB)C (Assoziativität) (A + B)C = AC + BC (Distributivität I) A(B + C) = AB + AC (Distributivität II) AE = A und EA = A (neutrales Element der Multiplikation) λ(ab) = A(λB) (AB) T = B T A T Achtung: Auch für quadratische Matrizen gilt i A AB BA (nicht kommutativ) 14 Determinanten 141 Determinante einer (2 2)-Matrix det(a) = A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Die Determinante ist die Dierenz aus dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen minus dem Produkt der Elemente der Nebendiagonalen 142 Determinante einer (3 3)-Matrix Regel von Sarrus: Ergänze auf der rechten Seite die 1 und 2 Spalte der Matrix Bilde die Produkte über die Diagonalen der Elemente Die nach unten verlaufenden Produkte werden addiert, die nach oben verlaufenden Produkte werden davon subtrahiert k=1

6 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 6 det(a) = A = 15 Inverse Matrix A 1 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12 Denition: Zu jeder quadratischen Matrix A, deren Determinante 0 ist, gibt es eine eindeutig bestimmte Matrix A 1, so dass A 1 A = AA 1 = E A 1 heiÿt inverse Matrix von A A heiÿt invertierbar oder regulär, falls sie eine Inverse hat, sonst singulär Berechnung ( der) Inversen einer (2 2)-Matrix: ( ) a b d b Sei A = Dann ist die Inverse von A: A c d 1 = 1 det(a), c a wobei det(a) = ad bc die Determinante von A ist Bemerkung: Die Elemente der Matrix auf der Hauptdiagonalen werden vertauscht, bei den Elementen der Nebendiagonalen ändert sich das Vorzeichen Rechenregeln für inverse Matrizen: A, B seien reguläre (n n)-matrizen Dann existieren alle folgenden Matrizen und es gilt: (A 1 ) 1 = A (A T ) 1 = (A 1 ) T (AB) 1 = B 1 A 1 (λa) 1 = λ 1 A 1 = 1 λ A 1 für alle λ 0 2 Lineare Gleichungssysteme 21 Begrie Eine lineare Gleichung mit n Unbekannten x 1, x 2,, x n, ist eine Gleichung, die man in die Form a 1 x a n x n = b bringen kann Eine solche Gleichung heiÿt linear, weil ihr Graph im Falle n = 2 eine Gerade, im Fall n = 3 eine Ebene ist usw Beispiel: 20x + 20y = 450 ist eine lineare Gleichung mit 2 Unbekannten x, y Ihr Graph ist die Gerade y = 22, 5 x Eine lineare Gleichung enthält nur Summen von Konstanten und von Termen der Art konstanter Faktor mal Unbekannte, also keine Terme wie x 2, e x, 1/x, sin y oder y x usw Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus m linearen Gleichungen, lässt sich also auf die Form a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 12 x a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m bringen Wir suchen n Unbekannte x 1, x 2,, x n, die alle Gleichungen erfüllen Die Faktoren vor den Unbekannten tragen in der allgemeinen Schreibweise zwei Indizes: Der erste Index gibt die

7 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 7 Nummer der Gleichung an (also die Zeile), der zweite Index gibt die Nummer der Unbekannten an, vor dem dieser Faktor steht (also sozusagen die Spalte) Beispielsweise ist a 12 der konstante Faktor in der 1 Gleichung vor der 2 Unbekannten (d h x 2 ) In einem LGS muss die Anzahl der Gleichungen (m) nicht dieselbe Zahl sein wie die Anzahl der Unbekannten (n) Man kann das LGS (1) auch in Matrixschreibweise in der Form A x = b schreiben Dabei gilt a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n A =, x = x 2, b 2 b = a m1 a m2 a mn x n b m Dabei ist A die (gegebene) Koezientenmatrix und b der (ebenfalls gegebene) Vektor der rechten Seiten In der Schreibweise A x = b bezeichnet x den Vektor mit den gesuchten Unbekannten oder auch Lösungsvektor Ein LGS A x = 0 heiÿt homogen, also falls alle rechten Seiten Null sind Ist mindestens eine rechte Seite von Null verschieden, spricht man vom einem inhomogenen LGS 22 Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen Beispiele mit m = 2 Gleichungen und n = 2 Unbekannten x, y Die Gleichungen stellen jeweils Geraden dar (Auösen nach y) Lösungsmenge eines LGS: Werte, die beide (bzw alle) Gleichungen erfüllen Die Lösungsmenge des LGS in den Beispielen besteht somit aus den Punkten, die auf beiden Geraden liegen Beispiel A: 20x + 20y = x + 10y = 477 y = 22, 5 x y = 47, 7 3x Die Geraden haben den Schnittpunkt (12, 6 9, 9) Somit hat das LGS eine eindeutige Lösung x = 12, 6 und y = 9, 9 {( )} 12, 6 Die Lösungsmenge ist einelementig: L = 9, 9 Beispiel B: 20x + 20y = x + 10y = 225 y = 22, 5 x y = 22, 5 x

8 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 8 Die Geraden stimmen überein Somit hat das LGS unendlich viele Lösungen, nämlich alle Punkte, die auf dieser doppelten Geraden liegen {( ) } 22, 5 t Die Lösungsmenge enthält also unendlich viele Elemente: L = t IR t Beispiel C: 20x + 20y = x + 10y = 200 y = 22, 5 x y = 20 x In diesem Fall erhalten wir zwei parallele Geraden Da es keinen Punkt gibt, der auf beiden Geraden liegt, ist das LGS unlösbar Die Lösungsmenge ist also leer: L = {} Ein lineares Gleichungssystem hat entweder eine eindeutige Lösung oder unendlich viele Lösungen oder gar keine Lösung Die Aussage gilt auch, wenn das LGS mehr als zwei Gleichungen und/oder mehr als zwei Unbekannte hat 23 Lösen von LGS I: Gauÿ-Algorithmus 231 Grundidee des Gauÿ-Algorithmus Ein Gauÿ-Algorithmus ist ein Verfahren, mit dem man jedes lineare Gleichungssystem lösen kann Weil bei der Durchführung dieses Verfahrens einige Unbekannte aus einigen Gleichungen eliminiert (entfernt) werden, spricht man auch vom Eliminationsverfahren

9 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 9 Grundidee des Gauÿ-Algorithmus: Forme das LGS auf Dreiecksform (oder Trapezform) um Dabei müssen sämtliche Diagonalelemente des Dreiecksteils 0 sein Wichtig: Alle mit * bezeichneten Diagonalelemente müssen von 0 verschieden sein 232 Erlaubte Umformungen beim Gauÿ-Algorithmus Die folgenden Umformungen ändern die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems nicht 1 Die Reihenfolge der Gleichungen ändern (d h Zeilentausch) 2 Eine Gleichung mit einem konstanten Faktor c 0 multiplizieren 3 Das c-fache einer Gleichung zu einer anderen addieren 4 Vertauschung der Unbekannten (d h Spaltentausch) 5 Gleichungen 0 = 0 streichen Bei Umformungsschritt (4) sollte man an die Spalten die zugehörigen Variablennamen schreiben; sonst besteht die Gefahr von Verwechslungen Allerdings ist dieser Umformungsschritt auch nur selten unbedingt erforderlich 233 Matrixschreibweise Um Schreibarbeit zu sparen und gröÿere Übersichtlichkeit zu erzielen, ist es beim Gauÿ-Algorithmus sinnvoll, das LGS nicht auszuschreiben, sondern die Umformungen nur an dem so genannten Gauÿ- Tableau (A b) durchzuführen Der senkrechte Strich steht (nur zu Orientierungszwecken) dort, wo in den Gleichungen das Gleichheitszeichen auf Manchmal (z B wenn Spalten vertauscht werden) kann es sinnvoll sein, zusätzlich an die Spalten die Variablennamen der Unbekannten zu schreiben Statt des LGS 20x + 20y = x + 10y = 477 würde man nur diese Matrix umformen ( ) bzw x y Pivotelement, Pivotzeile Eine besondere Rolle bei dem Gauÿ-Algorithmus spielen die Zahlen, die auf der Diagonalen der Koezientenmatrix stehen Diese Zahlen nennt man auch Pivotelemente Ein Schritt des Gauÿ-Algorithmus bestehen im Wesentlichen darin, jeweils Vielfache einer bestimmten Zeile (der Pivotzeile) zu den folgenden Zeilen zu addieren Dazu gelten die folgenden Regeln:

10 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 10 Um einen Koezienten a aus einer Zeile zu eliminieren, muss man das ( a p ) -fache der Pivotzeile zu dieser Zeile addieren Dabei bedeutet p das Pivotelement Da es im Nenner des Faktors a/p auftritt, muss das Pivotelement von Null verschieden sein und sollte es bei der Rechnung von Hand eine möglichst einfache Zahl sein 235 Rechnerische Durchführung des Gauÿ-Algorithmus Vorbereitung: Das LGS muss auf die Form (1) gebracht werden Alle Unbekannten gehören nach links, alle Konstanten nach rechts Anschlieÿend stellen wir das Gauÿ-Tableau (A b) auf und formen im Weiteren nur noch dieses um 1 Gauÿ-Schritt Pivotzeile ist die erste Zeile; Pivotelement das Diagonalelement in der ersten Zeile (d h, das Element in der ersten Spalte der ersten Zeile) Das Pivotelement muss 0 sein Wenn das nicht der Fall ist, die Zeile 1 mit einer weiter unten stehenden Zeile tauschen und/oder Spalte 1 mit einer weiter rechts stehenden Spalte tauschen Das Pivotelement sollte bei Rechnung von Hand möglichst einfach sein Das lässt sich ggf erreichen durch Zeilentausch, evtl Spaltentausch, und/oder Multiplikation oder Division der Pivotzeile mit einem konstanten Faktor 0 Ein geeignetes Vielfaches der Pivotzeile zu jeder weiter unten stehenden Zeile addieren Wie das jeweilige Vielfache gefunden wird, steht im Merkkasten weiter oben 2 Gauÿ-Schritt Pivotzeile ist die zweite Zeile; Pivotelement das Diagonalelement in der zweiten Zeile (d h, das Element in der zweiten Spalte der zweiten Zeile) Das Pivotelement muss 0 sein Wenn das nicht der Fall ist, die Zeile 2 mit einer weiter unten stehenden Zeile tauschen und/oder Spalte 2 mit einer weiter rechts stehenden Spalte tauschen Das Pivotelement sollte bei Rechnung von Hand möglichst einfach sein Das lässt sich ggf erreichen durch Zeilentausch, evtl Spaltentausch, und/oder Multiplikation oder Division der Pivotzeile mit einem konstanten Faktor 0 Ein geeignetes Vielfaches der Pivotzeile zu jeder weiter unten stehenden Zeile addieren Wie das jeweilige Vielfache gefunden wird, steht im Merkkasten weiter oben usw Sofern man keinen Spaltentausch durchgeführt hat, bewirkt: der erste Gauÿ-Schritt, dass die Unbekannte x 1 aus den Gleichungen 2, 3,, m eliminiert wird; der zweite Gauÿ-Schritt, dass die Unbekannte x 2 aus den Gleichungen 3, 4,, m eliminiert wird; der k-te Gauÿ-Schritt, dass die Unbekannte x k aus den Gleichungen k + 1, k + 2,, m eliminiert wird

11 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Bestimmen der Lösungsmenge Tritt im Rechenverlauf eine Gleichung 0 = 0 auf (also eine Zeile, die nur Nullen enthält), wird diese Gleichung ersatzlos gestrichen Fall 1: Entsteht hingegen eine Zeile (0 0 0 ) mit 0 (also eine Zeile, in der links nur Nullen stehen, rechts aber keine), dann ist das LGS unlösbar: L = {} Fall 2: Ein LGS, das sich auf Dreiecksform bringen lässt (wobei die unten mit * bezeichneten Diagonalelemente 0 sein müssen), hat eine eindeutige Lösung Diese Lösung ndet man durch Auösen und Einsetzen von unten nach oben In dem Beispiel oben wird aus der letzten Gleichung x 4 bestimmt Wenn man den errechneten Wert in die vorletzte Gleichung einsetzt, kann man x 3 ausrechnen Setzt man x 3 und x 4 in die zweite Gleichung ein, kann man nach x 2 auösen und am Schluss aus der ersten Gleichung x 1 ermitteln Fall 3: Ein LGS, das sich auf Trapezform bringen lässt (wobei die unten mit * bezeichneten Diagonalelemente des Dreiecksteils 0 sein müssen), hat unendlich viele Lösungen Die Unbekannten, die zu den (oben blau markierten) zusätzlichen Spalten hinter dem Dreiecksteil des LGS gehören, dürfen frei gewählt werden Im Beispiel oben dürfen also x 5 und x 6 frei gewählt werden Um alle Lösungen des LGS zu bekommen, wählen wir dabei für diese Unbekannten nicht feste Zahlenwerte, sondern Parameter, für die wir ggf später konkrete Werte einsetzen können Im Beispiel oben könnten wir etwa x 5 = s und x 6 = t setzen und dann wieder durch Auösen und Einsetzen von unten nach oben x 4 bis x 1 errechnen

12 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 12 Merkkasten über die Lösungen eines LGS Anzahl der Lösungen eines LGS: wenn das LGS auf Dreiecksform ( ) gebracht werden kann: eindeutige Lösung; wenn das LGS auf Trapezform ( ) gebracht werden kann: unendlich viele Lösungen; wenn eine Gleichung 0 = b mit rechter Seite b 0 auftritt: keine Lösung ( ) wobei alle Diagonalelemente 0 sind Berechnung der Lösungen eines LGS: Dreicksform: Trapezform: Auösen und Einsetzen von unten nach oben Unbekannte, die den zusätzlichen Spalten (hinter dem Dreiecksteil) gehören, frei wählen (Parameter); weiter mit Auösen und Einsetzen von unten nach oben Dass ein LGS unendlich viele Lösungen hat, bedeutet anschaulich: Man hat nicht genügend viele Informationen, um alle Unbekannten zu bestimmen In der Tat besitzt ein unterbestimmtes LGS (= ein LGS, das weniger Gleichungen als Unbekannte hat, also mit m < n) unendlich viele Lösungen, sofern es überhaupt lösbar ist Der Fall unlösbar (anschaulich: die Gleichungen widersprechen sich) kann auch bei einem unterbestimmten LGS vorkommen, der Fall eindeutig lösbar aber nicht Auÿer bei unterbestimmten linearen Gleichungssystemen kann man auch bei homogenen linearen Gleichungssystemen (bei denen also die rechten Seiten aller Gleichungen = 0 sind) schon vor der Anwendung des Gauÿ-Algorithmus etwas über die Lösungsmenge sagen Ein unterbestimmtes LGS (das ist eines mit weniger Gleichungen als Unbekannten, also mit m < n) kann nicht eindeutig lösbar sein, da man es nicht auf Dreiecksform bringen kann Ein homogenes LGS (bei dem also die rechten Seiten aller Gleichungen = 0 sind) kann nicht unlösbar sein, da x = 0 stets eine Lösung ist Ein homogenes LGS hat also entweder nur die so genannte triviale Lösung x = 0, oder es gibt unendlich viele Lösungen und damit auch unendlich viele nichttriviale Lösungen, bei denen mindestens eine Unbekannte 0 ist Welcher der beiden Fälle vorliegt, ergibt sich bei Durchführung des Gauÿ-Algorithmus: Ein homogenes LGS, das sich auf Dreiecksform bringen lässt, hat nur die triviale Lösung Hier ist also L = { 0} Ein homogenes LGS, das sich auf Trapezform bringen lässt, hat (unendlich viele) nichttriviale Lösungen Der zuletzt genannte Fall liegt u a bei jedem unterbestimmten homogenen LGS vor

13 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Allgemeine Lösbarkeitskriterien mit Determinanten Für (n n)-systeme, dh LGS A x = b mit (quadratischer) (n n)-matrix A gilt: A x = b, b 0 (inhomogen) A x = 0 (homogen) det(a) 0 eindeutig lösbar eindeutige Lösung: triviale Lösung x = 0 det(a) = 0 keine Lösung oder unendlich viele Lösungen 25 Lösen von LGS II: Cramersche Regel unendlich viele Lösungen (triviale und nichttriviale) Das LGS A x = b mit quadratischer Koezientenmatrix ((n n)-matrix) A hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante von A 0 ist In diesem Fall kann man die Lösung mit Hilfe von Determinanten berechnen 251 Cramersche Regel für (2 2)-Matrizen ( ) ( ) ( ) a11 a Das LGS 12 x1 b1 = hat die Lösung: a 21 a 22 x 2 b 2 x 1 = b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22, x 2 = a 11 b 1 a 21 b 2 a 11 a 12 a 21 a Cramersche Regel allgemein A x = b mit (n n)-koezientenmatrix A und det(a) 0 hat die eindeutige Lösung x i = D i A, für i = 1,, n Dabei ist D i die Determinante der (n n)-matrix, die aus A hervorgeht, indem man die i-te Spalte durch den Vektor der rechten Seiten b ersetzt

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Lineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen)

Lineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen) Lineare Gleichungssysteme I (Matrigleichungen) Eine lineare Gleichung mit einer Variable hat bei Zahlen a, b, die Form a b. Falls hierbei der Kehrwert von a gebildet werden darf (a 0), kann eindeutig aufgelöst

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

Skript und Aufgabensammlung Terme und Gleichungen Mathefritz Verlag Jörg Christmann Nur zum Privaten Gebrauch! Alle Rechte vorbehalten!

Skript und Aufgabensammlung Terme und Gleichungen Mathefritz Verlag Jörg Christmann Nur zum Privaten Gebrauch! Alle Rechte vorbehalten! Mathefritz 5 Terme und Gleichungen Meine Mathe-Seite im Internet kostenlose Matheaufgaben, Skripte, Mathebücher Lernspiele, Lerntipps, Quiz und noch viel mehr http:// www.mathefritz.de Seite 1 Copyright

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen. Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Kapitel 11 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Ein lineares Gleichungssystem (lgs) mit m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x 1, x 2,..., x n hat die Gestalt: Mit a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x

Mehr

7 Die Determinante einer Matrix

7 Die Determinante einer Matrix 7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 13.0.010 Lineare Gleichungen Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775, Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen

Mehr

Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen

Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Additionsverfahrens: x + 4y = 8 5x y = x y = x y = Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Simplex-Umformung für Dummies

Simplex-Umformung für Dummies Simplex-Umformung für Dummies Enthält die Zielfunktion einen negativen Koeffizienten? NEIN Optimale Lösung bereits gefunden JA Finde die Optimale Lösung mit dem Simplex-Verfahren! Wähle die Spalte mit

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 176 3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 90 Vitamin-C-Gehalt verschiedener Säfte 18,0 mg 35,0 mg 12,5 mg 1. a) 100 ml + 50 ml + 50 ml = 41,75 mg 100 ml 100 ml 100 ml b) : Menge an Kirschsaft in ml y: Menge an

Mehr

MLAN1 1 MATRIZEN 1 0 = A T =

MLAN1 1 MATRIZEN 1 0 = A T = MLAN1 1 MATRIZEN 1 1 Matrizen Eine m n Matrix ein rechteckiges Zahlenschema a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 amn mit m Zeilen und n Spalten bestehend aus m n Zahlen Die Matrixelemente

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

1 Lineare Gleichungssysteme

1 Lineare Gleichungssysteme MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 1 Literatur: K Nipp/D Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4 Auflage, 1998, oder neuer 1 Lineare Gleichungssysteme Zu den grundlegenden

Mehr

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion

Mehr

Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten:

Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten: Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten: 1. Additions- und Subtraktionsverfahren 3x = 7y 55 + 5x 3x = 7y 55 7y 5x + 2y = 4 3 5 werden, dass die Variablen links und die Zahl rechts vom

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Lösung. Prüfungsteil 1: Aufgabe 1

Lösung. Prüfungsteil 1: Aufgabe 1 Zentrale Prüfung 01 Lösung Diese Lösung wurde erstellt von Cornelia Sanzenbacher. Sie ist keine offizielle Lösung des Ministeriums für Schule und Weiterbildung des Landes. Prüfungsteil 1: Aufgabe 1 a)

Mehr

Abschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1

Abschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1 B 1.0 B 1.1 L: Wir wissen von, dass sie den Scheitel hat und durch den Punkt läuft. Was nichts bringt, ist beide Punkte in die allgemeine Parabelgleichung einzusetzen und das Gleichungssystem zu lösen,

Mehr

Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1

Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme 3.1. Einleitung Beispiel 1 3 Kinder haben eingekauft. Franz hat 4 Lakritzen, 2 Schokoriegel und 5 Kaugummis

Mehr

6 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

6 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme 6 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Jörn Loviscach Versionsstand:. März 04, :07 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen beim Ansehen der Videos: http://www.jl7h.de/videos.html

Mehr

Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.1 Reelle Matrizen

Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.1 Reelle Matrizen Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 81 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/ farkas 1 / 31 1 2 3 4 2 / 31 Transponierte einer Matrix 1 Transponierte

Mehr

Mathematik II Frühjahrssemester 2013

Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof Dr Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra 71 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 1 / 31 1 2 3 4 Prof Dr Erich

Mehr

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!. 040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

Wie lässt sich die Multiplikation von Bruchzahlen im Operatorenmodell und wie im Größenmodell einführen?

Wie lässt sich die Multiplikation von Bruchzahlen im Operatorenmodell und wie im Größenmodell einführen? Modulabschlussprüfung ALGEBRA / GEOMETRIE Lösungsvorschläge zu den Klausuraufgaben Aufgabe 1: Wie lässt sich die Multiplikation von Bruchzahlen im Operatorenmodell und wie im Größenmodell einführen? Im

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Lineare Gleichungssysteme und Gauß'scher Algorithmus

Lineare Gleichungssysteme und Gauß'scher Algorithmus Zurück Letzter Update 7... Lineare Gleichungssysteme und Gauß'scher Algorithmus In der Mathematik bezeichnet man mit Matrix ein rechteckiges Schema, in dem Zahlen oder Funktionen angeordnet werden. Hier

Mehr

Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.)

Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.) Lösungsmethoden gewöhnlicher Dierentialgleichungen Dgl) Allgemeine und partikuläre Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung Eine Dierentialgleichung ist eine Gleichung! Zum Unterschied von den gewöhnlichen

Mehr

Mathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.1 Reelle Matrizen

Mathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.1 Reelle Matrizen Mathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 8: Lineare Algebra 81 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/ farkas 1 / 32 8 Lineare Algebra: 1 Reelle Matrizen Grundbegriffe Definition

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

Mathematische Grundlagen 2. Termrechnen

Mathematische Grundlagen 2. Termrechnen Inhaltsverzeichnis: 2. Termrechnen... 2 2.1. Bedeutung von Termen... 2 2.2. Terme mit Variablen... 4 2.3. Vereinfachen von Termen... 5 2.3.1. Zusammenfassen von gleichartigen Termen... 5 2.3.2. Vereinfachen

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

Das Mathematik-Abitur im Saarland

Das Mathematik-Abitur im Saarland Informationen zum Abitur Das Mathematik-Abitur im Saarland Sie können Mathematik im Abitur entweder als grundlegenden Kurs (G-Kurs) oder als erhöhten Kurs (E-Kurs) wählen. Die Bearbeitungszeit für die

Mehr

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14.

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14. Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/0 4. Januar 200 Instabilitäten

Mehr

SUDOKU - Strategien zur Lösung

SUDOKU - Strategien zur Lösung SUDOKU Strategien v. /00 SUDOKU - Strategien zur Lösung. Naked Single (Eindeutiger Wert)? "Es gibt nur einen einzigen Wert, der hier stehen kann". Sind alle anderen Werte bis auf einen für eine Zelle unmöglich,

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.

Mehr

3 Matrizenrechnung. 3. November

3 Matrizenrechnung. 3. November 3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige

Mehr

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik Abitur 8 II. Insektenpopulation LA/AG In den Tropen legen die Weibchen einer in Deutschland unbekannten Insektenpopulation jedes Jahr kurz vor Beginn der Regenzeit jeweils 9 Eier und sterben bald darauf.

Mehr

Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte

Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte Mathematik I Matrizen In diesem Kapitel werden wir lernen was Matrizen sind und wie man mit Matrizen rechnet. Matrizen ermöglichen eine kompakte Darstellungsform vieler mathematischer Strukturen. Zum Darstellung

Mehr

OECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland

OECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland OECD Programme for International Student Assessment Deutschland PISA 2000 Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest Beispielaufgaben PISA-Hauptstudie 2000 Seite 3 UNIT ÄPFEL Beispielaufgaben

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHISCHE UIVERSITÄT MÜCHE Zentrum Mathematik PRF. R.R. JÜRGE RICHTER-GEBERT, VAESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHFER Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 003/004) Aufgabenblatt 1 (4. ktober 003)

Mehr

Erstellen von x-y-diagrammen in OpenOffice.calc

Erstellen von x-y-diagrammen in OpenOffice.calc Erstellen von x-y-diagrammen in OpenOffice.calc In dieser kleinen Anleitung geht es nur darum, aus einer bestehenden Tabelle ein x-y-diagramm zu erzeugen. D.h. es müssen in der Tabelle mindestens zwei

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen Aufgabe: Versuche eine Lösung zu den folgenden Zahlenrätseln zu finden:.) Verdoppelt man das Quadrat einer Zahl und addiert, so erhält man 00..) Addiert man zum Quadrat einer Zahl

Mehr

Weiterbildung und Zusatzausbildung der PHZ Luzern Interessantes und Spannendes aus der Welt der Mathematik September 2006, Dieter Ortner

Weiterbildung und Zusatzausbildung der PHZ Luzern Interessantes und Spannendes aus der Welt der Mathematik September 2006, Dieter Ortner Weiterbildung und Zusatzausbildung der PHZ Luzern Interessantes und Spannendes aus der Welt der Mathematik September 2006, Dieter Ortner Rechengesetze 1. Rechengesetze für natürliche Zahlen Es geht um

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 1. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 1. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN Wir wollen nun die Rechengesetze der natürlichen Zahlen auf die Zahlenmenge der ganzen Zahlen erweitern und zwar so, dass sie zu keinem Widerspruch mit bisher geltenden

Mehr

Sonderrundschreiben. Arbeitshilfe zu den Pflichtangaben in Immobilienanzeigen bei alten Energieausweisen

Sonderrundschreiben. Arbeitshilfe zu den Pflichtangaben in Immobilienanzeigen bei alten Energieausweisen Sonderrundschreiben Arbeitshilfe zu den Pflichtangaben in Immobilienanzeigen bei alten Energieausweisen Sonnenstraße 11-80331 München Telefon 089 / 5404133-0 - Fax 089 / 5404133-55 info@haus-und-grund-bayern.de

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

LANGFRISTIGE HAUSAUFGABE (LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME)

LANGFRISTIGE HAUSAUFGABE (LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME) LANGFRISTIGE HAUSAUFGABE (LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME) Aufgabe 1: Tanzkurs ( * ) Zu einem Tanzkurs erscheinen dreimal so viele Mädchen wie Jungen. Nachdem 15 Mädchen gegangen sind, sind noch doppelt so viele

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Aufgabensammlung Bruchrechnen

Aufgabensammlung Bruchrechnen Aufgabensammlung Bruchrechnen Inhaltsverzeichnis Bruchrechnung. Kürzen und Erweitern.................................. 4. Addition von Brüchen................................... Multiplikation von Brüchen...............................

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein für Baden-Württemberg Alle Originalaufgaben Haupttermine 004 0 Ausführlich gerechnete und kommentierte Lösungswege Mit vielen Zusatzhilfen X π Von: Jochen Koppenhöfer und Pascal

Mehr

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper In den bisherigen Kapiteln haben wir nur Gruppen, also insbesondere nur Mengen mit lediglich einer Verknüpfung, untersucht. In der Praxis gibt es aber natürlich

Mehr

Plotten von Linien ( nach Jack Bresenham, 1962 )

Plotten von Linien ( nach Jack Bresenham, 1962 ) Plotten von Linien ( nach Jack Bresenham, 1962 ) Ac Eine auf dem Bildschirm darzustellende Linie sieht treppenförmig aus, weil der Computer Linien aus einzelnen (meist quadratischen) Bildpunkten, Pixels

Mehr

Media Teil III. Begriffe, Definitionen, Übungen

Media Teil III. Begriffe, Definitionen, Übungen Media Teil III. Begriffe, Definitionen, Übungen Kapitel 1 (Intermedia- Vergleich: Affinität) 1 Affinitätsbewertung als Mittel des Intermedia-Vergleichs Um die Streugenauigkeit eines Werbeträgers zu bestimmen,

Mehr

Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij (i = 1,..., n i ; j = 1,..., m) in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A.

Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij (i = 1,..., n i ; j = 1,..., m) in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A. Matrizenrechnung Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij i = 1,..., n i ; j = 1,..., m in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A. a 11 a 12... a ij... a 1m a 21 a 22.........

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr